3

PERGURUAN TINGGBULAN DAN TAHUN

LAPORAN PENELITIAN HIBAH FAKULTAS

Solusi Eksak Persamaan Ernst Dengan Parameter

Deformasi Rill Oleh Sumber Medan Gravitasi Simetri Aksial Statik

Drs. Bansawang BJ, M.Si

DR. Tasrief Surungan, M.Sc

Prof. DR. rer.nat H. Wira Bahari Nurdin

Dibiayai Oleh

DIPA Universitas Hasanuddin Sesuai dengan Surat Perjanjian

Pelaksanaan Penelitian No. 96/UN4.LK.26/2012

Tanggal 1 Oktober 2012

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

Desember 2012

MIP

A

5

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat, karunia dan

hidayah-Nya sehingga laporan hasil penelitian ini dapat kami selesaikan. Penelitian ini diberi

judul Solusi Eksak Persamaan Ernst Dengan Parameter Deformasi Rill Oleh Sumber medan

Gravitasi Simetri Aksial Statik.

Dalam menyelesaikan laporan penelitian ini, kami mendapat bantuan dari berbagai

pihak. Oleh karena itu, ucapan terima kasih kepada sdr. DR. Tasrief Surungan, M.Sc dan

Prof. DR. rer.nat Wira Bahari Nurdin sebagai anggota peneliti yang telah membantu

dalam kelancaran pembuatan laporan penelitian ini. Ucapan terima kasih yang sama kepada

Ketua serta Sekretaris LP2M Unhas yang telah membiayai penelitian ini melalui dana DIPA

Universitas Hasanuddin sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Penelitian No.

96/UN4.LK.26/2012 Tanggal 1 Oktober 2012. Demikian pula ucapan terima kasih kepada

Dekan FMIPA dan Ketua Jurusan Fisika sebagai fasilitator untuk kelancaran pembuatan

laporan ini serta sdr(i) Sukmawati Said, S.Si yang telah membantu pengetikan beberapa

bagian dalam laporan ini. Dan yang terakhir yang tak kalah pentingnya ucapan terima kasih

kepada istri tercinta Hafsah dan kedua putri penulis Annisa Iqriyah dan Isra Leyla yang

selalu menggantungkan harapan masa depannya kepada penulis atas segala pengorbanan dan

kesabarannya.

Semoga penelitian ini merupakan tahap awal dan dasar untuk dapat memasuki kajian

fisika teori yang lebih lanjut terutama pada Theory Of Everything (TOE). Diharapkan pula

laporan ini dapat memperkaya materi perkuliahan Relativitas Umum yang ada pada Prodi

Fisika FMIPA Unhas.

Makassar, Desember 2012

Penulis

6

DAFTAR LAMPIRAN

Hal

Lampiran A : Pembuktian turunan kovarian dari tensor metrik kontravarian 0; g 31

Lampiran B : Lambang Christoffel untuk tensor metrik medan statik simetri aksial 32

Lampiran C : Tensor Ricci medan statik simetri aksial 34

Lampiran D : Penurunan fungsi γ dalam sistem koordinat prolate spheroidal 40

7

DAFTAR ISI

hal.

Halaman Pengesahan ii

Kata Pengantar iii

Daftar Lampiran iv

Daftar isi v

I. PENDAHULUAN 1

I.1 Latar Belakang 1

I.2 Rumusan Masalah 2

I.3 Tujuan Penelitian 2

II. TINJAUAN PUSTAKA 2

II.1 Prinsip Dasar Dalam Medan Gravitasi 3

II.2 Elemen Garis Dalam Sistem Koordinat Empat 4

II.3 Tensor Riemann-Christoffel Dalam Ruang Lengkung dan

Persamaan Gravitasi Einstein 7

II.4 Asas Variasi Persamaan Medan Gravitasi Einstein 12

III. METODE PENELITIAN 16

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 17

IV.1 Penurunan Persamaan Medan Gravitasi Statik Simetri Aksial 17

IV.2 Penurunan Persamaan Ernst 20

IV.3 Solusi Medan Statik Simetri Aksial Dengan Parameter Deformasi Riil 25

V. KESIMPULAN DAN SARAN 29

V.1 Kesimpulan 29

V.2 Saran 29

DAFTAR PUSTAKA 30

Lampiran A 31

Lampiran B 32

Lampiran C 34

Lampiran D 40

8

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Dalam mekanika klasik Newton diasumsikan bahwa hukum-hukum tentang gerak

invarian (tidak berubah bentuknya) dibawah tranformasi Galileo yaitu suatu transformasi dari

suatu sistem koordinat ke koordinat lain yang bergerak lurus beraturan. Sistem koordinat

yang bersifat serba sama kesegala arah (uniform) dan bergerak translasi terhadap yang lain

dikenal sebagai sistem koordinat inersial. Sedangkan dalam teori relativitas khusus

menyatakan hukum-hukum fisika invarian dibawah transformasi Lorentz atau dengan kata

lain hukum-hukum fisika berlaku sama baiknya pada suatu sistem koordinat yang bergerak

relatif terhadap sistem koordinat yang telah dipilih dengan kecepatan konstan.

Untuk memberi landasan terhadap perlunya memperluas teori relativitas khusus, maka

perlu dikemukakan suatu fakta bahwa percepatan yang dialami oleh suatu benda ternyata

tidak tergantung pada massa lembamnya yang mendapat dukungan eksperimen Eotvos1)

,

sehingga massa lembam (ml) dan massa gravitasi (mG) adalah ekivalen. Disamping itu pula

karena setiap benda bermassa tak dapat bebas dari pengarus gravitasi, maka geometri yang

memuat hukum gravitasi hatus berlaku sama baiknya untuk semua sistem koordinat atau

dengan kata lain harus kovarian terhadap semua substitusi sistem koordinat. Geometri yang

demikian haruslah memiliki tensor metrik g yang merupakan fungsi ruang-waktu.

Untuk membangun persamaan medan dimana prinsip ekivalen tercakup didalamnya,

maka Einstein telah berhasil merumuskan suatu persamaan medan gravitasi yang konvarian

umum yaitu memuat prinsip ekivalen. Persamaan medan Einstein tersebut sekalipun

merupakan persamaan diferensial parsial yang sangat tidak linear, namun solusi eksak

maupun solusi non-eksaknya banyak yang diturunkan dari sistem fisis khusus.

