BAB III

PENDEKATAN DAN KESALAHAN

1. Pendahuluan

Metode Numerik merupakan suatu teknik/Metode penyelesaian

permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan

(aritmatik). Pendekatan penyelesaian dengan metode ini dilakukan apabila

penggunaan penyelesaian secara umum (analitis) sulit dilakukan. Hal-hal khusus

yang dimiliki oleh metoda ini adalah: adanya proses penghitungan yang berulang-

ulang (iteratif) yang membawa konsekwensi adanya alat bantu untuk proses

otomatisasi dari iterasi tersebut yaitu (program) komputer. Komputer adalah

mesin penghitung elektronik yang cepat dan dapat menerima informasi input

digital, kemudian memprosesnya sesuai dengan program yang tersimpan di

memorinya, dan menghasilkan output berupa informasi. Sebelum suatu

permasalahan bisa diselesaikan dengan bantuan komputer diperlukan langkah

langkah antara lain: proses pemodelan matematis dari situasi nyata, penyediaan

input dan data yang cukup bagi model, dan pembuatan algoritma program.

PENDEKATAN DAN KESALAHAN

Kesalahan di dalam metode numerik dibagi menjadi dua macam yaitu

1. Kesalahan pembulatan ( round of error)

2. Kesalahan pemotongan ( truncation error )

Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan misalnya

0.4 menjadi 0 atau 0,5 menjadi 1.Sedangkan kesalahan pemotongan adalah kesalahan

yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan.

Kesalahan numerik adalah kesalahan yang timbul karena adanya proses

pendekatan.Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah

Kelompok 1 1

Dimana : xˆ adalah nilai yang sebenarnya ( nilai eksak )

: x adalah nilai pendekatan yang dihasilakan dari metode numerik

: e adalah kesalahan numerik.

Kesalahan fraksional adalah prosentase antara kesalahandan nilai sebenarnya.

Pada banyak permasalahan kesalahan fraksional di atas sulit atau tidak bisa dihitung,

karena nilai eksaknya tidak diketahui.Sehingga kesalahan fraksional dihitung

berdasarkan nilai pendekatan yang diperoleh:

dimana e pada waktu ke n adalah selisih nilai pendekatan ke n dan ke n-1

Kelompok 1 2

2. Sistem Angka

Dalam Kehidupan sehari-hari, angka yang dipergunakan berdasarkan pada

sistem desimal. Misalnya contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:

157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)

Perhatikan, Sekarang kita bisa mengetahui mengapa bilangan desimal ini

sering juga disebut basis 10 bukan? Benar. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10

yang didapat dari 100, 101, 102, dsb. Secara umum bentuk suatu bilangan

berbasis 10 dinyatakan dalam bentuk persamaan di bawah ini.

Dimana :

an : koefisien ke-n dari polinomial berbasis 10 (bilangan antara 0 sampai 9)

Data di dalam komputer berupa denyut listrik, dengan 1 (on) 0 (off).

Karena hanya mengunakan dua digit 0 dan 1 maka dinamakan binary number

system. Singkatan dari binary digit adalah bit dipakai sebagai unit dasar ketika

kita mengukur besarnya data, semua tombol pada keyboard dikirim ke komputer

dalam bentuk kode biner. Suatu bilangan bulat bukan negatif dalam sistem biner

adalah.

Dimana :

an : koefisien ke-n dari polinomial berbasis 2 (bilangan 0 atau 1)

Kelompok 1 3

Konversi bilangan bulat berbasis 3 kepada berbasis 10 dilakukan dengan

menggunakan algoritma dengan koefisien:

Dan suatu bilangan 3, maka perhitungan bilangan:

Dengan demikian bo =p(3) _ hasil akhir

3. AKURASI DAN PRESISI

Kelompok 1 4

Perhatikan hasil tembakan yang dilakukan oleh 4 orang seperti gambar berikut :

Dari 4 gambar di atas, gambar (a) menunjukkan hasil yang akurat dan

presisi.Gambar (b) menunjukkan hasil yang presisi tetapi tidak akurat. Gambar (c)

menunjukkan hasil yang sebenarnya akurat teteapi tidak presisi. Dan gambar (d)

menunjukkan hasil yang tidak akurat dan tidak presisi. Akurasi dalam hal ini sangat

tergantung pada penembak, dan presisi tergantung pada senapan dan

perlengkapannya.

Nilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan dan

sebaran bacaan berulang pada alat ukur.Pemakaian alat ukur penggaris dan jangka

sorong akan mempunyai perbedaan nilai presisi.Pemakaian jangka sorong

mempunyai presisi yang lebih tinggi.

Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilai pendekatan yang

dihasilkan dengan nilai acuan atau nilai eksak.Misalkan nilai eksak diketahui ½,

sedangkan hasil pendekatan adalah 0.500001 maka hasil ini dikatakan akurat bila

torelansinya 10-4.

Dari keadaan akurat dan presisi ini, akan muncul apa yang dinamakan

kesalahan (error).Dalam analisa numerik, dimana penyelesaian dihitung

menggunakan nilai-nilai pendekatan, error menjadi hal yang sangat penting dan

diperhatikan.

4. KESALAHAN

Kelompok 1 5

Dalam perhitungan menggunakan metode numerik ada potensi terjadinya

kesalahan yang desebabkan oleh beberapa faktor antara lain:

Bawaan data: Kesalahan ini muncul akibat adanya kekeliruan dalam

memberikan data dan kesalahan dalam mengambil asumsi terhadap data.

Pembulatan (rounding): Kesalahan ini terjadi akibat penentuan jumlah

angka di belakang koma. Misal :

bilangan 0.6123467 → sebanyak 7 digit

Menjadi 0.612347 → 6 digit karena pembatasan alokasi digit bilangan.

Dalam bilangan berbentuk pecahan dikenal suatu istilah Angka signifikan,

yang merupakan angka-angka yang terdapat dalam bilangan pecahan yang

berpengaruh dalam perhitungan. Angka signifikan tersebut adalah:

1. Merupakan angka 1 s/d 9.

2. Angka 0 dibelakang koma sebelum ada angka 1 s/d 9 di abaikan.

Contoh, 0.0005813 memiliki 4(empat) angka signifikan, sedangkan

0.700124 mempunyai 6(enam) angka signifikan.

Pemotongan (chopping): Kesalahan oleh proses ini timbul pada angka

pecahan, yang diambil sebagai angka pecahan yang dinormalisir (mis.

543.8 menjadi 0.5438(103))

Pertanyaan yang timbul, apakah suatu bilangan mengalami pembulatan atau

pemotongan dapat dilihat pada ilustrasi contoh berikut.Contoh bila ada bilangan

x=2/3, dalam bentuk desimal adalah x=0.6666666 …, maka bila bilangan ini

dinormailisasi akan menjadi:

1. x=0.67,

2. x=0.66 jika merupakan pemotongan.

jika x=0.67 proses yang terjadi merupakan pembulatan, sedangkan jika x=0.66

maka proses yang terjadi merupakan pemotongan.

4.1 KESALAHAN MUTLAK

Kelompok 1 6

Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran, atau perhitungan adalah

perbedaan numerik nilai sesungguhnya terhadap nilaii pendekatan yang diberikan,

atau yang diperoleh dari hasil perhitungan atau pengukuran. Penulisan rumusnya

adalah seperti di bawah ini.

Kesalahan(Error) = Nilai Eksak - Nilai Perkiraan

dimana:

Ee : Kesalahan Absolut

P : Nilai eksak

P* : Nilai Perkiraan

4.2 KESALAHAN RELATIF

Kesalahan relatif adalah kesalahan mutlak dibandingkan dengan terhadap nilai

eksak yang terjadi. Penulisan rumusnya adalah seperti di bawah ini.

dimana:

: Kesalahan relatif terhadap nilai eksak

Ee : Kesalahan Absolut

P : Nilai eksak

P* : Nilai Perkiraan

4.3 PROSENTASE KESALAHAN

Prosentase kesalahan adalah prosentase kesalahan relatif dibandingkan dengan

perkiraan terbaik yang terjadi. Penulisan rumusnya adalah seperti di bawah ini.

