Simulasi Monte Carlo

Simulasi Monte Carlo

• Simulasi monte carlo melibatkan penggunaan angka acak untuk memodelkan sistem, dimana waktu tidak memegang peranan yang substantif (model statis)

• Pembangkitan data buatan (artificial data) dengan menggunakan pembangkit angka acak (pseudo random numbers generator) dan sebaran komulatif yang menjadi interes

• Pembangkit Angka Acak– Membangkitkan peubah acak (random

variable) yang menyebar uniform pada interval 0 sampai 1 (U(0,1), contohnya adalah fungsi rand() pada excel)

– Adalah tidak mungkin membangkitkan angka acak yang sebenarnya (truly random numbers) dengan suatu algoritma komputer

Simulasi Monte Carlo …

• Angka acak U(0,1) ini, kemudian ditransformasikan sehingga akan mengikuti suatu sebaran peluang yang diinginkan– Uniform (a,b)– Normal (, )– Simetrik Triangular (a,b)

Simulasi Monte Carlo …

Contoh 1 - Nilai Investasi

• Anda merencanakan untuk menginvestasikan Rp.150 juta dana yang anda miliki, dan tersedia tiga instrumen investasi yang dapat dipilih

• Tingkat pengembalian masing-masing instrumen investasi ini merupakan peubah acak (berturut-turut RL, RM dan RH) dan sebaran masing-masing peubah acak tersebut diberikan oleh tabel 1

• Gunakan simulasi monte carlo untuk menentukan distribusi nilai investasi setelah akhir satu tahun, berdasarkan alokasi dana awal yang telah ditentukan

Contoh 1 - Nilai Investasi …

Pilihan Investasi

Sebaran tingkat pengembalian (%)

Risiko rendah RL ~ Normal (3,1)

Risiko sedang RM ~ Normal (5,5)

Risiko tinggi RH ~ Normal (10,15)

Tabel 1

•Setelah satu tahun nilai investasinya diberikan oleh rumus berikut

V = SL(1+RL) + SM(1+RM) + SH(1+RH)

• Suatu perusahaan bermaksud memproduksi dan menjual produk baru dibawah pasar yang bersaing sempurna

• Total keuntungan diberikan oleh persamaan berikut ini

TP = (Q x P) – (Q x V + F)• Dimana

– Q adalah banyaknya unit yang terjual– V adalah biaya variabel per unit– P adalah harga jual per unit– F adalah biaya tetap untuk memproduksi

produk itu

Contoh 2 : PendugaanKeuntungan

• Pada produk ini, Q, P dan V merupakan peubah acak dengan sebaran peluang berikut:– Q ~ Uniform (80.000, 120.000)– P ~ Normal (22, 5)– V ~ Normal (12, 8)

• F diduga besarnya adalah 300.000• Gunakan simulasi monte carlo untuk

menentukan sebaran total keuntungan dari produk yang direncanakan tersebut

Contoh 2 : PendugaanKeuntungan

Contoh 3- simulasi monte carlo dengan sebaran empiris

• Toko roti Betty memesan sejumlah roti setiap hari; disimpan dalam persediaan

• Toko itu bermaksud menentukan berapa banyak roti yang harus dipesan setiap hari, agar keuntungannya maksimal

• Diasumsikan bahwa semua roti yang tidak terjual pada hari itu tidak dapat dijual kembali pada hari berikutnya, dan dihitung sebagai kerugian

Contoh 3 …

• Toko Betty mengumpulkan data harian permintaan rotinya selama 100 hari, dan frekuensi permitaannya sebagai berikut

Permintaan(roti)

Midpoint Frekuensi

20 –24 22 0,05

25 – 29 27 0,10

30 – 34 32 0,20

35 – 39 37 0,30

40 – 44 42 0,20

45 – 49 47 0,10

50 – 54 52 0,05

• Ada dua skenario yang ingin dievaluasi, yang mana yang akan memberikan keuntungan maksimal

1. Memesan sejumlah roti sama dengan permintaan pada hari sebelumnya

2. Memesan 37 roti setiap hari tanpa memandang permintaan yang lalu

• Misalkan roti dijual Rp.500,- per buah dan harga pembelian dari pabrik adalah Rp.250,- per buah

• Manakah skenario yang memberikan keuntungan maksimal berdasarkan 15 hari simulasi

Contoh 3 …

• Penyelesaian– Berdasarkan tabel sebaran frekuensi

yang diperoleh sebelumnya, dibuat tabel rentang angka acak. Lebar rentang angka acak didasarkan pada frekuensi relatif tiap permintaan

– Titik tengah (midpoint) permintaan mewakili nilai permintaan yang akan dibangkitkan. Hasilnya ditunjukkan oleh Tabel 3.

Contoh 3 …

• Tabel 3

Contoh 3 …

Midpoint permintaan

Frekuensi Rentang angka acak

22 0,05 0,000 - 0,049

27 0,10 0,050 - 0,149

32 0,20 0,150 - 0,349

37 0,30 0,350 – 0,649

42 0,20 0,650 – 0,849

47 0,10 0,850 – 0,949

52 0,05 0,950 – 1,000

Angka acak 0,173 akan bersesuaian dengan permintaan 32 roti, dan seterusnya.

• Bangkitkan 15 buah angka acak, bersesuaian dengan 15 hari simulasi (dapat menggunakan calculator, sehingga diperoleh angka acak dengan tiga digit dibelakang koma)

• Misalkan angka acak yang diperoleh (anda mungkin akan mendapatkan angka-angka acak yang berbeda) adalah:0,272 0,433 0,851 0,882 0,298 0,697 0,940 0,639 0,323 0,488 0,136 0,139 0,544 0,152 0,475

Contoh 3 …

Contoh 3 …Skenario 1 Skenario 2

Hari AngkaAcak

Permintaan

Jumlah pesanan

Penjualan

Jumlah pesanan

Penjualan

0 37

1 0,272 32 37 32 37 32

2 0,433 37 32 32 37 37

3 0,851 47 37 37 37 37

4 0,882 47 47 47 37 37

5 0,298 32 47 32 37 32

6 0,697 42 32 32 37 37

7 0,940 47 42 42 37 37

8 0,639 37 47 37 37 37

9 0,323 32 37 32 37 32

10 0,488 37 32 32 37 37

11 0,136 27 37 27 37 27

12 0,139 27 27 27 37 27

13 0,544 37 27 27 37 37

14 0152 32 37 32 37 32

15 0,475 37 32 32 37 37

Jumlah => 587 550 500 555 515

• Pada simulasi ini permintaan merupakan peubah acak yang nilai-nilainya dibangkitkan (data artifisial)

• Penjualan = minimum nilai permintaan dan pemesanan.

• Skenario 1: – Keuntungan = 500 (500) – 250 (550) =

Rp.112.500

• Skenario 2:– Keuntungan = 500 (515) – 250 (555) =

Rp.118.750

Contoh 3 …