Dewasa ini kajian tentang medan gravitasi kovarian telah menjadi sesuatu yang

sangat penting dalam kajian fisika teori. Hal ini sehubungan dengan hasrat para fisikawan

teoritik untuk menyatukan gaya-gaya fundamental alam semesta, maka beberapa dekade

terakhir ini, kajian medan gravitasi kovarian telah menjadi sesuatu yang sangat penting

dalam fisika teori. Setelah Einstein berhasil membangun persamaan medan yang didalamnya

memuat prinsip ekivalensi, telah banyak memberikan kontribusi pada kajian bidang lain,

terlebih lagi pada String Theory (Theory Of Everything=TOE) yang belakangan ini banyak

9

fisikawan berharap menjadi teori yang dapat menyatukan ke empat gaya fundamental yakni

gravitasi, lemah, elektromagnet dan nuklir.

Masalah penyelesaian persamaan medan vakum Einstein simetri aksial stasioner

telah direduksi menjadi persamaan diferensial biasa dengan dua fungsi medan simetri aksial f

dan ω dalam ruang Eucliden tiga dimensi. Penyederhanaan persamaan dasar medan gravitasi

Einstein yang memiliki sifat simetri aksial ruang-waktu dan berotasi stasioner telah

diturunkan dalam koordinat selinder dengan metode Ernst2)

. Namun demikian, persamaan ini

masih cukup sulit untuk mendapatkan penyelesaiannya termasuk untuk solusi medan statik.

1.2 Rumusan Masalah

Penurunan persamaan medan gravitasi Einstein dapat dilakukan dengan menggunakan

variasi integral aksi dengan rapat Lagrangian Hilbert3)

maupun melalui analisa tensor

Riemann-Christoffel dalam ruang lengkung4)

. Meskipun persamaan medan gravitasi Einstein

sangat tidak linear, namun Ernst berhasil memormulasi ulang menjadi persamaan diferensial

biasa dengan memperkenalkan suatu fungsi potensial kompleks yang dikenal sebagai

persamaan Ernst. Dalam penelitian ini akan ditinjau suatu kasus medan gravitasi Einstein

yang memiliki sumbu simetri aksial statik untuk dicari solusinya dan konsekuensi fisis yang

ditimbulkannya. Peninjauan medan gravitasi sumbu simetri rotasi diilhami teorema Hawking

bahwa solusi eksterior dari lubang hitam (Black Hole) haruslah mempunyai sumbu simetri4)

.

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan:

1. Merumuskan persamaan medan gravitasi kovarian Einstein melalui

formalisme integral Aksi dalam ruang lengkung 4-dimensi ruang-waktu.

2. Mendapatkan persamaan medan statik simetri aksial yang diturunkan dari

persamaan dasar medan gravitasi vakum Einstein.

3. Menemukan penyelesaian persamaan Einstein dengan metode Ernst

dengan parameter deformasi rill oleh sumber medan gravitasi simetri

aksial statik.

10

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

II.1 Prinsip Dasar Dalam Medan Gravitasi

Prinsip ekivalen oleh Einstein digarap sebagai suatu asas yang sangat mendasar, yang

selanjutnya merupakan landasan bagi perumusan teori relativitas umum. Untuk memberi

gambaran kearah pengertian prinsip ekivalen, bahwa massa suatu benda dapat ditentukan

dengan mengukur percepatannya yang dihasilkan oleh suatu gaya yang diketahui, yaitu :

aF

ml (2.1)

dengan lm adalah massa lembam. Selain itu dapat pula ditentukan massa suatu benda dengan

mengukur besar gaya gravitasi yang bekerja padanya oleh benda lain, misalnya bumi (Mb)

yaitu :

2r

MmGF bg

(2.2)

sehingga

2

111

r

MmGam bg

l (2.3a)

Selanjutnya untuk benda kedua :

2

222

r

MmGam bg

l (2.3b)

Menurut hasil pengamatan menunjukkan bahwa setiap benda jatuh bebas dalam ruang

vakum tampak percepatannya selalu sama, sehingga :

212211

g

g

l

l

m

m

amam (2.4a)

atau

11

2121

g

l

g

l

mm

mm (2.4b)

Menurut eksperimen Eӧtvos yang sangat teliti dan telah ditingkatkan oleh Dicke serta

Braginsky-Panov, ternyata perbandingan g

l

mm

selalu sama untuk berbagai macam jenis. Ini

berarti bahwa antara massa lembam suatu benda dan massa gravitasinya selalu ekivalen dan

tidak tergantung pada jenis materi benda.

Dengan demikian percepatan yang dialami oleh suatu benda jatuh bebas tidak

bergantung pada massa dan strukturnya (weak eqivalensi principles) dan juga bahwa antara

kerangka lembam dan yang bukan tak dapat dibedakan sama sekali dan karena itu perumusan

persamaan hukum-hukum fisika haruslah berlaku sama baiknya untuk semua kerangka

koordinat yakni kovarian terhadap setiap pemasukan dalam keadaan bagaimanapun.

Asas kovarian umum dapat dinyatakan salah satu diantaranya pernyataan berikut ini 1)

:

1) Semua sistem koordinat sama baiknya dalam mengungkapkan hukum-hukum fisika.

Oleh karena itu semua sistem koordinat haruslah diperlakukan sama.

2) Persamaan yang mengungkapkan hukum-hukum fisika harus berbentuk tensor dan

dinyatakan dalam ruang waktu Riemann empat dimensi

3) Persamaan yang mengungkapkan hukum-hukum fisika haruslah mempunyai bentuk

yang sama dalam semua sistem koordinat

II.2. Elemen Garis Dalam Sistem Koordinat Empat

Dalam teori relativitas khusus, ruang dan waktu telah dipadukan secara integral ke

dalam ruang berdimensi empat di mana kelajuan cahaya dalam vakum dikalikan dengan

waktu ditafsirkan sebagai sumbu ke-empat seperti dikemukakan oleh Minkowski dalam

perumusan teori relativitas khusus Einstein. Semua gejala fisika kejadiannya dengan unik

dapat dinyatakan dalam ruang empat Minkowski dan tidak diperlukan ruang yang lebih besar

cacah dimensinya secara geometrik.

12

Selama ini yang telah diketahui bahwa defenisi ruang Euclid adalah ruang datar.

