PROBABILITY DISTRIBUTION FUNCTION (PDF)

DAN CUMULATIF DISTRIBUTION FUNCTION

(CDF) UNTUK KASUS DISKRIT

RIPAI, S.Pd., M.Si

1. PDF BERNOULLI

Contoh (1): Misalkan anda akan melewati sebuah persimpangan jalan dengan lampu hijau menyala 15 menit, merah 55 menit dan kuning 5 menit. Tentukan (a)Peluang anda mendapatkan lamu hijau (b). Fungsi peluang x (c) Rataan dan varians x

n(Hijau) = 15 menitn(Merah) = 55 menitn(Kuning) = 5 menit

Apabila kejadian pada sebuah esperimen ditentukan oleh sukses atau gagal, kemudian

peubah acak x menyatakan kejadian sukses dengan peluang p, maka PDF dari x adalah

lainnyax

xppxP

xx

0

1,0)1()(

1

2. PDF Binomial

Apabila suatu percobaan memuat n kejadian bernoulli, kemudian variabel random x menyatakan kejadian sukses dengan peluang p, maka PDF dari x adalah

Contoh (2). Misalkan pada contoh (1) anda akan melewati persimpangan tersebut sebanyak 10 kali. Tentukan (a) Peluang anda mendapatkan 3 kali lampu hijau. (b) Fungsi peluang x (c) Rataan dan varians

lainnyax

nxppx

nxP

xnx

0

,,2,1,0)1()(

n(Hijau) = 15 menitn(Merah) = 55 menitn(Kuning) = 5 menit

3. PDF Multinomial

Apabila suatu percobaan memuat k kejadian Binomial kemudian variabel random x=x1, x2,…, xk masing-masing menyatakan kejadian sukses dengan peluang p=p1, p2, …, pk maka PDF dari x adalah

Contoh (3) Misalkan pada contoh (2)., tentukan(a) Peluang anda akan mendapatkan 3 kali lampu Hijau dan 2 kali lampu merah (b) Fungsi peluang option a, (c) Rataan dan varian pada option a

k

ii

k

ii

xk

xx

kkk pdanxdgppp

xxx

nnpppxxxP k

1121

212121

21

,,,);,,,;,,,(

n(Hijau) = 15 menitn(Merah) = 55 menitn(Kuning) = 5 menit

4. PDF Geometriks

Apabila suatu percobaan memuat kejadian Binomial kemudian variabel random x menyatakan kejadian sukses dengan peluang p untuk pertama kalinya maka PDF dari x adalah

Contoh (6) Misalkan pada contoh (1). Tentukan (a)Peluang anda akan mendapatkan lampu hijau pada lintasan ke-6. (b) Fungsi peluang option a (c) Rataan dan varians option a.

lainnyax

xppxP

x

0

,3,2,1)1()(

1

n(Hijau) = 15 menitn(Merah) = 55 menitn(Kuning) = 5 menit

5. PDF BINOMIAL NEGATIF

Apabila suatu percobaan memuat n kejadian bernoulli, kemudian variabel random x menyatakan kejadian sukses ke-k dengan peluang p, maka PDF dari x adalah

Contoh (7). Misal dari contoh (1) di atas, Tentukan:(a) Peluang mendapatkan lampu hijau kedua kalinya pada lintasan ke-7

(b) Fungsi Peluang

lainnyax

kkkxppk

xxP

kxk

0

,2,1,)1(1

1)(

n(Hijau) = 15 menitn(Merah) = 55 menitn(Kuning) = 5 menit

6. PDF Hipergeometriks

Apabila suatu percobaan memuat k kejadian Binomial pada n sampel yang diambil dari N populasi, kemudian variabel random menyatakan kejadian sukses dengan peluang p maka PDF dari x adalah

Contoh (8). Misalkan pada contoh (1), setelah melewati 10 kali, diperoleh 4 kali lampu hijau. tentukan(a) Peluang anda akan mendapatkan dua kali lampu hijau dalam lima kali lintasan berikutnya.

lainnyax

nx

n

N

xn

kN

x

k

xP

0

,,2,1,0)(

n(Hijau) = 15 menitn(Merah) = 55 menitn(Kuning) = 5 menit

7. PDF POISSON

Jika x merupakan variabel random yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi pada suatu selang waktu t adalah

Contoh (9): dari contoh (1), rata-rata mendapatkan lampu hijau dalam tiap bulan adalah 6 kali, berapakah peluang akan mendapatkan lampu hijau lebih dari 7 kali pada bulan berikutnya..?

lainnyax

xx

tetxP

xt

0

,2,1,0!,

Rataan x~Poisson

0 0 !

);(x x

xt

x

textxxpxE

0

1

0

1

)!1()!1( x

xt

x

xt

x

tet

xx

ttxe

1

!0

xydgy

tetx

yt

t

tttyptx

0

)1();(

Varians x~Poisson

222222 )]([)()()]([ xExExExExExExE 222 ))1(()( xxExxE

00 !

