1. Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan Nasional

2. Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit CV. Usaha MakmurMATEMATIKAKONSEP DAN APLIKASINYAUntuk SMP/MTs Kelas VIIPenulis : Dewi NuhariniTri WahyuniEditor: IndratnoPerancang Kulit : Risa ArdiyantoIlustrasi, Tata Letak : Risa ArdiyantoUkuran Buku : 17,6 x 25 cm410NUHNUHARINI, Dewi mMatematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VI SMP/MTs I/Dewi Nuharini, Tri Wahyuni; editor Indratno. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008.viii, 299 hlm.: ilus.; 25 cm.Bibliogra : hlm. 299Indeks.ISBN 978-462-998-7 1. Matematika-Studi dan PengajaranI. Judul II. Wahyuni, Tri III. IndratnoDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ... 3. KATA SAMBUTANPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karuniaNya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbituntuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website)Jaringan Pendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikandan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syaratkelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui PeraturanMenteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada parapenulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswadan guru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan,dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untukpenggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhiketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku tekspelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruhIndonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapatmemanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada parasiswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya.Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juli 2008 Kepala Pusat PerbukuaniiiKata Sambutan 4. KATA PENGANTARBuku Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 ini mem- bantumu b elajar matemat ika dan aplikasi nya dalam kehidupan sehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yang mudah kamu pahami. Di dalam buku ini kamu akan menjumpai soal-soal yang dapat melatih keterampilanmu. Dengan harapan, kamu akan lebih tertarik dan suka belajar matematika. Setiap awal bab di buku ini disajikan kover bab. Bagian ini berisi ilustrasi dan deskripsi singkat yang menarik berkaitan dengan materi bab yang bersangkutan. Selain itu, di awal bab juga disajikan tujuan pembelajaran y ang h arus k amu c apai d alam setiap b ab. Kata-kata kunci merupakan inti dari materi. Bacalah terlebih dahulu kata-kata kuncinya sebelum kamu mempelajari isi materi.Di d alam b uku i ni d isajikan Tugas Mandiri yang akan meningkatkan pemahaman kamu terhadap konsep yang telah kamu pelajari. Diskusi akan mendorongmu untuk lebih bersemangat dalam bekerja sama. Soal Tantangan akan memotivasi kamu dalam memahami konsep. Pelangi Matematika akan menambah pengetahuan dan wawasan kamu mengenai tokoh yang berjasa besar pada konsep yang sedang dipelajari.Tips akan membantumu memahami konsep yang sedang kamu pelajari. Di bagian akhir setiap bab dilengkapi dengan soal-soal untuk mengevaluasi kompetensi yang telah kamu capai setelah mempelajari satu bab. Akhirnya, semoga buku ini bermanfaat dan jangan segan untuk b ertanya j ika k amu m enemui k esulitan. S elamat b elajar, semoga sukses. Surakarta, ................. 2008Penulisiv Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 5. SAJIAN ISI BUKU Uji kompetensi berisikan soal-soal latihan ber- variasi yang disajikan setiap subbab. Uji kompetensi dapat digunakan untuk menguji pemahaman siswa berkaitan dengan isi materi. Bagian ini berisi tugas yang bersifat individu. Tugas m andiri m emuat t ugas o bservasi, i nves- tigasi, eksplorasi, atau inkuiri yang dapat memacu siswa untuk berpikir kritis, kreatif, maupun inovatif. Tips berisi info atau keterangan yang dapat mem- bantu siswa memahami materi yang sedang dipelajari. Pelangi matematika berisi tokoh-tokoh yang ber- jasa besar pada konsep yang sedang dipelajari. Bagian ini berisi tugas yang harus dikerjakan secara berpasangan atau berkelompok. Diskusi memuat tugas observasi, investigasi, eksplorasi, atau inkuiri yang dapat memacu siswa untuk berpikir kritis, kreatif, dan inovatif. Soal tantangan berisikan suatu soal yang menantang siswa untuk menguji kecerdasannya. Bagian ini dapat memotivasi siswa dalam memahami konsep materi secara total. Rangkuman berisi ringkasan materi dalam satu bab. Bagian ini disajikan di akhir setiap bab agar siswa dapat mengingat kembali hal-hal penting yang telah dipelajari. Bagian ini berisi soal-soal pilihan ganda dan soal- soal esai sebagai bahan evaluasi untuk mengukur tingkat pemahaman siswa setelah mempelajari materi satu bab. Refleksi berisi umpan balik yang harus dilakukan oleh siswa setelah mempelajari materi satu bab. vSajian Isi Buku 6. DAFTAR ISIKATA SAMBUTAN ...........................................................................................................iiiKATA PENGANTAR ....................................................................................................... ivSAJIAN ISI BUKU ......................................................................................................... vDAFTAR ISI ................................................................................................................... viPENDAHULUAN ............................................................................................................... 1BAB 1 BILANGAN BULATA. Bilangan Bulat ............................................................................................ 4B. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat ...........................................................7C. Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat ...........................20D. Kelipatan dan Faktor ..................................................................................22E. Perpangkatan Bilangan Bulat......................................................................27F. Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat .........................................33G. Penggunaan Operasi Hitung Bilangan Bulat untuk Menyelesaikan Masalah .....................................................................................................34Evaluasi 1 ........................................................................................................ 37BAB 2 PECAHANA. Bilangan Pecahan ....................................................................................... 40B. Perbandingan dan Bentuk-Bentuk Pecahan ............................................... 48C. Operasi Hitung Pecahan ............................................................................56D. Pembulatan dan Bentuk Baku Pecahan ......................................................69E. Menyelesaikan Masalah Sehari-Hari yang Berkaitan dengan Pecahan .......72Evaluasi 2......................................................................................................... 76BAB 3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABARA. Bentuk Aljabar dan unsur-unsurnya .......................................................... 80B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar .......................................................... 83C. Pecahan Bentuk Aljabar ............................................................................. 92D. Penggunaan Aljabar untuk Menyelesaikan Masalah ................................... 98Evaluasi 3......................................................................................................... 101BAB 4 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABELA. Kalimat Terbuka ........................................................................................ 104B. Persamaan Linear Satu Variabel ................................................................. 106C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel .........................................................114D. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Persamaan Linear Satu Variabel .................................... 122E. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ............................. 124F. Logika Matematika (Pengayaan) ...............................................................126Evaluasi 4......................................................................................................... 133BAB 5 PERBANDINGAN DAN ARITMETIKA SOSIALA. Aritmetika Sosial dalam Kegiatan Ekonomi ............................................... 136B. Rabat (Diskon), Bruto, Tara, dan Neto ..................................................... 142 vi Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 7. C. Bunga Tabungan dan Pajak ....................................................................... 145 D. Perbandingan ............................................................................................. 147 E. Gambar Berskala .......................................................................................149 F. Bentuk-Bentuk Perbandingan ....................................................................152 G. Memecahkan Masalah Sehari-hari yang Melibatkan KonsepPerbandingan ............................................................................................. 157 Evaluasi 5......................................................................................................... 161BAB 6HIMPUNAN A. Himpunan ..................................................................................................164 B. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta ............................................... 169 C. Himpunan Bagian .......................................................................................171 D. Hubungan Antarhimpunan ......................................................................... 175 E. Operasi Himpunan ..................................................................................... 177 F. Diagram Venn ............................................................................................186 G. Menyelesaikan Masalah dengan Menggunakan Konsep Himpunan ........... 193 Evaluasi 6......................................................................................................... 196BAB 7GARIS DAN SUDUT A. Garis .......................................................................................................... 200 B. Perbandingan Segmen Garis......................................................................205 C. Sudut .........................................................................................................208 D. Menggambar dan Memberi Nama Sudut ...................................................211 E. Jenis-Jenis Sudut .......................................................................................214 F. Hubungan Antarsudut ................................................................................ 