smart
description
Transcript of smart
Smart Solution
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
Halaman 152 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah..
4. 1. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus..
Nilai Perbandingan Trigonometri
Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku
Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?
π adalah sisi di depan sudut π΄ π adalah sisi di depan sudut π΅ πβ adalah sisi di depan sudut πΆ
Aturan Sinus dan Kosinus
Aturan Sinus Aturan Kosinus
βAda dua pasangan sudutβsisi yang berhadapanβ βDiketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudutβ
sisi β sudut β sudut
(diketahui satu sisi dan dua sudut)
sisi β sisi β sudut
(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)
sisi β sudut β sisi
(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)
sisi β sisi β sisi
(diketahui ketiga sisi segitiga)
π
sin π΄=
π
sin π΅=
π
sin πΆ
π2 = π2 + π2 β 2ππ cos π΄
β cos π΄ =π2 + π2 β π2
2ππ
Luas Segitiga
alas β tinggi
πΏ =1
2(π Γ π‘)
sisi β sudut β sisi
πΏ =1
2ππ sin πΆ
satu sisi dan semua sudut
πΏ =1
2
π2 sin π΅ sin πΆ
sin π΄
sisi β sisi β sisi
πΏ = βπ (π β π)(π β π)(π β π)
dimana π =1
2(π + π + π)
sin πΆ =π‘
π
β π‘ = π sin πΆ
a
sin A=
b
sin B
β π =π sin π΅
sin π΄
πΆ π΅
π π
π
π΄
π‘
π
π π
π
πΆ
π
π
πΆ π΅ π
π΄
πΆ π΅
π
π΅
π π
?
? π
?
π
π΄ π π
π
?
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 153
Luas Segitiga
sisi β sudut β sisi
πΏ =1
2ππ sin πΆ
Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.
Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 360Β°
8= 45Β°.
Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.
Luas Segi-n Beraturan
sudut pusat =πππΒ°
π
πΏ = π β1
2π2 sin
360Β°
π
πΆ
π
π
π π
360Β°
π
π π
Halaman 154 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:
Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut: Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah harus menggunakan aturan kosinus. Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:
- Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus. - Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:
o Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat sudut segitiga 180Β°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.
o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu menggunakan sifat sudut segitiga 180Β°)
Atau bisa digambarkan seperti berikut: Periksa jumlah komponen yang diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut 2 sisi dan 2 sudut Periksa! Gunakan aturan kosinus Apakah kedua pasangan sisi dan sudut tersebut saling berhadapan Saling berhadapan Ada yang tidak berhadapan Periksa! Gunakan aturan sinus Berapa jumlah sudut yang diketahui
Dua sudut Satu sudut
Cari sudut ketiga, lalu Gunakan aturan kosinus gunakan aturan sinus dilanjutkan dengan aturan sinus
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 155
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus. Contoh Soal: Diberikan segi empat ABCD seperti gambar Panjang BC adalah β¦.
a. 4β2 cm
b. 6β2 cm
c. 7β3 cm
d. 5β6 cm
e. 7β6 cm
Penyelesaian: Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus. Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut. Perhatikan, pada gambar terdapat dua segitiga. 1. βπ΄π΅πΆ dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut. 2. βπ΄πΆπ· dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut. Nah, ternyata βπ΄π΅πΆ tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga! Sekarang amati βπ΄πΆπ· ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar βπ΄π΅πΆ tepat diketahui minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang π΄πΆ terlebih dahulu. Perhatikan βπ΄πΆπ·,
Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi π΄πΆ. (2 sisi dan 2 sudut) Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan? Ya! Maka pada βπ΄πΆπ· berlaku aturan sinus:
π΄πΆ
sin π·=
π΄π·
sin πΆβ π΄πΆ =
π΄π·
sin πΆΓ sin π·
=10
sin 45°à sin 30°
=10
12 β2
Γ1
2
=10
β2
=10
β2Γ
β2
β2 (rasionalisasi penyebut bentuk akar)
=10β2
2
= 5β2 cm
D
A
B
C
60Β°
10β2 cm
30Β°
45Β°
D
A
C
30Β°
45Β°
?
