Sistem Bilangan Ril

7/23/2019 Sistem Bilangan Ril

1/13

Sistem Bilangan Riil

Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi (780 - 850) lahir di Khiva, Uzbekistan. Buku

pertamanya is!b al-"abar #a al $u%abala, membahas s&lusi sistematik dari persamaan

linear dan n&tasi kuadrat. Beliau, yan' memperkenalkan an'ka ndia, yan' kemudian

diperkenalkan seba'ai istem *en&m&ran *&sisi +esimal di dunia Barat pada abad ke .

Beliau merevisi dan menyesuaikan e&'ra/i *t&lemeus sebaik men'erakan tulisan-tulisan

tentan' astr&n&mi dan astr&l&'i.

1.1. Sistem Bilangan Riil

1.2. Himpunan dan Operasi pada

Himpunan

1.3. Penyelesaian Persamaan

1.4. Penyelesaian Pertidaksamaan

0


2/13


1


3/13

No Kompetensi Dasar Materi Uraian Materi Indikator

1 Memahami sistembilangan Riil danoperasinya.

SistemBilanganRiil

1. Pengertian dan sifat2. Pertidaksamaan3. Nilai Mutlak

1. menelaskan pengertiansistem bilangan Riil.

2. melakukan operasi pada

bilangan riil3. menyelesaikan soalpertidaksamaan

!. menyelesaikan soal hargamutlak

2 Memahami konsepfungsi

"ungsi dan#rafik

1. pengertian2. Ma$am fungsi3. #rafik fungsi

%. menelaskan pengertianfungsi dan ma$amnya

&. menbedakan ma$am'ma$am fungsi

(. menentukan domain danrange dari suatu fungsi

). Menggambar grafik fungsidalam koordinat *artesius

3 Menggambargrafik fungsidalam koordinat

polar dan dapatmenggambarkur+anya

Sistem,oordinat,utub-polar

1. ,oordinat2. /ub. ,oord. ,utubdan koord.,artesius

3. #rafik

. menggambar grafik fungsidalam koordinat polar10. menetukan hubungan

antara kooridinat kartesiusdengan koordinat polar

11. mengubah persamaankartesius ke persamaan

polar12. mengubah persamaan polar

ke persamaan kartesius! Memahami dan

menerapkankonsep limit suatu

fungsi

imit Suatu"ungsi

1. efiinisi danteorema

2. imit Satu rah

3. imit tak hingga

13. Menelaskan pengertianlimit suatu fungsi

1!. memahami konsep limit

satu arah1%. memahami konsep limittak hingga

1&. menyelesaikan soal'soallimit

% memahami konsepkekontinuan suatufungsi danmenerapkannya

,ekontinuansuatu fungsi

1. ,ekontinuan padasuatu titik

2. ,ekontinuitas padasuatu selang

1(. menelaskan pengertiankekontinuan suatu fungsi

1). menentukan kekontinuansutu fungsi

& memahamikonsep turunansuatu fungsi.

4urunanSuatu"ungsi

1. efinisi2. 4eorema

1. menelaskan pengertianturunan

20. menggunakan teoremadalam penyelesaian soal

21. dalil rantai

( memahamikonsep turunansuatu fungsi.

4urunanfalabar dantrigonometri

1. 4urunanfalabar2. 4urunanf

trigonometri3. 4urunan tingkat tinggi

22. menyelesaikan soal'soalturunan fungsi alabar

23. menyelesaikan soal'soalturunan fungsitrigonometri

) memahamikonsep turunansuatu fungsi.

4urunanfungsiimplisit

1. fungsi implisit2. turunan tingkat

tinggi

2!. menyelesaikan soal'soalturunan fungsi implisit


4/13


memahamikonsep turunansuatu fungsi.

4urunanfungsieksponen danlogaritma

1. turunanfeksponen2. 4urunan fungsi

logaritma

2%. menyelesaikan soal'soalturunan fungsi logaritma

2&. menyelesaikan soal'soalturunan fungsi eksponen

10 Mengaplikasi kan

konsep turunandalam peme$ahansoal

Maksimum

danminimum

1. fnaik danfturun

2. nilai maksimum danminimum3. aplikasi maksimum

minimum

2(. memahami pengertian

fungsi naik dn fungsi turun2). memahami pengertiannilai maksimum danminimum

2. menerapkan konsepmaksimum dan minimumdalam peme$ahan masalah

30. Menyelesaikan soal yangberhubungan denganoptimasi denganmenggunakan turunan.

11 Mengaplikasi kankonsep turunandalam peme$ahansoal

4eoremaNilai rata'rata

1. 4eorema Rolle2. 4eorema Nilai rata'