216 G. Hubungan Antarsudut jika Dua Garis Sejajar Dipotong oleh Garis Lain .... 220 H. Melukis Sudut ............................................................................................ 224 I. Membagi Sudut .........................................................................................226 Evaluasi 7......................................................................................................... 231BAB 8SEGITIGA DAN SEGI EMPAT A. Segitiga ......................................................................................................234 B. Jumlah Sudut-Sudut Segitiga .................................................................... 241 C. Hubungan Panjang Sisi dengan Besar Sudut pada Segitiga ....................... 243 D. Keliling dan Luas Segitiga ..........................................................................246 E. Segi Empat ................................................................................................250 F. Melukis Segitiga ........................................................................................276 G. Melukis Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi .................................279 H. Melukis Garis-Garis Istimewa pada Segitiga ............................................. 280 I. Menyelesaikan Masalah yang Be rkaitan dengan Segi Empat .....................284 Evaluasi 8......................................................................................................... 288DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................... 290GLOSARIUM ...................................................................................................................291KUNCI JAWABAN SOAL TERPILIH ............................................................................ 292DAFTAR SIMBOL ...........................................................................................................296INDEKS ............................................................................................................................. 297 viiDaftar Isi 8. PENDAHULUANMatematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologimodern. Matematika mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu sehinggamemajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran matematika diberikan kepada siswamulai dari sekolah dasar untuk membekali siswa dengan kemampuan bekerja sama. Pembelajaran matematika di buku ini dimulai dengan pengenalan masalah yangsesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual,siswa secara bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Sekolahdiharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer alat ,peraga, atau media lainnya untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran.Buku Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 ini diperuntukkan bagi siswakelas VII SMP/MT Materi pembelajaran buku ini mengacu pada Standar Kompetensis.dan Kompetensi Dasar Matematika SMP/MT s tahun 2006. Kajian materi buku inimeliputi tiga aspek, yaitu aspek bilangan, aljabar, dan aspek geometri. Untukmemudahkan pembahasan, buku ini terbagi ke dalam delapan bab sebagai berikut.Bab 1Bilangan Bulat Bab ini memuat materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bilangan bulat beserta sifat-sifatnya; cara menaksir hasil perkalian d an p embagian b ilangan b ulat; k uadrat d an p angkat t iga s erta akar kuadrat dan akar pangkat tiga bilangan bulat. Dengan memahami sifat- sifat operasi hitung tersebut dapat bermanfaat untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan bilangan bulat.Bab 2Pecahan Bab ini berisi materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada pecahan beserta sifat-sifatnya; cara mengubah bentuk pecahan ke bentuk pecahan yang lain; dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung pada pecahan u ntuk m emecahkan m asalah d alam k ehidupan se hari-hari y ang berkaitan dengan pecahan.Bab 3Operasi Hitung Bentuk Aljabar Bab ini memuat materi mengenai bentuk aljabar dan unsur-unsurnya; operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bentuk aljabar; serta menerapkan operasi hitung bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal.Bab 4Persamaan dan Per tidaksamaan Linear Satu Variabel Bab ini berisi uraian materi mengenai persamaan dan pertidaksamaan li- near satu variabel dalam berbagai bentuk dan variabel; menentukan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel; serta membuat model matematika dan menyelesaikannya dari suatu masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. 1Pendahuluan 9. Bab 5 Perbandingan dan Aritmetika SosialBab i ni m emuat m ateri m engenai p enggunaan k onsep a ljabar d alampemecahan masalah aritmetika sosial, misalnya nilai keseluruhan, nilai perunit, laba, rugi, rabat, dan bunga tunggal; pengertian skala sebagai suatuperbandingan; faktor per besaran dan pengecila n pada gambar berska la;serta perbandingan seharga (senilai) dan perbandingan berbalik harga(berbalik nilai).Bab 6 HimpunanBab ini berisi materi mengenai pengertian, notasi, dan penyajian himpunan;konsep himpunan bagian; operasi irisan, gabungan, kurang ( difference),dan komplemen pada himpunan; penyajian himpunan dengan diagram Vnn,eserta menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dankonsep himpunan.Bab 7 Garis dan SudutBab ini memuat materi mengenai hubungan antara dua garis, serta besardan jenis sudut; sifat-sifat sudut yang terbentuk jika dua garis berpotonganatau dua garis sejajar berpotongan dengan garis lain; serta cara melukis danmembagi sudut.Bab 8 Segitiga dan Segi EmpatBab ini berisi uraian materi mengenai sifat-sifat segitiga berdasarkan sisidan sudutnya; sifat-sifat persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat,layang-layang, dan trapesium; menghitung keliling dan luas bangun segitigadan segi empat dan menggunakannya dalam memecahkan masalah dalamkehidupan sehari-hari; serta cara melukis segitiga, garis tinggi, garis bagi,garis berat, dan garis sumbu.2Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 10. 1BILANGAN BULATPernahkah kalian memerhatikan ter- mometer? Termometer adalah alat yang diguna- kan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0 oC digunakan tanda negatif. Pada tekanan 1 atmosfer, suhu air mendidih 100 oC dan membeku pada suhu 0oC. Jika air berubah menjadi es, suhunya kurang dari 0 oC. Misalkan, es bersuhu 7 oC, artinya suhu es tersebut 7oC di bawah nol. Sumber: Kamus Visual, 2004Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat memberikan contoh bilangan bulat;dapat menyatakan sebuah besaran sehari-hari yang menggunakan bilangan negatif;dapat menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan;dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat bilanganbulat termasuk operasi campuran;dapat menentukan sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan negatif dengannegatif dan positif dengan negatif;dapat menaksir hasil perkalian dan pembagian bilangan bulat;dapat menghitung kuadrat dan pangkat tiga serta akar kuadrat dan akar pangkattiga bilangan bulat;dapat menemukan dan menggunakan sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian,pembagian, dan perpangkatan bilangan bulat untuk menyelesaikan masalah.Kata-Kata Kunci:bilangan bulat positifperkalian bilangan bulatbilangan bulat negatifpembagian bilangan bulatpenjumlahan bilangan bulatperpangkatan dan akar bilangan bulatpengurangan bilangan bulat 11. Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, sebaiknya kalian memahami kembali mengenai bilangan cacah, garis bilangan, kuadrat, akar pangkat dua, serta KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebih. Pemahaman materi tersebut akan sangat bermanfaat dalam mempelajari materi bilangan bulat. Konsepyang akan kalian pelajari pada bab ini merupakan dasar untuk mempelajari bab selanjutnya di buku ini. A.BILANGAN BULAT 1. Pengertian Bilangan Bulat Coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, .... Jika bilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan,(Berpikir kritis)apa yang kalian peroleh?Apa yang kamu keta-hui mengenai bilang- Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garisan cacah? Ceritakanlurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdirisecara singkat didi satu titik dan ia namakan titik 0.depan kelas. 0 12 34 Gambar 1.1 Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jika ia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya, jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Lalu ia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakah ia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundur lagi 1 langkah ke belakang? Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0) dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depan dinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan 4. Adapun posisi 2 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan 2. Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat . Tanda + p ada b ilangan b ulat biasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan dinotasikan dengan B = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}.4 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 12. Bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif {..., 3, 2, 1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, ...}.2. Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Sehari- hari Perhatikan G ambar 1 .2. K apal s elam d igunakan u ntukkepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan.Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlumengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air laut(Menumbuhkandinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakankreativitas)dengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan laut Perhatikan lingkungansekitarmu. Amatidinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m dikejadian/peristiwabawah permukaan laut ditulis 10 m. yang merupakanpenerapan bilanganbulat dalamkehidupan sehari-hari.Catat dandeskripsikan hal itu.Hasilnya, ceritakan didepan kelas. Sumber: Ensiklopedi Matematika dan PeradabanManusia, 2003Gambar 1.2(Berpikir kritis)Diketahui suatu gedung berlantai 12. Dari gedung tersebut 3 diantaranya berada di bawah permukaan tanah. Tito berada di lantaiterbawah, kemudian naik 7 lantai dengan lift. Di lantai berapakahia berada di atas permukaan tanah? 5Bilangan Bulat 13. 3. Letak Bilangan Bulat pada Garis Bilangan Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakansebagai berikut. bilangan bulat negatifnol bilangan bulat positif 54 32 1 012 3 4 5 Gambar 1.3 Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebutbilangan bulat positif, sedangkan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ...disebut bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkanbilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.4. Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat321012 3Gambar 1.4 Perhatikan garis bilangan di atas. Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan,makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makinkecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, qbilangan bulat berlakua. jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;b. jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q. Pada suatu garis bilangan, bilangan 3 terletak di sebelah kiribilangan 2 sehingga ditulis 3 < 2 atau 2 > 3. Adapun bilangan3 terletak di sebelah kanan 5 sehingga ditulis 3 > 5 atau5 < 3. Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh5 < 3 < 2 atau 2 > 3 > 5.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Jika permukaan air laut dinyatakana. 175 meter di atas permukaan air laut. dengan 0 meter , tulislah letak suatu b. 60 meter di bawah permukaan air tempat yang ditentukan sebagai berikut.laut. 6Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 14. c. 270 meter di bawah permukaan air 5. Isilah titik-titik di bawah ini dengan tanda laut.> atau 2, pada S = {..., 3, 2, 1, 0, 1,3. Diketahui sebuah tangga lantai memiliki2, 3, 4, 5, 6}; 10 a nak t angga. N yoman d an S antic. 5 < x4, pada S = {5, 4, 3, berada di anak tangga ke-2, kemudian 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. mereka n aik 7 t angga k e a tas. K arenaKemudian g ambarlah m asing-masing ada buku yang terjatuh, Nyoman dan Santinilai-nilai tersebut pada garis bilangan. turun 5 tangga ke bawah. Di anak tang- ga berapakah mereka sekarang? 7. Diketahui suhu di dalam suatu ruanganlaboratorium 17 oC. Karena akan digu-4. Tentukan benar atau salah pernyataannakan untuk sebuah penelitian, maka berikut.suhu di ruangan tersebut diturunkan 25Co a. 4 < 8 e. 2 > 102lebih rendah dari suhu semula. Berapa- b. 5 > 7f. 150 < 150 kah suhu di ruangan itu sekarang? c. 2 > 4 g. 6 < 5 d. 3 < 4 h. 75 > 57 B.OPERASI HITUNG P ADA BILANGAN BULAT (Menumbuhkan inovasi)1. Penjumlahan pada Bilangan Bulat Selain dengan garisa. Penjumlahan dengan alat bantu bilangan,Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat penjumlahan padadigunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang bilangan bulat dapat digunakan alat bantudijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai yang lain. Cobadengan bilangan tersebut.eksplorasilah hal iniApabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. dengan teman sebangkumu.Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arahCeritakan hasilnyakiri.secara singkat di depan kelas. 7 Bilangan Bulat 15. Hitunglah hasil penjumlah-Penyelesaian:an berikut dengan meng- (b)gunakan garis bilangan. (a)1. 6 + (8)3 2 1 012 34 56 7 (c)Gambar 1.5Untuk menghitung 6 + (8), langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuanke kanan sampai pada angka 6.(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8satuan ke kiri.(c) Hasilnya, 6 + (8) = 2.2. (3) + (4)Penyelesaian: (b) (a) 8 7 6543 2 1 0 1 2(c)Gambar 1.6Untuk menghitung (3) + (4), langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kirisampai pada angka 3.(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 3 sejauh 4 sa-tuan ke kiri.(c) Hasilnya, (3) + (4) = 7.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Dengan menggunakan garis bilangan,c.6 + (9) g. (5) + 10hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulatd.(4) + (7)h. (3) + 2berikut ini.e.8 + (2) i. (6) + (4)a. 3 + 7b. 8 + 5 f.6 + 10j. (8) + (3) 8Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 16. b. Penjumlahan tanpa alat bantuPenjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukandengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilanganyang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu,kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.1) Kedua bilangan bertanda sama Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilanganpositif at au k eduanya b ilangan n egatif), j umlahkan k eduabilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tandakedua bilangan.Contoh:a) 125 + 234 = 359b) 58 + (72) = (58 + 72) = 1302) Kedua bilangan berlawanan tandaJika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kura bilangan yang bernilai lebih besarngi dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar. Contoh: a) 75 + (90) = (90 75) = 15 b) (63) + 125 = 125 63 = 62Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tanpa menggunakan alat bantu, hitung-i. (34) + 46 + (28) lah h asil p enjumlahan b ilangan b ulat j. 68 + (29) + (45) berikut ini. 2. Tentukan nilai p yang memenuhi, se- a. 23 + 19 hingga kalimat matematika berikut ini b. (42) + 27menjadi benar. c. 38 + (53)a. 8 + p = 15 d. (46) + (35) b. p + (4) = 1 e. (56) + 47c. (12) + p = 3 f. 32 + (18)d. p + 6 = 4 g. (15) + 62e. 9 + (p) = 5 h. (27) + (14) + 759 Bilangan Bulat 17. 2. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat a. Sifat tertutupPada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkanbilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = cdengan c juga bilangan bulat.a. 16 + 25 = 9 b. 24 + (8) = 16 16 dan 25 merupakan bilangan bulat.24 dan 8 merupakan bilangan bulat. 9 juga merupakan bilangan bulat.16 juga merupakan bilangan bulat. b. Sifat k omutatifSifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahandua b ilangan b ulat s elalu d iperoleh h asil y ang s amawalaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkantempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlakua + b = b + a.a. 6 + 5 = 5 + 6 = 11c. 8 + (12) = (12) + 8 = 4b. (7) + 4 = 4 + (7) = 3d. (9) + (11) = (11) + (9) = 20 c. Mempunyai unsur identitasBilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas padapenjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulatapabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri.Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlakua + 0 = 0 + a = a. d. Sifat a sosiatifSifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat inidapat dituliskan sebagai berikut.Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku(a + b) + c = a + (b + c). 10Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 18. a. (4 + (5)) + 6 = 1 + 6b. (3 + (9)) + 10 = 12 + 10=5= 2 4 + ((5) + 6) = 4 + 13 + ((9) + 10) = 3 + 1=5= 2 Jadi, (4 + (5)) + 6 = 4 + ((5) + 6).Jadi, (3 + (9)) + 10 = 3 + ((9) + 10). e. Mempunyai invers (Menumbuhkan krea-Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut.tivitas)Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabilaDiskusikan denganhasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya temanmu. Coba kalian ingat(lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)). kembali sifat operasi Lawan dari a adalah a, sedangkan lawan dari a penjumlahan bilangan cacah. Bandingkan adalah a. dengan sifat penjum- Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nollahan pada bilangan pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlakubulat. Apakah setiap bilangan cacah a me- a + ( a) = ( a) + a = 0.miliki invers (lawan)? Mengapa?Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Dengan m enggunakan s ifat-sifat y ange. 9 + x = 0 berlaku pada penjumlahan bilangan bulat,f. x + (5) + (9) = 0 hitunglah hasil penjumlahan berikut.3. Suatu permainan diketahui nilai terting- a. 23 + (19) + 37ginya 100 dan nilai terendahnya 100. b. 32 + (27) + (43) Seorang anak bermain sebanyak 6 kali c. (51) + 75 + 51dan memperoleh nilai berturut-turut 75, d. 38 + (45) + (22)80, 40, 65, x, dan 50. Jika jumlah nilai e. (49) + 56 + (31) anak t ersebut s eluruhnya 6 0, te ntukan f. 25 + (17) + (28) nilai x yang memenuhi.2. Tentukan nilai x yang memenuhi untukx bilangan bulat. a. 4 + x = 3 b. x + (5) = 6 (Berpikir kritis) c. 2 + x = 6Coba cek jawabanmu pada Uji Kompe- tensi 4 dengan menggunakan d. x + (8) = 0 kalkulator. Apakah hasilnya sama?11 Bilangan Bulat 19. 3. Pengurangan pada Bilangan Bulat Seperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang. Perhatikan uraian berikut. a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan denganlawan bilangan pengurang Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut. 1) 4 3 3 4 2 101 23 4 51Gambar 1.7 2) 4 + (3) 3 4 2 101 23 4 51Gambar 1.8 3) 5 (2) 25 543 210 1 2 3Gambar 1.9 4) 5 + 2 25 543 210 1 2 3Gambar 1.10 Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut. 4 3 = 4 + (3) = 1 5 (2) = 5 + 2 = 312 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 20. Pada pengurangan bilangan bulat,mengurangi dengan suatubilangan sama artinya dengan menambah dengan lawanpengurangnya.(Berpikir kritis)Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.Diskusikan dengan Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlakutemanmu.Buktikan bahwa sifata b = a + (b). komutatif dan asosiatiftidak berlaku padaoperasi penguranganbilangan bulat.a. 7 9 = 7 + (9) = 2c. 15 (5) = 15 + 5 = 20b. 8 6 = 8 + (6) = 14 d. 12 (6) = 12 + 6 = 6(Berpikir kritis)Coba ingat kembali, Pada contoh di atas da pat kalian lihat bahwa hasil dari bahwa bilangan 0pengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat. merupakan unsurDengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengu-identitas padapenjumlahan bilanganrangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup. bulat. Menurutmu,apakah padab. Pengurangan dengan alat bantupengurangan bilanganBerdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung bulat terdapat unsurhasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilanganidentitas?Eksplorasilah hal iniberikut ini.dengan temansebangkumu.Ceritakan hasilnyasecara singkat didepan kelas.1. 4 7Penyelesaian:Untuk menghitung 4 7, langkah-langkahnya sebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuanke kanan sampai pada angka 4.(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7satuan ke kiri sampai pada angka 3.(c) Hasilnya, 4 7 = 3.(b)(a)4 3 2 1 0 12 345 (c)Gambar 1.11 13Bilangan Bulat 21. 2. 3 (5)Penyelesaian:Langkah-langkah u ntuk m enghitung 3 ( 5) s ebagaiberikut.(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuanke kiri sampai pada angka 3.(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 3 sejauh5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.(c) Hasilnya, 3 (5) = 2. (b)(a) 54 3 2 1 0 1 2 3 4 (c)Gambar 1.12Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Hitunglah hasilnya.d. 8 n = 1 a. 9 3 e. 15 9 13 e. n (6) = 0 b. 5 8 f. 32 21 143. Diketahui suhu di Pu ncak Jaya Wijaya c. 13 9 g. 18 11 (24) 4oC, sedangkan suhu di Kota Mekah d. 16 (6) h. (7 27) 18 48 oC. Hitunglah selisih suhu kedua2. Jika n a dalah b ilangan b ulat, t entukan tempat tersebut. nilai n agar menjadi kalimat yang benar 4. Jarak Kota A dan Kota B 40 km. Jika . a. 7 n = 2 Kota C terletak di antara Kota A dan B, b. n 4 = 3sedangkan jaraknya 25 km dari Kota B,berapakah jarak Kota C dari Kota A? c. n (9) = 54. Perkalian pada Bilangan Bulat Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasipenjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikancontoh berikut. 4 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 5 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 5 dan 5 4 berbedaartinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut. Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif makan a = a a a ... a sebanyak n suku 14Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 22. a. Menghitung hasil perkalian bilangan bulatPerhatikan uraian berikut.2 4=4+4=82 3=3+3=62 2=2+2=42 1=1+1=22 0=0+0=02 4 = (2 4) = (4 + 4) = 82 3 = (2 3) = (3 + 3) = 62 2 = (2 2) = (2 + 2) = 42 1 = (2 1) = (1 + 1) = 22 0 = (2 0) = (0 + 0) = 02 (2) = (2) + (2) = 42 (1) = (1) + (1) = 2(2) (3) = (2(3)) = ((3) + (3)) = 6(2) (2) = (2(2)) = ((2) + (2)) = 4(Berpikir kritis) Buatlah kelompok(2) (1) = (2(1)) = ((1) + (1)) = 2terdiri atas 2 anak, 1 Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akan laki-laki dan 1 perem-memperoleh sifat-sifat berikut.puan. Buktikan sifat- sifat operasi perkalian Jika p dan q adalah bilangan bulat maka pada bilangan bulat seperti di samping. 1) p q = pq;Berikan contoh-contoh 2) (p) q = (p q) = pq;yang mendukung. Diskusikan hal ini 3) p (q) = ( p q) = pq; dengan temanmu. 4) (p) (q) = p q = pq.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tulislah arti perkalian berikut, kemudian 2. Hitunglah hasil perkalian berikut. selesaikan.a. 7 (18) a. 8 4 b. (12) (15) b. 2 (3)c. (16) 9 c. 3 pd. 25 0 d. 4 (p)e. (24) (11) e. 4 8f. 35 (7) f. 5 (2p) 15 Bilangan Bulat 23. b. Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat 1) Sifat tertutupUntuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut. 3 8 = ....3 (8) = .... (3) 8 = .... (3) (8) = ....Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakan bilangan bulat?Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlakup q = r dengan r juga bilangan bulat. 2) Sifat komutatifUntuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut. 2 (5) = .... (3) (4) = .... (5) 2 = .... (4) (3) = ....Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akan memperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlakup q = q p.Dalam suatu permain-an jika menang diberi 3) Sifat asosiatifnilai 3, jika kalah diberiUntuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangannilai 2, dan jika seribulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.diberi nilai 1. Sebuahregu telah bermain 3 (2 4) = ....(2 6) 4 = ....sebanyak 47 kali,(3 (2)) 4 = ....2 (6 4) = ....dengan 21 kalimenang dan 3 kali Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganseri. Tentukan nilai bilangan bulat di atas?yang diperoleh reguJika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akantersebut. memperoleh sifat berikut.Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku(p q) r = p (q r).16Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 24. 4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadappenjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.2 (4 + (3)) = .... (3) (8 + 5) = ....(2 4) + (2 (3)) = .... ((3) (8)) + (35) = .... Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut. Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p (q + r) = (p q) + (p r).5) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadappengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.5 (8 (3)) = .... 6 (7 4) = ....(5 8) (5 (3)) = .... (6 (7)) (6 4) = .... Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut. Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p (q r) = ( p q) ( p r).6) Memiliki elemen identitas Untuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulisdan tentukan hasil perkalian berikut.3 1 = .... (4) 1 = ....1 3 = .... 1 (4) = .... Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasanganbilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar , kalian akanmemperoleh sifat berikut. Untuk setiap bilangan bulatp, selalu berlaku p 1 = 1 p = p. Elemen identitas pada perkalian adalah 1.17 Bilangan Bulat 25. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan nilai pengganti huruf-huruf 3. Dengan menggunakan sifat distributif, berikut sehingga menjadi kalimat yang tentukan nilai dari benar.a. 8 (24)) + (8 (16)) a. 6 p = (3) 6 b. ((17 (25)) + ((25) (19)) b. 2 (q) 9 = 9 3 2 c. ((7) (16)) ((2) (16)) c. 3 a (2) = 3 (5 (2)) d. (29 (9)) (9 (9)) d. 7 (a b) = (7 (8)) + (7 (2))4. Salin dan lengkapilah tabel berikut.2. a. Tentukan hasil perkalian berikut. a b c a (b + c) a b a c (a b) + (a c) (i) (5 4) (3) dan 2 1 3 5 (4 (3)) 2 1 3 (ii) (6 (2)) 7 dan 2 1 3 6 ((2) 7)2 1 3 (iii) (8 (6)) (5) dan Buatlah kesimpulan, sifat apakah yang kamu peroleh dari tabel tersebut? 8 ((6) (5)) (iv) ((7) (9)) (4) dan5. Salin dan lengkapilah tabel berikut. (7) ((9) (4))a b c a (b c) a b a c (a b) (a c)3 2 4 b. Berdasarkan soal (a), sifat apakah 3 2 4 yang berlaku pada perkalian t erse- 3 2 4 but? Apa yang dapat kalian simpul-3 2 4 kan?Buatlah kesimpulan, sifat apakah yang kamu peroleh dari tabel tersebut?5. Pembagian Bilangan Bulat a. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian Perhatikan uraian berikut. (i) 3 4 = 4 + 4 + 4 = 12 Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis 3 4 = 1212 : 3 = 4. (ii) 4 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis4 3 = 12 12 : 4 = 3. Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut. 18Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 26. Jika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, danq 0 maka berlaku p : q = r p = q r.b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulatCoba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Darisifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut. Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q 0 dan memenuhi p : q = r berlaku(Berpikir kritis) (i) jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;Diskusikan dengantemanmu. (ii) jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.Tunjukkan bahwa pa-da pembagian bilang-c. Pembagian dengan bilangan nolan bulat a : 0 = tidakdidefinisikan (tidak Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan ada), sebab tidak adabilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat dengan satupun bilanganbilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlaku pengganti yang me-menuhi. Eksplorasilaha 0=0 0:a=0 hal tersebut untukJadi, dapat dituliskan sebagai berikut. sebarang bilanganbulat a. Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a0.Petunjuk Hal ini tidak berlaku jikaa = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi. Gunakan pemisalana : 0 = x.d. Sifat pembagian pada bilangan bulatApakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?Perhatikan bahwa 15 : 3 = 58:2 =42:2 =1Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3?Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilanganbulat?Jawabannya adalah tidak ada. Karena tidakada bilangan bulatyang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwapembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup.Sekarang perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilanganbulat yang memenuhi 2 : 8? Karena tidak ada bilangan bulat yangmemenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif.Untuk mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulatberlaku sifat asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi12 : (6 : 2) = 4.Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa pada pembagianbilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif .19Bilangan Bulat 27. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan hasil pembagian bilangan bulat d. m 13 = 104 berikut ini.e. 16 m = 112 a. 90 : 5 f. 108 : (18) f. 8 m = 136 b. 56 : (8)g. 72 : 4g. m 12 = 156 c. 84 : 7h. 52 : 0 h. m (6) = 144 d. 51 : (3)i. 0 : (49) 4. Jika a = 3, b = 2, dan c = 4, tentukan e. 64 : (8) j. 128 : (8) nilai dari2. Tentukan hasil pembagian berikut (jika b c a b ada bilangan bulat yang memenuhi).a. ;d. ; ab c a. 72 : 6 d. 30 : (6)a b c b b. 52 : 3 e. 82 : 9) b. ;e. ; ca b c. 70 : 4f. 96 : (18)3. Tentukan pengganti m, sehingga pernya- acb c a c.; f. . taan berikut menjadi benar.b a a. m (4) = 88 Apakah hasilnya ada yang bukan meru- b. 9 m = 54pakan bilangan bulat? Mengapa? c. m (7) = 91 C. MENAKSIR HASIL PERKALIAN DANPEMBAGIAN BILANGAN BULA T Sumber: Dok. P enerbitGambar 1.13Pernahkah kamu berbe lanja ke superm arket? Jika per nah,apakah jumlah harga belanja kamu selalu bulat?Misalkan, kamu berbelanja barang-barang sehargaRp18.280,00. Jika kamu memberikan uang Rp20.000,00 kepadakasir, berapa uang kembalian yang kamu terima? 20Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 28. Hasil pembulatan atau taksiran diperoleh dengan cara berikut.1. Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat.a. Jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidak(Menumbuhkan krea-dihitung atau dihilangkan. tivitas)b. Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angka Amatilah kejadian ditersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan. sekitarmu. Tuliskan masalah yang terkait2. Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekatdengan pembulatana. Jika angka puluhannya kurang dari 5, angka puluhan danatau taksiran bilangansatuan dihilangkan.bulat. Kemudian selesaikanlah.b. Jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 5,Hasilnya, kemukakanangka puluhan tersebut dibulatkan ke at s menjadi ratusan.asecara singkat di depan kelas. Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatanke angka ribuan terdekat, puluh ribuan terdekat, dan seterusnya.1. Tentukan taksiran pa-Penyelesaian: da hasil perhitungan a. 37 19 40 20 = 800 berikut ke angka pu-b. 118 : 24 120 : 20 = 6 luhan terdekat. a. 37 19 c. 2.463 : 31 2.460 : 30 = 82 b. 118 : 24 c. 2.463 : 312. Tentukan taksiran pa-Penyelesaian: da hasil perhitungan a. 225 133 200 100 = 20.000 berikut ke angka ratus-b. 392 1.174 400 1.200 = 480.000 an terdekat. a. 225 133 c. 2.548 : 481 2.500 : 500 = 5 b. 392 1.174 c. 2.548 : 481Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Taksirlah hasil perkalian dan pembagian 2. Taksirlah hasil perkalian dan pembagian berikut ke angka puluhan terdekat. berikut ke angka ratusan terdekat. a. 36 : 9c. 266 : 33 a. 121 358 c. 2.834 : 733 b. 27 154d. 54 88b. 1.469 112 d. 6.273 : 89121 Bilangan Bulat 29. 3. Taksirlah hasil perkalian dan pembagian b. 1.746 3.324 berikut ke angka ribuan terdekat. c. 4.830 : 1.416 a. 2.383 1.564d. 7.700 : 3.925 Di bagian depan kalian telah mempelajari perkalian pada bilangan bulat. Hal ini sangat bermanfaat dalam menentukan (Menumbuhkan ino- kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Kelipatan dan faktor suatu vasi) bilangan digunakan untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Cek hasil perhitungan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan T erbesar (FPB) dari suatu soal-soal di Uji Kom- bilangan. Adapun Kelipatan Persekutuan T erkecil (KPK) dan petensi 9 di atas Faktor P ersekutuan Terbesar ( FPB) d ari s uatu b ilangan a kan dengan menggunakanbermanfaat dalam mempelajari materi pada bab selanjutnya. Untuk kalkulator. Kamu juga dapat menggunakan itu, perhatikan dan pelajari dengan baik uraian materi berikut. komputer jika tersedia di sekolahmu. D.KELIPATAN DAN F AKTOR Bandingkan hasilnya. Apakah terdapat selisih di antara kedua jawaban tersebut? 1. Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif Mengapa? DiskusikanDi tingkat sekolah dasar, kalian telah mengetahui mengenai hal ini dengan kelipatan suatu bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang dan temanmu. memperdalam materi tersebut.Jika k anggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A. Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut. 1 3=3 2 3=6 3 3=9 4 3 = 12 ... Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, ...a. Tentukan s emua b ila-Penyelesaian: ngan kelipatan 2 yang a. Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagai kurang dari 30;berikut.b. Tentukan semua bila- 1 2=2 6 2 = 1211 2 = 22 ngan kelipatan 5 yang2 2=4 7 2 = 1412 2 = 24 kurang dari 30;3 2=6 8 2 = 1613 2 = 264 2=8 9 2 = 1814 2 = 285 2 = 1010 2 = 20Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28. 22 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 30. c. Tentukan semua bi- b. Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 adalah langan asli yang kurang 5, 10, 15, 20, 25. dari 30 dan merupakanc. Semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5.kelipatan 2 dan 5 adalah 10, 20. Bilangan 10 dan 20 tersebut selanjutnya disebut keli- patan persekutuan dari 2 dan 5 yang kurang dari 30.2. Kelipatan Persekutuan T erkecil (KPK) dari Dua Bilangan atau LebihBilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, ... Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut KelipatanPersekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4. Kelipatan Persekutuan T erkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh dan q.pTentukan KPK dari 2, 3, Penyelesaian:dan 4.Bilangan asli kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,18, 20, 22, 24, ....Bilangan asli kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 5, 18, 21, 24,1....Bilangan asli kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....Kelipatan persekutuan dari 2, 3, dan 4 adalah 12, 24, ....Jadi, KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. a. Tentukan semua kelipatan 4 dan 6 c. Tentukan kelipatan persekutuan ter-yang kurang dari 50. kecil dari 4 dan 6. b. Tentukan semua kelipatan perseku- 2. Tentukan semua kelipatan persekutuantuan dari 4 dan 6 yang kurang dari dari 3 dan 5 yang kurang dari 40. Ke-50.mudian, tentukan KPK-nya.23 Bilangan Bulat 31. 3. Tentukan KPK dari pasangan bilangan4. Tentukan KPK dari bilangan-bilangan berikut.berikut. a. 5 dan 7c. 12 dan 15a. 2, 4, dan 5c. 12, 32, dan 36 b. 6 dan 8d. 24 dan 32b. 3, 5, dan 6d. 18, 36, dan 423. Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)Perhatikan perkalian bilangan berikut.1 8=82 4=8Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8.Sekarang perhatikan perkalian berikut.1 2=21 3=31 5=51 7=7 Bilangan-bilangan 2, 3, 5, dan 7 masing-masing hanyamempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilanganseperti ini disebut bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai duafaktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri.Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yangapabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengank.a. Tentukan semua faktorPenyelesaian: dari 25. 1 25 = 255 5 = 25Semua faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.b. Tentukan semua faktorPenyelesaian: dari 30. 1 30 = 30; 2 15 = 30; 3 10 = 30; 5 6 = 30Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dantidak ada bilangan lain yang habis membagi 30 maka semuafaktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30. 24Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 32. c. Tentukan semua faktorPenyelesaian: prima dari 45. Ingat kembali cara menentukan faktor primasuatu bilangan dengan pohon faktor .45 3 15 35Jadi, semua faktor prima dari 45 adalah 3 dan 5.Dari contoh a dan b di atas diperoleh bahwa faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25;(Menumbuhkan krea- faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.tivitas) Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30.Amatilah kejadian diSelanjutnya, 1 dan 5 disebut faktor persekutuan dari 25 dan 30. lingkungan sekitarmu.Karena 5 merupakan faktor terbesar , maka 5 disebut faktorTuliskan masalahpersekutuan terbesar (FPB) dari 25 dan 30.yang terkait denganKPK dan FPB.Dapatkah kamu menentukan FPB dari 25, 30, dan 45? Kemudian, selesai-Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. kanlah. Diskusikan halini dengan teman Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah sebangkumu. bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan kedua Hasilnya, tulislahdalam bentuk laporan bilangan tersebut. dan serahkan kepadagurumu.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan semua faktor dari bilangan3. Tentukan faktor persekutuan dari bilang- berikut.an-bilangan berikut. Kemudian, tentukan a. 27d. 120 FPB-nya. b. 36e. 240 a. 16 dan 24 c. 64f. 320 b. 30 dan 452. Tentukan semua faktor prima dari bilang-c. 48 dan 54 an berikut. Kemudian, tulislah perkaliand. 9, 18, dan 36 faktor-faktor primanya. e. 24, 32, dan 64 a. 24 d. 56 f. 36, 52, dan 60 b. 32 e. 115g. 82, 120, dan 150 c. 48 f. 250h. 36, 108, dan 16025 Bilangan Bulat 33. 4. Menentukan K PK d an F PB d ari D ua B ilangan a tau Lebih dengan MemfaktorkanDi depan kalian telah mengetahui cara menentukan KPKdan FPB dari dua bilangan atau lebih dengan mencari kelipatandan faktor dari masing-masing bilangan. Selain dengan cara tersebut,kita dapat menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebihdengan terlebih dahulu menentukan faktorisasi prima masing-masing bilangan itu.Perkalian semua faktor-faktor prima dar suatu bilangan disebutifaktorisasi prima .Tentukan KPK dan FPBPenyelesaian:dari 36 dan 40 dengan cara36 = 2 2 32memfaktorkan.40 = 23 5Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 36 dan40 diperoleh dengan mengalikan semua faktor. Jika adafaktor dengan bilangan pokok yang sama, seperti 2 2 dan23, pilih pangkat yang tertinggi yaitu 2. Jadi, KPK dari 36 3dan 40 = 233 2 5 = 360.Adapun Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 36dan 40 diperoleh dengan mengalikan faktor denganbilanganpokok yang sama, dengan pangkat terendah. Jadi, FPBdari 36 dan 40 = 22 = 4.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) diperoleh dengan cara mengalikan semua faktor . Jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi. Faktor Persekutuan T erbesar (FPB) diperoleh dengan cara mengalikan faktor yang sama dengan pangkat terendah.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan faktorisasi prima dari2. Tentukan KPK dan FPB dari bilangan- bilangan-bilangan berikut.bilangan berikut dengan cara memfak- a. 68 c. 145torkan. b. 75 d. 225a. 4, 12, dan 20 c. 45, 78, dan 100 b. 24, 36, dan 72 d. 64, 115, dan 230 26Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 34. E.PERPANGKATAN BILANGAN BULA T1. Pengertian Perpangkatan BilanganCoba kalian ingat kembali materi di sekolah dasar tentangpengertian kuadrat suatu bilangan. Kuadrat atau pangkat dua suatubilangan adalah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itusendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinyaperkalianberulang dengan bilangan yang sama .Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut.21 = 222 = 2 2(2 2 dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2) =42 =2 2 23(23 dibaca 2 pangkat 3) =8....2n = 2 2 2 ... 2(2n dibaca 2 pangkat n)n kaliSecara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulatp dan bilangan bulat positifn,berlakupnp p p ... pPada perpangkatansebanyak n faktor bilangan bulat pn, per-dengan p disebut bilangan pokok dann disebut pangkat (eksponen).hatikan bilangan po-koknya. Cermati perbe-Untuk p 0 maka p0 = 1 dan p1 = p.daan perpangkatan Pada p embahasan k ali i ni, k ita h anya a kan m embahasbilangan bulat berikut.perpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif.n p p p p ... p Catatan n n faktor p(p p p ... p) Nanti di kelas IX, kalian akan mempelajari lebih jauh tentang n faktor perpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif, negatif, dan ( p) n ( p) ( p) ( p) ... ( p) nol.n faktorTentukan hasil perpangkat-Penyelesaian:an bilangan-bilangan beri-a. 92 = 9 9 b. (6)3 = (6) (6)(6)kut ini.= 81 = 36 (6)a. 92c. 5 4 = 216b. (6)3 d. (10)427Bilangan Bulat 35. c. 5 4 = (5 5 5 5) = 625 d. (10)4 = (10) (10) (10)(10) = 10.000 2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkata. Sifat perkalian bilangan berpangkatPerhatikan perkalian bilangan bulat berpangkat berikut.32 33(3 3) (3 3 3) 2 faktor 3 faktor (3 3 3 3 3) 5 faktor 53Jika m, n bilangan bulat positif danp bilangan bulat maka pm pn ( p p ... p) ( p p ... p)m faktor n faktor p p ... p p p ... p) ( m n ) faktor pm n . pmpn = pm + nb. Sifat pembagian bilangan berpangkatPerhatikan pembagian bilangan bulat berpangkat berikut. 55 : 53 (5 5 5 5 5) : (5 5 5) 5 faktor3 faktor 5 5 52Jika m, n bilangan bulat positif danp bilangan bulat maka pm : pn ( p p ... p ) : ( p p ... p )m faktorn faktor ( p p ... p )( m n ) faktor m n p. p : p = pm n m n28 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 36. c. Sifat perpangkatan bilangan berpangkatPerhatikan perpangkatan bilangan bulat berpangkat berikut.(22 )3 (22 ) (22 ) (22 ) (2 2) (2 2) (2 2) 2 faktor2 faktor2 faktor (2 2 2 2 2 2)6 faktor6 2Jika m, n bilangan bulat positif danp bilangan bulat positif maka( p m )npmp m ... p mn faktor( p p ... p ) ( p p ... p ) ( p p ... p )m faktor m faktorm faktor n faktor( p p ... p p p ... p p p ... p ) (mn ) faktorm np . (pm)n = pmnd. Sifat perpangkatan suatu perkalian atau pembagianPerhatikan uraian berikut.(5 2)3 = 103 = 10 10 10 = 1.000(5 2)3 = 53 23 = 125 8 = 1.000(2 3)2 = 6 2 = 36 (Berpikir kritis)(2 3)2 = 2 2 32 = 4 9 = 36Diskusikan dengantemanmu.Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tuliskan sebagai berikut.Tunjukkan berlakunyaJika m bilangan bulat positif dan p, q bilangan bulat makasifat (p : q)m = pm : qmdengan p, q bilangan( p q )m( p q ) ( p q ) ... ( p q ) bulat dan m bilanganbulat positif.m faktor( p p ... p ) (q q ... q ) m faktor m faktorpm qm .( p q )mpm qm29Bilangan Bulat 37. Sederhanakan bentuk Penyelesaian:pangkat berikut.a. 44 42 : 4 3 = (44 42) : 4 3a. 4 4 42 : 4 3= 44 + 2 : 4 3b. 84 42 : 2 9 = 46 : 43 = 46 3 = 43b. 84 42 : 2 9 = (84 42) : 2 9 = ((2 3)4 (22)2) : 2 9 = (2 12 24) : 29 = 212 + 4 : 2 9 = 216 : 2 9 = 2 16 9 = 2 7Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan hasilnya.3. Dengan menggunakan sifat perpang- a. 92 f. 2 3 2 4katan suatu perkalian atau pembagianbilangan bulat, sederhanakan bentuk b. 11 3 g. (5) 2 (5)3pangkat berikut. c. 6 3 h. ((3)2)3a. (3 4) 5 d. (4 2)3 : 34 d. (13)2 i. (2 2) 2b. (6 : 2)4e. (4 : 2)2 42 e. (4) 3 j. (3 (5)) 2c. ((2)2 3 3)22. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.4. Tentukan bentuk berikut ke dalam bilang- a. 45 4 3f. y5 y8 : yan berpangkat dengan bilangan pokok 2. b. 69 : 6 4 g. ((3)5)4 a. 4 32 64 c. 5 (5) 4 5 8 h. ((2)5 (23))2b. (128 23 22) : (256 22 2) d. 89 : 83 : 82i. (46 : 4 3)4c. 256 : 23 : (2)2 e. x7 : x3 x6j. (z 3) 5 (z 2) 4d. 16 64 : 32 30Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 38. 