Dengan melakukan transformasi koordinat riil dan dimasukkan dalam sistem koordinat yang

tensor metriknya ikg akan memberikan nilai ik konstan. Sesuai dengan defenisi ini maka

ruang Minkowski empat dimensi bukanlah Euclidean. Pada dasarnya antara ruang Euclid dan

ruang Minkowski dapat dibedakan dari elemen garis, dimana bentuk kuadrat diferensial

koordinat dari ruang Euclid adalah positif defenitif :

02 iidxdxdS (2.5a)

Sedangkan bentuk kuadrat elemen garis yang bersangkutan dengan ruang Minkowski

menurut teori relativitas khusus dinyatakan sebagai :

iidxdxdxdS 20

2 (2.5b)

dengan dx0 = cdt. Menurut Minkowski, bila dS > 0 maka dikatakan “time like” sedangkan

bila dS < 0 dikatakan “space like” dan bila dS = 0 dikatakan “null like”. Kalau komponen-

komponen elemen garis kovarian dx bertransformasi menjadi kontravarian dx maka

elemen garis pada persamaan (2.5b) menjadi:

dxdxdS 2 (2.5c)

dengan merupakan fungsi vektor-empat x yang bernilai tetap. Tensor metrik

adalah tensor metrik yang bersangkutan dengan kerangka koordinat yang bergerak relatif satu

sama lain dengan kelajuan tetap dan berbentuk :

13

1000010000100001

Namun dalam relativitas umum, geometrinya haruslah kovarian terhadap semua

substitusi sistem koordinat sehingga hanya dimungkinkan bila tensor metriknya tidak tetap

terhadap perubah ruang-waktu. Tensor metrik yang demikian adalah g yang elemen-

elemennya tidak tetap. Dengan bantuan tensor metrik g akan memberikan suatu formulasi

yang lebih tepat mengenai prinsip ekivalensi. Hasrat untuk memormulasikan prinsip ekivalen

bahwa untuk setip titik X dalam medan gravitasi yang tidak tetap dapat didefinisikan suatu

kerangka inersial secara lokal dalam sistem koordinat Cartesian sedemikian Xg

dan 0 Xxx

g , dan turunannya yang lebih tinggi tidak mesti nol. Formulasi ini juga dapat

memberikan estimasi ruang-waktu pada daerah yang sempit dimana medan gravitasi dapat

ditransformasikan pada kerangka lembam secara lokal. Untuk itu, dengan ekspansi deret

Taylor dari Xg disekitar titik x = X, maka 4)

:

...

21 2

xx

gXxXx

x

gXxXgxg

Xx (2.6)

Suku kedua dalam persamaan (2.6) di atas adalah nol dan unuk memperluasnya dapat

mengabaikan suku XxXx sehingga kita dapat melakukan pendekatan metrik (x)

oleh Xgxg oleh yang mana teori relativitas khusus adalah .

14

II.3 Tensor Riemann-Christoffel Dalam Ruang Lengkung dan

Persamaan Gravitasi Einstein

Dalam teori vektor bahwa turunan kovarian suatu vektor kovarian Aた adalah:

Ax

AA ;

(2.7)

dimana

x

g

x

g

xg

gg21

(2.8)

yang dikenal sebagai lambang Christoffel.

Untuk turunan kovarian dari tensor kovarian rank 2 adalah:

AAx

AA ; (2.9)

Sedangkan untuk turunan kovarian dari tensor kontravarian rank dua dapat diperoleh dengan

mengalikan kedua belah ruas persamaan (2.9) dengan gg , yakni:

AggAggx

AggAgg ; (2.10)

Dimana suku pertama ruas kanan dapat diuraikan menjadi:

AggAggAAxA

AggAggAAxA

AgggAgggxA

Axg

gAxg

gAggxx

Agg

(2.11)

15

Kalau hasil ini dimasukkan kembali ke dalam persamaan (2.10) , maka tampak bahwa suku

kedua dan ketiga pada persamaan (2.10) akan dihapus oleh suku ke empat dan ke lima pada

persamaan persamaan (2.11), sehingga turunan kovarian dari tensor kontravarian rank dua

adalah:

AA

xA

A ; (2.12),

Selanjutnya turunan kovarian ;A jika dimasukkan dalam pernyataan (2.9), kita akan peroleh

Ax

AA

xA

x

AA

xxx

AA

2

;;

(2.13)

Selanjutnya jika ち dan τ dipertukarkan dengan maksud ingin menyusun suatu tensor

berbentuk ;;;; AA , maka diperoleh:

AR

AAAx

Ax

AA

;;;;

(2.14)

dimana

xxR (2.15)

Jika R disusutkan terhadap indeks τ dan ρ, akan didapatkan:

gx

gxxx

xxR

lnln

(2.17)

16

Karena ;;;; AA pada persamaan (2.16) merupakan tensor dan Aρ merupakan vector

sehingga R merupakan tensor pula dan dinamakan sebagai tensor kelengkungan

Riemann-Christoffel. Dari segi matematik bahwa bila sistem koordinat ruang sedemikian

sehingga tensor metrik gたち adalah konstan, maka R lenyap dan ini berhubungan dengan

ruang datar sedangkan untuk ruang lengkung tensor R tidak lenyap karena tensor metrik

gたち tidak konstan, dan secara dimensional satuannya merupakan kuadrat kebalikan panjang

sehingga memainkan peranan sebagai kelengkungan ruang. Tensor Riemann-Christoffel juga

memenuhi sifat-sifat berikut:

1) R bersifat anti-simetri terhadap pertukaran indeks た dan ち, yakni:

0 RR

2) Bila R dipertukarkan terhadap indeks kovariannya secara siklis,

dipenuhi:

0 RRR

3) ARAA ;;;;

Selanjutnya sifat-sifat dari tensor Reimann di atas akan lebih jelas jika kita

mendefenisikannya dalam bentuk kovarian secara penuh, yaitu dengan cara mengontraksikan

persamaan (2.15), maka:

xxg

RgR

(2.16)

Atau

xg

xg

gg

xx

g

xx

g

xx

g

xx

gR

2222

21

(2.17)

17

Bila ditinjau kerangka inersial dalam sistem koordinat Cartesian secara lokal, maka dua suku

terakhir pada persamaan (2.17) di atas akan lenyap mengingat prinsip ekivalen, yakni

