TUGAS KELOMPOK (V)

Soal berdasarkan buku Dinamika Struktur, Mario Pazz

1.5 Tentukan frekuensi natural balok terjepit pada gambar P1.5 yang memikul berat W di

tengah bentang. Abaikan massa balok.

EI

L/2 L/2

y

Gambar P1.5

Jawab:

• Lendutan maksimum di tengah bentang (umax) = !"!

!"#!"

• ! = !" →! = !"

! =!! =

!!!!/192!" =

192!"!!

• Frekuensi natural (ωn)

!! =!!=

!"#!"!!

 ! !

= !"#!"#!!!

= (!"  !  !)!"#!!!

= 8 !!"#!!!

Atau:

! =!!2! =

82!

3!"#!!! =

4!

3!"#!!!

W  

2.2 Diketahui struktur balok terjepit yang memikul berat W di tengah bentang. Abaikan

massa balok. Besaran numeric yang diberikan sebagai berikut: L = 120 inci, EI = 109

lb.inci2, dan W = 5000 lb. Jika perpindahan dan kecepatan awal dari berat W adalah uo

= 0,5 inci dan vo = 15 inci/detik, tentukan perpindahan, kecepatan dan percepatan dari

W pada saat t = 2 detik. Anggap bahwa sistem mempunyai 10% redaman kritis.

EI

L/2 L/2

y

Diketahui:

L = 120 inci

EI = 109 lb.inci2

W = 5000 lb.

uo = 0,5 inci

vo = 15 inci/detik

Sistem mempunyai 10% redaman kritis

Ditanya:

Perpindahan, kecepatan dan percepatan dari W pada saat t = 2 detik

Jawab:

• Kondisi 10% redaman kritis → ζ = 10% = 0,1 (kondisi subkritis)

Persamaan gerak → ! ! = !!!�!!!!"# !!!− !

Solusi penyeleaian persamaan differensial:

! = !. !   →  !! = !!! + !"′  

Kecepatan:

! ! = −�ω!U!!�!!! !"# !!! − ! +  !!!�!!! −ω!!"# !!! − !

! ! = −U!!�!!! �ω!!"# !!! − ! −  !!!�!!! ω!!"# !!! − !

! ! = −!!!�!!! �!!!"# !!!− ! +!!!"# !!!− !

Percepatan:

! ! = �ω!U!!�!!! �ω!!"# !!! − ! +ω!!"# !!! − !

−!!!�!!! −ω!�ω!!"# !!! − ! +ω!!!"# !!! − !

! ! = U!!�!!! �!ω!!!"# !!! − ! + �ω!ω!!"# !!! − !

+!!!�!!! ω!�ω!!"# !!! − ! −ω!!!"# !!! − !

W  

! ! = !!!�!!! !�!!!!!"# !!!− ! + (�!!!! −!!

!)!"# !!!− !

• Frekuensi natural !! dan frekuensi teredam !!  

!! =!! =

192!"#!!! =

192  !  10!  !  3865000  !  120! = 92,62  rad/detik  

!! = !! 1− �! = 92,62 1− 0,1! = 92,15  rad/detik  

• Kondisi awal ( t = 0 detik )

!! = !! = 0,5  inci

!! = !! = 15  inci/detik  

Persamaan gerak:

 ! ! = !!!�!!!!"# !!! − !

! = !!! +!! + �!!!!

!!

!

! = 0,5! +15+ 0,5  !  92,62  !  0,1

92,15

!

 = 0,543  in

 

          !!!�!!!!!!

!  

α

uo

!"#� =

!! + �!!!!!!!!

=!! + �!!!!

!!!!=15+ 0,1  !  92,62  !  0,5

92,15  !  0,5 = 0,426

� = !"#  !"# 0,426 = 23,079

• Kondisi akhir ( t = 2 detik )

!!�!!! = !(!!,!  !  !",!"  !  !)   = 9,018  !  10!!

!"# !!! − ! = !"# 92,15  !  2− 23,079 = −0,9468

!"# !!! − ! = !"# 92,15  !  2− 23,079  = 0,3219

Sehingga:

a. Perpindahan:

! ! = !!!�!!!!"# !!! − ! = −4,64  !  10!!  inci

b. Kecepatan:

! ! = −U!!�!!! �ω!!"# !!! − ! +ω!!"# !!! − !

! ! = −1,023  !  10!!  inci/detik

c. Percepatan:

! ! = U!!�!!! 2�ω!ω!!"# !!! − ! + (�!ω!! −ω!

!)!"# !!! − !

! ! = 3,9  !  10!!  inci/detik!

2.3 Amplitudo dari getaran sistem yang terlihat pada gambar P2.3 berkurang 5% setiap

siklus gerak. Tentukan koefisien redaman c dari sistem yang mempunyai nilai k = 200

lb/in dan m = 10 lb.det2/m

Diket:

Amplitudo berkurang 5% → up = 1, uQ = 1 – 0,05 = 0,95

k = 200 lb/in

m = 10 lb.det2/m

Ditanya:

Koefisien redaman (c) = …?

Jawab:

• Jika dipakai beban m = 10 lb.det2/in, maka prosedur perhitungan adalah sebagai

berikut:

Koefisien redaman c diperoleh dengan menggunakan rumus dasar rasio redaman:

inlb.det44,89

/in lb.det10 .lb/in2002

22

=

=

=

=→=

kmc

cccc

cr

crcr

ζζ

Pengurangan logaritmis (δ)

πζδζ

ζ

πζ

ζω

πζωζωδ

22,01

2

1

2.ln22

=→<

−=

−==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Jika

Tuu

n

ndnQ

P

Dari persamaan tersebut dapat diketahu besarnya rasio redaman, yaitu sbb:

0081,02051,0

22 ===→=

ππδ

ζπζδ

m  

Sehingga besarnya koefisien redaman (c) dapat dihitung dengan menggunakan

persamaan:

724,044,890081,0 ==

=→=

xc

cccc

crcr

ζζ

• Jika dipakai beban m = 10 lb.det2/m = 0,254 lb.det2/in, sehingga prosedur

perhitungan adalah sebagai berikut:

Koefisien redaman c diperoleh dengan menggunakan rumus dasar rasio redaman:

inlb.det255,14

/in lb.det0,254 .lb/in2002

22

=

=

=

=→=

kmc

cccc

cr

crcr

ζζ

Pengurangan logaritmis (δ)

πζδζ

ζ

πζ

ζω

πζωζωδ

22,01

2

1

2.ln22

=→<

−=

−==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Jika

Tuu

n

ndnQ

P

Dari persamaan tersebut dapat diketahu besarnya rasio redaman, yaitu sbb:

0081,02051,0

22 ===→=

ππδ

ζπζδ

• Sehingga besarnya koefisien redaman (c) dapat dihitung dengan menggunakan

persamaan:

inlb.det115,0255,140081,0 ==

=→=

xc

cccc

crcr

ζζ