rata

31. menyelesaikan soalteorema nilai rata'ratadengan menggunakanturunan

12 Mengaplikasi kankonsep turunandalam peme$ahansoal

Bentuk'bentuk 4ak4entu

1. Bentuk0

0

2. Bentuk

32. menyelesaikan bentuk taktentu denga menggunakanturunan

1.1. Sistem Bilangan Riil

1


5/13


Bilan'an 1iil dapat dipandan' seba'ai kumpulan titik-titik dalam dalam

sebuah 'aris mendatar atau selanutnya kita sebut seba'ai 'aris bilan'an. *ada

'aris bilan'an letak kumpulan titik-titik bilan'an itu men'ukur arak ke kanan atau kiri

dari suatu titik tetap2titik asal yan' diberi label 3. 4iap bilan'an hanya mempunyaisatu titik dalam sebuah 'aris bilan'an yan' kita sebut seba'ai k&&rdinat titik tersebut

(lihat ambar ).

Kita sudah men'enal maam-maam bilan'an yan' membentuk sistem

bilan'an 1iil, kita a#ali den'an sistem bilan'an yan' palin' sederhana yaitu sistem

bilan'an asli (natural numbers) yan' serin' dilamban'kan den'an , bilan'an itu6

, , , , . . .

den'an bilan'an ini kita dapat men'hitun' umlah kendaraan yan' mele#ati

ruas alan pada am-am tertentu, umlah karya#an pada suatu perusahaan k&nveksi

dan lain-lain.

Bilan'an bulat (integers) serin' dilamban'kan den'an (berasal dari

bahasa "erman, Zahlen), terdiri dari bilan'an asli bersama den'an ne'ati/nya dan

an'ka 06

. . ., -, -, -, -, 0, , , , , . . .

4ernyata bilan'an bulat tidak dapat memberikan ketelitian yan' ukup ketika

kita harus men'ukur berat, panan' dan yan' lainnya. Kita dapat membuat suatu

bilan'an rasi&nal (rational numbers) serin' dilamban'kan den'an 9 yan'

merupakan hasil ba'i antara dua bilan'an bulat, sehin''a kalau r melamban'kan

bilan'an rasi&nal maka6

b

ar= , dimanaa, bbilan'an bulat danb50

:&nt&h bilan'an rasi&nal adalah6

2 -2 0, ; 200 ;


6/13


misalnya 372!83 , disampin' itu ada bilan'an-bilan'an yan' tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk a2b, misalkan , e dan yan' lainnya. Bilan'an yan'

tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a2b disebut bilan'an tak rasi&nal2irasi&nal

(irrational numbers). ekumpulan bilan'an rasi&nal dan tak rasi&nal kita sebut

seba'ai bilan'an riil (real numbers) dan serin' kita lamban'kan den'an . Bilan'an

masih dapat kita perluas la'i menadi bilan'an k&mpleks, hampir semua mahasis#a

men'enal bentuk bilan'an 1+ ba . =khirnya kita dapat men'ikhtisarkan sistem

bila'an dalam 'ambari di ba#ah ini.

Gambar 2 istem Bilan'an

Untuk selanutnya dalam buku ini kalau disebutkan bilan'an, maka yan'

dimaksud adalah bilan'an riil keuali kalau disebutkan seara khusus.

Sifat-Sifat Oerasi Bilangan Riil

K&mbinasi dari bilan'an riil x dan y. Kita dapat menambahkan atau

men'kalikan bilan'an-bilan'an tersebut untuk mendapatkan suatu bilan'an baru.

3perasi penambahan diberi lamban' >?@ sehin''a penambahanydarixditulisx?y,

sedan'kan &perasi kali diberi lamban' > @ atau untuk memudahkan diberi lamban'titik >.@, sehin''a perkalian y terhadap xditulis seba'ai x A y ataux.y (atau ukup

ditulisxy saa). i/at-si/at dari &perasi tambah dan kali dari bilan'an riil dapat dilihat

pada tabel di ba#ah ini.

