Soal Babak Penyisihan

Brilliant Competition 3

Matematika

PETUNJUK

1. Soal terdiri dari 60 soal pilihan ganda dan 10 soal uraian.

2. Penilaian untuk setiap jawaban pilihan ganda

a. Menjawab benar : 2

b. Menjawab salah : -1

c. Tidak menjawab : 0

3. Penilaian untuk setiap jawaban uraian

a. Maksimum : 10

b. Minimum : 0

PILIHAN GANDA 1. Perhatikan bilangan-bilangan berikut!

,

,

,

Urutan bilangan-bilangan tersebut yang benar adalah __________.

a.

b.

c.

d.

2. Misalkan himpunan memiliki anggota dan himpunan memiliki anggota. Banyaknya fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) dari himpunan ke himpunan adalah __________.

a.

b.

c.

d.

3. Banyaknya sisi dan rusuk pada kerucut berturut-turut adalah __________.

a. dan

b. dan

c. dan

d. dan

4. Diberikan segitiga dan . Perhatikan empat pernyataan berikut!

1) , ,

2) , ,

3) , ,

4) , ,

Pernyataan yang merupakan syarat cukup agar kedua segitiga kongruen adalah pernyataan __________.

a. 1

b. 1 dan 2

c. 1, 2, dan 3

d. 1, 2, 3, dan 4

5. Jika , maka nilai dari

adalah __________.

a.

b.

c.

d.

6. Perbandingan luas permukaan tabung tanpa tutup dengan jari-jari alas dan tinggi

terhadap luas permukaan setengah bola tanpa tutup dengan jari-jari adalah

__________.

a.

b.

c.

d.

7. Bentuk sederhana dari

√

√

√ adalah __________.

a. √

√

b. √

√

c. √

√

d. √

√

8. Diketahui untuk setiap bilangan real , ⌊ ⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang

kurang dari atau sama dengan . Nilai dari ⌊√ √ √ ⌋ adalah

__________.

a. 44

b. 45

c. 54

d. 55

9. Jika (

) (

) (

) (

), maka pernyataan berikut yang

benar adalah __________.

a.

b.

c.

d.

10. Jika , maka nilai dari adalah __________.

a.

b.

c.

d.

11. Pada segiempat , diketahui dan . Bangun datar berikut yang

paling tepat untuk segiempat adalah __________.

a. trapesium sama kaki

b. jajargenjang

c. layang-layang

d. persegi panjang

12. Pada gambar di bawah ini, merupakan persegi dengan panjang sisi . Jika

segitiga dan merupakan segitiga sama sisi, maka luas lingkaran yang

berjari-jari adalah __________.

a.

b.

c.

d. ( √ )

13. Nomor polisi pada sebuah kendaraan bermotor selalu diawali dengan dua huruf

berbeda dan diikuti dengan tiga digit (digit pertama boleh dan ketiga digit tidak

harus berbeda). Banyaknya nomor polisi yang mengandung setidaknya satu digit

adalah __________.

a.

b.

c.

d.

14. Suatu bulan tertentu memiliki hari Minggu yang jatuh pada tanggal yang berangka

genap. Tanggal pada bulan tersebut jatuh pada hari __________.

a. Rabu

b. Kamis

c. Jumat

d. Sabtu

A B

C D

E

F

15. Sebanyak orang menghadiri suatu pertemuan. Pada pertemuan tersebut, setiap

dua orang saling berjabat tangan minimal kali. Jika pada pertemuan tersebut,

terjadi sebanyak jabat tangan, maka nilai terbesar yang mungkin adalah

__________.

a. 62

b.

c.

d.

16. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

adalah __________.

a. ( )

b. ( )

c. ( ) ( )

d. ( )

17. Himpunan * + berisikan semua bilangan asli yang bukan

merupakan kuadrat sempurna dan bukan merupakan kubik sempurna. Jika anggota

himpunan diurutkan mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, maka anggota

ke himpunan adalah __________.

a.

b.

c.

d.

18. Diberikan dua bilangan bulat yang berjumlah . Jika bilangan yang lebih besar

dibagi dengan bilangan yang lebih kecil, maka hasil baginya adalah dan sisanya .

Selisih kedua bilangan tersebut adalah __________.

a.

b.

c.

d.

