SIFAT-SIFAT YANG BERHUBUNGAN DENGAN …pustaka.unp.ac.id/file/abstrak_kki/abstrak_TA/2_MELLYSA...ini...

SIFAT-SIFAT YANG BERHUBUNGAN DENGAN SUDUT DAN SISI

PADA SEGITIGA SPHERIS

TUGAS AKHIR

Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Memperoleh

Gelar Sarjana Sains

Oleh

MELLYSA PUTRI ANGGRAINI

NIM. 01822

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2012

Alhamdulillahirobbil’alamin.....

Dengan rasa syukur yang besar dan sujud yang dalam kepada-Nya, Rabb semesta

alam di mana hanya kepada-Nya segala mahluk dan elemen-elemen di bumi

senantiasa mentasbihkan asma-Nya melalui hembusan angin, derak ranting hingga

rinai hujan. Atas limpahan rahmat, Karunia dan Kasih sayang-Nya kita masih

memiliki energi untuk dapat bergerak secara sinergis sehingga Penulis dapat berdiri

tegar dan menyelesaikan tulisan sedehana ini.

Kupersembahkan totalitas usaha, Karya, dan buah Pikiranku ini untuk kedua orang

tua ku.

Papa dan Mama tersayang,

Tiap tetes peluh, tiap gores luka, tiap detik perjuangan untuk gadis kecil mu

ini menjadi saksi penuh cinta dihadapanNya atas hak mu akan surga….

Terimakasih pa..

Kau motivator dalam hidupku,

Belahan jiwa yang selalu mencukupi segala kebutuhanku dengan

keringatmu.

Walau kini tak dapat lagi melihat sosokmu, tapi selalu hadir dalam

anganku. Maaf diakhir pertemuan kita, belum sempat membuat mu bangga.

Terimakasih ma,

Kau merupakan kampus peradaban pertamaku, mengajarkanku mengeja arti

kehidupan. Nasihatmu memberi kekuatan untukku, rangkulanmu menjadi

penyangga kerapuhanku, untuk menapaki hari-hari penuh liku.

Terimakasih ma,telah mencurahkan hati, perasaan, kasih sayang, waktu dan tenaga,

memberikan motivasi, bimbingan dan mengingatkanku selama ini, terimakasih atas

do’a yang selalu mengiringi setiap langkahku, serta menjadikan semangat untuk

melangkah demi masa depan. Setiap langkahku adalah untuk membuat Papa dan

Mama selalu bangga.

Saudara-ku

Uda Ary, kakak laki-laki tertua sekaligus saudara kandungku satu-satunya,

Magnet senama yang tolak menolak selalu menjadi perumpamaan yang terlintas

dalam pikiranku, tidak pernah sejalan dan ada saja kandungan ion-ion negatif dari

elektromagnetik sehingga selalu saja ada perselisihan kecil antara kita. Kata maaf

adalah kata yang paling ingin terlontar dari mulutku. Maaf da, karena selalu

merepotkan, menyebalkan, atau menjadi beban yang hidup yang tidak bisa dilipat

atau disimpan sekadar di saku celana agar diam dan tidak berisik. makasi ya da,

Nasehat uda selalu memberikan dorongan dan semangat untuk menyelesaikan

skripsi ini. Mudah-mudahan kita dapat menjadi anak yang sholeh dan sholehah

yang dapat membuat papa dan mama bangga serta menjadi tabungan amal untuk

beliau nantinya.

Kakak iparku,”kak Ayu. Makasi buat support dan nasehat kakak, Makasi

sepatunya ya kak. Hehe. Di tunggu Ponakannya ya kak....

Kepada Oma dan Nenek ,”terimakasih atas kelembutan hati dan kasih sayangnya.

Kepada pak etek n etek Mus (terimakasih untuk semua nasehat, perhatian dan

motivasi yang membuatku optimis dalam menghadapi impian), Uci ( Insyaallah

Oktober nanti wisudanya lancar ya ci, capek baralek ya Ci.. Haha..), Anduang labor,

Anduang khatib, Pa kak iya n Ma kak iya, Mak itam, Mak utiah, Mak Uniang,

Uncu, semua keluaga Bako dan Smua Sepupu (terimakasih atas nasehat, perhatian

dan dukungannya selama ini).

Untuk yang luar biasa,” dosen-dosen ku

Pak Yusmet, terimakasih kepada bapak selaku dosen pembimbing utama yang

senantiasa rela memberikan waktunya untuk memberikan bimbingan, bantuan,

motivasi, arahan serta doa dalam penyusunan skripsi ini dari awal sampai akhir.

Buk Helma, terimakasih bu untuk semuanya, ibu Tidak pernah bosan memberikan

bimbingan, arahan, saran, support serta kritik. Terimakasih atas nasehat yang

selaluku rindukan, mengajarkan ku bagaimana makna kehidupan sesungguhnya,,,

mudah-mudahan icha bisa lebih banyak belajar lagi ya bu. Do’a kan icha bu... Sekali

lagi, Terimakasih untuk ilmu yang luar biasa indah yang sudah ibu berikan.

Pak Atus, bu Dewi, dan bu Mirna, terimakasih untuk semua arahan, masukan, dan

nasehat yang telah bapak/ibu berikan.

Untuk orang-orang yang selalu memotivasiku

Teman-teman terbaikku Matematika 2008.

Untuk semua teman-teman calon wisudawan sept2012. Nurhaida (terimakasih untuk

semua bantuan eda,bercerita dengan eda mmbuat hati tenang), pipit ( teman bercerita

wejangan yang baik.hehe), ilen (makasih untuk do’a penenang yang ilen ajarkan),

reni( makasi untuk wawasan yang reni berikan), winda, Tika, fani, sivia n Fanez

(mudah2an kita dapat membawa kesuksesan ditangan masing-masing, Amin....), Kak

beti( dari kakak icha banyak belajar kesabaran yang sesugguhnya).

Sahabat-sahabatku yang akan menyusul insyaAllah di bulan maret nanti,

Sorta Purnawanti,” makasi untuk semua bantuan ta selama penulisan skripsi ini.

Cepat nyusul ya ta. icha doakan. Venny n Iyank,” ( makasi lah nio jadi seksi

konsumsi dalam acara sminar n kompre ca kemaren.... hehe. Kalau ndak do kalian

mungkin lah kalang kabut ca ma. Bilo waq karokean lae??? Haha.), nina ( maaf ya

na, ca sering ngrepotin nina aja), minori (alias lusi),mia, nova (udah dapat judulnya

va???), yesi,Ika Queen, ika jubir, Elvi, radi ( Keep spirit yo ya,, jgn lupakan bisnis

kita), rahma, selly, fifi, yongki, riki (makasih buat semua bantuannya ya ki..), kokom

(alias Hari), arif, ridho, Hendri, Musfil ( terimakasih teman, kesuksesan menanti

kita semua).

Terimakasih untuk senior Math 2007 yang mengajarkanku segala hal tentang

penulisan skripsi ini, kak vivi (makasi Ppt nya ya kak), da Zet (makasi untuk semua

nasehat uda 4 tahun ini da), bg Farid (terimakasih masukannya bg, masukan abg

juga menjadi salah satu bekal dalam menghadapi kompre). Math 2009, khususnya

wimi n fera ( semangat ya dek, skripsi menanti kalian.. Fighting !), Math 2010 dan

generasi selanjutnya.