i/at-i/at 3perasi Bilan'an 1iil

Bilan'an1iil

Bilan'an1iil

Bilan'anrasi&nal

Bilan'anrasi&nal

Bilan'an1asi&nal

Bilan'an1asi&nal

Bilan'anBulat

Bilan'anBulat

Bilan'an Bulat

*&siti/2=sli

Bilan'an Bulat

*&siti/2=sli

&l&l

Bilan'an Bulate'ati/

Bilan'an Bulate'ati/

Bilan'anK&mpleks

Bilan'anK&mpleks

Bilan'anma'iner

Bilan'anma'iner

Bilan'an

*rima

Bilan'an

*rima

3


7/13


i/at :&nt&h +eskripsia. i/at K&mutati/

a? b; b? a 5 ? ; ? 5 Urutan pada &perasipenumlahan dua bilan'antidak berpen'aruh

ab ; ba 7 !8 ; 8 !7 Urutan pada &perasiperkalian dua bilan'an tidakberpen'aruh

b. i/at =s&siati/

(a? b) ? c; a? (b+ c) ( ? ) ? 5 ; ? ( ? 5) *ada saat menumlahkan ti'abilan'an, kita daptmenumlahkan dua bilan'anterlebih dahulu

(ab)c; a(bc) -% !3 !) 9 % !-3 !) *ada saat men'kalikan ti'abilan'an, kita daptmen'kalikan dua bilan'an

terlebih dahulu. i/at +istributi/

a(b? c) ; ab? ac ( ? 5) ; ! ? !5 *ada saat kita men'kalikansuatu bilan'an den'an umlahdari dua bilan'an hasilnyaakan sama den'anmen'kalikan bilan'an ituden'an masin'-masin'masin'-masin' bilan'antersebut dan kemudianmenumlahkannya

(b ? c)a; ab? ac ( ? 7)5 ; 5 ! ? 5 !7

$un'kin seara intuiti/ kita peraya persamaan di atas benar adanya, tapi

akan lebih baik kita tidak peraya sebelum men&ba membuktikannya, misalkan kita

ambil si/at as&siati/ dari penumlahan seperti terlihat dari &nt&h dalam tabel di atas.

( ? ) ? 5 ; 5 ? 5 ;0 dan ? ( ? 5) ; ? 8 ; 0

si/at distributi/ dapat diterapkan ketika kita men'kalikan suatu bilan'an den'an suatu

umlah dari bilan'an. al ini dapat dilihat dari ilustrasi di ba#ah ini6

Sifat Bilangan "egatif

!-3 : % !.3 : !.%

!


8/13


=n'ka n&l mempunyai si/at khusus dalam penumlahan, serin' disebut

identitas penjumlahan (additive identity), karena a? 0 ; 0 ? a; a, untuk setiap

bilan'an riil a mempunyai ne'ati/ (ditulis Ca, sedemikian sehin''a a ? (-a) ; 0,

pen'uran'an adalah &perasi penumlahan den'an ne'ati/. ehin''a &perasi

pen'uran'an bilan'an dapat kita tuliskan seba'ai berikut6

aC b; a? (-b)

K&mbinasi dari bilan'an riil bersama den'an ne'ati/nya, mempunyai si/at

seba'aimana terlihat pada tabel di ba#ah ini6

Sifat Bilangan "egatif

i/at :&nt&h

. (-)a; -a (-)7 ; -7

. C(-a) ; a -(-8) ; 8

. (-a)b; a(-b) ; -(ab) (-)8 ; (-8) ; - ( !8)

(-a)(-b) ; ab (-


9/13


i/at :&nt&h +eskripsi

bd

ac

d

c

b

a=

3%

2!

%(

)3

%

)

(

3=

=3perasi kali antar dua pemba'iansama den'an perkalian antarpembilan' diba'i den'an perkalianantar penyebut

c

d

b

a

d

c

b

a =12

3%

3

(

!

%

(

3

!

% == 3perasi ba'i antar dua pemba'iansama den'an membalik pemba'ikemudian men'kalikan

c

ba

c

b

c

a +=+

(

1!

(

)&

(

)

(

&=

+=+

*enumlahan dua pemba'ian yan'mempunyai penyebut sama adalahden'an menumlahkan pembilan'nya

bd

bcad

d

c

b

a +=+

1)

2(

&3

%3&2

&

%

3

2=

+=+

Untuk menumlahkan dua pemba'ianyan' mempunyai penyebut yan'berbeda sama den'an membuatpenyebut persekutuan. Kemudian

umlahkan kedua pembilan'nya

b

a

bc

ac

= %3

)%

)3

=

Bilan'an dapat di&ret ika pembilan'dan penyebut mempunyai /akt&rpersekutuan

"ikad

c

b

a=

maka bcad=&

!

3

2= u'a !3&2 =

*erkalian silan'

#ang$at Bilangan Bulat

ebuah perkalian dari bilan'an yan' identik (identical number) serin' kali

dinyatakan seba'ai pan'kat, seba'ai &nt&h E E ; .