19. Sekumpulan bilangan asli memiliki rata-rata . Semua bilangan asli tersebut

kemudian dikali dengan , kemudian hasilnya dikurangi dengan , dan kemudian

hasilnya dibagi dengan . Jika rata-rata kumpulan bilangan asli tersebut sekarang

menjadi , maka nilai adalah __________.

a.

b.

c.

d.

20. Misalkan dan merupakan segitiga sama sisi sedemikian hingga pusat

lingkaran luar segitiga merupakan pusat lingkaran dalam segitiga .

Perbandingan keliling segitiga terhadap keliling segitiga adalah __________.

a.

b.

c.

d.

21. Luas sisi-sisi yang berbeda pada sebuah balok adalah , , dan berturut-

turut. Volum balok tersebut adalah __________.

a.

b.

c.

d.

22. Bilangan palindrom adalah bilangan yang dibaca dari kiri dan kanan selalu sama

(misalnya , , dan ). Banyaknya bilangan asli ganjil yang terdiri dari

sembilan digit dan merupakan bilangan palindrom serta dua kali bilangan tersebut

juga merupakan bilangan palindrom adalah __________.

a.

b.

c.

d.

23. Misalkan merupakan bilangan asli terbesar sehingga terdapat bilangan asli yang

memenuhi . Nilai adalah __________.

a.

b.

c.

d.

24. Dua digit terakhir dari

adalah __________.

a.

b.

c.

d.

25. Banyaknya bilangan asli yang tidak lebih dari sehingga merupakan kuadrat

dari suatu bilangan asli adalah __________.

a.

b.

c.

d.

26. Tiga lingkaran kongruen saling bersinggungan seperti pada gambar di bawah ini.

Garis melalui ketiga titik pusat lingkaran tersebut dan garis merupakan garis

singgung lingkaran yang berpusat di . Titik dan merupakan perpotongan garis

dengan lingkaran yang berpusat di . Jika diketahui bahwa jari-jari lingkaran

adalah , maka panjang adalah __________.

a.

b.

c.

d.

D

F

E

C

B A

27. Bilangan bulat terbesar sehingga habis membagi adalah __________.

a.

b.

c.

d.

28. Tiga dadu berbeda, masing-masing

bersisi enam, dilemparkan bersamaan.

Peluang munculnya paling sedikit dua

angka kembar adalah __________.

a.

b.

c.

d.

29. Pada gambar di atas ini, tiga buah garis ditarik dari tiga titik sudut segitiga

menuju sisi di depannya sehingga membagi segitiga menjadi bagian. Jika

bilangan pada tiap daerah menyatakan besarnya luas daerah tersebut, maka luas

segitiga adalah __________.

a.

b.

c.

d.

A B

C

4

5

15

10

30. Jika merupakan bilangan real, maka nilai minimum dari adalah __________.

a.

b.

c.

d.

31. Misalkan merupakan jumlah semua bilangan asli empat digit yang semua digitnya

merupakan bilangan prima dan tidak terdapat digit yang berulang. Digit terakhir

dari adalah __________.

a.

b.

c.

d.

32. Misalkan kelima titik ( ); ( ); ( ); ( ); dan ( ) berada pada bidang

kartesius. Di antara bangun datar berikut, yang tidak dapat dibentuk dengan

menggunakan beberapa dari lima titik tersebut sebagai titik sudutnya adalah

__________.

a. trapesium

b. jajargenjang

c. segitiga tumpul

d. segitiga sama sisi

33. Misalkan o dan o . Nilai dari o √

adalah __________.

a. ( )

b. ( )

c. ( )

d. ( )

34. Misalkan segitiga siku-siku di dengan . Misalkan pula titik dan

pada sedemikian hingga merupakan garis tinggi dan merupakan garis

berat segitiga . Besar sudut adalah __________.

a.

b.

c.

d.

35. Misalkan dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat . Jika

maka nilai adalah __________.

a.

b.

c.

d.

36. Dalam sebuah ruangan terdapat empat kotak yang masing-masing berisikan sebuah

bola. Seseorang mengambil keempat bola tersebut dan kemudian memasukannya

kembali ke dalam empat kotak tersebut secara acak (satu kotak berisikan satu bola).

Peluang tidak adanya bola yang kembali ke kotak semula adalah __________.

a.

b.

c.

d.

37. Banyaknya bilangan bulat yang memenuhi ( ) adalah

__________.

a.

b.

c.

d.

38. Misalkan merupakan fungsi sehingga (

√ √ ) untuk setiap . Nilai dari

( ) adalah __________.

a. √

b.

c. √

d.

