Particle in a Box(very ideal gas)

Febrie A. A. – 20912008Ridlo W. W. – 20912009

Asumsi● Partikel tidak berinteraksi dengan partikel lain

● Tumbukan hanya dapat terjadi dengan dinding Kotak

● Tumbukan lenting sempurna

● Tidak ada gaya lain yang bekerja

PREDICTABLE

TIDAK BUTUH SIMULASI

Algoritma (Computation)

INPUT

6.

ab

va = v

b

Partikel a menumbuk dinding yang mana?

Pertikel b menumbuk dinding yang mana?

N = 1, Rmax = 40*s

Nitrogen gas (N2)

Mass = 28*1.660538921e-27 kgAsumsi pada suhu 273 K kecepatan rata-rata Nitrogen = 493 m/s (V

rms di Teori Kinetik Gas)

s = 5 m → 10 m x 10 m x 10 m → Volume = 1000 m3

N partikel = 10000Rmax = 1000*s

Calculation:Setelah dapat momentum untuk setiap dinding, dapat ditotalkan, kemudian dapat dihitung Gaya yang bekerja:

F = Δp/Δt

Δt = Rmax/v

Pressure = F/Adengan A = 2s x 2s x 6

Kemudian dapat dilakukan penskalaan untuk 1 mol molekul (NA = 6.022e23)

RESULTmomentum di dinding 1 = 3.81115e-17 jumlah tumbukan di dinding 1 = 1250983momentum di dinding 2 = 3.8394e-17 jumlah tumbukan di dinding 2 = 1252486momentum di dinding 3 = 3.82662e-17 jumlah tumbukan di dinding 3 = 1254159momentum di dinding 4 = -3.81103e-17 jumlah tumbukan di dinding 4 = 1250893momentum di dinding 5 = -3.83936e-17 jumlah tumbukan di dinding 5 = 1252506momentum di dinding 6 = -3.82677e-17 jumlah tumbukan di dinding 6 = 1254203

momentum total yang mengenai dinding = 2.29543e-16 kg m/sTekanan di kotak berukuran 1000m^3 untuk 10000 partikel = 3.77216e-20 N/m^2

computation time = 0.82 detik

Dengan teori kinetik gas:P = NkT/V = 10000*1.3806503×10-23*273/1000 = 3.7691753e-20 N/m2

Tekanan untuk 1 mol dalam volume 22.4 L = 1.00087 atm

Maxwell-Boltzmann speed Distribution

Input V diubah dengan menggunakan montecarlo sesuai distribusi kecepatan di atas

Metode: Rejection Sampling

Nilai f(v) maksimum menggunakan nilai f(v) untuk most probable v :

Rentang v dari 0 hingga 3500 m/s Harus di ubah untuk distribusi yang terlalu landai

Maxwell-Boltzmann speed distribution for noble gas in room temperatureSource: wikipedia

Cek hasil metode rejection sampling untuk mendapatkan distribusi kecepatan:

Histogram merupakan distribusi hasil random (ternormalisasi dari 10000 partikel), dan garis merah dari persamaan distribusi kecepatan Maxwell Boltzmann yang berkesesuaian (Helium pada suhu 293.15 K)

INPUTGas Helium m = 4.0026 u T = 198.15 K (25 Celcius) dimension 1 x 1 x 1 mN partikel = 10000 tmax

= 100*2*s/vrms

OUTPUT

Running Using v_rms Using v_MB

run_1 4.11631e-17 4.10553e-17

run_2 4.11659e-17 4.07708e-17

run_3 4.11623e-17 4.15079e-17

run_4 4.11664e-17 4.06187e-17

run_5 4.11606e-17 4.15023e-17

run_6 4.11618e-17 4.15979e-17

run_7 4.11631e-17 4.08263e-17

run_8 4.11634e-17 4.10169e-17

run_9 4.11602e-17 4.11524e-17

run_10 4.11639e-17 4.13107e-17

average 4.116307e-17 4.113592e-17

Avg comp time 0.19 detik 0.22 detik

Menggunakan teori kinetik gas:P = NkT/V = 4.11641e-17 N/m2

Fast – No Simulation! ^_^

Effussion of Gas

Cara 1:Dihitung tekanan (P) setiap selang waktu (dt) sambil direkam pengurangan jumlah partikel (akibat adanya lubang) untuk dilakukan perhitungan yang sama pada selang waktu (dt) selanjutnya dengan merandom ulang posisi dan kecepatan namun dengan jumlah yang baru. Secara statistik hal ini dapat diterima (ensemble)

Cara 2:Dihitung dengan cara yang sama namun setiap selang waktu (dt) disimpan terlebih dahulu posisi dan vektor kecepatan tepat saat itu, sehingga lebih real, lalu dilanjutkan untuk perhitungan pada selang waktu selanjutnya.

Penanganan partikel yang masuk lubang:

if (i_box == 0 && x[1] <= 0.05 && x[1] >= -0.05 && x[2] <= 0.05 && x[2] >= -0.05){ hole = false; lolos ++; }

pada pekerjaan kali ini hanya dilakukan cara 1

Menggunakan input parameter yang sama dengan kasus sebelumnya (Helium)m = 4.0026 u T = 198.15 K (25 Celcius) → Vrms = 1363.09 m/s dimension 1 x 1 x 1 m

Pengaruh dt

Hasil cara-1

Ukuran lubang: 0.1 m2 N = 50000

Pengaruh Nparticle

Ukuran lubang: 0.1 m x 0.1 m dt = 0.01 detik

Pengaruh ukuran lubang

N = 50000 partikel dt = 0.01 detik

Pengaruh ukuran lubang

N = 50000 partikel dt = 0.01 detikDengan distribusi kecepatan menggunakan Maxwell-Boltzmann

Hasil relatif sama dengan sebelumnya, namun dengan deviasi tekanan lebih lebar, akibat random kecepatan yang digunakan.

Ukuran lubang dengan kemiringan dN/dt

Untuk ukuran lubang yang sama namun dengan N (jumlah partikel) yang berbeda

Untuk ukuran lubang yang berbeda namun dengan N (jumlah partikel) yang sama

Untuk ukuran lubang yang berbeda namun dengan N (jumlah partikel) yang sama

dNdt

=−cN N (t )=N 0 e−ct

Kesimpulan:● tidak perlu simulasi jika memang komputasi sederhana dapat

dilakukan kerena sistemnya sederhana dan predictable

● hasil komputasi sudah mendekati gas ideal

● simulasi perlu dilakukan apabila melibatkan tumbukan antar partikel dan interaksi (potensial) antar partikel

● simulasi kebocoran gas telah dilakukan dengan mendapati bahwa ukuran lubang sangat mempengaruhi penurunan tekanan gas

● jumlah partikel selama terjadi kebocoran diduga dapat didekati dengan model eksponensial

Terima kasih ^_^