Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -I”

2

Disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

4

Dalam sesi-2 ini kita membahas

Fungsi Linier dan

Gabungan Fungsi Linier

F u n g s i L i n i e r

5

Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +. ky

x

-4

0

5

-5 0 5

y y = 4

5.3y

Contoh:

6

Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]

mxy

kemiringan garis lurus

" delta"

" delta" :dibaca , kemiringan

x

y

x

ym

0

1

2

-1

0 1 2 3 4 x

y

ΔxΔy

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4 x

y

y = 0,5x

y = x

y = 2x

y = -1,5 x

m > 0

m < 0

Contoh:

garis lurus melalui [0,0]

7

Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus

y = 2x

y 2 = 2x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4x

y

mxby )(

y = 2x

y =2(x–1)

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

)( axmy Secara umum, persamaan garis lurus

yang tergeser sebesar b ke arah sumbu-y positif

adalah

menunjukkan pergeseran sebesar a

ke arah sumbu-x positif

titik potong dengan sumbu-

y

titik potong dengan sumbu-

x

bmxy

amxy

Bentuk umum persamaan garis lurus

pergeseran ke arah sumbu-y

pergeseran ke arah sumbu-x

menunjukkan pergeseran sebesar b

ke arah sumbu-y positif 8

Contoh:

Persamaan garis: xy 24

202

40

12

12

xx

yy

x

ym

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

memotong sumbu y di 4

memotong sumbu x di 2

atau )2(2 xy42 xy

dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu

y = -2x

9

yang tergeser kearah sumbu-y

atau tergeser kearah sumbu-x

12

12

xx

yym

xxx

yymxy

11

12

Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik

[x1,y1]

[x2,y2]

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 3x

y

2

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

[1,4]

[3,8] 213

48

12

12

xx

yym

persamaan garis: xby 2 atau )(2 axy

24 b )3(28 a

2b 1a

xy 22 )1(2 xy

22 xy

Contoh:

Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar dengan garis yang melalui

P dan Q

P

Q

Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q

10

Perpotongan Garis Lurus

111 bxay 222 bxay

2211 bxabxa

21

12P aa

bbx

Contoh: 84dan 32 21 xyxy

5,5843221 xxxyy

1435,5232 xy

Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupun y2.

Dua garis:

Koordinat titik potong P harus memenuhi:

dan

-30

-20

-10

0

10

20

30

-10 -5 0 5 10

y

x

y2

y1

P

xP

yP

Titik potong: 14] P[(5,5),

11

2P2P1P1P atau bxaybxay

Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata

Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a

maF atvtv 0)(

anoda katoda

l

Contoh:

Contoh:

e

e

m

Fa

Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V

Kuat medan listrik:l

VE

Gaya pada elektron:l

eVeEFe

Percepatan pada elektron:

gaya fungsi linier dari V

percepatan fungsi linier dari Fe

Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

12

Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan.

Contoh:

kxF

Contoh: Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.

R

VGVi

RG

1

A

lR

RA

V

A

ij

gaya panjang tarikan konstanta pegas

konduktansi resistansi

kerapatan arus resistivitas

G dan R adalah tetapan

Luas penampang konduktor

panjang konduktor

13

Contoh:

materi masuk di xa

materi keluar di x

xa x

Ca

Cx

x

Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika

konsentrasi materi Ca di xa dan Cx di x bernilai konstan

Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

Peristiwa difusi: materi menembus materi lain

dx

dCDJ x

gradien konsentrasi

koefisien difusi

Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi

Fluksi materi yang berdifusi ke arah x

14

G a b u n g a n F u n g s i L i n i e r

15

Fungsi Anak Tangga

0untuk 0

0untuk 1)(

x

xxu

)(xkuy

muncul pada x = 0

amplitudo

Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi

di x = 0

Fungsi anak tangga satuan

Secara umum

0

2

0 5x

y

1

1)(xuy

)(xuy

Contoh:

-4

0

5

0 5x

y)(5,3 xuy

)(5,2 xuy

16

)( axkuy Fungsi anak tangga tergeser

-4

0

5

0 5x

y

1

)1(5,3 xuy

Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif

Contoh:

17

Fungsi Ramp )(xaxuy

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4x

y y1 = xu(x)y2 = 2xu(x)

y3 = 1,5(x-2)u(x-2)

Fungsi ramp tergeser: )()( gxugxay

Fungsi ramp satuan : )(xxuy

Contoh:

kemiringan a = 1

kemiringan

Fungsi ini baru muncul pada x = 0 karena ada faktor u(x) yang

didefinisikan muncul pada x = 0(fungsi anak tangga)

Pergeseran searah sumbu-x

18

Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1

)()( 21 xxauxxauy :persamaan

12 xx :pulsalebar

)2()1(2 xuxu

y1=2u(x-1)

y2 = 2u(x2)

Pulsa y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)

lebar pulsa

-2

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3 4x

perioda

x

y

Deretan Pulsa:

Contoh:

19

Perkalian Ramp dan Pulsa

)()()( 21 xxuxxuAxmxuy

)()( 21 xxuxxumAxy

ramp pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya

y1=2xu(x)

y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

y3 = y1 y2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5x

y

Contoh:

maka y juga akan bernilai dalam selang

lebar pulsa saja

20

y2 = {u(x)-u(x-b)}

y1 = mxu(x)

y3 = y1 y2

= mx{u(x)-u(x-b)}

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5

yy

xb

Contoh:

21

Gabungan Fungsi Ramp

.......)()()()()( 2211 xxuxxcxxuxxbxaxuy

Contoh:

y1= 2xu(x)

y2= 2(x2)u(x2)

y3= 2xu(x)2(x2)u(x2)y

-8

-4

0

4

8

12

0 1 2 3 4 5x

Kemiringan yang berlawanan membuat y3 bernilai konstan mulai dari x tertentu

22

y1=2xu(x)

y2= 4(x2)u(x2)

y3= 2xu(x)4(x2)u(x2)

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5x

y

y2 lebih cepat menurun dari y1 maka

y3 menurun mulai dari x tertentu

Contoh:

23

y1= 2xu(x)

y2= 4(x-2)u(x-2)

y3= {2xu(x)4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5x

y

Pulsa ini membuat y3 hanya

bernilai dalam selang 1 x 3

Contoh:

24

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika

Sesi 2

Sudaryatno Sudirham

25