39. Banyaknya bilangan bulat positif yang tidak lebih dari dan tidak habis dibagi

oleh maupun adalah __________.

a.

b.

c.

d.

40. Banyaknya bilangan real yang memenuhi persamaan o ( ) ( o ) adalah

__________.

a.

b.

c.

d. lebih dari

41. Misalkan dan merupakan bilangan real positif yang memenuhi dan

. Nilai dari adalah __________.

a.

b. √

c. √

d.

42. Misalkan dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat .

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya

dan

adalah __________.

a.

b.

c.

d.

43. Pada gambar di samping ini, garis sejajar

garis , garis sejajar garis , dan garis

sejajar garis . Titik merupakan

perpotongan dari garis , , dan . Jika luas

segitiga , , dan berturut-turut

adalah , , dan , maka luas segitiga

adalah __________.

a.

b.

c.

d.

44. Di antara bilangan-bilangan berikut, yang tidak mungkin habis membagi jumlah

bilangan bulat berurutan adalah __________.

a.

b.

c. 5

d.

E

I

H G

F

D

C

B A

45. Sebuah segitiga panjang ketiga sisinya merupakan tiga bilangan prima berbeda dan

kelilingnya juga merupakan bilangan prima. Keliling minimum segitiga tersebut

adalah __________.

a.

b.

c.

d.

46. Misalkan dan merupakan bilangan asli dengan yang memenuhi

.

Nilai dari

adalah __________.

a.

b.

c.

d.

47. Misalkan dan merupakan bilangan bulat positif yang habis dibagi dengan

. Jumlah semua bilangan bulat positif yang berada di antara dan dan tidak habis

dibagi adalah __________.

a. ( )

b.

c.

d.

48. Misalkan titik berada di dalam lingkaran yang berpusat di . Peluang jarak titik

ke lingkaran lebih pendek daripada jarak titik ke titik adalah __________.

a.

b.

c.

d.

49. Diameter lingkaran yang berpusat di adalah . Misalkan titik berada pada tali

busur lingkaran tersebut, membagi tali busur tersebut menjadi dua bagian dengan

panjang dan berturut-turut. Panjang adalah __________.

a.

b.

c.

d.

50. Pada segitiga , diketahui , , dan √ . Misalkan titik pada

sedemikian hingga . Panjang adalah __________.

a. √

b.

c. √

d. √

O

P

51. Banyaknya bilangan asli empat digit yang mengandung tepat dua digit berbeda dan

merupakan kuadrat dari suatu bilangan asli adalah __________.

a.

b.

c.

d.

52. Dalam sebuah ruangan terdapat empat kotak berwarna biru yang masing-masing

berisikan sejumlah bola (banyaknya bola pada masing-masing kotak tidak harus

sama) dan tujuh kotak berwarna kuning yang semuanya kosong. Diketahui bahwa

kotak berwarna biru yang memuat bola paling sedikit berisikan bola dan kotak

berwarna biru yang memuat bola paling banyak berisikan bola. Seseorang

mengambil semua bola dari keempat kotak berwarna biru tersebut dan kemudian

memasukkan semua bola tersebut ke dalam ketujuh kotak berwarna kuning

tersebut. Jika banyaknya bola pada masing-masing kotak berwarna kuning sekarang

adalah sama, maka banyaknya bola pada masing-masing kotak berwarna kuning

tersebut adalah __________.

a.

b.

c.

d.

53. Misalkan terdapat enam buah manik-manik, masing-masing memiliki warna yang

berbeda-beda. Banyaknya kalung yang dapat dibuat dengan menggunakan keenam

manik-manik tersebut adalah __________.

a.

b.

c.

d.

54. Misalkan dan merupakan anggota himpunan bilangan bulat. Perhatikan lima

pernyataan berikut.

1)

2)

3)

4)

5)

Banyaknya pernyataan tersebut yang benar adalah __________.

a.

b.

c.

d.

55. Misalkan titik merupakan titik pusat persegi . Dibuat tiga buah seperempat

lingkaran di dalam persegi tersebut dengan pusat , , dan berturut-turut dengan

jari-jari sama dengan sisi persegi. Misalkan lingkaran yang berpusat di memotong

lingkaran yang berpusat di dan di titik dan berturut-turut. Jika titik

merupakan perpotongan garis dan , maka besar sudut adalah __________.

a.

b.

c.

d.