0 Xxx

g , dimana turunan pertama (tetapi bukan turunan kedua dan yang lebih tinggi)

tensor metrik akan lenyap. Demikian pula halnya dengan affine connection ( tetapi bukan

turunan ) juga akan lenyap, sehingga:

xx

g

xx

g

xx

g

xx

gR

2222

21

(2.17)

Selanjutnya tensor Riemann juga memenuhi suatu identitas diferensial. Untuk maksud

tersebut tinjau persamaan (2.16) dan dengan mengambil turunan kovariannya, yakni:

;

;

xx

g

RgR

(2.18)

dimana telah diambil 0; g

Sekali lagi dengan mengambil kerangka inersial secara lokal dalam koordinat Cartesian,

maka affine connection akan lenyap sehingga diperoleh:

xxxg

xxg

RgR

;

;

(2.19)

atau

xx

g

xx

g

xx

g

xx

g

xR

2222

; 21

(2.20)

18

Dengan mempertukarkan indeks ;R secara siklis lalu menjumlahkannya akan diperoleh

suatu identitas yang sangat penting dalam perumusan teori medan gravitasi Einstein yang

dikenal sebagai identitas Bianchi, yakni:

0;;; RRR (2.21)

Dengan mengontraksikan tensor Riemann pada persamaan (2.17) dengan gg dan

mengambil turunan kovarian dari tensor kontravarian 0; g (Lampiran A) lalu menerapkannya

ke dalam identitas Bianchi pada persamaan (2.21) di atas, maka diperoleh:

021

;; RR

(2.21)

Akhirnya dengan mengalikan persamaan (2.21) dengan g , maka:

021

;

RgR

(2.22)

dimana telah dimanfaatkan 0; g.

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa divergensi

kovarian tensor ( RgR 21 ) lenyap sehingga yang terdapat dalam kurung merupakan suatu

besaran kekal. Inilah yang dikenal sebagai tensor Einstein yang digunakan dalam perumusan teori

medan gravitasi yang sering menggunakan tensor metrik g , yakni:

RgRG 21

(2.23)

19

dengan gRR . Tensor Rたち pada persamaan (2.23) merupakan operator non-linear

orde dua yang beroperasi terhadap tensor gたち dan gたち

, yang dikenal sebagai tensor Ricci dan

juga disebut tensor kelengkungan, sedang R adalah kelengkungan skalar.

II.4 Asas Variasi Persamaan Medan Gravitasi Einstein

Dalam fisika klasik benda titik, biasanya fungsi Lagrange dipilih sebagai fungsi dari

pada beberapa parameter, seperti koordinat, momentum dan waktu. Sedangkan dalam teori

medan klasik yang merupakan generalisasi dari mekanika benda titik, yaitu dengan

mengambil banyaknya titik-titik menjadi tak berhingga sehingga variabel-variabel yang

digunakan adalah variabel kontinu dalam ruang datar , maka aksinya adalah:

xdxxI 4, ))(),(£(

(2.23)

dengan ))(),(£(£ , xx menyatakan fungsi kerapatan Lagrange (Lagrange density).

Integral aksi yang menggenerasikan persamaan relativistik medan gravitasi yang telah

dirumuskan pada persamaan (2.23) adalah:

DD

xdgRdxdxdxdxgRI 43210 (2.24)

Variasi terhadap gたち dan turunan pertamanya harus lenyap di batas D, namun tetap sembarang

di dalamnya. Secara eksplisit I dapat dituliskan sebagai:

xdggxx

xdggRxdgRI

D

DD

4

44

][

(2.25)

20

Variasi I kemudian kita kupas atas dua bagian, yaitu bagian pertama adalah:

DD

DxdggRxdggR

xdggRI44

4

(2.26)

Kita tinjau dulu bagian pertama ruas kanan variasi δI. Untuk keperluan ini variasi δRたち kita

nyatakan dalam variasi lambang Christoffel yang dapat dituliskan sebagai

;;

,,

,,

R

(2.27)

Karena 0; g , maka akan diperoleh hasil variasi bagian pertama persamaan (2.26) , yakni:

0][ 44 DD

xdgggx

xdggR (2.28)

yang ternyata harus lenyap sebagai konsekuensi teori Gauss. Jadi tinggal saham bagian kedua

(2.26) yang mengandung variasi, yakni:

ggggggg21

(2.29)

Dengan demikian variasi aksi I pada persamaan (2.26) menghasilkan

xdgRgRg

xdggRID

4

4

]21

[

(2.30)

21

Selanjutnya untuk merumuskan pernyataan bagi tensor energi-momentum jika dalam

aksi I terdapat rapat Lagrangian materi LM yang diberikan oleh:

xdgI M

4LK2R (2.31)

di mana LM adalah rapat Lagrangian dari materi, LG = R adalah rapat Lagrangian untuk

medan gravitasi. sedang R adalah kelengkungan skalar Ricci yang diungkapkan sebagai

RgR dengan Rたち adalah tensor Ricci seperti pada persamaan (2.17).

Untuk variasi terhadap terhadap rapat Lagrangian medan gravitasi telah diperoleh

seperti dalam persamaan (2.30) sehingga variasi aksi persamaan (2.31) cukup dikenakan

terhadap rapat Lagrangian gM L yang diberikan oleh:

xdg

gLg

x

gg

Lgx

gg

Lg

xdgg

Lgg

gLg

xdgL

M

MM

D

MM

DM

4

,

,

4,

,

4

(2.31)

Karena variasi medan lenyap di batas, maka menurut teori integral Gauss saham suku kedua

lenyap, sehingga peroleh:

D

D

MM

DM

xdgTg

xdggg

Lgxg

Lg

gxdgL

4

4

,

4

21

1

(2.32)

22

dimana tensor tenaga-momentum didefinisikan sebagai:

.

2

,

gLg

gLg

xgT MM

(2.32)

Dengan demikian variasi persamaan (2.31) diperoleh:

D

xdgKTRgRgI 4

21

(2.33)

karena gg sembarang dalam D variasi aksi 0I maka peroleh persamaan Einstein,

yakni:

TKRgRG 21

(2.34)

dengan 12484 detgram.cm/.1008,2

8K

cG

23

BAB III

METODE PENELITIAN

Penelitian ini adalah kajian fisika teoritik, sehingga metode yang digunakan adalah

menelusuri dan menurunkan persamaan-persamaan sesuai dengan kaidah-kaidah dengan

konsistensi matematika yang ketat. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai

berikut:

1. Menghitung lambang Christoffel dan tensor Ricci dalam ruang lengkung untuk

mendapatkan persamaan medan gravitasi dalam vakum untuk kasus sumber simetri

aksial statik.

