Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2012 tingkat smp babak penyisihan (bagian i...

www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2013

SD.A 2 Y.K

www.siap-osn.blogspot.com Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012Tingkat SMP /

Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”

SOAL DAN PEMBAHASAN

OLIMPIADE MATEMATIKA VEKTOR NASIONAL 2012 (OMVN 2012)

TINGKAT SMP BABAK PENYISIHAN (BAGIAN I : SOAL 1-10)

BAGIAN I

1. Bentuk paling sederhana dari √ ( )√ ( )√

( √ )(√ √ )(√ √ ) adalah …

Pembahasan :

√ ( )√ ( )√

( √ )(√ √ )(√ √ ) √ ( )√ ( )√

( √ )(√ √ )(√ √ ) √ ( )√ √ ( )√

( √ )(√ √ )(√ √ √ )

√ ( ( )√ ( ))

( √ )(√ √ )√ (√ )

( )√ ( )

( √ )(√ √ )(√ )

√ √

( √ )(√ √ )(√ )

(√ ) √

( √ )(√ √ √ )(√ )

(√ ) √

( √ )√ (√ )(√ )

( √ )( √ )

( √ )√ (√ )(√ )

( √ )( √ )

( √ )√ ((√ ) )

√

√ ( ) √

√ √

√ √

√ √ √

√ √

2. Perhatikan gambar!

Pada persegi panjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik E.

Suatu lingkaran berjari-jari 1 dan berpusat di E menyinggung sisi AB dan

CD. Pada interior persegi panjang tersebut, jika besar sudut ABE adalah 30o

maka luas daerah yang diarsir adalah …

Pembahasan :

Diketahui :

Perhatikan segitiga sama kaki AEB :

Sehingga :

Perhatikan segitiga sama kaki AED :

Karena ini menunjukkan

bahwa segitiga AED adalah segitiga sama sisi, sehingga :


SD.A 2 Y.K



Perhatikan segitiga siku-siku AFE : (gunakan teorema Pythagoras)

√ √ √ √

√ √

(

) (

)

(

√ ) (

√ )

√ √

√

√

3. Hasil jumlah sebanyak 2012 bilangan asli adalah suatu bilangan ganjil sedangkan hasil kali semua bilangan

tersebut adalah suatu bilangan genap. Paling banyak ada berapa bilangan ganjil diantara 2012 bilangan tersebut?

Pembahasan :

Misalkan :

⏟

⏟

Agar diperoleh bilangan ganjil yang terbanyak maka pada penjumlahan 2012 bilangan asli haruslah ada 2011

bilangan ganjil dan 1 bilangan genap

⏟

⏟

Agar diperoleh bilangan ganjil yang terbanyak maka pada hasil kali 2012 bilangan asli haruslah ada 2011

bilangan ganjil dan 1 bilangan genap


SD.A 2 Y.K



Jadi paling banyak bilangan ganjil diantara 2012 bilangan tersebut adalah

4. Untuk bilangan-bilangan real dan diberikan sistem persamaan :

{

Nilai dari adalah …

Pembahasan :

Diketahui :

{

( ) ( ) ( )

Eliminasi persamaan (1) dengan (2) :

( )

( )

Eliminasi persamaan (3) dengan (2) :

( )

( )

( ) ( )

Jadi nilai dari adalah

5. Suatu bilangan puluhan nilainya sama dengan tiga kali hasil kali digit-digitnya. Hasil kali semua bilangan puluhan

yang memenuhi sifat tersebut adalah …

Pembahasan :

Diketahui : (misalkan)

Sehingga :


SD.A 2 Y.K



Untuk

Untuk

( )

( )

( )

( )

Dengan demikian untuk

( )

Diperoleh bilangan puluhan yang memenuhi :

Jadi hasil kali semua bilangan puluhan yang memenuhi sifat tersebut adalah

6. Bilangan asli terkecil sedemikian sehingga merupakan bilangan kubik adalah …

Pembahasan :


SD.A 2 Y.K



( )

( )

( ) ( )

⏟

( ⏟

)

Agar merupakan bilangan kubik maka harus bilangan kubik, sehingga :

( ) ( )

( ) ( )

Jadi bilangan asli terkecil yang memenuhi adalah

7. Untuk bilangan real positif , jika

maka nilai dari

Pembahasan :

(

)

( )

(

)

(

) (

)

(

)

( )

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan berikut :

( ) ( )


SD.A 2 Y.K



( )

(

)

8. Delapan bilangan asli memiliki rata-rata 6,5. Empat dari delapan bilangan tersebut adalah 4, 5, 7, dan 8. Selisih

antara bilangan terbesar dan terkecil adalah 10. Jika kedelapan bilangan diurutkan dari kecil ke besar, maka

banyaknya susunan ada …

Pembahasan :

Diketahui : (Misalkan)

{ }

( )

( )

Substitusikan persamaan (2) ke (1) :

( )

( )

( )

Perhatikan tabel berikut : ( { })

Banyak penyusunan

1 11 5

4 10 6

9 7

8 8

2 12 2

6

11 3

10 4

9 5

8 6

7 7

3 9 3

4 8 4

7 5

6 6


SD.A 2 Y.K



4 6 4 2

5 5

Banyak cara mengurutkan dari terkecil ke terbesar 16

Jadi banyak susunan jika kedelapan bilangan diurutkan dari kecil ke besar adalah

9. Banyak bilangan bulat yang memenuhi ( ) ( ) ( )

Pembahasan :

Perhatikan kesamaan berikut :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Karena diruas kanan terdapat bilangan 503 yang merupakan bilangan prima, dan diruas kiri terdapat

persamaan ( ) yang bersesuaian dengan 503 maka pencarian nilai cukup dicari berdasarkan

kesamaan :

( ) ( ) ( )

Lakukan pengecekan untuk

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Jadi banyak bilangan bulat yang memenuhi ada

10. Kepada lima anak yang lolos sebagai finalis OMV 2012, tiga anak diantaranya akan diberi sovenir sebagai

kenang-kenangan. Jika terdapat lima sovenir yang berbeda maka banyak cara memberikan sovenir-sovenir

tersebut adalah … cara

Pembahasan :

Diketahui :

( )

( )

Jadi banyak cara memberikan sovenir-sovenir tersebut kepada 3 anak adalah

11. Pada posting berikutnya di : www.siap-osn.blogspot.com

Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2012 tingkat smp babak penyisihan (bagian i...

Documents

Transcript of Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2012 tingkat smp babak penyisihan (bagian i...