56. Misalkan terdapat delapan titik pada suatu bidang dengan tidak ada tiga titik yang

terletak pada satu garis. Banyaknya segitiga paling banyak yang dapat dibentuk

sehingga tidak terdapat dua segitiga yang memiliki lebih dari satu titik sudut yang

sama adalah __________.

a.

b.

c.

d.

57. Misalkan N0 merupakan himpunan bilangan bulat tak negatif. Di antara himpunan-

himpunan berikut, himpunan yang memiliki berhingga banyaknya anggota adalah

__________.

a. {

|

}

b. {

|

}

c. {

|

}

d. {

|

}

58. Sebuah dadu bersisi enam dilempar empat kali. Misalkan hasil kali keempat angka

yang muncul pada dadu tersebut adalah . Di antara bilangan-bilangan berikut,

yang tidak mungkin menjadi sebagai jumlah dari keempat angka yang muncul pada

dadu tersebut adalah __________.

a.

b.

c.

d.

59. Tiga buah kartu masing-masing bertuliskan sebuah bilangan asli. Johan, Joses, dan

James diberi tahu bahwa:

1) ketiga bilangan tersebut berbeda

2) jumlah ketiga bilangan tersebut adalah

3) angka pada kartu pertama merupakan angka terkecil

4) angka pada kartu kedua merupakan angka terbesar

Pertama Johan me ihat an ka pada kartu pertama dan men atakan “Saya tidak dapat menentukan dua an ka ainnya.” Kemudian Joses me ihat an ka pada kartu kedua dan men atakan “Saya tidak dapat menentukan dua an ka ainnya.” Kemudian James melihat an ka pada kartu keti a dan men atakan “Saya tidak dapat menentukan dua angka lainnya." Maka angka pada kartu ketiga tersebut adalah __________.

a.

b.

c.

d. tidak dapat ditentukan

60. Misalkan titik ( ) dan ( ) berada pada bidang kartesius. Banyaknya

persegi panjang yang dapat dibentuk dengan merupakan diagonal persegi

panjang tersebut dan dua titik sudut yang lain berkoordinat bilangan bulat adalah

__________.

a.

b.

c.

d.

URAIAN

1. Misalkan merupakan jajargenjang. Titik

dan berada di luar jajargenjang

sedemikian hingga segitiga dan

merupakan segitiga sama sisi. Tunjukkan

segitiga merupakan segitiga sama sisi.

2. Misalkan dan merupakan bilangan real

yang memenuhi persamaan

o ( ) o o

Tentukan nilai

3. Sebelas buku tulis berbeda akan dibagikan kepada Adrian, Billy, Christopher, dan

David dengan syarat bahwa Adrian menerima paling sedikit buku tulis, Billy

menerima paling sedikit buku tulis, Christopher menerima paling sedikit buku

tulis, dan David menerima paling sedikit buku tulis. Tentukan banyaknya cara

pembagian buku tulis.

4. Misalkan merupakan segiempat sedemikian hingga lingkaran dalam segitiga

bersinggungan dengan lingkaran dalam segitiga . Buktikan bahwa dapat

dibentuk lingkaran yang menyinggung keempat sisi segiempat .

5. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan * + yang terdiri

dari anggota dan jumlah ketiga anggotanya habis dibagi .

6. Misalkan dan merupakan bilangan real dengan dan yang

memenuhi

√( )( ) √( )( )

( )

Tentukan nilai dari .

7. Tiga buah lingkaran saling

bersinggungan seperti pada

gambar di samping. Kedua

garis menyinggung ketiga

lingkaran tersebut. Jari-jari

ketiga lingkaran adalah

dan berturut-turut dengan

. Tunjukkan bahwa

√ .

A BA

DC

ED

CA

FB

8. Bilangan dapat dinyatakan sebagai penjumlahan paling sedikit dua bilangan asli

berurutan dalam cara yaitu

dan . Tentukan

banyaknya cara menyatakan bilangan sebagai penjumlahan paling sedikit dua

bilangan asli berurutan.

9. Seseorang sedang menyusun kode angka yang terdiri dari digit dengan ketentuan

digit pertama minimal , digit kedua minimal , digit ketiga minimal , dan

seterusnya sampai digit ketujuh minimal . Tentukan banyaknya kode angka yang

dapat dibuat jika tidak ada pemakaian digit yang berulang.

10. Diberikan empat bilangan asli dan . Misalkan dan

memenuhi . Tentukan nilai minimum dari .