Spesial to

Seseorang yang selalu ada saat ku butuhkan, motivator pribadi, mengungkapkan

segala resah gulana, kegelisahan, setumpuk permasalahan, meminta advice,

bantuan, serta selalu memberikan dukungan dan semangat. Nasehat dan saran

yang kamu berikan adalah hal yang menolong dan membuatku tersadar untuk

berusaha lebih baik.

Kalimat penenang yang kamu berikan adalah hal yang membuatku dapat bangkit

dan tidak takut lagi ketika berbagai tamparan dan teguran menghampiriku dan

membuatku merasa putus asa.

Terimakasih atas kesabaran dan kesetiaanmu mendampingiku dalam penulisan

skripsi ini.Thank you for being who you are and for being with me.

Akhir kata, semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat. Jika hidup bisa

kuceritakan di atas kertas, entah berapa banyak yang dibutuhkan hanya untuk

kuucapkan terima kasih.

Padang, 29 Agustus 2012

Mellysa Putri Anggraini

ABSTRAK

Mellysa Putri Anggraini : Sifat-Sifat yang Berhubungan dengan Sudut Dan

Sisi Pada Segitiga Spheris

Segitiga Spheris terbentuk dari suatu bagian permukaan bola yang

diperoleh dari perpotongan tiga lingkaran besar pada bola. Besaran sisi pada

Segitiga Spheris dinyatakan dalam sudut atau radian. Pada Segitiga Euclid

terdapat sifat-sifat dan aturan-aturan seperti aturan sinus, cosinus dan rumus

sudut. Berdasarkan hal ini, dilakukan penelitian yang bertujuan untuk mengkaji

sifat-sifat pada Segitiga Spheris, khususnya yang berhubungan dengan sudut dan

sisi.

Penelitian ini merupakan penelitian dasar (teoritis). Metode yang

digunakan adalah metode deskriptif dengan menganalisis teori yang relevan

dengan permasalahan yang dibahas dan berlandaskan kepada studi kepustakaan.

Berdasarkan hasil studi kepustakaan yang dilakukan, maka didapatkan

sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris yaitu

1. Sifat-Sifat yang berkaitan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris

a. Jika panjang dua sisi sama, maka besar sudut di depan kedua sisi tersebut

juga sama dan sebaliknya

b. Aturan sinus yaitu :

c. Aturan cosinus untuk sisi yaitu :

d. Aturan cosinus untuk sudut yaitu :

2. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sisi pada Segitiga Spheris

a. Jumlah dari dua sisi lebih besar dari sisi ketiga

b. Jumlah ketiga sisi kurang dari

c. Rumus Sudut yaitu

3. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sudut pada Segitiga Spheris

1. Jumlah ketiga sudut lebih dari dan kurang dari

2. Rumus sisi yaitu

,

Beserta metode segitiga siku-siku yang digunakan untuk solusi alternatif dalam

menyelesaikan kasus-kasus yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada

Segitiga Spheris .

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang

berjudul “Sifat-Sifat yang Berhubungan dengan Sudut dan sisi Pada Segitiga

Spheris ”. Tugas akhir ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Strata Satu (S1) di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri

Padang.

Dalam menyelesaikan tugas akhir ini penulis banyak mendapatkan

bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak. Untuk itu dalam kesempatan ini

penulis mengucapkan terima kasih yang setulus-tulusnya kepada :

1. Bapak Drs. Yusmet Rizal, M.Si. Pembimbing I dan Penasehat Akademik.

2. Ibu Dra. Hj. Helma, M.Si. Pembimbing II.

3. Bapak Drs. Atus Amadi Putra, M.Si, Ibu Dra. Dewi Murni, M.Si, dan

Ibu Mirna, S.Pd., M.Pd, Tim Penguji pada Tugas Akhir ini.

4. Ibu Dr. Armiati, M.Pd, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNP.

5. Bapak Muhammad Subhan, M. Si, Sekretaris jurusan dan Ketua Prodi

Matematika FMIPA UNP.

6. Bapak dan Ibu staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA UNP

7. Seluruh Staf Administrasi dan Staf Labor Komputer Matematika FMIPA

UNP.

8. Rekan-rekan serta semua pihak yang telah ikut berpartisipasi membantu

dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

ii

Semoga segala bimbingan, bantuan dan motivasi yang telah diberikan

menjadi amal ibadah dan mendapat balasan di sisi-Nya. Amin.

Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih belum sempurna. Oleh

karena itu, penulis mengharapkan kritikan dan saran yang sifatnya membangun

demi kesempurnaan Tugas Akhir ini. Semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi

penulis dan pembaca.

Padang, Juli 2012

Penulis

iii

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK i

KATA PENGANTAR ………………………………………………………. ii

DAFTAR ISI………………………………………………………................. iv

DAFTAR GAMBAR…………………………………………………………. vi

DAFTAR LAMPIRAN……………………………………………………….. vii

BAB I PENDAHULUAN.

A. Latar Belakang…………………………………………………...

B. Rumusan Masalah……………………………………………......

C. Tujuan Penelitian………………………………………………...

D. Manfaat Penelitian………. ……………………………………...

E. Metodologi Penelitian……………………………………………

1

4

5

5

5

BAB II KAJIAN TEORI

A. Segitiga Euclid…………………………………………………...

1. Sifat Dasar Segitiga Euclid………………………………….

2. Rumus Sudut Rangkap Pada Segitiga Euclid………………

3. Aturan Sinus Pada Segitiga Euclid…………………………

4. Aturan Cosinus Pada Segitiga Euclid………………………

5. Aturan Sudut Pada Segitiga Euclid………………………

B. Segitiga Spheris…………………………………………………..

1. Sudut Dihedral………………………………………………

2. Sudut Trihedral………………………………………………

3. Segitiga Siku-Siku Spheris…………………………………

7

9

10

10

11

11

13

13

15

15

BAB III PEMBAHASAN

A. Sifat-Sifat yang Berhubungan dengan Sudut dan Sisi pada

Segitiga Spheris…………………………………………………

1. Sifat-Sifat yang berkaitan dengan sudut dan sisi pada

Segitiga Spheris……………………………………………..

22

22

iv

13

2. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sisi pada Segitiga

Spheris…...…………………………………………………

3. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sudut pada Segitiga

Spheris...……………………………………………………

B. Metode Segitiga Siku-siku untuk Solusi Alternatif Segitiga

Spheris…………………………………………………………

28

33

37

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan………………………………………………………..