2. Menurunkan persamaan Ernst pada persamaan (7) ke dalam bentuk persamaan

diferensial biasa dalam sistem koordinat “prolate spheroidal” untuk menyelesaikan

persamaan medan gravitasi simetri aksial statik dari langkah (1). Hasilnya akan

dibandingkan dengan hasil yang diperoleh O. Tanimaru6)

.

24

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

IV.1 Penurunan Persamaan Medan Gravitasi Statik Simetri Aksial

Secara umum tensor metrik pada elemen garis statik simetri rotasi dapat diungkapkan

dalam bentuk berikut:

2222121202 )(E)(D2)(B A ddxdxdxCdx)(dxdS (4.1)

dimana A, B, C, D dan E hanya fungsi dari dua koordinat rupa ruang (space like) x1 dan x

2

sedangkan x0

= ct adalah koordinat rupa waktu (time like) dan x3 adalah koordinat azimut dan

seluruh suku-suku lainnya yang tergabung dalam elemen garis lenyap.

Selanjutnya dengan menggunakan sifat dari tensor konformal Weyl, maka permukaan

ganda pada elemen garis dua dimensi pada persamaan (4.1) merupakan konformal datar ( flat

conformal ) sehingga tidak berubah terhadap sistem koordinat baru yakni )x,(x 2111 xx )x,(x 2122 xx dan elemen garis dua dimensi pada persamaan (4.1) diasumsikan

berbentuk:

22212221 )(D)(B dxdxedxdx (4.2)

dimana た adalah fungsi koordinat baru. Namun transformasi koordinat baru tersebut tidak

berpengaruh terhadap komponen-komponen lain pada tensor metrik, sehingga elemen garis

pada persamaan (4.1) dapat direduksi menjadi:

22221202 )(E A ddxdxe)(dxdS (4.3)

Weyl dan Levi-Civita telah mengungkapkan bahwa yang sesuai dengan fungsi A, た dan E

masing-masing:

25

22

2

2

eE

ee

eA (4.4)

dimana dan, adalah fungsi baru dari koordinat x1 dan x

2. Komponen-komponen

tensor metrik dari elemen garis (4.1) adalah:

000000000000

22

2

2

2

e

ee

e

g

(4.5)

dan komponen-komponen tensor metrik kontravariannya diberikan oleh:

000000000000

22

2

2

2

ee

ee

g

(4.6)

dengan 2det egg .

Dengan menggunakan nilai-nilai tensor metrik di atas, maka dapat dihitung lambang

Christoffel persamaan (2.8), yakni (Lampiran B):

2,2,222

332,2,13

23

1,1,221

331,1,13

13

222,

200

221,

100

2,2,222

211

1122,

002

1,1,212

122

1111,

001

,

,

,

,

,

e

e

ee (4.7)

Dimana tanda koma menunjukkan diferensial parsial 22,11, dan

xx sedangkan

komponen lambang Christoffel lainnya nol.

26

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (4.7) di atas, maka komponen-

komponen tensor Ricci dapat pula dihitung dengan menggunakan persamaan (2.17) sebagai

berikut (Lampiran C):

AAAAeR ,,1

,22

00

(4.8a)

2,2,1,1,1

,,1

11,1

1,1,,,11 2

AAAAAAR

(4.8b)

2,2,1,1,1

,,1

22,1

2,2,,,22 2

AAAAAAR

(4.8c)

AAAAAAeR ,,,1

,22

33

(4.8d)

1,2,2,1,1

12,1

2,1,12 2 R

(4.8e)

Dengan A=1, 2 dan komponen-komponen tensor Ricci yang lain adalah:

02313030201 RRRRR

(4.8f)

Sekarang dengan memilih keadaan vakum, maka komponen-komponen tensor Ricci

pada persamaan (4.8a )- (4.8e) dapat disamakan dengan nol karena komponen tensor energi-

momentum pada persamaan medan gravitasi Einstein (2.34) dalam vakum adalah nol.

Dengan demikian persamaan medan statik simetri aksial diperoleh:

0,,1

, AAAA

(4.9a)

0

2

2,2,1,1,1

,,1

11,1

1,1,,,

AAAAAA

(4.9b)

0

2

2,2,1,1,1

,,1

22,1

2,2,,,

AAAAAA

(4.9c)

0,,,1

, AAAAAA

(4.9d)

02 1,2,2,1,1

12,1

2,1,

(4.9e)

27

Yang pertama kita tinjau adalah persamaan (4.9a) dan (4.9d). Dari kedua persamaan tersebut

dapat diperoleh persamaan Laplace, yaitu:

0, 21222

2

21

2

, xxxx

AA (4.10)

Sehingga 21,xx adalah fungsi harmonik dengan koordinat x1 dan x

2.

Selanjutnya untuk menyederhanakan persamaan medan (4.9a) - (4.9e) digunakan

koordinat selinder dengan menandai 3210 ,, xdanzxxctx , maka persamaan

medan vakum dapat direduksi menjadi empat persamaan dengan dua fungsi medan ね dan γ

yang belum diketahui, yakni:

1. 01

2

2

2

2 z (4.11a)

2.

22

z (4.11b)

3.

22

2

2

2

2

zz (4.11c)

4. zz

2 (4.11d)

Persamaan (4.11a)-(4.11d) adalah persamaan medan gravitasi dalam vakum untuk kasus

benda yang memiliki simetri rotasional aksial statik.

