Soal
8
Click here to load reader
Transcript of Soal
SOAL - SOAL
1.Diketahui : 0 < a < b ,
)(2
1,)(, 1
2
1
1 nnnnnn babbaaNn
Adb: i. an < bn , Nn .
ii. lim(an) = lim(bn)
Bukti:
i. Dengan induksi Matematik
Untuk n = 1, a < b (benar).
Andai benar untuk n = k, shg ak < bk
Adb: benar untuk n = k + 1.
Dari hipotesa induksi:
ak < bk
< bk - ak
< (bk - ak)
< b
k – bkak + a
k
< b
k – bkak bkak + a k
bkak < b
k bkak + a
k
bkak < ¼ (ak + bk)
(bkak)
< (ak + bk)
ak+1 < bk+1
Jadi an < bn , Nn .
ii. Adb: lim(an) = lim(bn)
Adt: (an) dan (bn) monoton dan terbatas
b = (a + b ) < (b + b ) = ½ b ) = b
Shg b < b
bn+1 = (an + bn) < (bn + bn) = ½ bn) = bn
Shg bn+1 < bn
Jadi (bn) monoton turun.
Adt: 0 < bn < b , 2n .
0 < bn+1 < bn < b
Shg (bn) terbatas
Karena 0 < an < bn < b
Jadi (an) terbatas.
Adt: (an) monoton
a = (a b )
> (a a )
= (a )
= a
Shg a a
an+1 = (anbn)
> (anan)
= (a n)
= an
Shg an+1 > an
Jadi (an) monoton naik.
Karena (an) dan (bn) monoton dan terbatas,
maka (an) dan (bn) konvergen.
Misalkan: lim(bn) = b = lim(bn )
bn+1 = (an + bn)
lim(bn+1) = lim(an + bn)
2 lim(bn+1) = lim(an) + lim(bn)
2 b = lim(an) +b
lim(an) = 2b – b = b
Shg lim(an) = b = lim(bn)
Jadi lim(an) = lim(bn).
2. Diketahui X:= (n1/n
)
Adc: lim(n1/n
)
Tulis: n1/n
= 1 + kn , dg kn > 0 untuk n > 1.
Shg n = (1 + kn)n
Dg Teorema Binomial untuk n > 1, diperoleh
nk
knn
n
knn
knn
nkkn
n
n
nnnn
1
2
.2
)1(
.2
)1(.
!2
)1(11
2
2
22
Shg nkn
1
2
Diberikan 0 . Maka terdapat K( )
sedemikian hingga jika n K( ), maka
21
1 2
n
Dari sini diperoleh bahwa 0 < kn < dan
n1/n
- 1 = kn < untuk n K( ).
Karena 0 sembarang, jadi lim(n1/n
3. Diketahui dR, d > 1.
Selidiki kekonvergenan dari (dn) .
Adt: (dn) tidak terbatas
atau
Adt: mdNnm n ,0 .
Tulis: d = 1 + h, h > 0.
dn = (1 + h)
n 1 + nh, Nn (Pertidaksamaan
Bernoulli).
Ambil m > 0 sembarang. Pilih n cukup besar
sedemikian hingga h
mn 0 .
Sehingga n h > m,
Diperoleh
dn = (1 + h)
n 1 + nh 1 + n h > m, Nn 0
.
Jadi (dn) tidak terbatas sehingga (d
n) divergen.
4. Selidiki kekonvergenan barisan X:= (xn)
berikut dengan menggunakan subbarisan.
,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
1
)1(
n
nx
n
n .
Untuk n genap, ambil subbarisan
,
7
6,
5
4,
3
2
12
22
n
nx n
1
2
11
1lim
12
2lim
n
n
n
nn
Untuk n ganjil, ambil subbarisan
,
6
5,
4
3,
2
1
2
12
112
1212
n
n
n
nx n
11
2
11
lim2
12lim
n
n
n
nn
Karena sub barisan (xn) konvergen ke 1 dan -
sehingga (xn) divergen.
5. Tunjukkan barisan
!
1
!2
1
!1
11
n
adalah barisan Cauchy.
kmn , dengan n > m sehingga
!1
!2
1
!1
1
!
1
!2
1
!1
11
!
1
!2
1
!1
11
nmm
mn
Karena )!1(2 nn, maka
mmnmm 2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
111
Ambil 0 sembarang,
pilih kN kmm
,22
1
Untuk kmn , dengan n > m dipenuhi
!
1
!2
1
!1
11
!
1
!2
1
!1
11
mn
Jadi
!
1
!2
1
!1
11
n adalah barisan Cauchy.
6. (xn) barisan di R sedemikian hingga sub
barisan (x2n) dan (x2n+1) konvergen ke x.
Adb: (xn) konvergen ke x.
Ambil 0 sembarang,
pilih k N sedemikian hingga
| x2n - x | < 1, kn .
pilih k N sedemikian hingga
| x2n+1 - x | < 2, kn .
Misalkan k = max { k k }
| xn - x | < 12, 0 kn .
Sehinga knxxkk n ,12 0
Jadi (xn) konvergen ke x.