B. Saran………………………………………………………………

47

49

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………… 50

LAMPIRAN…………………………………………………………………... 51

v

DAFTAR GAMBAR

Gambar Hal

1. Lingkaran Besar dan Lingkaran Kecil ........................................................ 2

2. Sudut Spheris .............................................................................................. 2

3. Segitiga Spheris ........................................................................................... 3

4. Sudut Trihedral ............................................................................................ 4

5. Segitiga Euclid Sebarang ............................................................................ 7

6. Segitga Euclid ............................................................................................. 8

7. Segitga Spheris ............................................................................................ 13

8. Sudut Dihedral ............................................................................................ 14

9. Sudut Trihedral ............................................................................................ 15

10. Segitiga Siku-siku Spheris ........................................................................ 16

11. Proyeksi Segitiga Siku-siku Spheris ......................................................... 16

12. Segitiga Polar ............................................................................................ 20

13. Segitiga Spheris ......................................................................................... 22



16. Sudut Trihedral .......................................................................................... 28

17. Sudut Trihedral .......................................................................................... 29



20. Segitiga Euclid .......................................................................................... 51

21. Segitiga Euclid .......................................................................................... 52

vi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Hal

1. Bukti Teorema 1 ...................................................................................... 51

2. Bukti Teorema 2 ...................................................................................... 52

3. Bukti Teorema 3 ...................................................................................... 53

4. Bukti Sifat Dasar pada Segitiga Euclid .................................................... 54

5. Bukti Aturan Sinus pada Segitiga Euclid ................................................ 59

6. Bukti Aturan Cosinus pada Segitiga Euclid ............................................ 61

vii

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada Geometri Euclid dikenal berbagai macam segitiga. Menurut

Kusno (2004:71), pada Geometri Euclid, segitiga merupakan gabungan tiga

segmen garis yang menghubungkan tiga titik yang tidak segaris pada bidang.

Berdasarkan besar sudut yang dimilikinya, terdapat segitiga lancip, segitiga

siku-siku, segitiga tumpul dan segitiga sembarang. Berdasarkan sisinya,

terdapat segitiga sama kaki, segitiga sebarang dan segitiga sama sisi.

Pada Geometri Spheris dikenal dengan Segitiga Spheris. Adapun

Geometri Spheris merupakan geometri yang mengkaji mengenai permukaan

suatu bola (Brannan dkk.,1999:328). Menurut Kusno (2004:209), apabila

sebuah bola dipotong oleh sebuah bidang, maka akan membentuk sebuah

lingkaran. Lingkaran akibat perpotongan bola oleh bidang ini dibedakan atas

dua jenis yaitu lingkaran besar dan lingkaran kecil. Lingkaran besar

merupakan lingkaran yang terbentuk dari perpotongan bidang melewati pusat

bola. Sebaliknya, jika tidak memotong pusat bola disebut lingkaran kecil.

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar 1.

Misalkan O pusat sebuah bola, perpotongan bola oleh bidang yang

melewati pusat membentuk lingkaran besar . Sebaliknya, bidang

tidak melewati pusat O membentuk lingkaran kecil .

1

2

K

l

Lingkaran Kecil

Lingkaran Besar

Gambar 1. Lingkaran Besar dan Lingkaran Kecil

Menurut Ayres (1954:147), kutup dari sebuah lingkaran adalah dua

titik perpotongan bola dengan diameter yang tegak lurus bidang lingkaran.

Dengan demikian, Kutub dari lingkaran besar dan lingkaran kecil

adalah dan . dan merupakan kutub untuk semua lingkaran kecil

yang sejajar dengan bidang . Akan tetapi dan hanya kutub untuk satu

lingkaran besar .

Sudut yang terbentuk dari perpotongan dua busur lingkaran besar pada

bola disebut sudut spheris (Ayres,1954:147). Dimana busur-busur lingkaran

besar merupakan sisi dari sudut spheris. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat

pada gambar 2.

Gambar 2. Sudut Spheris

3

merupakan sudut spheris pada bola dengan pusat O yang

diperoleh dari perpotongan busur dan . Sudut spheris diukur dengan

sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang AOP dan BOP. Penjelasan

mengenai sudut dihedral dapat dilihat pada Bab II.

Menurut Ayres (1954:148), apabila suatu bagian dari permukaan bola

diperoleh dari perpotongan tiga lingkaran besar pada bola, maka dapat

membentuk segitiga spheris. Segmen busur yang membatasi segitiga tersebut

disebut sisi dan titik sudut spheris yang terbentuk merupakan titik sudut dari

segitiga spheris.

Gambar 3. Segitiga Spheris

Titik sudut Segitiga Spheris biasanya dilambangkan dengan huruf

kapital, misal sudut dan untuk sisi-sisinya dilambangkan dengan huruf

kecil seperti . Apabila titik sudut dan dari segitiga spheris

(Gambar 3.) dihubungkan dengan pusat bola, maka akan terbentuk sudut

trihedral . Sudut trihedral merupakan sudut yang terbentuk oleh

perpotongan tiga buah bidang yang mempunyai satu dan hanya satu titik

persekutuan (perhatikan Gambar 4).

Segitiga Spheris

4

Gambar 4. Sudut trihedral

Untuk sisi dari Segitiga Spheris (Gambar 3.) diukur dengan

sudut pusat dihadapannya yaitu masing-masing sama dengan besar sudut

, dan . Dengan demikian, sisi pada Segitiga Spheris bukanlah

berbentuk garis lurus seperti pada Segitiga Euclid, akan tetapi besaran sisi

pada Segitiga Spheris dinyatakan dalam sudut atau radian.

Pada Segitiga Euclid berlaku teorema phytagoras, aturan sinus, aturan

cosinus, dan rumus sudut yang merupakan solusi untuk memecahkan kasus

pada Segitiga Euclid, yaitu untuk memperoleh panjang sisi maupun besar

sudut suatu segitiga. Selain itu, jumlah sudut dalam sebuah Segitiga Euclid

adalah . Berdasarkan hal tersebut, penulis tertarik untuk mengkaji

bagaimana dengan sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada

Segitiga Spheris.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam

penelitian ini adalah “Bagaimana sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut

dan sisi pada Segitiga Spheris?”

Titik Persekutuan

5

C. Tujuan Penelitian

Sesuai dengan masalah yang dibahas, maka tujuan penelitian ini

adalah menunjukkan sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada

Segitiga Spheris.

D. Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah

1. Memberikan tambahan wawasan dan ilmu pengetahuan bagi penulis

mengenai Segitiga Spheris. Beserta sifat-sifat yang berhubungan dengan

sudut dan sisi pada Segitiga Spheris.

2. Memberi Informasi dan masukan kepada pembaca tentang Segitiga

Spheris

3. Menjadi masukan untuk perhitungan dalam bidang astronomi dan

permukaan bumi dalam menentukan jarak antara setiap pasangan titik pada

permukaan bumi.

4. Menjadi bahan masukan bagi para peneliti berikutnya dalam

mengembangkan dan memperluas hasil cakupan.

E. Metodologi Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian dasar. Adapun metode yang digunakan

adalah analisis teori-teori yang relevan dengan permasalahan yang dibahas

dengan berlandaskan pada kajian kepustakaan. Langkah kerja yang di

lakukan adalah meninjau permasalahan yang dihadapi, kemudian mencari

6

teori-teori yang dapat dijadikan penunjang untuk menjawab permasalahan

tersebut.

Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan jawaban dari

permasalahan adalah sebagai berikut:

1. Mempelajari literatur yang mengkaji sifat-sifat yang berlaku pada Segitiga

Euclid dan pembuktiannya. Seperti hukum sinus, cosinus dan rumus

sudut.

2. Menelaah tentang definisi Segitiga Spheris.

3. Menelaah tentang sudut dihedral dan trihedral beserta teorema-teorema

yang berlaku pada sudut tersebut. Kemudian mengkaitkan antara sudut

dihedral dan trihedral tersebut dengan definisi Segitiga Spheris.

