Solusi ALIN on-Mipa PT Th.2015 Tk Wilayah
6
SOLUSI SOAL SELEKSI TINGKAT WILAYAH OLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PERGURUAN TINGGI (ON-MIPA PT) TAHUN 2015 BIDANG ALJABAR LINEAR BAGIAN PERTAMA 3. Misalkan z y x v , , melambangkan sebarang elemen pada 3 R . Misalkan M adalah matriks yang kolom-kolomnya i k dan v , dengan mereduksi matriks M menjadi bentuk eselon, yaitu z y x y x z x y x z y x M B B B B 0 0 0 2 1 0 3 1 1 ~ 2 1 0 2 1 0 3 1 1 ~ 1 0 1 2 1 0 3 1 1 2 3 1 3 sehingga haruslah 0 z y x . Analog cara di atas misalkan ' M adalah matriks yang kolom-kolomnya i l dan v , dengan meruduksi matriks ' M menjadi bentuk eselon, yaitu z y x y x z x y x z y x M B B B B 0 0 1 0 1 1 ~ 1 0 1 0 1 1 ~ 0 1 1 0 1 1 ' 2 3 1 3 sehingga haruslah 0 z y x . Dengan menggabungkan kedua sistem persamaan maka diperoleh sistem homogen yang ruang solusinya adalah L K , yaitu 0 0 z y x z y x . Untuk memperoleh solusi sistem homogen tersebut maka kita dapat mereduksinya menjadi bentuk matrik eselon: 2 2 0 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 1 2 B B . Sistem persamaan homogen menjadi ) ( .......... 0 2 2 ) ......( 0 ii z y i z y x . Diperoleh rank matriks eselon 2 r , dengan banyak variabel sistem persamaan ada . 3 n Banyaknya variabel bebas ada 1 2 3 r n , yaitu misalkan y . Dengan mensubstitusikan y ke dalam persamaan ) (ii maka diperoleh z . Selanjutnya dengan mensubstitusi y dan z ke dalam persamaan ) (i maka diperoleh 0 x . Sehingga solusi sistem homogen 0 0 z y x z y x adalah 1 1 0 z y x dimana R . Jadi R L K T 1 1 0 .
description
MAT
Transcript of Solusi ALIN on-Mipa PT Th.2015 Tk Wilayah
SOLUSI SOAL SELEKSI TINGKAT WILAYAHOLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PERGURUAN TINGGI(ON-MIPA PT)TAHUN 2015
BIDANG ALJABAR LINEAR
BAGIAN PERTAMA
3. Misalkan zyxv ,, melambangkan sebarang elemen pada 3R .Misalkan M adalah matriks yang kolom-kolomnya ik dan v , dengan mereduksimatriks M menjadi bentuk eselon, yaitu
zyxyx
zxyx
zyx
MBBBB
000210311
~210
210311
~101210311
2313
sehingga haruslah 0 zyx .Analog cara di atas misalkan 'M adalah matriks yang kolom-kolomnya il dan v ,dengan meruduksi matriks 'M menjadi bentuk eselon, yaitu
zyxyx
zxyx
zyx
MBBBB
001011
~10
1011
~011011
'2313
sehingga haruslah 0 zyx .Dengan menggabungkan kedua sistem persamaan maka diperoleh sistem homogenyang ruang solusinya adalah LK , yaitu
00
zyxzyx
. Untuk memperoleh solusi sistem homogen tersebut maka kita dapat
mereduksinya menjadi bentuk matrik eselon:
220111
~111111 12 BB
.
Sistem persamaan homogen menjadi
)(.......... 022)......( 0
iizyizyx
.
Diperoleh rank matriks eselon 2r , dengan banyak variabel sistem persamaan ada.3n Banyaknya variabel bebas ada 123 rn , yaitu misalkan y .
Dengan mensubstitusikan y ke dalam persamaan )(ii maka diperolehz . Selanjutnya dengan mensubstitusi y dan z ke dalam
persamaan )(i maka diperoleh 0x . Sehingga solusi sistem homogen
00
zyxzyx
adalah
110
zyx
dimana R .
Jadi RLK T 110 .
SOLUSI SOAL SELEKSI TINGKAT WILAYAHOLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PERGURUAN TINGGI(ON-MIPA PT)TAHUN 2015
BIDANG ALJABAR LINEAR
4. Dari definisi kita tahu bahwa kernel 0 22 XTRXT x .Kita mempunyai
21122211
11221221
2221
1211
2221
1211
0000
0110
0110
0000
xxxxxxxx
xxxx
xxxx
XAAXXT
maka diperoleh sistem persamaan dengan empat variabel, yaitu
).....( 0).....( 0
2211
2112
iixxixx
.
Dengan mereduksi sitem persamaan tersebut menjadi bentuk matriks eselon kitadapat memperoleh
01101001
22211211 xxxxdimana rank matriks 2r .
Sehingga didapatkan bahwa banyaknya variabel bebas ruang solusi sistem persamaanada 224 rn , yaitu 21x dan 22x . Dengan mensubstitusikan
21x dan 22x ke dalam persamaan i dan ii maka diperoleh 12x
dan 11x atau
1001
0110
22
21
12
11
xxxx
dimana R , .