IV.2 Penurunan Persamaan Ernst

Rapat Lagrangian yang diasosiakan oleh elemen garis dS sumbu simetri ruang waktu

stasioner yang dinyatakan dalam koordinat selinder tz ,,, seperti yang dikemukakan

oleh Ernst, yakni:

212

21

21

ffffL (4.12)

28

Dengan melakukan variasi terhadap fungsi f dan の dengan menggunakan persamaan Euler-

Lagrange, yakni:

0(

LL (4.13

maka untuk medan f , persamaan Euler-Lagrange adalah:

0

fL

xfL

tfL

i (4.14)

sehingga diperoleh:

0213 ffx

ffffi

(4.15)

atau

422 fffff (4.16)

Selanjutnya untuk medan の diperoleh:

022 f (4.17)

Dengan persamaan (4.17) di atas menurut teori vektor mempunyai implikasi bahwa terdapat

potensial vektor A sedemikian sehingga:

Af 22 (4.18)

Karena ortogonal terhadap arah azimut n̂ sehingga diperoleh:

0ˆ nA (4.19)

Selanjutnya curl A dalam koordinat selinder adalah:

29

z

AA

AAz

z

AAA

z

z

ˆ

1ˆ1ˆ (4.20a)

Dan oleh karena persamaan (4.19) juga memberikan sangkutan z

AAz sehingga

memberikan implikasi atas keberadaan sebuah fungsi skalar ,,zF sedemikian sehingga

zF

AF

A zz ; dan karena itu persamaan (4.20) menjadi:

FA

zz

A

zF

A1ˆ1ˆ (4.20b)

atau

F

AzAF

zA

1ˆ1ˆ (4.20c)

Dengan memperkenalkan potensial baru yang didefenisikan sebagai AF , maka

persamaaan (4.20c) dapat ditulis menjadi:

zz

A ˆˆ1

(4.21)

atau

nA ˆ1

(4.22)

30

Dengan mensubstitusi persamaan (4.22) ke dalam persamaan (4.18) maka diperoleh:

nf ˆ2

(4.23)

dan jika dinyatakan dalam bentuk vektor produk, yakni:

nf ˆ12

(4.24)

Karena 0ˆ1 n yang merupakan vektor aksial, maka akhirnya diperoleh

persamaan:

02 f

(4.25)

Selanjutnya dengan mensubstitusi persamaan (4.23) ke dalam persamaan (4.16), maka:

ffff 2

(4.26)

Yang penting di catat dari kedua formulasi persamaan medan terakhir adalah bahwa kita

dapat memasukkan sebuah medan potensial kompleks, yaitu:

ifE

(4.27)

Dengan menggunakan persamaan (4.25) dan persamaan (4.26) dapat ditunjukkan bahwa

kedua persamaan (4.16) dan (4.17) yang diperoleh dari hasil reduksi persamaan medan

gravitasi Einstein sumbu simetri adalah ekivalen dengan persamaan medan kompleks berikut:

EEEE 2Re

(4.28)

31

Selanjutnya dengan melakukan transformasi potensial kompleks yang didefenisikan sebagai

11

E

dan dengan sedikit pengolahan matematik, maka persamaan(4.28) dapat

dinyatakan dalam bentuk potensial kompleks yang baru yang dikenal sebagai persamaan

Ernst, yakni:

21

~ 2 (4.29)

Langkah berikutnya adalah menyatakan fungsi metrik danf , dalam bentuk potensial

kompleks yang baru dengan menggunakan persamaan (4.16), (4.17) dan (4.23) serta (4.27)

sebagai berikut:

1~1

1~

Re Ef (4.30)

n̂1~

Im1

~2 2

2 (4.31)

zz ~~

1~ 2

(4.32)

zz ~

Re1

~2

2 (4.33)

Dengan menggunakan koordinat prolate spheroidal yang didefenisikan oleh:

21221

2 11 yxk (4.34a)

xykz (4.34b)

Dimana k adalah konstanta positif. Dalam sistem koordinat prolate spheroidal tersebut,

operator del/nablah dan operator Laplace masing-masing dinyatakan sebagai:

32

y

yyx

xxyx

k21

221

2

21

22

1ˆ1ˆ (4.35)

y

yyx

xxyx

k 2222

22 11 (4.36)

Sedang persamaan (4.32) dan(4.33) dalam sistem koordinat prolate spheroidal adalah:

yxyxxy

yyyx

xxxx

yx

yx

~~1

~1

~1

1~

1

22

2

222

2

(4.37)

yxyxyx

yyyy

xxxy

yx

xy

~~1

~1

~1

1~

1

22

2

222

2

(4.38)

IV.3 Solusi Medan Statik Simetri Aksial Dengan Parameter Deformasi Riil

Untuk mendapatkan solusi vakum simetri aksial statik dari persamaan medan gravitasi

Einstein, maka kita mengambil 0 dalam elemen garis dS simetri rotasi stasioner

dalam koordinat selinder yang dikenal sebagai metrik Papapetrou, yakni:

21

22222122

dengan efe

ddzdefddtfdS

(4.38)

Persamaan medan statik simetri aksial yang telah diperoleh seperti pada persamaan

(4.11a)-(4.11d) memiliki elemen garis simetri aksial statik yang dapat ditandai bahwa

33

ef yang merupakanbagian riil dari fungsi kompleks E, sehingga bila disubstitusi ke

dalam persamaan Ernst pada persamaan (4.28) akan tereduksi menjadi persamaan Lapalce,

yaitu:

02

(4.39)

di mana ね adalah fungsi harmonik.

Selanjutnya digunakan koordinat prolate spheroidal (x,y) pada persamaan (4.36) sehingga

persamaan Laplace pada (4.39) adalah:

011 22 yy

yxx

x

(4.40)

Pada persamaan (4.40) di atas tampak bahwa memiliki dua variabel yang berbeda sehingga

dapat dianggap sebagai sebuah konstanta, maka:

x

x 12 (4.40)

sehingga

11

ln21

xx (4.40)

Jadi untuk fungsi metrik f dalam koordinat prolate spheroidal diberikan oleh:

112

xx

ef (4.40)

Untuk solusi yang berhubungan dengan γ dalam koordinat prolate spheroidal digunakan

persamaan (4.11b) atau persamaan (4.37). Dengan bantuan persamaan (4.30) maka fungsi

potensial

kompleks , yakni:

11

11

xx

(4.41)

34

sehingga

1111

xxxx

(4.42)

Selanjutnya dengan menggunakan bantuan (4.37) akan diperoleh:

222

22

11

yxxyx

x (4.43)

Dengan menamakan 22 11 yvdanxu dan setelah diintegrasikan maka γ dapat

diperoleh (Lampiran D):

22

22 1ln

2 yxx (4.44a)

2

22

22 1

yx

xe (4.44b)