4. Menelaah hubungan sudut dan sisi berdasarkan teorema ataupun sifat

dasar yang telah diperoleh sebelumnya.

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Segitiga Euclid

Segitiga Euclid adalah segitiga yang terbentuk dari gabungan tiga

segmen garis yang menghubungkan tiga titik yang tidak segaris pada bidang

(Kusno, 2004:71).

Perhatikan Gambar 5.

Gambar 5. Segitiga Euclid Sebarang

Pada sebarang Segitiga Euclid ABC, besar sudut-sudutnya dinyatakan

dalam derajat atau radian, yaitu dan , serta panjang

sisinya, dan .

Berikut sifat-sifat pada Segitiga Euclid terkait dengan sudut dan sisi.

Teorema 1

Untuk sebarang Segitiga Euclid, jumlah besar sudut dalam sebuah

segitiga adalah ( Lewis,1973:386) .

Adapun bukti teorema dapat dilihat pada lampiran 1.

B

A

C

7

8

Teorema 2

Untuk sebarang Segitiga Euclid, jumlah panjang sebarang dua sisinya

lebih besar dari pada panjang sisi yang ketiga (Budi,2004:195). Dengan

demikian pada segitiga ABC dengan sisi dan berlaku ketidaksamaan

berikut

1.

2.

3.


Teorema 3

Untuk sebarang segitiga euclid, jika besar dua sudut sama, maka besar

sisi-sisi dihadapan kedua sudut tersebut juga sama dan sebaliknya

(Kusno,2004:76). Perhatikan Gambar 6. berikut ini.

Gambar 6. Segitiga Euclid

Misalkan pada Segitiga Euclid ABC di atas, jika maka sisi

dihadapan kedua sudut tersebut sama, yaitu .


C

A

B

9

1. Sifat Dasar Segitiga Euclid

Sifat-sifat dasar pada trigonometri dengan merupakan sudut

pada suatu segitiga adalah sebagai berikut (Siswanto,2005:132).

a. Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

1)

2)

3)

4)

5)

b. Rumus Perkalian Sinus Dan Cosinus

1)

2)

3)

4)

c. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

1)

2)

3)

4)

Adapun buktinya dapat dilihat pada lampiran 4

10

2. Rumus Sudut Rangkap Pada Segitiga Euclid

Berdasarkan sifat dasar Segitiga Euclid dapat diperoleh sinus sudut

rangkap sebagai berikut :

Jika dilakukan substitusi diperoleh

Jadi, diperoleh rumus untuk yaitu

Dengan cara yang sama dapat diperoleh

a.

b.

3. Aturan Sinus Pada Segitiga Euclid

Apabila dikaitkan antara sisi dan sudut pada Segitiga Euclid, dapat

diperoleh perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang menghadap

sisi itu adalah sama untuk setiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga

tersebut. Dengan demikian diperoleh hubungan sebagai berikut, yang

disebut dengan aturan sinus.

(Sukino,2007:117)


11

4. Aturan Cosinus Pada Segitiga Euclid

Untuk sebarang Segitiga Euclid ABC, apabila diketahui panjang

dua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut dapat dituliskan hubungan sebagai

berikut yang disebut dengan aturan cosinus.

a.

b.

c.

(Sukino,2007:121)


5. Aturan Sudut Pada Segitiga Euclid

Berdasarkan rumus sudut rangkap dapat diperoleh rumus sebagai

berikut

Dengan demikian

a.

Dengan demikian

1)

2)

12

3)

b.

Dengan demikian

1)

2)

c. Dari uraian a dan b diperoleh

d.

Dengan demikian

1)

2)

3)

4)

e.

13

B. Segitiga Spheris

Menurut Ayres(1954:147), suatu bagian dari permukaan bola yang

diperoleh dari perpotongan tiga lingkaran besar pada bola disebut Segitiga

Spheris. Segmen busur yang membatasi segitiga tersebut disebut sisi dan titik

sudut spheris yang terbentuk merupakan titik sudut dari Segitiga Spheris.


Untuk mengukur sudut dan sisi pada Segitiga Spheris perlu diketahui

terlebih dahulu mengenai sudut dihedral dan sudut trihedral. Sudut dihedral

dan sudut trihedral merupakan dasar dari mengukur sudut dan sisi dari

Segitiga Spheris.

1. Sudut Dihedral

Sudut dihedral adalah sudut yang terbentuk oleh perpotongan dua

buah bidang dan membentuk sebuah garis persekutuan atau garis potong

(Lewis,1973:376). Perhatikan Gambar 8. berikut ini.

Segitiga Spheris

14

Gambar 8. Sudut Dihedral

Perpotongan bidang dan membentuk sebuah garis persekutuan

atau garis potong . Perpotongan dua bidang ini membentuk sudut

dihedral .

Sudut dihedral atau sudut perpotongan dua bidang, diukur dengan

sudut antara dua garis yang berpotongan dan tegak lurus terhadap garis

potong kedua bidang. Dimana kedua garis ini masing-masing terletak pada

dua bidang yang saling berpotongan tersebut. Pada Gambar 8, dua garis

yang berpotongan adalah dan . Jadi sudut dihedral

dapat diukur oleh sudut .

Berdasarkan hal di atas, maka untuk sudut spheris diukur dengan

sudut dihedral yang terbentuk oleh perpotongan bidang-bidang dari

lingkaran besar yang busur-busurnya merupakan sisi dari sudut spheris.

Pada Gambar 7, untuk mengukur sudut A dapat diukur dengan sudut

dihedral yang terbentuk oleh bidang OAC dan OAB yaitu dengan membuat

dua garis yang berpotongan tegak lurus OA. Sehingga, sudut yang terletak

antara kedua garis merupakan besar sudut .

15

2. Sudut Trihedral

Menurut Ayres (1954,146), sudut trihedral adalah sudut yang

terbentuk dari perpotongan tiga bidang yang mempunyai satu dan hanya

satu titik persekutuan. Perhatikan gambar 9.

Gambar 9. Sudut Trihedral

Perpotongan bidang dan dengan titik persekutuan O

membentuk sudut trihedral . Dengan demikian, untuk sudut dari

Segitiga Spheris dapat diukur berdasarkan sudut dihedral sedangkan untuk

sisi diukur berdasarkan sudut trihedral.

3. Segitiga Siku-Siku Spheris

Sebuah segitiga spheris yang salah satu sudutnya terdapat sudut

siku-siku disebut dengan segitiga siku-siku spheris (Ayres, 1954: 147).

Titik Persekutuan

16

Gambar 10 . Segitiga Siku-Siku Spheris

Perhatikan Gambar 11. di bawah ini

Gambar 11. Proyeksi Segitiga Siku-Siku Spheris

Misalkan O pusat sebuah bola, dan ABC merupakan segitiga siku-

siku spheris dengan sisi-sisi a dan b kurang dari . Hubungkan O dengan

titik sudut dari segitiga untuk membentuk sudut trihedral O-ABC. Melalui

B dibuat bidang tegak lurus terhadap OC dan OA, sehingga memotong OC

di D dan OA di E. karena OE tegak lurus terhadap bidang BDE, maka OE

tegak lurus terhadap garis EB dan ED. Jadi segitiga BEO dan DEO adalah

segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di E. Juga sudut BED merupakan

sudut dihedral B-OA-C yang diukur menurut sudut A pada segitiga spheris.