Karena 22
2221
1211 xRxxxx
X
ini berarti
1001
,0110X dimana R , .
Jadi dimensi Inti 2T .
5. Definisi:Misalkan A adalah sebarang matriks bujursangkar. Skalar disebut sebagai nilaieigen dari A jika terdapat vektor (kolom) bukan-nol v sedemikian rupasehingga
vAv Sebarang vektor yang memenuhi hubungan ini disebut sebagai vektor eigen dari Ayang termasuk dalam nilai eigen .
Dari soal kita tahu bahwa
11
u adalah vektor eigen matriks
121 aa
A . Dari
SOLUSI SOAL SELEKSI TINGKAT WILAYAHOLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PERGURUAN TINGGI(ON-MIPA PT)TAHUN 2015
BIDANG ALJABAR LINEAR
definisi kita peroleh
.3
12
11
11
121
a
aauAu
Karena 3 maka 2a .Jadi nilai eigen untuk u adalah 3 .
6.
7. Teorema:Misalkan A adalah matriks simetris real. Maka terdapat matriks ortogonal Psedemikian rupa sehingga APPD 1 adalah matriks diagonal.Dari teorema di atas kita tahu bahwa matriks A dapat didiagonalisasi ortogonaljika A matriks simetris real atau haruslah memenuhi TAA .Sehingga agar matriks AB dapat didiagonalisasi ortogonal jika AB matrikssimetris real atau haruslah memenuhi TABAB )( .
11121
1112
1
1111
10110
11001
111
1
aba
bccc
bbcc
aac
ab
cc
b
aABAB
ABABTT
T
persamaan di atas dipenuhi jika 0 ba dan 1c .Jadi haruslah 1,0,0,, cba .
8. Definisi:Misalkan S adalah subhimpunan dari ruang hasilkali-dalam V . Komplemenortogonal dari S , dilambangkan dengan S , terdiri dari vektor-vektor dalam Vyang ortogonal terhadap setiap vektor Su ; yaitu,
SusetiapuntukvuVvS 0,:
Misalkan cbxaxxp 2 .
SOLUSI SOAL SELEKSI TINGKAT WILAYAHOLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PERGURUAN TINGGI(ON-MIPA PT)TAHUN 2015
BIDANG ALJABAR LINEAR
K dibangun oleh x,1 , maka berdasarkan definisi untuk mencari K haruslah01, p dan 0, xp .
Kita dapat memperoleh bahwa
0632
023
023
0
0 1.
01,
1
0
23
1
0
2
1
0
cba
cba
cxxbxa
dxcbxax
dxxp
p
dan
.0643
0234
0234
0
0 .
0,
1
0
234
1
0
23
1
0
cba
cba
xcxbxa
dxcxbxax
dxxxp
xp
Sehingga kita mempunyai sistem homogen, yaitu
)2.........( 0643)1(.......... 0632
cbacba
Sekarang kita akan mencari nilai ,,ba dan c dengan mengubahnya ke dalammatriks eselon melalui operasi baris elementer.
610
63223
210
632
643632
2123
2 bbb
maka diperoleh sistem persamaan dengan tiga variabel baru, yaitu
SOLUSI SOAL SELEKSI TINGKAT WILAYAHOLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PERGURUAN TINGGI(ON-MIPA PT)TAHUN 2015
BIDANG ALJABAR LINEAR
).....( 06).....( 0632
iicbicba
.
Diperoleh rank matriks eselon 2r , dengan banyak variabel sistem persamaan ada.3n Banyaknya variabel bebas ada 123 rn , yaitu misalkan c .
Dengan mensubstitusikan c ke dalam persamaan )(ii maka diperoleh6b . Selanjutnya dengan mensubstitusi c dan 6b ke dalam
persamaan )(i maka diperoleh 6a . Sehingga solusi sistem homogen
)2.........( 0643)1(.......... 0632
cbacba
adalah
16
6
cba
dimana R .
Diperoleh )166( 2 xxxp , R .Jadi , 166 2 xxK dimana R .
SOLUSI SOAL SELEKSI TINGKAT WILAYAHOLIMPIADE NASIONAL MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PERGURUAN TINGGI(ON-MIPA PT)TAHUN 2015
BIDANG ALJABAR LINEAR
BAGIAN KEDUA
2. Diketahui bahwa WVU ,, ruang-ruang vektor atas lapangan F , mV dim , dan nU dim .
WVT : linear dan satu-satu , maka 0dim TKer .UWS : linear dan pada, maka nUS dimImdim .
Karena V berdimensi berhingga dan WVT : linear, maka TTKerV Imdimdimdim .
Kita mempunyai 0kerdim T maka mTV Imdimdim .Dari soal diketahui bahwa SIntiTPeta ini artinya,
mSKerT dimImdim .Kita tahu pula bahwa UWS : linear, maka
SSKerW Imdimdimdim Sehingga untuk mSKer dim dan nS Imdim kita dapat memperolehbahwa nmW dim .
3.
