Segitiga Pascal dan Kombinasi

Sebetulnya, dapat ditemukan dari perkalian secara langsung. Dengan mudah, kita bisa mengekspansikan , , dan selanjutnya seperti di bawah karena pangkatnya cukup kecil.

= = = = = =

Perhatikan pola dari suku-suku . Pasti selalu dimulai dari suku . (Ini sebetulnya merupakan perjanjian saja). Lalu, suku berikutnya, pangkat dari a akan berkurang 1, namun pangkat dari b akan naik sebesar 1. Jadi, dapat dideskripsikan sebagai berikut.

= . + . + . + ... + . + . .Lalu, untuk menentukan koefisien (c) tiap suku kita dapat menggunakan segitiga Pascal._____________________1__________________1______1_____________==> koefisien untuk _______________1_____2______1__________==> koefisien untuk _____________1____3_____3______1_______==> koefisien untuk ___________1___4_____6______4____1_____==> koefisien untuk ___1___5____10____10_____5____1___==> koefisien untuk ______1____6___15____20_____15____6___1_ ==> koefisien untuk Namun, cara di atas hanya dipakai untuk pangkat yang kecil (sedikit). Sulit untuk menjabarkan segitiga Pascal untuk baris yang sangat banyak (untuk pangkat yang besar). Jadi, kita gunakan kombinasi. Cara untuk mengekspansikan dengan kombinasi inilah yang disebut teorema binomial.

Hubungan kombinasi dengan teorema binomialDalam aljabar, kita tahu bahwa

= .

Penjabaran dari merupakan perkalian dari 3 faktor.=

Lalu, kita pilih bagian yang ingin kita kalikan dari ketiga faktor itu. Misalnya, jika kita memilih a dari setiap faktor dan mengalikannya, maka kita peroleh aaa. Jika kita memilih a dari faktor pertama, a dari faktor kedua dan b dari faktor ketiga kemudian mengalikannya, maka kita peroleh aab, dan seterusnya. Sehingga semua kemungkinan pemilihan baik a maupun b dari masing-masing faktor adalah aaa; aab; aba; abb; baa; bab; bba; bbb

Jika dikalikan menjadi: ; ; ; ; ; ; ; Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan, maka hasilnya adalah

Bilangan 3 yang merupakan koefisien dari muncul dari pemilihan a dari 2 faktor dan b dari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan dalam atau cara. Cara yang sama bisa dilakukan untuk memperoleh koefisien yang dalam hal ini merupakan pemilihan a dari 0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam atau cara, dan seterusnya.

Melalui hubungan kombinasi dengan teorema binomial, maka kita dapat merumuskan ulang rumus teorema binomial sebagai berikut:

= atau = Kedua rumus di atas identik, hanya beda penulisan simbol C saja.

Latihan

1. Ekspansikan

Jawab:Jika memakai cara rumit, bisa saja kita menghitung dengan cara mengalikan sebanyak 6 kali. Tapi, karena rumit, kita gunakan teorema binomial.

= . + . + . + . + . + . + .

Ingat bahwa

= . + . + . + . + . + . + .______= + 6 + 15. + 20. + 15. + 6. + Perhatikan sifat-sfat yang timbul dari penjabaran tersebut:1. Banyaknya suku adalah (n+1) = 6+1 = 7.2. Jumlah dari eksponen a dan b dalam setiap suku adalah n.

2. Ekspansikan

Jawab:Tidak berbeda jauh dengan soal sebelumnya.

Jika memakai simbol , anggap a = , b = , dan n=5.

= . + . . + . . + . . + . . +

______ = + 5.2. + 10.4. + 10.8. + 5.16. + 32______ = + 10 + 40 + 80 + 80 + 32

3. Ekspansikan

Jawab:Soal di atas, tak jauh berbeda dengan soal nomor 2... <==males bikin soal. Jika memakai simbol , anggap a = , b = , dan n=5.

= + + + + +

______ = 5.2. + 10.4. 10.8. + 5.16. 32______ = 10 + 40 80 + 80 32

Perhatikan jawaban di atas. Ternyata menghasilkan suku-suku ganjil dan genap secara berseling.

4. Berapakah suku keenam dari ekspansi Jawab:

Suku keenamnya =

Suku keenamnya =

Suku keenamnya = 3.7.6.

Suku keenamnya =

5. Berapakah suku ke-4 dari ekspansi

Jawab:

Suku ke-4=

Suku ke-4=

Suku ke-4=

Suku ke-4=

6. Berapakah suku ke-7 dari ekspansi Jawab:Karena pangkatnya 5, maka jumlah sukunya hanya ada = 5+1 = 6.

Jadi, tidak memiliki suku ke-7.

7. Berapakah suku yang mengandung dari ekspansi Jawab:Ini hanya soal jebakan. Pangkat terkecil hasil penjabaran adalah .Jadi, ekspansi tidak memiliki suku yang mengandung .