Kelompok 1 7

Dimana :

: kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik

P* : nilai perkiraan terbaik

Dalam operasi numerik, seringkali tidak bisa ditemukan nilai eksak

berdasarkan proses perhitungan secara analisa sehingga yang dipergunakan adalah

nilai pada langkah iterasi tertentu. Dalam menentukan kesalahan relatif

dipergunakan nilai selisih antara iterasi yang terakhir (misal n+1 merupakan

iterasi terakhir) dan iterasi sebelumnya (misal n). Sehingga dalam bentuk rumus

sederhana akan terlihat seperti di bawah ini.

dimana:

P*n : nilai perkiraan pada iterasi ke – n

P*n+1 : nilai perkiraan pada iterasi ke – n+1

Kecermatan atau besar/kecilnya suatu kesalahan relatif dari suatu pengukuran

atau hasil perhitungan tergantung dengan angka signifikan dari bilangan.

Misalkan pada proses pengukuran di bawah ini yang dilakukan pada obyek

tulangan baja dan suatu badan jalan.

− pengukuran diameter 32 mm tulangan

− pengukuran 1.60 km jalan

Tulangan baja diukur pada nilai terdekat pada satuan mm, sehingga

kesalahan mutlak yang terjadi dari pengukuran diameter tulangan baja adalah

sebesar 0.05 mm. Kemudian, pengukuran 1.60 km jalan, yang diukur terhadap

nilai terdekat cm, menimbulkan kesalahan mutlak sebesar 0.5 cm. kesalahan

relatif yang terjadi. Dari keadaan ini

− pada baja tulangan

− pada jalan

Kelompok 1 8

Kesalahan = │perkiraan – nilai sebenarnya │

Kesalahan Relatif =

Dalam perhitungan numerik, nilai sebenarnya justru sering tidak diketahui,

yang didapat hanya perkiraan terbaik. Karena perkiraan langkah berikut dianggap

lebih akurat, yaitu lebih mendekati nilai sebenarnya, maka kesalahan yang

dihitung yaitu:

False Position ( Posisi Kesalahan )

Di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi merupakan garis

lurus. Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol ditentukan sebagai akar

fungsi.

Kelompok 1 9

Diperoleh :

Langkah – Langkah :

1. Perkirakan akar fungsi (bisa dengan cara

memplot fungsi).

2. Tentukan batas awal yang mengurung akar

fungsi.

3. Tarik garis lurus penghubung nilai fungsi

pada kedua batas, lalu cari titik potongnya

dengan garis nol.

4. Geser salah satu batas ke titik potong itu,

sementara batas lain tidak berubah. Ulangi

langkah 3.

5. Ulangi langkah 4 sampai dianggap cukup.

6. Titik potong garis nol dan garis lurus yang

terakhir dinyatakan sebagai akar fungsi.

Metode false position juga menggunakan dua batas seperti metode bisection.

Namun, berbeda dari metode bisection, pada metoda false position hanya satu

batas yang berubah.

Pada contoh sebelum ini, batas a berubah sementara batas b tetap. Pada contoh

berikut terjadi sebaliknya.

Kelompok 1 10

Menghitung akar fungsi dengan metode false position, menggunakan a dan b

sebagai batas awal:

a. jika batas a tetap, batas b berubah :

b. Jika batas b tetap, batas a berubah :

c. Kesalahan relatif semu :

Perhitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu telah sampai pada batas

yang diinginkan

Kelompok 1 11

CONTOH SOAL DAN JAWABAN

1. Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9

cm. Apabila panjang yg benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm. Hitung

kesalahan absolut dan relatif!

Jawab :

a. Kesalahan absolut

Kelompok 1 12

Jembatan = 10.000 – 9999 = 1 cm

Pensil = 10 – 9 = 1 cm

b. Kesalahan Relatif

Jembatan

Pensil

Kedua kesalahan sama yaitu 1 cm tetapi kesalahan relatif pensil adalah jauh lebih

besar.

CONTOH SOAL 2

Kelompok 1 13

CONTOH SOAL 3

Kelompok 1 14

Kelompok 1 15

Tugas ini dibuat untuk memenuhi nilai tugas mata kuliah Metode Numerik

Semester Genap

Disusun Oleh :1. Eko Wahyuning Pamungkas (07220008)

2. Tedi Margino (07220004)

3. Annas Muzakki S (072200023)

Insitut Sains Dan Teknologi Nasional

Jakarta

2008

Kelompok 1 16