3. Kuadrat dan Akar Kuadrat serta Pangkat T dan Akar iga Pangkat Tiga a. Kuadrat dan akar kuadrat bilangan bulatKalian telah mengetahui bahwa a2 = a a di mana a 2 d ibaca a kuadrat atau a pangkat dua . (Berpikir kritis)Jika a = 2 maka a2 = 22 = 4. Hal ini dapat ditulis Diskusikan dengan 2 temanmu. a4 2. Misalkan a2 = b. Buktikan bahwa4 dibaca akar pangkat dua dari 4 atau akar kuadrat dari 4 .a= b atau a =b. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. a2 = b sama artinya denganb a.Tentukan nilai berikut ini.Penyelesaian:1.16 1. 16 4, karena 4 24 4 1622.1692. 169 13, karena 13 = 13 13 = 1693. ( 25) 2 3. ( 25)2 = ( 25) ( 25) = 6254.1.2254. Untuk mengetahui nilai 1.225 , tentukan letak bilang-an 1.225 terlebih dahulu. Bilangan 1.225 terletak diantara 302 = 900 dan 402 = 1.600. Jadi, 1.225 terletakdi antara nilai 30 dan 40. Bilangan bulat antara 30 dan40 yang kuadratnya bersatuan 5 adalah 35. Jadi,1.225 = 35, karena 352 = 35 35 = 1.225.b. Pangkat tiga dan akar pangkat tigaTentukan nilai dari akar Di bagian depan telah dijelaskan bahwa operasi perpangkatan berikut.merupakan perkalian berulang dengan unsur yang sama. Hal ini 1. 75 45juga berlaku pada bilangan berpangkat tiga. 33 2. 5 9 3 81a3 = aaa 2 3 3.729Bentuka3disebut pangkat tiga dari a . Jika a = 2 maka5 436a 3 a ba3 23= = 2 2 2 = 8. Hal ini dapat ditulis pula bahwa 8 = 24. 2 2b a bdan dibaca akar pangkat tiga dari 8 = 2.3 3 3x xy35. a = b sama artinya dengan 3b =ay x22 y4 31Bilangan Bulat 39. Tentukan nilai berikut ini.Penyelesaian:1. 364 1.364 = 4, karena 43 = 4 4 4 = 64 332. 216 2.216 = 6, karena (6) 3 = (6)(6) (6)3. (9)3 = 216 3 3. (9) = (9)3(9)(9) = 7294.3.3753 4. Untuk mengetahui nilai dari 3.375 , tentukan letakbilangan 3.375 terlebih dahulu. Bilangan 3.375 terletakdi antara bilangan 103 = 1.000 dan 20 = 8.000. Bilang- 3an bulat antara 10 dan 20 yang nilai pangkat tiganyabersatuan 5 adalah 15. Karena 153 = 15 15 15 =33.375 maka3.375 = 15.(Berpikir kritis)Berdasarkan contoh di atas, simpulkan mengenai pangkat tigasuatu bilangan bulat negatif. Bandingkan dengan kesimpulanberikut.Hasil pangkat tiga bilangan bulat negatif adalah bilangan bulatnegatif pula. Apakah kamu berkesimpulan sama? Diskusikandengan temanmu.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Tentukan nilai akar berikut. 2. Tentukan nilai akar kuadrat berikut. 3 a.36 g. 64( 8 7) 2 (11 3) 2a. 3 b.64 h. 125 3b. (5 ( 4)) 2( 10 2) 2 c.81 i. 512 d.529j. 3 1.000c. (10 12) 2( 9 ( 4)) 2 3 e.1.156k. 1.728d. ( 3 4) 2 ( 19 5) 2 3 f.7.921l. 3.375 32Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 40. 3. Hitunglah nilai berikut ini.c. 3 3 x 3 y 6 x2 y 43 36 0a.xy z x 3b.3( x 2 y )3 : ( xy 2 ) 2 d. x3 y 3 : x 2 y 22y F. OPERASI HITUNG CAMPURAN P ADABILANGAN BULATDalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat, terda-pat dua hal yang perlu kalian perhatikan, yaitu1. tanda operasi hitung;2. tanda kurung.Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulatterdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurungharus dikerjakan terlebih dahulu.Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidakterdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifatoperasi hitung berikut.1. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan () sama k uat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.2. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.3. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (), artinya operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan ().Tentukan hasil dari operasi hitung berikutPenyelesaian:ini.a. 24 + 56 42 384 : 12a. 24 + 56 42 384 : 12= 24 + (56 42) (384 : 12)b. 28 (364 + 2.875) : (9.756 9.742) = 24 + 2.352 32c. 80 : ((11 7) (4)) = 2.376 32d. (8 + 5) (36 : (6 9))= 2.344b. 28 (364 + 2.875) : (9.756 9.742)= 28 3.239 : 14= 90.692 : 14 = 6.478 33Bilangan Bulat 41. c. 80 : ((11 7) (4)) = 80 : (4 (4)) = 80 : (16) = 5d. (8 + 5) (36 : (6 9)) = 3 (36 : (3)) = 3 (12) = 36Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Tentukan nilai dari operasi hitung berikut. 6. 168 : ((17 24) (19 + 15)) 1. 45 + 56 48 216 : 97. 24 (240 : ((36 + 40) (23 + 17)) 2. 15.762 : 37 512 + 96 72 8. 360 : (15 + ((27 32) (9 + 16))) 3. 19 27 + 5.205 : 15 2699. 420 : (7) + 70 30 (8) + 15 4. (9) 6 (72) : 16 20 10. 13 (140 : (7)) + (2) 19 5. (8.742 9.756) 36 : (4.356 4.360)G.PENGGUNAAN OPERASI HITUNGBILANGAN B ULAT UNTUKMENYELESAIKAN MASALAH1. Pada percobaan fisika, Penyelesaian: seorang siswa mela-Suhu es mula-mula adalah 5 oC. Setelah dipanaskan, es kukan pengukuran berubah menjadi air yang bersuhu 3 oC. Artinya, suhu es suhu pada sebongkahmengalami kenaikan, yaitu selisih suhu terakhir dengan suhu es. Suhu es tersebut mula-mula. Misalkan kenaikan suhu es tersebut =t, maka mula-mula 5 oC. Se- kondisi ini dapat dituliskan sebagai t = 3 (5) = 8. Jadi, telah dipanaskan, es suhu es naik 8oC hingga berubah menjadi air . berubah menjadi air yang b ersuhu 3 o C. Berapa kenaikan suhu es tersebut hingga menjadi air? 34Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 42. 2. Dalam suatu tes, pe-Penyelesaian: nilaian didasarkan bah- Dari 30 soal, 25 soal dijawab dengan 19 di antaranya benar. wa jawaban benarArtinya, siswa tersebut menjawab 25 soal, 19 soal dijawab diberikan nilai 2, ja-benar dan 6 soal dijawab salah. Dengan d emikian, ada 5 waban salah diberikan soal yang tidak dijawab siswa. nilai 1, dan untuk soalJadi, nilai yang diperoleh siswa tersebut adalah yang tidak dijawab= (jawaban benar 2) + (jawaban salah (1)) + (tidak diberikan nilai 0. Daridijawab 0) 30 soal, seorang siswa= (19 2) + (6 (1)) + (5 0) menjawab 25 soal dan= 38 + (6) + 0 19 diantaranya dija-= 38 6 wab dengan benar .= 32 Berapakah nilai yang diperoleh siswa terse- but?a.riKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Sebuah kantor berlantai 20 mempunyaiDari 100 soal, seorang peserta menjawab 3 lantai berada di bawah tanah. Seorang 95 soal dan 78 di antaranya dijawab de- karyawan mula-mula berada di lantai 2 ngan benar. Tentukan nilai yang diper- kantor itu. Karena ada suatu keperluan, oleh peserta tersebut. ia turun 4 lantai, kemudian naik 6 lantai. 3. Jumlah tiga bilangan bulat berurutan dike- Di lantai berapakah karyawan itu seka-tahui 12. T entukan bilangan-bilangan rang berada?itu.2. Dalam suatu ujian, penilaian ditentukan4. Dalam suatu permainan ditentukan nilai dengan ketentuan sebagai berikut. tertinggi adalah 100, dan dalam permain- Jawaban benar diberikan nilai 3.an tersebut dimungkinkan seorang pe- Jawaban salah diberikan nilai 1. main memperoleh nilai negatif. Untuk 6 kali bermain seorang pemain memper- Untuk soal yang tidak dijawab diberi- oleh nilai berturut-turut 75, 80, 40, 50,kan nilai 0. 90, dan 35. Hitunglah jumlah nilai pemain tersebut.(Menumbuhkan kreativitas)Amatilah masalah/kejadian di lingkungan sekitarmu. Tuliskanmasalah yang berkaitan dengan penggunaan operasi hitungbilangan bulat, kemudian selesaikanlah. Hasilnya, tuliskandalam bentuk laporan dan kumpulkan kepada gurumu.35 Bilangan Bulat 43. 1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, danbilangan bulat positif. 2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat.a. Sifat tertutupUntuk setiap bilangan bulat a dan b, berlakua + b = c dengan c juga bilangan bulat.b. Sifat komutatifUntuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlakua + b = b + a.c. Sifat asosiatifUntuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku(a + b) + c = a + (b + c).d. Mempunyai unsur identitasUntuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlakua + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitaspada penjumlahan.e. Mempunyai inversUntuk setiap bilangan bulata, selalu berlakua + (a) = (a) + a = 0. Invers daria adalah a, sedangkaninvers dari a adalah a. 3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a b = a + (b). 4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup. 5. Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif makan a a a ... asebanyak n suku 6. Jika p dan q bilangan bulat makaa. p q = pq;b. (p) q = (p q) = pq;c. p (q) = ( p q) = pq;d. (p) (q) = p q = pq. 7. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifata. tertutup terhadap operasi perkalian;b. komutatif: p q = q p;c. asosiatif: (p q) r = p (q r);d. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p (q + r) = (p q) + (p r);e. distributif perkalian terhadap pengurangan: p (q r) = ( p q) ( p r).36 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 44. 8. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiapbilangan bulat p berlaku p 1 = 1 p = p. 9. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.10. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.11. a2 = b sama artinya dengan b a. 312. a3 = b sama artinya dengan b a.13. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulattidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan ()sama kuat,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakanterlebih dahulu.b. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat ,artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakanterlebih dahulu.c. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuatdaripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (),artinya operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakanterlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) danpengurangan ().Setelah mempelajari mengenai Bilangan Bulat, coba rangkummateri yang telah kamu pahami. Jika ada materi yang belum kamupahami, catat dan tanyakan pada temanmu yang lebih tahu ataukepada gurumu. Catat pula manfaat yang kamu peroleh dari materiini. Berikan contoh penggunaan bilangan bulat dalam kehidupansehari-hari beserta penyelesaiannya. Hasilnya kemukakan secarasingkat di depan kelas.Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. 1. Suhu sebongkah es mula-mula 5 oC. 2. Jika x lebih besar dari 1 dan kurangDua jam kemudian suhunyaturun 7oC. dari 4 maka penulisan yang tepatSuhu es itu sekarang adalah .... adalah ....a. 12oC c. 2oCa. x > 1 > 4c. 1 > x > 4b. 2 oC d. 12oCb. x < 1 < 4d. 1 < x < 437 Bilangan Bulat 45. 3. Pernyataan berikut yang benar adalah a. 22 3 72 .... b. 2 32 72 a. 17 (13) 4 = 0c. 2 32 73 b. 25 (8) 17 = 34 d. 24 3 72 c. 18 + (2) + 13 = 7 d. 12 + (7) 6 = 17. Nilai dari326 33 7 0 adalah ....4. Jika p = 1, q = 4, dan r = 2, nilaia. 6 c. 15b. 12d. 20 pq dari adalah ....8. KPK dan FPB dari 72 dan 120 bertu- rrut-turut adalah .... a. 1c. 1a. 40 dan 24c. 360 dan 40 b. 2d. 2b. 360 dan 24 d. 240 dan 3605. Nilai dari (6 : 3)2 23 adalah .... 9. Nilai dari 35 + 14 8 34 : 17 adalah a. 22 c. 32.... b. 23 d. 33a. 145 c. 2466. Bentuk sederhana darib. 245 d. 345 (3 4)3 (2 5 7)2 : (256)210. Nilai dari 3(15 + (52)) = ... adalah ....a. 97 c. 111b. 111 d. 201B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.1. Suhu suatu kamar diketa 15oC. Ke-hui e. 10 5 3 mudian turun toC, sehingga suhunya f. 35 (9) sekarang menjadi 13oC. Hitunglah nilai g. 18 41 (24) t. h. 36 45 (16)2. Gunakan garis bilangan untuk menghi-4. Tentukan nilai operasi hitung berikut. tung nilai daria. 5 [(3) + (12)] a. 4 + (6)b. [(20) + 11 5] (2) b. 2 + (3)c. (35) : 7 (3) c. 9 + (5) + (4) d. 6 3d. 12 (2) : 4 + (5) e. (4) + 2 + (1)5. Hitunglah nilainya.3. Nyatakan operasi pengurangan berikut a. 53 52 : 54 ke dalam operasi penjumlahan, kemu-b. (22 32)2 : 23 dian tentukan nilainya.c. 3 16 2 36 a. 2 13 b. 9 32x 3 c. 4 (7)d.x3 y 6 : ( xy )2y d. 6 (2)38Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 46. 