LIMITKELAS XI SEMESTER GENAP

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Standar Kompetensi

Kompetensi dasar

Indikator

Mampu menentukan nilai limit tak hingga suatu fungsi

6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

Mampu menentukan nilai limit di tak hingga suatu fungsi

Mampu menggunakan sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri di satu titik

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Misal (limit dari f , g ada dan berhingga)

maka

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)()(lim

Gbila

GL

xg

xf

xgxf

ax

ax

ax

2.

3.

4. n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

,n bilangan bulat positif

nnax

nax

Lxfxf

)(lim)(lim5. bila n genap L harus positif

1.

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

222 )1(1

1sin)1()1(

xx

xx

)()()( xhxgxf

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

11

sin)1(lim 2

1

xx

x

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan 0)1(lim 2

1

x

x0)1(lim, 2

1

x

x

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

maka

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

AO

B

C

D

OC= cos ; CB= sin

Perhatikan gambar di samping.Misalkan =AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1.

Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOBSehingga ½ cos2 ≤ ½ sin cos ≤ ½ .1Bagi dengan ½ cos > 0 diperoleh;

cos1sincos

Jika →0 maka cos →1 sehingga : 1sinlim10

it

Sehingga : 1sinlim0

it

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

1sinlim.10

x

xx

1coslim.20

xx

1tanlim.30

x

xx

Contoh

2.2

2tan5

4.4

4sin3lim

2tan54sin3lim

00

xx

xx

xxxx

xx

2.

22tanlim5

4.4

4sinlim3

0

0

xx

xx

x

x

37

2.2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

02

04

xx

xx

x

xx 0 ekivalen dgn 4x 0

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

tt

t sin1coslim

2

0

ttt

t sec2sincotlim

0

tt

t 23tanlim

2

0

tttt

t sec43sinlim

0

Hitung

1.

2.

3.

4.

xx

x 2sintanlim

05.

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Limit Tak Hinggamaka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxf

axax

)()(

limxgxf

ax

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Contoh Hitung11lim

2

1

xx

xa.

11lim 2

2

1

xx

x xx

x sinlim

b. c.

Jawab a. 021lim 2

1

x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatifSehingga

11lim

2

1 xx

x

b. 021lim 2

1

x

x akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1)( 2 xxg

12 x

Sehingga

11lim 2

2

1 xx

x

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

c.

0lim

xx

danf(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)

x

xx sinlim

sehingga

Karena

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Limit di Tak HinggaLxf

x

)(lima. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL

x

Contoh Hitung

4252lim 2

2

xxx

x

Jawab

)2(

)1(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

4252lim 2

2

xxx

x2

2

42

521lim

x

xxx

= 1/2

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

xContoh Hitung

4252lim 2

x

xx

4252lim 2

x

xx

Jawab

)2()(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

)2(

)(lim

2

2

4

52

x

xx

x

= 0

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Contoh Hitung xxx

x

3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxxx

3lim 2)

3

3(3lim2

22

xxx

xxxxxxx

xxx

xxxx

3

3lim2

22

xxx

xx

3

3lim2

xx

x

xx

x

x

)1(

)1(lim

2312

3||2 xx

xxx

xx

x

x

231

3

1)1(

lim

21

)11(1

lim2

31

3

xx

x

x

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

limx

xx

3

33

limx x 2 2

3

4

)1(lim xxx

limx

x

x 1 2

11lim

2

xx

x

limx

x xx

2

1

.

Hitung

1.

2.

3.

4.

5.

6.

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

PENGAYAAN

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika(i) f(a) ada

ada)(lim xfax

(ii)

(iii) )()(lim afxfax

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a

(i)º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

a

(ii)

1L2L Karena limit kiri(L1) tidak

sama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=aFungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii)

a

●

º

f(a) f(a) ada)(lim xf

axL ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

(iv)

a

f(a)

f(a) ada)(lim xf

axada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara endefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi

a

º

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

contohPeriksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

24)(

2

x

xxf

2,3

2,24

)(2

x

xx

xxfa. b.

2,12,1

)( 2 xxxx

xfc.

Jawab :a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)

f(x) tidak kontinudi x=2b. f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim24lim

22

2

2

x

xxx

xx

xxx

)2()(lim2

fxfx

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

c. 312)2( 2 f

31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Kontinu kiri dan kontinu kananFungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika)()(lim afxf

ax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,1

2,)( 2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2)2()(lim

2fxf

x

aaxxfxx

2)(lim)(lim22

141)2()2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1

f kontinu kanan di x=2)2()(lim

2fxf

x

141)2()2( 2 aaf

141lim)(lim 2

22

aaxxf

xx

Selalu dipenuhi

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

1. Diketahui

1,221,1

)(2

xxxx

xf

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1

Soal Latihan

2. Agar fungsi

2,321,

1,1)(

xxxbax

xxxf

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?

3. Tentukan a dan b agar fungsi

2,42

2,2

4)(

2

xx

xx

bxaxxf

kontinu di x = 2

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Kekontinuan pada interval

• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

• Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Fungsi Polinom kontinu dimana-mana• Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya• Misalkan , maka

– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0

atau x>4.

f(x) kontinu kanan di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n xxf )(

4)( xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

f xx x

x( )

2 33

f xxx

( )

2

348

f xxx

( )| |

22

94

1)(2

x

xxf

24)( xxxf

A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu

Soal Latihan

1.

2.

3.

1.

2.

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi

• Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika dan f(x) kontinu di L, maka

• Teorema kekontinuan fungsi komposisi: Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi

kontinu di a. Bukti

karena f kontinu di g(a) = f(g(a)) karena g kontinu di a

= (fog)(a)

Lxgax

)(lim

)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax

))(( xgf

))((lim))((lim xgfxgfaxax

))(lim( xgfax

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN

4313cos)( 2

4

xxxxxf

))(()( xhgxf

4313)( 2

4

xxxxxh dan g(x) = cos x

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinu

Jawab : Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}

SK DAN KD

MATERI 1

SOAL 1

MATERI 2

SOAL 2

PENGAYAAN