"%tasi ang$at

"ika asuatu bilan'an 1iil dan n sebuah bilan'an bulat, maka pan'kat n dari a

adalah6

kalin

naaaaa =

Bilan'an adisebut basis dan ndisebut eksp&nen

*erkalian dua perpan'katan yan' mempunyai basis sama, yaitu den'an

menumlahkan eksp&nennya6

A -; (-); ;

atau dapat kita nyatakan seba'ai

nm

nmnm

nm

aaaaaaaaaaaaaaa+

+

=== kalikalikali

.-.-

&


10/13


55. 5 ; (5 . 5 . 5 . 5 . 5).(5 . 5) ; (5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5)

; 57; 55 ? ; 785

dapat disimpulkan bah#a6

nmnmaaa += , dimana mdan nbilan'an bulat p&siti/. al itu akan berlaku

untuk mdan nn&l dan ne'ati/ seperti terlihat di ba#ah

0A ; 0?;

al ini dapat dilakukan karena 0; , demikian u'a untuk6

A -5 ; ? (- 5); -

dan ini benar ika -; 2.

#ang$at "%l dan "egatif

"ika aF 0 suatu bilan'an 1iil dan nsebuah bilan'an bulat, maka6

10 =a dan nn

aa

1=

)1

1

3

1

3.3.3.3

13

!

! ===

A$ar

elama ini pan'kat dari suatu bilan'an selalu bernilai bulat. 4etapi pan'kat

dari suatu bilan'an tidak selalu bernilai bulat misalkan 2, pan'kat dari bilan'an

tersebut merupakan bilan'an rasi&nal. imbul dibaa den'an >akar positif dari@.

ehin''a6

ba = setara den'an b; adan b G 0

Karenaa = b


11/13


n a ; b setara den'an bn; a

"ika n'enap maka aG 0 dan bG 0

$aka62)3 = karena ; 8

2)3 = karena-'23 9 ')

akar tidak lain adalah akar pan'kat ndimana n; sehin''a 2 ) ukup ditulis ) 8

akan tetapi 2 ) tidak terde/inisi, karena akar dari setiap bilan'an riil adalah

n&nne'ati/.

*an'kat 1asi&nal

"ika pan'kat rasi&nalm

2n, dimana

mdan

nbilan'an bulatdan

nH 0, maka

( )mnnm aa =7 setara den'an n mnm aa =7

"ika n'enap maka kita mensyaratkan aG 0

Berdarkan de/inisi di atas dapat bibuktikan bah#a hukum perpan'katan u'a

berlaku untuk pan'kat rasi&nal.

ederhanakan pan'kat rasi&nal


12/13


nmnmaa

=.- *an'kat dari suatu pan'kat, men'kalikan eksp&nennyannn

baab =.- *an'kat dari perkalian, men'kalikan bilan'an berpan'kat

tersebut

n

nn

b

a

b

a

=

*an'kat dari pemba'ian, timbul dari hasil bari pemba'ian

pembilan' dan penyebut den'an pan'kat sama

n

nn

a

b

b

a=

asil pan'kat ne'ati/ dari pemba'ian sama den'an membalik

pemba'ian den'an pan'kat sama

m

n

n

m

a

a

a

a=

"ika bilan'an rasi&nal pembilan' dan penyebutnya mempunyai

pan'kat ne'ati/ maka kita dapat membalik p&sisinya

ederhanakan persamaan 33

2233

2

!

-

-

xy

yx

y

x

I

Penyelesaian:+en'an men''unakan beberapa aturan yan' ada pada tabel di ataskita dapat menyelesaikan, yaitu

==

3

!&

&

12

33

2233

2

!

.-

-

yx

yx

y

x

xy

yx

y

x11

1%

1%3

!1)

y

x

yx

yx=

ederhanakan penulisan akar menadi bentuk pan'kat dari bilan'an

berikutI

Penyelesaian:

a. xxx ;271271273271271271271271271 ------- xxxxxxxx ==

9 )7(271!7(271!73 -- xxxx ==

b. !73!71271!71271! 1212.!.-3-.!.-3- xxxxxx === +

S%al-S%al &ang Ber$aitan

. ederhanakan bentuk pan'kat berikut6

a. !% aa b. .%.-3- 23!3

yxyx

. 3.3- a d.

1

%2

21

qpr

qrp

e.27%372

.-a /.

273

3

!

y

yx

'.(&

%3

ba

ba

h.

2

2

2323 2.2-

c

bacab


13/13


. unakan manipulasi alabar untuk men'hilan'kan tanda kurun' dari s&al di

ba#ah ini

a. C

Sistem Bilangan Ril

Documents

Transcript of Sistem Bilangan Ril