08/11/2015

1

SISTEM PERSAMAAN

LINIERAnita T. Kurniawati,M.Si.

Apa sistem dari persamaan Linier?

Sistem Persamaan Linier (SPL) adalah himpunan

dari persamaan linier.

Secara umum bentuknya:

mnnmmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

...

.

.

.

...

...

08/11/2015

2

DEFISI MATRIKS

Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan

– bilangan real yang tersusun atas baris dan

kolom

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

m baris

n kolom

di katakan matriks A berukuran m x n

Baris ke-i dari A adalah :

• Kolom ke-j dari A adalah :

• Matriks A dapat juga ditulis :

A = [aij]

• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar(b.s), dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengandiagonal utama

)1(21 miaaa inii

)1(2

1

nj

a

a

a

mj

j

j

08/11/2015

3

Jenis – jenis Matriks

1. Matriks Diagonal

Matriks b.s. dengan elemen diluardiagonal utama adalah nol, yaitu

aij = 0 untuk i j

2. Matriks Skalar

Matriks diagonal dengan elemen padadiagonal utama adalah sama, yaitu

aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j

3. Matriks Segitiga Atas

Matriks b.s. dengan elemen dibawahdiagonal utama adalah nol

Jenis – Jenis Matriks4. Matriks Segitiga Bawah

Matriks b.s. dengan elemen diatas

diagonal utama adalah nol

5. Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen pada

diagonal utama adalah 1 , yaitu

aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i j

6. Matriks Nol

Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

08/11/2015

4

Operasi Matriks

Persamaan Dua Matriks

Penjumlahan Matriks

Perkalian Skalar dan Matriks

Transpose Matriks

Perkalian Matriks

Persamaan Dua Matriks

Definisi

Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :

aij = bij, 1 i m, 1 j n

yaitu, elemen yang bersesuaian dari duamatriks tersebut adalah sama.

• Contoh :

Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

zy

x

w

BdanA

4

42

21

540

432

121

08/11/2015

5

Penjumlahan Matriks

Definisi

Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m x n, makajumlahan A dan B adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dengan

cij = aij + bij

Contoh

Diberikan Matriks A dan B adalah

maka

312

421A

131

421B

423

001BA

Perkalian Skalar & Matriks

Definisi

Jika A = [aij] ukuran m x n dan r adalah sebarangskalar real, maka perkalian skalar rA adalahmatriks B = [bij] ukuran m x n dengan

bij = r aij

• Contoh

Jika r = -3 dan

maka

421 A

1263 rA

08/11/2015

6

Transpose Matriks

Definisi

Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose

dari A adalah matriks

At = [aijt] ukuran n x m dengan

aijt = aji

• Contoh

maka

250

324A

23

52

04tA

Perkalian Matriks Definisi

Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dimana

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj

Ilustrasi

rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij

mpmm

ipii

p

p

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

22221

11211

rowi(A)

pnpjpp

nj

nj

bbbb

bbbb

bbbb

21

222221

111211

Colj(B)

mnmm

ij

n

n

ccc

c

ccc

ccc

21

22221

11211

08/11/2015

7

Latihan Soal

1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:

Jika mungkin, maka hitunglah

a. AB d. CB + D g. BA + FD

b. BA e. AB + DF h. A(BD)

c. A(C + E) f. (D + F)A

204

321A

51

42

13

B

211

543

132

C

21

32D

243

512

301

E

14

32F

Determinan Tingkat n

Determinan tingkat 2:

cbdadc

ba..

08/11/2015

8

08/11/2015

9

SIFAT DETERMINAN

08/11/2015

10

INVERS MATRIKS

Definisi

Matriks A berukuran n x n disebut invertible jika

ada matriks B berukuran n x n sedemikian hingga :

AB = BA = In

Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak

invertible.

Matriks B disebut invers dari A, dinotasikan A-1

Contoh :

22

32A

11

123

B

08/11/2015

11

Sifat invers matriks

1. Jika A invertible maka A-1 juga invertible, dan

(A-1)-1 = A

2. Jika A dan B invertible, maka AB juga invertible

dan (AB)-1 = B-1 A-1

3. Jika A invertible, maka

(At)-1 = (A-1)t

4. Jika A1,A2,…,Ak adalah matriks – matriks invertible,

maka A1A2…Ak juga invertible dan

(A1 A2…Ak)-1 = Ak

-1 Ak-1-1…A1

-1

Bagaimana mendapatkan Invers

Matriks?

1.

2. Operasi baris Elementer (OBE)

3.

IAA 1.

)(11 AadjA

A

08/11/2015

12

Contoh 1:

Contoh 2:

08/11/2015

13

Contoh 3:

SISTEM PERSAMAAN LINIER

08/11/2015

14

Contoh 1

Dapatkan determinan dari

Penyelesaian:

Contoh 2

Selesaikan SPL berikut dengan Cramer:

Penyelesaian:

08/11/2015

15

Penyelesaian SPL dengan Eliminasi

Gaussian

Selesaikan SPL berikut dengan Eliminasi Gaussian:

Penyelesaian:

08/11/2015

16