2 PECAHAN Sebuah gelas jika terkena getarandapat pecah berkeping-keping. Bagianpecahannya lebih kecil daripada ketikagelas masih utuh. Menurut kalian, sama-kah jumlah seluruh pecahan gelas de-ngan satu gelas utuh?Sumber: Jendela Iptek, 2001Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan pecahan: biasa,campuran, desimal, persen, dan permil;dapat mengubah bentuk pecahan ke bentuk pecahan yang lain;dapat menyelesaikan operasi hitung tambah, kurang, kali, dan bagi bilanganpecahan;dapat menggunakan sifat-sifat operasi hitung tambah, kurang, kali atau bagidengan melibatkan pecahan serta mengaitkannya dalam kejadian sehari-hari.Kata-Kata Kunci:jenis pecahan pengurangan pecahanbentuk pecahanperkalian pecahanpenjumlahan pecahan pembagian pecahan 47. Di tingkat sekolah dasar kalian telah mempelajari mengenai bilangan pecahan. Pada bagian ini, kita akan mengulangi dan memperdalam kembali materi tersebut. Pada bab sebelumnya kalian(Berpikir kritis) juga telah mempelajari mengenai bilangan bulat, sifat-sifat operasi1. Letakkan pecahan hitung pada bilangan bulat serta KPK dan FPB dari dua bilangan1 13 , , dan padaatau lebih. Pelajari kembali materi tersebut agar kalian dapat2 44 memahami materi pada bab ini dengan baik. Pahamilah konsep garis bilangan. materi ini dengan baik, karena akan sangat bermanfaat untuk2. Tentukan dua pe- cahan yang senilaimempelajari konsep aljabar dalam bentuk pecahan. Hal ini akan 1 kalian temui pada bab selanjutnya. dengan.43. Nyatakan bilangan A.BILANGAN PECAHAN 32 dan 56 dengan faktorisasi prima, kemudian tentukan 1. Pengertian Bilangan Pecahan KPK dan FPB-nya. Ibu mempunyai 20 buah jeruk yang akan dibagikan pada 3 orang anak. Adi memperoleh 4 buah jeruk, Fitri memperoleh 5 buah jeruk, dan Ketut memperoleh 10 buah jeruk. Adapun sisanya 4 disimpan oleh Ibu. Dalam hal ini, Adi memperoleh bagian jeruk, 20 510 Fitri memperoleh bagian jeruk, dan Ketut memperoleh Gambar 2.1 2020 1 bagian jeruk. Apakah menurutmu sisa yang disimpan oleh Ibu20 bagian jeruk?4 5 101 (a)Bilangan-bilangan , ,, dan yang merupakan 20 20 20 20 banyak buah jeruk dibandingkan jumlah keseluruhan buah jeruk disebut bilangan pecahan. Bilangan-bilangan pecahan sering disebut sebagai pecahan saja. Pada pecahan-pecahan tersebut, angka- angka 4, 5, 10, dan 1 disebut pembilang, sedangkan angka 20 (b) disebut penyebut.Dari uraian di atas, dapat dikatakan bahwa pecahan meru- pakan bagian dari keseluruhan . Sekarang perhatikan Gambar 2.2 di samping. (c)Luas daerah arsiran pada Gambar 2.2 (a) menunjukkan 1 pecahan . Luas daerah arsiran pada Gambar 2.2 (b) m enunjukkan 3 3 pecahan . Adapun luas daerah arsiran pada Gambar 2.2 (c) dan 6 (d)3 5 Gambar 2.2(d) berturut-turut menunjukkan pecahandan. 122440 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 48. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagaip, dengan p, q bilangan bulat dan q 0. Bilangan p disebutq pembilang dan bilangan q disebut penyebut.2. Pecahan Senilai Perhatikan Gambar 2.3 di samping. Luas daerah yang diarsir pada Gambar 2.3 (a) menunjukkan1dari luas lingkaran. Luas daerah yang diarsir pada Gambar 2.34 2(b) menunjukkandari luas lingkaran. Luas daerah yang diarsir (a) 83pada Gambar 2.3 (c) menunjukkandari luas lingkaran. 12 Dari k etiga g ambar t ersebut, t ampak b ahwa d aerah y ang 1 2 3diarsir memiliki luas yang sama. Hal ini berarti . 4 8 12(b) 1 2 3Selanjutnya, pecahan-pecahan , , dan dikatakan sebagai 4 812pecahan-pecahan senilai . Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sama. Untuk memperoleh pecahan yang senilai, pelajari uraian(c)berikut.Gambar 2.31 1 2 222:2 13 3 2 666:2 31 1 3 333: 3 13 3 3 999:3 31 1 4444:4 13 3 4 12 12 12 : 4 3 (Menumbuhkan krea-1 1 5555:5 1 tivitas) Dengan mengalikan3 3 5 15 15 15 : 5 3 pembilang dan penye- but dengan bilangan 1 2 3 4 5 Pecahan-pecahan, , , , dand i a tas m empu- yang sama, tentukan 3 6 9 12 15 lima pecahan yang 2 1 2 345 senilai dengan.nyai nilai yang sama, sehingga dapat ditulis . 5 3 6 9 12 15 41Pecahan 49. Dari u raian d i a tas, t ampak b ahwa u ntuk m emperolehpecahan-pecahan yang senilai dapat dilakukan denganmengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya denganbilangan yang sama .Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. p Jika diketahui pecahan dengan p, q 0 maka berlakuqp p ap p:batau , di mana a, b konstanta positif bukanq q aq q:b nol.Tentukan dua pecahanPenyelesaian:yang senilai dengan pecah- 2 2 2 4an berikut. a. 3 3 2 6 2 2 2 5 10a. 3 3 3 5 15 2b. 28Jadi, dua pecahan yang senilai dengan adalah 3 424 10dan.6 152828 : 2 14b.4242 : 2 2128 28 :14 242 42 :14 3 28 Jadi, dua pecahan yang senilai denganadalah 42142 dan .2133. Menyederhanakan PecahanKalian telah mengetahui cara menentukan pecahan senilai,yaitu dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnyadengan bilangan yang sama, kecuali nol (0). 42Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 50. Sekarang, perhatikan cara menemukan pecahan-pecahansenilai berikut. 24 24 : 2 12 24 24 : 6 4(Berpikir kritis) 36 36 : 2 18 36 36 : 6 6Temukan bentuk 24 24 : 3 824 24 :12 2paling sederhana dari 36 36 : 3 12 36 36 :12 336 pecahan. 482Pecahan pada pengerjaan di atas tidak dapat dibagi lagi32dengan bilangan lain selain nol. Dalam hal ini, pecahan324merupakan bentuk paling sederhana dari .36 24Untuk memperoleh bentuk paling sederhana, pecahan 36harus dibagi dengan bilangan 12. Coba cek apakah 12 adalah FPBdari bilangan 24 dan 36?pSuatu pecahan , q 0 dapat disederhanakan dengan caraqmembagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB-nya. Hal ini dapat ditulis sebagai berikut.p Dalam menyederhanakan sebarang pecahan , q 0, berlakuqp p : a , di mana a Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)q q : a dari p dan q.18Nyatakan pecahan Penyelesaian: 45 FPB dari 18 dan 45 adalah 9.dalam bentuk pecahan pa-ling sederhana.18 18 : 9 2 45 45 : 9 5 18 Jadi, bent uk pecahan pal ing sederhana d ariadalah 45 2 . 543 Pecahan 51. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.371. Nyatakan bentuk pecahan yang ditun-b. e. jukkan oleh daerah yang diarsir pada 78 gambar berikut.29c. f.9 16 3. Sebutkan dua pecahan yang senilai a.c. dengan pecahan berikut. 34a. c. 49 25 b.d. b. d. 58 4. Nyatakan pecahan-pecahan berikut da-lam bentuk yang paling sederhana.2. Nyatakan pecahan berikut dalam bentuk5 28 gambar.a. c. 30 49 5 7 a. d. 4875 612b. d. 72 145 4. Menyatakan Hubungan Antara Dua PecahanPerhatikan Gambar 2.4 di samping.1Luas daerah arsiran pada Gambar 2.4 (a) menunjukkan 3 dari luas keseluruhan. Adapun luas daerah arsiran pada Gambar 2 2.4 (b) menunjukkan d ari l uas k eseluruhan. Tampak b ahwa (a) 3 luas arsiran pada Gambar 2.4 (b) lebih besar dari luas arsiran pada 2 1 1 2 Gambar 2.4 (a) atau dapat ditulis atau . 3 3 3 3Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa untuk menyatakan hubungan dua pecahan, bandingkan pembilangnya, jika penyebut (b) kedua pecahan sama. Adapun jika penyebut kedua pecahan berbeda, untuk membandingkan pecahan tersebut, samakan terlebihGambar 2.4 dahulu penyebut kedua pecahan (dengan menentukan KPK dari penyebut kedua pecahan), kemudian bandingkan pembilangnya. 44 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 52. Berilah tanda > atau < un- Penyelesaian:tuk setiap pernyataan beri-kut sehingga menjadi per-a. 3 9412(KPK dari 4 dan 3 adalah 12)nyataan yang benar.2 8 3 2312a. ... 4 3 983 22 3Karenamaka atau . 57 12 124 33 4b. ... 9 12b.520 936 (KPK dari 9 dan 12 adalah 36) 7 2112 36 20 21 5 77 5 Karena makaatau . 36 36 9 1212 9 Coba cek penyelesaian p ada contoh di atas dengan menggunakan gambar. Apakah hasilnya sama?5. Menentukan Letak Pecahan pada Garis Bilangan Pada bab sebelumnya kalian telah mempelajari letak bilanganbulat pada garis bilangan. Coba kalian ingat kembali garis bilangan (Berpikir kritis)pada bilangan bulat.Diskusikan dengan teman sebangkumu.3 2 101 2 3 Manakah yang lebihGambar 2.5 besar, pecahan Pada garis bilangan, bilangan pecahan terletak di antara dua31atau ?bilangan bulat. Sebagai contoh, jika pada garis bilangan di atas, 44jarak antara dua bilangan bulat yang berdekatan kalian bagi duaMengapa? Jelaskanmaka garis bilangannya menjadi jawabanmu dengan menggunakan garis3 5 2 3 1 10 11 3 2 5 3 bilangan. 22222 2Gambar 2.6 Adapun untuk letak pecahan yang lain, dapat kalian tentukandengan membagi jarak antara dua bilangan bulat menurut besarnyapenyebut. Pada garis bilangan, pecahan yang lebih besar berada disebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada disebelah kiri.45 Pecahan 53. Perhatikan Gambar 2.6.Pada garis bilangan di atas, tampak terdapat pecahan negatif.Pecahan negatif adalah pecahan yang nilainya lebih kecil daripadanol. Pecahan negatif menggunakan tanda negatif, misalnya1 1 1 3 1 1 1,,, dan . Coba, letakkan pecahan ,, ,2 3 4 5 2 3 43dan pada garis bilangan.51. Susunlah pecahan Penyelesaian:2 1 Penyebut kedua pecahan belum sama, sehingga kita sama- 1, , dandalamkan dulu penyebutnya.3 2 urutan naik, kemudian61 tentukan letaknya pa-6 da garis bilangan.2 4 KPK dari 1, 2, dan 3 adalah 6. 3 6 1 3 2 6211 2Jadi, urutan naik pecahan 1, , dan adalah 1, , .322 3Letak pada garis bilangan sebagai berikut.1 012 1236 63466 Gambar 2.72. Buatlah garis bilangan Penyelesaian: pecahan. Kemudian, a. bandingkan pecahan1 4 3 2 101 2 34 15 5 5 5 5 5 55 berikut dengan mem- Gambar 2.8 beri tanda < atau >. 121212 Karenaterletak di sebelah kanan, maka. a. dan555555b.1 1 2 1 01 2 b. dan 4 44 44 4 Gambar 2.91 11 1 Karena terletak di sebelah kiri , maka.4 44 4 46Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 54. 6. Menentukan Pecahan yang Nilainya di Antara Dua Pecahan 1 2Misalkan, kita mempunyai pecahandan . Menurutmu, (Menumbuhkan krea- 6 6 tivitas)apakah ada bilangan pecahan yang terletak di antara pecahanTentukan 4 buah12 1 2 pecahan yang terletakdan ? Untuk menjawabnya, perhatikan bahwa = 2366 6 12di antara dan .3 7 2 4 234 Kemudian, ujilahdan .Kita peroleh bahwa. Jadi, pecahan 61212 12 12 jawabanmu dengan meletakkan pecahan12 32 3yang terletak di antara dan adalah .dan pada garis661237Coba cek hal ini dengan menggambarnya pada garis bilangan. bilangan. Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan tersebut.Untuk menentukan pecahan yang nilainya di antara duapecahan, langkah-langkahnya sebagai berikut.a. Samakan penyebut dari kedua pecahan. Kemudian, tentukan nilai pecahan yang terletak di antara kedua pecahan tersebut.b. Ubahlah lagi penyebutnya, jika belum diperoleh pecahan yang dimaksud. Begitu seterusnya.Tentukan sebuah pecahan Penyelesaian:33 3 3 9yang terletak di antara5 5 3 155 2 2 5 1023 3 5 15dan .3 Karena belum diperoleh pecahan yang dimaksud maka ma-sing-masing penyebutnya diperbesar lagi sehingga diperoleh 9 9 2 1815 15 2 3010 10 2 20 .15 15 2 301820 19Di antara pecahan dan terdapat pecahan .3030 303219Jadi, pecahan yang terletak di antara dan adalah .5330 47Pecahan 55. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1227 5 21. Berilah tanda , atau = sehingga b. ,, d. , , pernyataan berikut menjadi benar.4 5 11 8 9 35. Sisipkan tepat tiga pecahan di antara4573 a....c. ... pecahan berikut.78 1281 32 357 4 3 a. dan c. dan b. ... d.... 3 85 569 9 52. Susunlah pecahan berikut dalam urutan5 31 2 b. dan d. dan turun, kemudian tentukan letaknya pa-9 56 9 da garis bilangan. 6. Bandingkan pecahan-pecahan berikut3 5 31 5 4 dengan memberi tanda < atau >. a., ,c. , ,5 8 43 6 9 21 25 a....c....3 2 3 54 7 13 532 57 b. , , , d. , , ,4 3 5 85 10 15 6 1 3 9 43. Urutkan p ecahan-pecahan b erikut d ari b....d. ... 4 511 5 yang terkecil.7. Tentukan sebuah pecahan yang terletak 5 1 33 5 1di antara kedua pecahan berikut. a., ,c. , , 7 5 48 6 4 12 45 2 2 4 3 3 5 a.dan c. dan b., ,d., ,33 77 6 3 511 12 13 11 564. Urutkan p ecahan-pecahan b erikut d ari b.dan d. dan 24 88 yang terbesar.2 51141 a. , , c.,,7 83256B.PERBANDINGAN DAN BENTUK-BENTUKPECAHAN1. Pecahan sebagai Perbandingan Bagian dari Keseluruhan Telah kalian ketahui bahwa pecahan merupakan bagian darikeseluruhan. Apabila terdapat dua besaran yang dibandingkan,pecahan dikatakan sebagai perbandingan bagian dari keseluruhan.Perhatikan contoh berikut. 48Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 56. Seorang anak memiliki 12 Penyelesaian:kelereng, yang terdiri atasa. Perbandingan kelereng warna merah terhadap hijau3 kelereng warna merah,4 kelereng warna hijau, dan 3 41 1 adalah: atau : .5 kelereng warna biru. 12 12 4 3a. Tentukan perbanding-b. Perbandingan kelereng warna merah terhadap biruan kelereng warna 3 5merah terhadap hijau.adalah: . 12 12b. Tentukan perbanding-an kelereng warnac. Perbandingan kelereng warna hijau terhadap birumerah terhadap biru.4 5 adalah: .c. Tentukan perbanding-12 12an kelereng warnahijau terhadap biru.2. Menyatakan Bilangan Bulat dalam Bentuk Pecahan Perhatikan garis bilangan berikut. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Gambar 2.10 Dari Gambar 2.10 tersebut diperoleh 0 0 6 9 03 2 3 2 3 2 3 8 12 14 2 3 2 3 4 6 2 2 3 Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentuk p pecahan , di mana p merupakan kelipatan dari q, q 0. q49Pecahan 57. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Nyatakan perbandingan berikut ke ben-3. Tulislah bilangan bulat dari pecahan- tuk paling sederhana. pecahan berikut. a. 24 : 66c. 5 km : 6.000 m96 224 b. 32 : 80d. 1,5 kg : 25 kw a. c.8 42. Uang saku Dono sebesar Rp5.000,00. 3156306 Sebanyak bagian dari uang tersebutb. d. 5 3 34 dibelikan alat tulis. Berapa sisa uang saku Dono sekarang?3. Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Pecahan Campuran dan Sebaliknya Ibu memiliki 3 buah apel yang akan dibagikan kepada 2orang anaknya dengan sama besar Bagian apel yang akan diperoleh .tiap anak adalah satu apel dan setengah apel. Hal ini dapat 11dinyatakan sebagai 3 : 2 atau 1 . Bentuk pecahan 1 merupakan 22 1bentuk pecahan campuran. Pecahan campuran 1terdiri atasGambar 2.112 1bilangan bulat 1 dan bilangan pecahan . 21. Nyatakan pecahan be- Penyelesaian: rikut ke dalam pecahan a. Cara 1Cara 2 campuran. 8 35 32 3 354 35 35 4 44a.4 32433 8 4 Hasilnya, 35 : 4 = 8 sisa 3b. 75 8 3 635348 44 50Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 58. b. Cara 1 Cara 212 75 72 375 6 75 6 666 60115 121221312 Hasilnya, 75 : 6 = 12 sisa 3 27531 12 126 622. Ubahlah pecahan Penyelesaian: campuran berikut ke a. Cara 1Cara 2 bentuk pecahan biasa.5 5 5 2 9 55 2 2 2 a. 2 9 9 999 18518 5 7 99 9 b. 3 23 2312 99 b. Cara 1Cara 27 7 73 12 7 3 3 3 121212 12 36 736 7 12 1212 4343 1212Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.q Bentuk pecahan campuran pdengan r 0 dapat dinyatakanr p r q dalam bentuk pecahan biasa .rqq p r q p r q Catatan: p prr r rr4. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal dan Sebaliknya Coba kalian ingat kembali mengenai nilai tempat padabilangan pecahan desimal. Perhatikan nilai tempat pada bilangan235,674 berikut. 51 Pecahan 59. 2 3 5, 6 7 4perseribuan, nilainya 4 atau 0,004 (Menumbuhkan krea- 1.000perseratusan, nilainya 7 atau 0,07 tivitas) Carilah artikel menge-100 nai penggunaan bi- langan desimal dalam persepuluhan, nilainya 6 atau 0,610 kehidupan sehari-hari. Bacalah koran, tabloid,satuan, nilainya 5 buku-buku iptek, atau carilah di internet. puluhan, nilainya 30 Sajikan dalam sebuah laporan dan kumpul-ratusan, nilainya 200 kan pada gurumu.Jika ditulis dalam bentuk panjang, diperoleh 235,674 200 30 5 0,6 0,07 0,0046 7 4 200 30 5 10 100 1.000600704 200 30 5 1.000 1.000 1.000674 235 1.000674 235 . 1.000 Apabila suatu pecahan biasa atau campuran akan diubah ataudinyatakan ke dalam bentuk pecahan desimal, maka dapat dilakukandengan cara mengubah penyebutnya menjadi 10, 100, 1.000, 10.000,dan seterusnya. Dapat pula dengan cara membagi pembilang denganpenyebutnya. Sebaliknya, untuk mengubah pecahan desimal menjadipecahan biasa/campuran dapat kalian lakukan dengan menguraikanbentuk panjangnya terlebih dahulu.1. Ubahlah pecahan beri-Penyelesaian: kut ke dalam bentuka. Cara 1Cara 2 pecahan desimal. 0, 7 53 3 2534 3, 0 0 a. 4 4 2504753 0100 2 84 0,75 b. 2205 320 Jadi,0,75.4 0 52Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 60. b. Cara 14 2 5 425514 514 2 5 228 2,810Cara 22,84 2 5 42 5 145 5 101440 52,82. Nyatakan bilangan- Penyelesaian: bilangan berikut men-82 jadi pecahan biasa/a. 5,82 5 10 100 campuran yang paling 80 2 sederhana.5 100 100 a. 5,8282 5 b. 0,16 10082 41 5 5 100 50b. Cara 1Cara 216 16 0,16 00,16 10 100 10010 6 16 : 4 100 100100 : 416 4 4 100 25 25 Perhatikan bentuk desimal 2,333... Bentuk desimal seperti 2,333... disebut bentuk desimalberulang. Untuk mengubah bentuk desimal berulang seperti di atas kebentuk pecahan biasa dapat dilakukan dengan cara berikut.53Pecahan 61. Misalkan x = 2,333... maka 10x = 23,333...10x = 23,333... (Menumbuhkan ino-x = 2,333... vasi) 9x = 21x = 21 Diskusikan dengan temanmu.9 Tuliskan 5 contoh ben-7 tuk pecahan desimalx= berulang. Lalu, ubah- 3 lah ke bentuk pecahan 7Jadi, 2,333... = . biasa. Jika perlu, gu-3 nakan kalkulator untuk membantu pekerjaan- mu. 5. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen dan Sebaliknya2 3Dapatkah kalian mengubah bentuk dan ke bentuk5 4 perseratus?2220 4055201003325 754425100Bentuk pecahan perseratus seperti di atas disebut bentukper-240 375 (Menumbuhkan krea-sen atau ditulis %, sehingga 40% dan 75%. tivitas) 5 100 4 100 Bacalah koran, tabloid,Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat internet, atau sumber dilakukan dengan cara mengubah pecahan semu menjadi pecahan la lainnya. Temukan penggunaan persen senilai dengan penyebut 100. Jika hal itu sulit dikerjakan maka dalam kehidupan dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan sehari-hari. Ceritakan100%. Adapun untuk mengubah bentuk persen ke bentuk pecahan temuanmu di depan biasa/campuran, ubahlah menjadi perseratus, kemudian sederha- kelas. nakanlah.1. Nyatakan pecahan- Penyelesaian: pecahan berikut dalam a. 7 7 12,5b. 12 12 20 bentuk persen. 8 8 12,555 207 1287,5240 a.b.87,5%240%85100 100 54 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 62. 2. Nyatakan bentuk per- Penyelesaian: sen berikut menjadi 32 120 bentuk pecahan biasa/a. 32% b. 120%100 100 campuran. 32 : 4 120 : 20 a. 32% 100 : 4 100 : 20 b. 120% 862551156. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Permil dan Sebaliknya(Menumbuhkan krea- Pecahan dalam bentuk perseribu disebut permil atau ditulistivitas)275 Temukan penggunaan. Bentuk pecahandikatakan 275 permil dan ditulis permil dalam kehidup- 1.000an sehari-hari. Carilah275. di koran, internet, atau Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk permil dapat buku referensi lainnyadilakukan d engan m engubah p ecahan s emula m enjadi p ecahanuntuk mendukungkegiatanmu. Hasilnya,senilai dengan penyebut 1.000. Jika hal ini sulit dikerjakan maka kemukakan secaradapat dilakukan dengan mengalikan pecahan semula dengan singkat di depan1.000. kelas.1. Nyatakan pecahan-Penyelesaian: pecahan berikut dalam 17 17 50 33 125 bentuk permil. a. b. 20 20 50 88 125 17 3 850 375 a. b. 20 81.000 1.000 8503752. Nyatakan bentuk per- Penyelesaian: mil berikut menjadi pe-22,5 90 cahan biasa/campur - a. 22,5 b. 90 1.0001000 an.22,5 290 : 10 a. 22,51.000 21.000 : 10 b. 90459 2.000100 9 40055 Pecahan 63. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Nyatakan pecahan-pecahan berikut ke5. Tuliskan bentuk persen berikut ke dalam bentuk pecahan campuran.bentuk pe cahan b iasa/campuran y ang paling sederhana. a. 8c. 213 3 40a. 25%c. 30% 246 b. 17 d. 1 b. 24 % 1d. 33 % 421432. Tuliskan pecahan campuran berikut ke6. Nyatakan bilangan-bilangan berikut bentuk pecahan biasa. dalam bentuk persen. 2 2 8 a. 2 3 c. 6 7 a. c. 48 25 125 51 b. 4d. 8 5 95b. 1 d. 0,3683. Nyatakan bilangan-bilangan berikut7. Ubahlah pecahan-pecahan berikut ke dalam bentuk pecahan desimal dengan bentuk permil. pendekatan sampai satu tempat desimal.12 411 a. 0,08c. a.d. 5 25 5121591 b. 1,625 d. b.e. 22 %20 2028. Bedu mempunyai uang sebesar 12 c. 3f. 66 Rp250.000,00. Jumlah uang T ika dan 43Adang 70% dari uang Bedu, sedangkan4. Nyatakan pecahan-pecahan desimal berikut ke bentuk pecahan biasa.2 uang Tika diketahuidari uang Adang. a. 0,35 c. 3,666... 3 Berapakah besarnya masing-masing b. 4,2d. 4,2323... uang Tika dan Adang?C.OPERASI HIT UNG PECAHAN1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahana. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan bilang-an bulat Dalam menentukan hasil penjumlahan atau penguranganpecahan dengan bilangan bulat, ubahlah bilangan bulat itu ke dalambentuk pecahan dengan penyebut sama dengan penyebut pecahanitu. Kemudian, jumlahkan atau kurangkan pembilangnya 56Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 64. sebagaimana pada bilangan bulat. Jika pecahan tersebut berbentukpecahan campuran, jumlahkan atau kurangkan bilangan bulatdengan bagian bilangan bulat pada pecahan campuran.Tentukan hasil penjumlah-Penyelesaian:an dan pengurangan beri-22 15kut. 1. 355 5 2 2 151. 3 55 1 172. 2 3 45 2 3 5 2. Cara 1 Cara 2 Diketahui jumlah dua 1 119 bilangan pecahan 2 3 (2 3)23 34 444 41 9 12 adalah 2. Tentukan15( 1)4 4 4 salah satu bilangan tersebut.413 Petunjuk: Soal di atas 444 memiliki beberapa3 alternatif jawaban.4b. Penjumlahan d an p engurangan p ecahan d engan p ecahan Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan duapecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengancara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya. Kemudian, barudijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya.Tentukan hasilnya. Penyelesaian: 3 4 1. KPK dari 5 dan 7 adalah 35, sehingga diperoleh1.3 4 15 28 7 57 5 35 35 1 3432. 2 2 435 8 1 3557 Pecahan 65. 2. Cara 1 Cara 2 1 313 135 3 2 2 2 2 424 242 423 10 3 2444 4 71 2 4 4 3 8 1 1 4 4 4 7 3 1 4 4 c. Sifat-sifat pada penjumlahan dan pengurangan pecahanCoba kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan bilangan bulat. (Berpikir kritis) Diskusikan denganUntuk setiap bilangan bulat a, b, dan c maka berlaku temanmu