17

Karena bidang BDE tegak lurus terhadap OE, maka bidang BDE

tegak lurus terhadap bidang OAC melalui DE. BD merupakan irisan dari

dua bidang OBC dan BDE yang keduanya tegak lurus terhadap bidang

OAC. Dengan demikian BD tegak lurus terhadap bidang OAC. Jadi,

segitiga BDO dan BDE merupakan segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku

di D.

Pada segitiga siku-siku BDO, BDE dan BEO, berlaku:

Pada segitiga siku-siku BDO, BOE dan DEO, berlaku :

Pada segitiga siku-siku BEO, DEO, dan BDO, berlaku :

Pada segitiga siku-siku DEO,BDE, dan BEO, berlaku :

Dengan melewatkan sebuah bidang melalui A tegak lurus terhadap

OB dengan cara yang sama akan didapatkan rumus-rumus yang dapat

diturunkan dari keempat rumus diatas dengan mengubah a dengan b, A

dengan B. Seperti dengan mengganti a dengan b dan A dengan B dari

formula (1) diperoleh :

Dari formula (2) diperoleh

18

Dan dari (4) pada segitiga siku-siku spheris diperoleh

Maka,

Karena dan

Maka

, dengan membagi dengan maka

didapatkan

Substitusikan

sehingga diperoleh,

Atau

Dari dan diperoleh

Dengan cara yang sama dan menggunakan dan

diperoleh

19

Dengan demikian, untuk setiap segitiga spheris ABC dengan sudut

siku-sikunya di C, maka berlaku 10 formula berikut ini.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Berikut akan dibahas sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi

pada Segitiga Spheris, beserta metode segitiga siku-siku yang digunakan untuk

menyelesaikan kasus-kasus yang dapat terjadi pada Segitiga Spheris. Sebelum

membahas mengenai sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada

Segitiga Spheris, maka diperlukan hal berikut ini.

Perhatikan Gambar 12. berikut

Gambar 12. Segitiga Polar

Misalkan pusat sebuah bola, dan merupakan Segitiga Spheris,

dengan sisi dan serta besar sudut-sudutnya adalah dan

. Perpanjang segmen busur dan hingga dan masing-

masing sampai . dan bentuk sebuah lingkaran besar melalui dan .

Sedemikian sehingga adalah kutub dari lingkaran besar yang melalui .

Dengan cara yang sama diperoleh pula, adalah kutub dari lingkaran besar yang

melalui . adalah kutub dari lingkaran besar yang melalui .

20

21

Sehingga diperoleh suatu segitiga yang terbentuk dari tiga busur lingkaran

besar yang melalui , dan . Misalkan sudut yang terbentuk dari

lingkaran besar dan dinyatakan dengan , sudut yang terbentuk dari

lingkaran besar dan dinyatakan dengan , dan sudut yang terbentuk

dari lingkaran besar dan dinyatakan dengan . Dengan demikian

terbentuk segitiga spheris yang untuk selanjutnya dinamakan segitiga polar

dari segitiga spheris .

Oleh karena adalah kutub dari lingkaran besar yang melalui ,

maka panjang dan sebesar . Tetapi juga berada pada lingkaran besar

yang melalui dengan sebagai kutub. Maka . Dengan demikian

adalah kutup dari lingkaran besar . berada pada lingkaran besar

dengan kutub jadi . Dengan cara yang sama, .

Dengan mempertimbangkan adalah kutub dari lingkaran besar

dan merupakan pusat bola. dan adalah sudut yang terbentuk dari

bidang dan OAC, maka sama dengan . Karena segmen

busur diukur berdasarkan maka panjang busur juga sebesar .

Dengan demikian diperoleh

Maka

Dengan cara yang sama diperoleh

1.

2.

Selanjutnya, karena dan dapat diperoleh

22

Oleh sebab itu, . Karena dan merupakan

sudut yang terbentuk dari bidang dan , maka juga sama

dengan . Dengan demikian diperoleh .

Dengan cara yang sama diperoleh

1.

2.

Berdasarkan hal di atas, pada dua segitiga spheris, dimana salah satu

segitiga merupakan segitiga polar dari yang lainnya maka setiap sudut dari salah

satu segitiga sama dengan pelurus dari sisi yang bersesuaian pada segitiga lainnya,

sehingga diperoleh sifat berikut ini.

A. Sifat-Sifat yang Berhubungan dengan Sudut & Sisi Pada Segitiga Spheris

1. Sifat-Sifat yang Berkaitan dengan Sudut dan Sisi Pada Segitiga Spheris



23

Misalkan segitiga adalah Segitiga Spheris, dengan sisi ,

dan , serta besar sudut-sudutnya , dan

. Jika , dan masing-masing sudut yang berada di depan

sisi dan . Dengan memperhatikan pencerminan pada lingkaran besar

yang membagi dua , maka apabila pindah ke , pindah ke dan

tetap, diperoleh .

Berdasarkan hal tersebut, diketahui bahwa apabila panjang dua sisi

pada sebuah segitiga spheris sama, maka besar sudut di hadapan kedua sisi

tersebut juga sama ( Sifat 1).

Selanjutnya perhatikan gambar dua segitiga Spheris berikut, yang

berturut-turut segitiga lancip dan segitiga tumpul.

AB

C

D

ba

m c-m

h

AB

C

D

ba

h

m-cc

(a) (b)


Hal berikut berlaku untuk dua keadaan, yaitu untuk sudut lancip B

dan sudut tumpul B, seperti terlihat pada Gambar 14. Melalui C dibuat

sebuah lingkaran besar tegak lurus terhadap AB dan memotong AB di D.

Misalkan . Dengan menggunakan 10 formula pada segitiga siku-

siku spheris yang telah dipaparkan pada Bab II, dapat diperoleh hal berikut

ini.

24

Pada segitiga siku-siku ACD

Pada segitiga siku-siku BCD

Dari persamaan (11) dan (12) diperoleh

Atau

CA

B

D

ac

b

h

CA

B

D

ac

h

b

(a) (b)


Dengan cara yang sama, dengan menggambar sebuah lingkaran

besar yang melalui B tegak lurus AC di D (Perhatikan Gambar 15) .

Misalkan .

Pada segitiga siku-siku BCD

Pada siku-siku ABD

25


Atau

Maka, dari persamaan (13) dan (16) diperoleh

Dengan demikian dapat diketahui bahwa, perbandingan sinus sisi

dengan sinus sudut yang menghadap sisi itu adalah adalah sama untuk setiap

sisi dan sudut yang terdapat pada sebuah Segitiga Spheris ( Sifat 2).

Sehingga, diperoleh hubungan sebagai berikut, yang disebut dengan aturan

sinus pada Segitiga Spheris.

Seperti yang telah diperoleh sebelumnya, hal berikut juga berlaku

untuk dua keadaan yaitu untuk sudut lancip B dan sudut tumpul B, seperti

terlihat pada Gambar 14. Melalui C dibuat sebuah lingkaran besar tegak

lurus terhadap AB dan memotong AB di D dan misalkan .