8. Berapakah koefisien suku yang mengandung dari ekspansi Jawab:Kombinasi yang mungkin untuk adalah:

= dimana p+q = 10Note: Di atas, koefisien tidak berpengaruh dalam pembentukan . Jadi dapat dihilangkan..(i)... p + 3q = 14 dimana p+q = 10 ...(ii)Dari 2 persamaan tersebut, gunakan eliminasi/substitusi biasa, sehingga didapatq = 2 dan p = 8Karena q=2, maka dari sini kita tahu bahwa suku yang dicari adalah suku ke(2+1)=3.Kita memilih q (bukan p) karena q merupakan eksponen b dari yang langsung menunjuk ke suku mana penjabaran itu didapat.

Suku ke-3=

Suku ke-3= .4.

Suku ke-3= 180

Berarti koefisien suku yang mengandung dari ekspansi = 180.

9. Berapakah koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi

Jawab:(Soal ini hanya untuk memperjelas soal di sebelumnya saja)

terbentuk dari kombinasi antara dan .

= dimana p+q =14= dimana p+q =14

(i)... p + 2q = 4 dimana p+q =14 ...(ii)

Setelah kedua persamaan disubstutusi/ di eliminasi, maka didapatp = 8 dan q=6

q menunjuk (elemen kedua dalam ).

q = 6. Berarti, kita harus mencari suku ke-(6+1) = 7

Suku ke-7 =

Suku ke-7 =

Suku ke-7 =

10.

Tentukan koefisien dari dalam ekspansi

Jawab:Asumsikan kejadian ini sebagai 3 aktivitas. Pertama memilih a dari 2 faktor diantara 11 faktor yang bisa dilakukan dalam cara. Kedua, memilih b dari 3 faktor diantara 9 faktor yang bisa dilakukan dalam cara. Ketiga, memilih c dari 6 faktor diantara 6 faktor sisanya yang bisa dilakukan dalam cara. Jadi, jika semuanya dikalikan, maka koefisien untuk didapat.

Koefisien untuk = = 4620

11. Berapakah koefisien suku dari ekspansi

Jawab:Seperti soal sebelumnya, namun di sini hanya ada 1 variabel, yaitu x. Artinya, akan ada banyak kemungkinan yang timbul.Logika memecahkan soal ini mirip seperti soal nomor 8 atau 9. Pertama, kita temukan terlebih dahulu kombinasi yang mungkin untuk membentuk

.

Kombinasi yang mungkin untuk membentuk :

= k. dimana Di sini, nilai p dapat ditentukan paling akhir (karena 1^p = 1). Maka, kedua persamaan sekarang menjadi:(i)... 5q + 9r = 23 dimana ... (ii)Karena nilai q dan r harus bulat positif, kita dapat dengan mudah menyelesaikan persamaan 5q + 9r = 23 dengan menggunakan cara persamaan linear diophantine atau cara coba-coba. Setelah dikerjakan dengan cara coba-coba, maka didapat hasilnyaq = 1 dan r = 2. Maka, p = 100-2-1 = 97.5 x 1 + 9 x 2 = 23

Maka, suku yg mengandung =

_______________________=

_______________________= 49

Jadi, koefisiennya adalah 49.

12.

Tentukan koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi

Jawab:Cara mengerjakan soal ini sama seperti sebelumnya. Pertama, tentukan terlebih dahulu kombinasi yang mungkin untuk .

= di mana p+q+r = 15-p + q + 2r = 5 di mana p+q+r = 15Ada 2 persamaan yang diperoleh:2r + q - p = 5 ... (i)p+q+r = 15 ... (ii)Kita harus berusaha mendapatkan pasangan p,q,dan r yang memenuhi kedua kendala itu. Bisa dengan menggunakan persamaan linear diophantine atau coba-coba. Di sini, kita gunakan cara coba-coba.Pertama, ubah persamaan (ii) menjadi p = 15-q-r lalu substitusikan ke persamaan (i)2r + q - (15-q-r) = 53r + 2q = 20Karena nilai r dan q harus positif, maka . Lalu, perhatikan bahwa 2q dan 20 adalah bilangan genap, maka 3r juga haruslah genap. Jadi, kita sekarang mendapatkan 4 kemungkinan r, yaitu 0, 2, 4, dan 6.Jika r = 0 ==> q = 10 ==> p=5

Jika r = 2 ==> q = 7 ==> p=6Jika r = 4 ==> q = 4 ==> p=7Jika r = 6 ==> q = 1 ==> p=8Jadi, jumlah suku yang mengandung = + + + = (3003 + 180180 + 450450 + 5014 ) = 638647 Jadi, koefisiennya adalah 638647..

13. Tentukan nilai dari

Jawab:Ingat teorema binomial bahwa:

= Jika kita mensubstitusikan a =1 dan b =1, maka hasilnya menjadi berikut:

= =

Jika kita mensubstitusikan n=2009, maka jawaban dari soal akan diperoleh.

=

14.

JikaA = banyaknya suku dari ekspansi B = banyaknya suku dari ekspansi Maka, berapakah selisih A dan B?

Jawab:Banyaknya suku dari ekspansi adalah .Di rumus di atas, n adalah pangkat, sedangkan v adalah jumlah variabel.== Di sini, tidak akan dijelaskan penurunan rumusnya.

memiliki v = 4 dan n=6, makaA = = 84.

memiliki v=5 dan n=4, makaB = = 70.

Maka, A - B = 84 - 70 = 14.Artinya, memiliki suku lebih banyak daripada