Dengan mensubstitusikan f persamaan (4.40) dan (4.44b) ke dalam elemen garis Papapetrou

pada persamaan (4.38), maka bentuk metriknya dalam koordinat prolate spheroidal secara

eksplisit diperoleh:

22222

22

2

22

22

22

2

22

22

2222

1111

11

11

111

11

11

2

dyxdyyyx

yxy

dxx

yxx

yxyx

xxx

dtxx

dS

(4.45a)

atau

35

22222

2222

2

222

1111

1

11

11

2

dyxy

dyxdx

yxyx

x

xx

dtxx

dS (4.45b)

Selanjutnya dengan melakukan transformasi koordinat Just dan memasukkan

parameter baru yang difefenisikan oleh:

aba

kmac

d

mr

xya

x

,2

,2

1,cos,12

(4.46)

di mana m biasanya adalah parameter massa, maka elemen garis persamaan (4.46) dalam

koordinat Just yang merupakan solusi persamaan Ernst dengan parameter deformasi riil

sumbu simetri aksial statik, yakni:

222

2222222

sin1

sin111

dada

a

dda

da

dta

dS

ab

ab

ab

ab

(4.47)

Akhirnya diperoleh solusi simetri aksial statik yang serupa dengan solusi eksterior simetri

bola yang berbentuk:

2222222 sin111 dda

da

dta

dSaba

ab

ab

(4.48)

Tampak bahwa jika κ =1 yaitu a=b maka solusi ini akan tereduksi menjadi solusi

Schwarzschild yang merupakan solusi medan gravitasi Einstein simetri bola. Demikian pula

halnya pada solusi Tomimatsu-Sato yang merupakan medan gravitasi berotasi simetri aksial

jika diambil q=0 yang berhubungan dengan momentum sudut akan tereduksi menjadi solusi

seperti pada persamaan (4.48) tersebut di atas.

BAB V

36

KESIMPULAN DAN SARAN

V.1 Kesimpulan

Persamaan medan gravitasi Einstein dapat diperoleh dengan menggunakan variasi

integral aksi dengan rapat Lagrangian Hilbert dan juga melalui analisa tensor Reimann-

Christoffel dalam ruang lengkung dimensi empat. Meskipun persamaan medan gravitasi

Einstein sangat tidak linear, namun dapat diformulasi ulang ke dalam bentuk persamaan Ernst

dengan fungsi potensial kompleks E yang memberikan persamaan diferensial biasa sehingga

lebih mudah mendapatkan solusinya.

Solusi medan statik simetri aksial yang telah diperoleh menunjukkan hasil yang

mirip dengan solusi eksterior simetri bola oleh Tanimura, O6)

. Jika diambil κ =1 yaitu a=b

pada solusi yang telah diperoleh maka akan tereduksi menjadi solusi Schwarzschild yang

merupakan solusi medan gravitasi Einstein simetri bola dalam satuan 1cG . Dengan κ

=1 singularitas berada di x=1 sehingga akan menjadi sebuah titik yang diberikan oleh χ = a

dalam koordinat Just sama seperti singularitas Schwarzschild dengan peristiwa horizon di

r=2m. Demikian pula halnya solusi yang diperoleh akan sama dengan solusi Tomimatsu-

Sato yang merupakan medan gravitasi berotasi simetri aksial jika diambil q=0 yang

berhubungan dengan momentum sudut.

V.2 Saran

Penelitian ini baru ditinjau medan gravitasi simetri aksial statik sehingga penelitian-

penelitian selanjutnya diarahkan mencari solusi eksterior untuk lubang hitam (black hole)

berotasi simetri aksial. Benda berotasi bentuknya akan menjadi elipsoidal sehingga perlu

diperhatikan pengaruhnya terhadap medan gravitasi yang menyebabkan munculnya momen

multikutub yang lebih tinggi seperti momen kuadropol dari pada medan gravitasi.

37

Daftar Pustaka

1. Carmeli, M, 1982, “ Classical Field: General Relativity and Gauge Theory, John Wiley &

Sons Inc., New York

2. Ernst, F.J, 1968; Physical Review, Vol.167, No.5

3. Carmeli, M, 1990, “ Gravitation: SL(2,C) Gauge Theory And Conservation Laws” , World Scientific, Singapore.

4. Bose, S.K, 1980; An Intoduction to General Relativity, Wiley Eastern Limited, New Delhi

5. Weinberg, S, 1972; Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons Inc., New York

6. Tanimura,O, 1998; Progress of Theoritical Physics, Vol.100, No.3

7. Chursciel, Piotr T , 2005; Black Holes- An Introduction, Review Vol.WSPC

8. R. Maartens, K. Koyama, 2010; Brane –World Gravity, Living Review Relativity 13

[arXiv:1004.3962v1]

9. Olivares, Marco, 2011: arXiv:qr-qc/1101.07483962v2

10. Hod, Shahar, 2012 : arXiv:qr-qc/1205.5087v1

38

LAMPIRAN A

Dengan menggunakan aturan turunan kovarian dari suatu tensor kontravarian, yaitu :

(A.1)

maka untuk tensor metrik, adalah :

(A.2)

Selanjutnya dengan mensubstitusikan lambang Christoffel ke dalam (A.2), maka akan

diperoleh

(A.3)

Dengan menggunakan persamaan berikut ini :

maka persamaan (A.3) menjadi :

(A.3)

Dengan mengontraksikannya di mana maka terbukti bahwa

39

LAMPIRAN B

Lambang Christoffel pada persamaan (2.8) :

(B.1)

Selanjutnya dengan menggunakan tensor metrik pada persamaan (4.5) berikut ini :

000000000000

22

2

2

2

e

ee

e

g

(B.2)

dan tensor metrik kontravarian adalah :

000000000000

22

2

2

2

ee

ee

g

(B.3)

maka elemen lambang Christoffel yang tidak lenyap adalah :

x

g

x

g

x

gg 2

1

(B.4)

dimana 0g untuk , disamping itu pula , dan hanya fungsi dari x

1 dan x

2

maka :

40

Sedangkan lambang Cristoffel lainnya “nol”.