Perhatikan segitiga ACD

Perhatikan segitiga CBD

26

Substitusikan persamaan (17) ke persamaan (20), dan pada

persamaan (19), maka persamaan (20) menjadi

Atau

Substitusikan persamaan (18) ke persamaan (21) maka diperoleh

Karena , maka


Untuk rumus-rumus pada sisi yang lainnya dapat diperoleh dengan

perputaran pergantian huruf-huruf, sehingga diperoleh rumus sebagai

berikut

a.

b.

Dengan demikian diketahui bahwa, jika besar dua sisi pada sebuah

Segitiga Spheris diketahui, beserta sudut apit dua sisi tersebut, maka besar

sisi yang berada di depan sudut apit tersebut dapat diperoleh menggunakan

aturan cosinus untuk sisi sebagai berikut ( Sifat 3).

27

Selanjutnya, berdasarkan sifat-sifat pada segitiga polar dari

Segtiga Spheris . Maka aturan cosinus untuk sisi dapat dituliskan

sebagai berikut.

Karena dan

Sehingga, aturan cosinus untuk sisi di atas dapat ditulis sebagai

berikut

cos(180− )

Dengan menggunakan sudut-sudut berelasi, diperoleh

Atau

Untuk rumus-rumus pada sudut yang lainnya dapat diperoleh dengan

perputaran pergantian huruf-huruf, sehingga diperoleh rumus sebagai

berikut:

a.

b.

Dengan demikian diperoleh, jika besar dua sudut pada sebuah

segitiga spheris diketahui, beserta sisi yang diapit dua sudut tersebut. Maka

besar sudut yang berada di depan sisi apit tersebut dapat diperoleh

menggunakan aturan cosinus untuk sudut sebagai berikut ( Sifat 4).

28

2. Sifat-Sifat Yang Berkaitan dengan Sisi Pada Segitiga Spheris



Misalkan titik pusat sebuah bola, dimana merupakan

sudut trihedral. lebih besar dari pada dua sudut sisi lainnya. Misalkan

A titik pada , B titik pada , dan D titik pada , sedemikian sehingga

. C titik pada dengan . Sehingga, dan

kongruen. Kemudian hubungkan titik A,B dan C

Pada ,

Karena

Maka

Karena dan kongruen, maka

Sehingga diperoleh,

O

D

C

B

A

29

Karena sisi dan pada masing-masing sama dengan

dan pada sehingga

Karena

Maka

Seperti yang telah dijelaskan pada pendahuluan, sudut suatu segitiga

spheris diukur berdasarkan sudut trihedral. Maka ,

dan (mengacu pada Gambar 3). Sehingga pertidaksaman (22)

dapat dinyatakan sebagai berikut.

Apabila dilakukan perputaran pergantian huruf- huruf, dapat

diperoleh pertidaksamaan sisi yang lainnya yaitu:

a.

b.

Berdasarkan hal di atas, diketahui bahwa jumlah dari dua sisi pada

Sebarang Segitiga spheris lebih besar dari sisi ketiga ( Sifat 5).

Untuk selanjutnya, perhatikan Gambar 17 berikut ini.


O

C

B

A

30

Perhatikan sudut trihedral , titik A,B,C masing-masing

terletak pada rusuk . Terdapat tiga buah segitiga dengan titik

puncak yaitu dan dimana jumlah sudut dalam ketiga

segitiga tersebut yaitu .

Jadi,

Atau

Berdasarkan sifat 5.

Sehingga,

Mengacu pada Gambar 3, , dan .

Maka pertidaksamaan (23) dapat dinyatakan sebagai berikut

Dengan demikian diperoleh, jumlah ketiga sisi pada sebuah segitiga

spheris kurang dari ( Sifat 6).

31

Selanjutnya, Jika tiga sisi diketahui yaitu sisi dan , maka

berdasarkan aturan cosinus untuk sisi pada segitiga Spheris diperoleh

Berdasarkan aturan yang berlaku pada trigonometri

Maka

a.

Karena,

dan

Maka persamaan (24) dapat ditulis sebagai berikut


b.

32

Karena dan maka

persamaan (25) dapat ditulis sebagai berikut


c.

33

Jika didefinisikan

Maka diperoleh

Dengan demikian diperoleh, apabila besar ketiga sisi sebuah segitiga

spheris diketahui, maka besar salah satu sudut segitiga tersebut dapat

diperoleh menggunakan Rumus sudut sebagai berikut ( Sifat 7).

Dimana dan

3. Sifat-Sifat Yang Berkaitan dengan Sudut Pada Segitiga Spheris

Berdasarkan teorema pada segitiga polar

Maka

34

Atau

Menurut sifat 6,

Maka jika

a.

Akibatnya

b.

Akibatnya

Dengan demikian diperoleh, jumlah ketiga sudut pada sebuah

segitiga Spheris lebih dari dan kurang dari (Sifat 8).

Selanjutnya, berdasarkan sifat pada segitiga polar dari

segitiga spheris ABC .

Misalkan

Dan

35

Karena

Dengan demikian,

Dimana

Maka

Berdasarkan rumus sudut pada segitiga Spheris

c.


36

d.


Didefinisikan

Berdasarkan rumus sudut pada segitiga spheris

Karena dan , maka

rumus sudut di atas dapat ditulis sebagai berikut.

Dengan menggunakan sudut-sudut berelasi diperoleh,

1)

2)

Dengan demikian diperoleh, jika besar ketiga sudut, sebuah

segitiga spheris diketahui, maka besar salah satu sisi segitiga tersebut

dapat diperoleh menggunakan Rumus Sisi sebagai berikut ( Sifat 9).

37

Selanjutnya akan di bahas mengenai metode Segitiga Siku-

siku yang digunakan untuk menyelesaikan kasus-kasus yang dapat

terjadi pada Segitiga Spheris yang berhubungan dengan sudut dan sisi.

B. Metode Segitiga Siku-siku untuk Solusi Alternatif Segitiga Spheris

Pada setiap sisi dan sudut Segitiga Spheris terdapat beberapa kasus

yang dapat terjadi.

Kasus I : Diketahui besar ketiga sisi

Kasus II : Diketahui besar ketiga sudut

Kasus III : Diketahui besar dua sisi dan sudut apit yang berada antara kedua

sisi tersebut

Kasus IV : Diketahui dua sudut dan sisi yang diapit oleh kedua sudut tersebut

Kasus V : Diketahui besar dua sisi dan satu sudut yang berada di depan

salah satu kedua sisi tersebut

Kasus VI : Diketahui besar dua sudut dan satu sisi yang berada di depan

salah satu kedua sudut tersebut

Untuk mendapatkan besar sudut-sudut beserta sisi pada setiap kasus-

kasus di atas, selain menggunakan sifat-sifat yang telah diperoleh sebelumnya,

juga dapat diperoleh dengan membentuk setiap segitiga spheris menjadi dua

buah segitiga siku-siku spheris. Selanjutnya hal ini dapat dikatakan dengan

metode Segitiga Siku-siku. Perhatikan Gambar 18. berikut ini.

38

AB

C

D

ba

c

h

(a) (b) (c)


Pada gambar (a), melalui C di buat sebuah lingkaran besar tegak lurus

AB di D. Misalkan . Sedemikian sehingga terbentuk segitiga siku-siku

spheris ACD (b) dan segitiga BCD (c). Berikut langkah-langkah yang

digunakan untuk memperoleh sudut dan sisi pada setiap kasus Segitiga

Spheris.