Halaman 156 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Nah, sekarang perhatikan βπ΄π΅πΆ, Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi π΅πΆ. (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus:
π΅πΆ2 = π΄π΅2 + π΄πΆ2 β 2 π΄π΅ π΄πΆ cos π΄
= (10β2)2
+ (5β2)2
β 2(10β2)(5β2) cos 60
= 200 + 50 β 200 β1
2= 250 β 100= 150
Jadi,
π΅πΆ = β150 = β25β6 = 5β6 cm
Menentukan luas segi-n beraturan. Contoh Soal: Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah β¦. a. 192 cm2 b. 172 cm2 c. 162 cm2 d. 148 cm2 e. 144 cm2
Penyelesaian: Ingat luas segitiga:
sisi β sudut β sisi
πΏ =1
2ππ sin πΆ
Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut.
Perhatikan βπ΄π΅πΆ,
πΏβπ΄ππ΅ =1
2ππ΄ ππ΅ sin β π΄ππ΅
=1
2β 8 β 8 β sin 30Β°
= 32 β1
2= 16 cm2
Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:
πΏπ πππβ12 πππππ‘π’πππ = 12 Γ πΏβπ΄ππ΅
= 12 β 16= 192 cm2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar π adalah:
πΏπ πππβπ πππππ‘π’πππ = π β1
2π2 sin
360Β°
π= 12 β
1
2β 82 β sin 30Β° = 192 cm2
A
B
C
60Β°
10β2 cm
5β2 cm ?
8 8
π
O
A B
πΆ
π
π
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 157
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka
luas segienam beraturan tersebut adalah ....
A. 150 satuan luas
B. 2150 satuan luas
C. 3150 satuan luas
D. 300 satuan luas
E. 2300 satuan luas
2. Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....
A. 06 22 cm
B. 12 22 cm
C. 36 22 cm
D. 48 22 cm
E. 72 22 cm
3. Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm2. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....
A. 96 32 cm
B. 96 32 cm
C. 8 32 cm
D. 8 32 cm
E. 3128 cm
4. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....
A. 3432 cm
B. 432 cm
C. 3216 cm
D. 2216 cm
E. 216 cm
Jika adik-adik butuh βbocoranβ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
πΏπ πππβπ =π
2π2 sin
360Β°
π
β πΏπ πππβ6 =6
2(10)2 sin
360Β°
6= 3 β 100 β sin 60Β°
= 300 β1
2β3
= 150β3
TRIK SUPERKILAT: Karena bangunnya adalah segienam, berarti sudut pusatnya 60Β°, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat
β3 yang berasal dari nilai sin 60Β°. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya C saja.
π₯ = βπ2 + π2 β 2 β π β π β cos360Β°
π
πΎπ πππβπ = π β π₯ = π β (βπ2 + π2 β 2 β π β π β cos360Β°
π) = π β (β2π2 (1 β cos
360Β°
π))
β πΎπ πππβ8 = 8 β 6 (β2 (1 β1
2β2) )
= 48β2 β β2 cm
π₯
6 6
πΏ = 12 β1
2β π2 β sin (
2π
12) β 192 = 3π2 β π2 = 64 β π = 8 cm
π₯ = βπ2 + π2 β 2 β π β π β cos360Β°
π
πΎπ πππβπ = π β π₯ = π β (βπ2 + π2 β 2 β π β π β cos360Β°
π) = π β (β2π2 (1 β cos
360Β°
π))
β πΎπ πππβ8 = 12 β 6 (β2 (1 β1
2β3) )
= 96β2 β β3 cm
π₯
8 8
Karena bangun segienam, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi. Akibatnya semua sisi segitiga adalah 12 cm.
12
12 12
πΏπ πππβπ =π
2π2 sin
360Β°
π
β πΏπ πππβ6 =6
2(12)2 sin
360Β°
6= 3 β 144 β sin 60Β°
= 432 β1
2β3
= 216β3 cm2
TRIK SUPERKILAT: Karena segienam, berarti sudut pusatnya 60Β°, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi
jawabannya pasti memuat β3 yang berasal dari nilai sin 60Β°. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya A atau C saja.