41

LAMPIRAN C

Dari tensor Ricci persamaan (2.17), yaitu :

xxR (C.1),

Dengan menggunakan lambang Christoffel pada lampiran B, maka komponen-komponen

tensor Ricci dapat dihitung sebagai berikut :

(C.2)

42

Jadi dengan menstubtitusi hasil-hasil ini ke dalam (C. 2)), maka :

2,2,1,1,22

2,2,1

2,2,2,1,1,1,1

1,1,1,1,22

2,2,2,2,22,22

1,1,1,1,11,22

00

22

422422

4242

e

e

eeR

,,1 AAAA

, di mana A = 1,2

Untuk

11111111

11 xxR (C.

3)

2,1,21,1,12

211

1

11111 xxxxx

22,22,11,11,

xxxxx 1

313

1

212

1

111

1

010

1

1

1,1,1

11,1,11,1,11,1

xxxx

1,1,2

11,1

11,11, ,22

323

222

121

020

211

313

212

111

010

11111

1,1,1

1,1,1,1,11,1,

2,2,1

2,2,2,2,2,2,2,

22,2,2,1,1,1,1,2,2,1,1, 244222

2,2,1,1,2,2,1,1,1

313

313

212

212

211

112

111

111

010

01011 2

2,2,2,2,1,1,1,1,1,1, 2

1,1,1

1,1,1

1,1,1,1,

43

2,2,2,2,1,1,2,2,1,1,1,1, 244224

1,1,1

1,1,2 2

Jadi komponen R11 diperoleh sebagai berikut

1,1,2

11,1

11,11,22,22,11,11,11 22 R

2,2,2,2,1,1,1,1,2,2,1,1, 244222

1,1,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,1 24

1,1,1,1

1,1,2

2,2,2,2,1,1,2,2, 22442

11,

11,1,22,11,22,11, 2

2,2,1,1,2,2,1,11,1

Untuk komponen R22 :

22222222

22xx

R

(C. 4)

xxx 2

222

1

12222

2,2,21,1,1 xx

22,22,11,11,

xxxxx 2

323

2

222

2

121

2

020

22

2,2,

222,2,22

2,2

xxx

22,1

2,2,2

22,22, 22

3

23222

121

020

222

313

212

111

010

12222

1,1,1

1,1,1,1,1,1,1,

2,2,1

2,2,2,2,2,2,2,

43

2,2,2,2,1,1,2,2,1,1,1,1, 244224

1,1,1

1,1,2 2

Jadi komponen R11 diperoleh sebagai berikut

1,1,2

11,1

11,11,22,22,11,11,11 22 R

2,2,2,2,1,1,1,1,2,2,1,1, 244222

1,1,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,1 24

1,1,1,1

1,1,2

2,2,2,2,1,1,2,2, 22442

11,

11,1,22,11,22,11, 2

2,2,1,1,2,2,1,11,1

Untuk komponen R22 :

22222222

22xx

R

(C. 4)

xxx 2

222

1

12222

2,2,21,1,1 xx

22,22,11,11,

xxxxx 2

323

2

222

2

121

2

020

22

2,2,

222,2,22

2,2

xxx

22,1

2,2,2

22,22, 22

3

23222

121

020

222

313

212

111

010

12222

1,1,1

1,1,1,1,1,1,1,

2,2,1

2,2,2,2,2,2,2,

45

1'1'

22 e 1'1'1

1'1'1'1'1'

2'2'

22 e 2'2'1

2'2'2'2'2'

1'1'

22'2'1'1'2'2'1'1'

2233 2222 ee

2'2'1'1'2'2'1'1'2'2' 2222 2'2'1'1'

2 e

1

31133

332

233

311

13333 2

2'2'1

2'2'22

1'1'1

1'1'22 ee

2'2'2

2'2'12

1'1'2

1'1'12 ee

2'2'1'1'2'2'2'2'2

1'1'2

1'1'2 224224 e

Jadi untuk komponen R33 diperoleh :

1'1'1'11'

21'1'

21'1'

221'33 22 eeR

22'2'2'22'2

2'2'2

2'2'22

2' 22 ee

1'1'1'1'1'1'

21'1'

22 222 e

2'2'2'2'

22'2'

221'1'1'1' 222 e

1'1'

21'1'

22'2'2'2'2'2' 2422 e

2'2'1'1'2'2'2'2'2 224

eR 22'2'1'1'22'11'22'11'

233

AAAAAAe ''1'1

'22

Untuk komponen R21:

122211

22121

xxR

(C. 6)

46

xxx 2

221

1

12121

12'12'21'21'1'1'22'2'1 xx

xxxxx 1

323

1

222

1

121

1

020

1

2

21'2'1'1

21'21'21'21'21'

22211

12121

3

23222

121

020

221

313

212

111

010

121

1'1'1'1'

11'1'1'1'1'2'2'

2'2'

12'2'2'2'2'

1'2'

12'1'

12'1'2'1'2,1'2'1' 4444

1'2'1

2'1'1

3

13323

212

222

112

221

111

121

211

122

010

02012

2'2'1'1'2'2'1'1'1'1'2'2'1'2'

1'11

2'21

1'1'2'2'

111

121

212

1'2'2'1'2'1'2'1' 4446

Jadi komponen R12 diperoleh:

2'1'12'1'2

21'1

21'21'21'21'21 42222R

2'1'1

2'2'1

2'1'1

2'1'1'2'2'1' 444

1'2'2'1'2'1'2'1'2'2'1 4446

2'1'1

1'2'1

2'1'2

21'1

2'1'1'2'2'1'1 2

47

LAMPIRAN D

Dari persamaan 4.37

2

2

222

2

11

~1

xxx

yx

yx

(D.1)

Dan fungsi potensial

kompleks pada persamaan (4.42) :

1121111211~

22

22

xxxxxxxx

(D.2)

11211112112

11

11111111

22

11

2

xxxxxxxx

xx

xxx

xxxxx

xx

x

222

11222222

11211

11211114

xxxx

xxxxxxx

(D.3)

Dengan mensubtitusi (D.2) dan (D.3) ke dalam (D.1), maka: 222

1122222

2

22

2222

22

22

222

2

11211

11211114

11121111211

11

11

~1

xxxx

xxxxxx

xxxxxxxx

yx

xxy

xxx

yx

yx

(D.4)

48

222

22

22

22

11

211

11

41

yxxyx

xx

xx

yxyx

x

(D.4)

Selanjutnya namakan 22 11 yvdanxu , maka :

vuu

duv2

2 (D.5)

Dengan menggunakan persamaan integral cbua

uabuau

du ln1

, maka:

22

22 1ln

2 yxx (D.6)