Kasus I

Diketahui besar ketiga sisi.

Misalkan pada segitiga Spheris ABC diketahui besar ketiga sisi .

Hal berikut berlaku untuk dua keadaan yaitu sudut lancip B dan sudut tumpul

B, seperti terlihat pada Gambar 19.

AB

C

D

ba

y

c

Y

h

AB

C

D

ba

h

yc

YX

(a) (b)


39

Pada segitiga ACD

Pada segitiga BCD

Dengan mengeliminasi persamaan (26) dan (27) diperoleh

Tambahkan pada kedua ruas

Maka


Dengan menggunakan aturan pada trigonometri

Berdasarkan gambar (a)

Dan gambar (b)

dan

40

Sehingga, diperoleh besar sisi dan besar sisi .

Maka pada gambar (a)

Perhatikan Segitiga ACD

,

Perhatikan Segitiga BCD

,

Sehingga, diperoleh besar sudut dan . Untuk besar sudut

, dapat diperoleh dari penjumlah sudut dan sudut .

Pada gambar (b)



Sehingga, diperoleh besar sudut dan . Untuk besar sudut

, dapat diperoleh dari pengurangan sudut dan sudut , yaitu

.

41

Kasus II

Diketahui besar ketiga sudut.

Misalkan pada segitiga spheris ABC diketahui besar sudut dan

. Seperti halnya pada kasus I, hal berikut juga berlaku untuk dua keadaan

yaitu sudut lancip B dan sudut tumpul B, seperti terlihat pada Gambar 19.

Pada segitiga ACD

Pada segitiga BCD


Tambahkan pada kedua ruas

Maka


Dengan menggunakan aturan pada trigonometri

42

Berdasarkan gambar (a)

Dan gambar (b)

dan

Sehingga, diperoleh besar sudut dan besar sudut .

Maka pada gambar (b)


,


,

Dengan demikian, diperoleh besar sisi dan y. Untuk besar

sisi c, dapat diperoleh dari penjumlah sisi dan sisi y, yaitu

.

Dan pada gambar (b)


,


,

Dengan demikian, diperoleh besar sisi dan y. Untuk besar

sisi c, dapat diperoleh dari pengurangan sisi dan sisi y, yaitu

43

Kasus III

Diketahui besar dua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut.

Misalkan pada segitiga Spheris ABC diketahui panjang sisi

dan sudut yang merupakan sudut apit sisi dan ( Perhatikan gambar

19).

Sehingga diperoleh besar sisi dan besar sudut .

Pada gambar (a)

Sehingga,

Pada gambar (b)

Sehingga,

Dengan demikian, diperoleh besar sisi dan besar sudut .

Untuk besar sudut , pada gambar (a) dapat diperoleh dari penjumlahan

44

sudut dan sudut yaitu . Untuk gambar (b) diperoleh dari

pengurangan sudut dan sudut yaitu .

Kasus IV

Diketahui besar dua sudut dan sisi yang diapit oleh kedua sudut

tersebut.

Misalkan pada segitiga spheris ABC diketahui besar sudut dan

sisi yang merupakan sisi apit di antara sudut dan ( Perhatikan

gambar 19).

Pada gambar (a)

Pada gambar (b)

Maka

Dengan demikian, diperoleh besar sisi dan besar sudut

. Untuk besar sisi , pada gambar (a) dapat diperoleh dari

penjumlahan sisi dan sisi yaitu . Untuk gambar (b) diperoleh

dari pengurangan sisi dan sisi yaitu .

45

Kasus V

Diketahui besar dua sisi dan satu sudut yang berada di depan salah

satu kedua sisi tersebut. Misalkan pada segitiga Spheris ABC diketahui

panjang sisi dan sudut yang merupakan sudut di depan sisi

(Perhatikan gambar 19).

Dan

Dan

Dan

Dengan demikian, didapatkan besar sisi dan besar sudut

. Untuk besar sisi dan sudut dapat diperoleh dari penjumlahan

dan pengurangan sisi dan , serta sudut dan sebagai berikut.

Dan untuk gambar (a)

Dan

Dan untuk gambar (b)

Kasus VI

Diketahui besar dua sudut dan satu sisi yang berada di depan salah

satu kedua sudut tersebut.

Misalkan pada segitiga Spheris ABC diketahui besar sudut

dan sisi yang merupakan sisi di depan sudut ( Perhatikan Gambar 19).

Dan

Dan

Dan

46

Dengan demikian, didapatkan besar sisi dan besar sudut

. Untuk besar sisi dan sudut dapat diperoleh dari penjumlahan dan

pengurangan sisi dan , serta sudut dan sebagai berikut.

Dan untuk gambar (a)

Dan

Dan untuk gambar (b)

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan pada bab III, maka

diperoleh :

1. Sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris

a. Sifat-Sifat yang berkaitan dengan sudut dan sisi pada Segitiga

Spheris yaitu :

1) Apabila panjang dua sisi pada sebuah segitiga spheris sama,

maka besar sudut di hadapan kedua sisi tersebut juga sama.

2) Perbandingan sinus sisi dengan sinus sudut yang menghadap sisi

itu adalah adalah sama untuk setiap sisi dan sudut yang terdapat

pada sebuah Segitiga Spheris. Sehingga, diperoleh hubungan

sebagai berikut, yang disebut dengan aturan sinus pada Segitiga

Spheris.

3) Apabila besar dua sisi pada sebuah segitiga spheris diketahui,

beserta sudut apit dua sisi tersebut. Maka besar sudut yang

berada di depan sudut apit tersebut dapat diperoleh menggunakan

aturan cosinus untuk sisi sebagai berikut

47

48

4) Jika besar dua sudut pada sebuah segitiga spheris diketahui

beserta sisi yang diapit dua sudut tersebut. Maka besar sudut

yang berada di depan sisi apit tersebut dapat diperoleh

menggunakan aturan cosinus untuk sudut

b. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sisi pada Segitiga Spheris

1) Jumlah dari dua sisi pada sembarang segitiga spheris lebih besar

dari sisi ketiga.

2) Jumlah ketiga sisi pada sebuah segitiga spheris kurang dari .

3) Jika besar ketiga sisi sebuah segitiga spheris diketahui, maka

besar salah satu sudut segitiga tersebut dapat diperoleh

menggunakan Rumus Sudut sebagai berikut

c. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sudut pada Segitiga Spheris

1) Jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga Spheris lebih dari

dan kurang dari .

49

2) Jika besar ketiga sudut sebuah segitiga spheris diketahui, maka

besar salah satu sisi segitiga tersebut dapat diperoleh

menggunakan Rumus Sisi sebagai berikut.

2. Metode Segitiga Siku-siku untuk Solusi Alternatif Segitiga Spheris

Untuk mendapatkan besar sudut beserta sisi yang belum diperoleh

dari suatu Segitiga Spheris, selain menggunakan sifat-sifat yang telah

diperoleh sebelumnya, juga dapat diperoleh dengan cara membentuk

setiap Segitiga Spheris menjadi dua segitiga siku-siku.

