Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

Sesi 3

1. Integral Tak Tentu2. Integral Tentu

4

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga

dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

)(xfdx

dy

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial.

036

652

222

2

2

yxdx

dyxy

dx

yd

xxdx

dy

Contoh persamaan diferensial

Pengertian-Pengertian

5

1. Integral Tak Tentu

)(xFy Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat

diturunkan dan dapat memenuhi

)()(

xfdx

xdF

)(xfdx

dyTinjau persamaan diferensial

0

)()()(

dx

xdF

dx

dK

dx

xdF

dx

KxFdKarena maka

KxFy )(fungsi juga merupakan solusi

6

Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

KxFdxxf )()(

dxxfxdF )()(

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini

disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

)()(

xfdx

xdF

7

dapat dituliskan

45xdx

dy

dxxdy 45

dxxxd 45 5)(

Kxxddxxy 554 )(5

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahu bahwa

Contoh:

oleh karena itu

8

Carilah solusi persamaan

yxdx

dy 2

Contoh:

dxyxdy 2 kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan

mengandung peubah berbeda dxxdyy 22/1

dyyyd 2/12/12 dxxxd 23

3

1

32/1

3

12 xdyd

Jika kedua ruas diintegrasi

23

12/1

3

12 KxKy

KxKKxy 312

32/1

3

1

3

12

9

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan

tersebut.

Kydy

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.

dyaady

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

1 jika ,1

1

nKn

ydyy

nn

3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

10

Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari

berapa nilai yang dimiliki oleh K.

kurva 210xy adalah kurva bernilai tunggal

50

100

-5 -3 -1 1 3

5x

y = 10x2

y

50

100

-5 -3 -1 1 3

5

K1

K2

K3

yi = 10x2 +Ki

y

x

Kxdxx

23

103

10kurva

adalah kurva bernilai banyak

11

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi

awal. Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

30 sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.

Contoh:

tatv 3

kecepatan percepatan waktu

dt

dsv Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

dt

dva Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

.

vdtds

KtKt

atdts 22

5,12

3

274 ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah

K03 3KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3

35,1 2 ts

12

Luas Sebagai Suatu Integral )(xfy Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu

kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

Contoh:y = f(x) =2

y

x0

2

p x x+x q

Apx Apx

)(2 xfx

Apx

atau

2)(lim0

xf

dx

dA

x

A pxpx

xKxdxdAA pxpx 22

Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p

Kp 20 pK 2 atau

xApx 2

pxApx 22 )(222 pqpqApq

13

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp

p x x+x q

y

x

y = f(x)

0

f(x)f(x+x )

Apx Apx

Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan

Apx = f(x)x atau Apx = f(x+x)x

xxxfxxfxxfApx )()()( 0x0 adalah suatu nilai x

yang terletak antara x dan x+x

Jika x 0: )(lim0

xfdx

dA

x

A pxpx

x

KxFdxxfdAA pxpx )()(

qppq xFpFqFA )()()(

14

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Bidang dibagi dalam segmen-segmen

Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk

Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk

Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen

15

2. Integral Tentu

kkkkkk xxxfxxfxxf )()()( 0

k

n

kk

n

kkk

n

kkk xxxfxxfxxf

110

1

)()()(

Jika xk 0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang

sama

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk

Luas tiap segmen dihitung sebagai

f(xk+x)xk

Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka

Nilai limit itu merupakan integral tentu

16

q

ppq dxxfA )(

)()()()( pFqFxFdxxfA qp

q

ppq

p x2 xk xk+1 xn q

y

x

y = f(x)

0

Luas bidang menjadi

17

Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di

atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Definisi

Contoh:

xxy 123

-20

-10

0

10

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 75,33)5425,20(0

64

)12(

0

3

240

3

3

x

xdxxxAa

75,33)0(5425,20

64

)12(

3

0

243

0

3

x

xdxxxAb

5,67)755,33(75,33 bapq AAA

18

Luas Bidang

Luas antara y = x3 – 12x dan sumbu-x dari x = 3 sampai x = +3.

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi

))()( pFqFdxxfAq

p

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-

x

pq

y

xA4

A1

A2

A3

y = f(x)

))()( pFqFdxxfAq

ppq

4321 AAAAApq

19

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

)(11 xfy )(22 xfy berada di atas

p q

y

x 0

y1

y2

x x+x

Apx

xxfxfAA pxsegmen )()( 21

Rentang qxp dibagi dalam n segmen

xqx

px

n

segmen xxfxfA )()( 211

jumlah semua segmen:

q

p

n

segmenpq dxxfxfAA )()(lim 211

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit

20

30)12(186)2(4( 32

3

2

xdxApq

41 y 22 yJika dan berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = 2 sampai x2 = q =

+3.

Contoh:

21 xy 42 yJika dan

berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.

2 ,24 212

21 qxpxxyy

3

32

3

16

3

16

3

88

3

88

34)4(

2

2-

32

2

2

xxdxxApq

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y2

y1y2

di atas y1

y

x

21

221 xy xy 2Jika dan

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva

22

811 ;1

2

811

02atau 2

2

2

2

1

2221

qxpx

xxxxyy

5,4 22

1

3

142

3

8

223

)2(

2

1

232

1

2

x

xxdxxxApq

-4

-2

0

2

4

-2 -1 0 1 2

y1 di atas y2

y1

y2

y

x

22

Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka

yang memberikan dt

dwp pdtw

[kWh]hour Watt kilo 8,0

[Wh]r Watt.hou800100 10080

8

0

8

0

tdtpdtw

Penerapan Integral

Contoh:

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah

23

dt

dqi idtq

coulomb 625,02

25,1

2

05,005,0

5

0

5

0

25

0 ttdtidtq

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?

sehingga

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

Contoh:

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

24

Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.

Balok

x

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+x) adalah luas irisan di sebelah

kanan maka volume irisan V adalah

xxxAVxxA )()(

Volume balok V adalah q

p

xxAV )(

luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+x).

Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu:

q

p

xxAV )(

Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :

q

p

q

pox

dxxAxxAV )()(lim

25

Volume Sebagai Suatu Integral

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x

y

x

x

O Q

P

A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.

hhh

dxxmdxxrdxxAV0

22

0

2

0)()(

m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q.

3

3

PQ/OQ)(

32

3232

kerucuth

rhhm

V

Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong

26

Rotasi Bidang Sembarang

y

x

x

0 a b

f(x) 22 )()()( xfxrxA

b

adxxfV 2)(

Rotasi Gabungan Fungsi Linier

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

y

x

x

0 a b

f2(x)f1(x)

f3(x)

27

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II

Sesi 3

Sudaryatno Sudirham

28