B. Saran

Kepada pembaca yang berminat dengan kajian Segitiga Spheris ini,

penulis menyarankan untuk melanjutkan kajian mengenai luas dari suatu

Segitiga Spheris.

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, JR. Frank. 1954. Theory And Problems (of Plane and Spherical)

Trigonometry, New York: Schaum Publisning CO.

Barnelt, R. A., Ziegler, M. R., dan Byleen, K.E.(2007). Analytic Trigonometry,

United States of America: John Wiley & Sons.

Brannan, D. A., Esplen, M. F., dan Gray, J.J. (1999). Geometry, Cambridge:

University Press.

Budhi, W. S. 2004. Matematika SMP Jilid 1B, Jakarta: Erlangga.

Junaidi, S., dan Siswono, T.Y. 2004. Matematika SMP untuk Kelas IX, Jakarta:

Erlangga.

Kusno. 2004. Geometri, Jember: Universitas Jember.

Moise, Edwin E. 1964. Elementary Geometry From An Advanced Standpoint,

United States of America: Addison-Wesley Publishing Company,INC.

Siswanto, 2005. Matematika Inovatif 2, Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Sukino, 2007. Matematika Untuk SMA Kelas X, Jakarta: Erlangga.

Wallace, E. C., dan West, S. F. (2007). Roads To Geometry, United States of

America: A simon and Schuster Company.

Lewis, H. 1973. Geometry A Contemporary Course 3rd.Edition, New York:

Mccormick-Mathers Publishing Company.

50

51

Lampiran 1. Bukti Teorema 1

Jumlah Sudut Dalam Pada Sembarang Segitiga Euclid adalah

Perhatikan Gambar 20. berikut.


Pada segitiga ABC di atas, melalui C dibuat sebuah garis k

sedemikian sehingga k sejajar dengan garis AB.

Karena k sejajar AB, maka

dan

Sehingga diperoleh

k 3 1

B A

C

52


Bukti untuk sembarang segitiga, jumlah panjang sebarang dua sisinya

lebih besar dari pada panjang sisi yang ketiga. Dengan demikian pada segitiga

ABC dengan sisi dan berlaku ketidaksamaan berikut

1.

2.

3.

Akan di buktikan bahwa


Perpanjang sisi AC sehingga terbentuk garis ACD (perhatikan Gambar

21.) dengan panjang .

Jadi, segitiga BCD segitiga sama kaki dan . Oleh karena

itu dalam segitiga ABD, lebih besar dari . Berdasarkan sifat di atas,

maka

Yang masing-masing di hadapan dan (terbukti)

Karena dan , maka

53


Jika besar dua sudut sebuah Segitiga Euclid sebarang sama maka besar

sisi-sisi dihadapan kedua sudut tersebut juga sama dan sebaliknya



Misalkan pada segitiga euclid ABC di atas, . Melalui B dan C

masing-masing dibuat garis bagi yang memotong AB di D, dan AC di E.

Maka pada dan

dan (berimpit).

Dengan demikian dan kongruen.

Sehingga, dan

Karena dan masing-masing bersuplemen dengan dan

.

Maka,

Karena BE dan DC merupakan garis bagi pada segitiga euclid tersebut,

maka

Dengan demikian, dan kongruen.

Sehingga diperoleh,

E D o

C B

A

54

Lampiran 4. Bukti Sifat Dasar Pada Segitiga Euclid

1. Bukti Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut


Pada gambar segitiga di atas, CD tegak lurus AB. Apabila CD

dinyatakan dalam a dan , serta AD dalam b dan maka,

dan

CD dinyatakan dalam b dan , serta BD dalam a dan maka,

dan

Dengan demikian

c

D

a b

B A

C

55

Dengan menggunakan rumus umum luas segitiga ABC

Dengan demikian,

Kedua ruas dibagi ,

Diperoleh

Jadi, terbukti rumus untuk adalah

Dengan mensubstitusikan – ke dalam pada rumus di

atas, diperoleh

Karena, , dan

, persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.


56

Kemudian, untuk memperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut,

digunakan rumus-rumus sudut yang berelasi sebagai berikut

Sehingga

Karena dan , persamaan di

atas dapat ditulis sebagai berikut.


Dengan mensubstitusikan – ke dalam pada rumus di atas,

diperoleh

Karena , dan

, persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.


Berdasarkan pada rumus dan diperoleh

hubungan sebagai berikut.

57

Pembilang dan penyebut dibagi dengan


2. Bukti Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus

+

+

58

3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Berdasarkan rumus perkalian sinus dan cosinus diatas didapatkan

rumus sebagai berikut :

Misalkan :

Maka

a.

b.

c.

d.

59

Lampiran 5. Bukti Aturan Sinus Pada Segitiga Euclid

Pembuktian Aturan Sinus Pada Segitiga Euclid

(a) (b)


Aturan sinus akan dibuktikan untuk dua keadaan, yaitu untuk sudut lancip

C dan sudut tumpul C, seperti terlihat pada Gambar 24.

1. Sudut lancip , perhatikan Gambar 24(a)

Pada segitiga ACM

Sehingga

Pada segitiga ABM

Sehingga

Jadi,

Atau,

Dengan cara yang sama dengan menggambar garis dari titik C tegak

lurus AB, maka

N

a

M

b c

C B

A

N c

b

a M

C B

A

60

Pada segitiga ACN

Sehingga

Pada segitiga CBN

Sehingga

Jadi,

Atau


2. Sudut tumpul , perhatikan Gambar 24(b)

Pada segitiga ACM

Sehingga

Pada segitiga ABM

Sehingga

Jadi,

Atau ,

Dengan cara yang sama dengan menggambar garis dari titik C tegak

lurus AB, didapatkan

Maka,

61

Lampiran 6. Bukti Aturan Cosinus Pada Segitiga Euclid

Pembuktian Aturan Cosinus Pada segitiga Euclid

(a) (b)


Aturan cosinus akan dibuktikan untuk dua keadaan, yaitu untuk sudut

lancip C dan sudut tumpul C, seperti terlihat pada Gambar 25.

1. Sudut lancip , perhatikan Gambar 25 (a)

AM tegak lurus BC .

Misalkan dan

Pada segitiga ACM, (Teorema Pythagoras)

Pada segitiga ABM, (Teorema Pythagoras)

Substitusikan Persamaan (38) ke Persamaan (39), dan

, maka persamaan (39) menjadi :

p c b

a M

C B

A

p

a

M

b c

C B

A

62

2. Sudut tumpul , perhatikan Gambar 25 (b)

AM tegak lurus dengan perpanjangan BC

Misalkan dan

Pada segitiga ACM, (Teorema Pythagoras)

Pada segitiga ABM, (Teorema Pythagoras)

Substitusikan Persamaan (40) dan (41) ke Persamaan (42), maka diperoleh :

Dengan cara yang sama untuk dua keadaan itu dapat dibuktikan bahwa:

a.

b.

SIFAT-SIFAT YANG BERHUBUNGAN DENGAN …pustaka.unp.ac.id/file/abstrak_kki/abstrak_TA/2_MELLYSA...ini...

Documents

Transcript of SIFAT-SIFAT YANG BERHUBUNGAN DENGAN …pustaka.unp.ac.id/file/abstrak_kki/abstrak_TA/2_MELLYSA...ini...