)1();())1((x

xt

x x

texxtxpxx

0

2

0

2

)!2()!2)(1(

)1(

x

xt

x

xt

x

tet

xxx

ttexx

2

!0

xydengany

tetx

yt

t

tttyptx

2

0

)1)((),(

11. PDF Seragam

Peubah acak X yang mendapatkan nilai x1, x2, …, xk dengan peluang yang sama disebut terdistribusi seragam dengan fungsi peluang

f(x,k) = 1/k untuk X = x1, x2, …, xk Contoh (10). Sebuah bola lampu yang

akan dipilih secara acak dari dalam kotak yang terdiri dari 1 yang 40 watt, 1 yang 60 watt, 1 yang 75 watt dan 1 yang 100 watt. Berapakh peluang terambilnya masing-masing lampu tersebut…?

12. Teorema Chebyshev

Peluang setiap peubah acak X mendapatkan nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit (1-1/k2), yaitu

Contoh: Rata-rata suatu kejadian terjadi adalah 8 dengan penyimpangan 3. Tentukan

a. P(-4<x<20) dan b. P(|x-8|>6)

2

11)(k

kXkP

Contoh: Rata-rata suatu kejadian terjadi adalah 8 dengan penyimpangan 3. Tentukan

a. P(-4<x<20) dan b. P(|x-8|>6) Solusi: a. P(-4<x<20)=P[8-(4)(3)<x<8+(4)(3)]> =1-1/(16)=15/16 b. P(|x-8|>6)=1-P(|x-8|<6)= P(-6<x-8<6) =P(8-6<x<8+6) =P(8-(2)(3)<x<8+(2)(3)) >= 1-1/(4)=3/4 Minggu depan tes materi awal hingga MGF Minggu setelahnya ts materi PDF DISKRIT

(BERNOULLI –Chebyshev)

2

11)(k

kXkP

Contoh 10

Rata-rata truk yang datang menyebrang di pelabuhan adalah 10. Pelabuhan hanya dapat menyebrangkan maksimal 15 truk per hari. Berapakah peluang suatu hari terjadi antrian panjang di pelabuhan..?

Contoh 11:

Suatu kotak berisi 40 hasil produksi dikatakan dapat diterima jika mengandung paling banyak tiga1 yang cacat. Suatu kotak ditolak, jika sampel acak ukuran 5 hasil produksi yang terpilih terdapat yang cacat.

Berapa peluang tepat satu yang cacat jika terdapat lima2 yang cacat pada kotak tersebut

Berapakah peluang dapat diterima kiriman tersebut jika dalam kotak tersebut mengandung lima hasil produksi yang cacat ?

Contoh 12

Suatu pabrik pesawat TV melaporkan bahwa, dari pengiriman sebanyak 500 pesawat Tv ke suatu toko tertentu terdapat 100 yang cacat. Jika seseorang membeli 5 pesawat TV ini secara acak dari toko tersebut berapakah peluang mengandung tepat 3 cacat ?

Contoh 13

Bila dua buah dadu dilambungkan 6 kali, berapakah peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali dan sepasang bilangan yang sama satu kali…?

Solusi: Pahami jenis kasusnya…! Tentukan hal yang diketahui..! Tentukan hal yang ditanyakan..!

Tugas 2.

1. Berikut adalah kasus percobaan: Kasus I. Melambungkan Dadu (1-20) Kasus 2. Membeli Barang Elektronik (21-40) Kasus 3. Mengambil Suatu benda dalam kotak (41-60) Kasus 5. Mengikuti Suatu Tes (61-80) Kasus 4. Melambungkan Koin (81-100)

Misalkan x adalah variabel random percobaan tersebut, maka berikan contoh untuk x sehingga x~Bernoulli, x~Binomial, x~binomial negatif, x~Multinomial, x~ Geometriks, x~ Hipergeometriks dan selesaikan nilai peluang untuk tiap contoh yang diberikan

(catatan: Tiap mahasiswa, spesifi kasus tidak boleh sama)

Tugas 2

2. Untuk masing-masing distribusi Bernoulli, Binomial, Multinomial, Geometriks , Hipergeometriks (a). Dapatkan rumusan dan berikan bukti rumusan tersebut untuk Rataan dan Variansnya.(b). Dengan rumus yang diperoleh, Hitung nilai rataan dan varians soal nomor 1 sebelumnya.

3.Pada soal terlampir (foto copian), secara terurut sesuai nomor absen, untuk masing-masing mahasiswa menyelesaikan sebuah soal. Jika Nomor absen melampui banyaknya soal, maka soal untuk mahasiswa berikutnya kembali secara terurut mengambil soal dari awal.

PENGUMPULAN TUGAS

TUGAS DIKERJAKAN PADA KERTAS A4 BERGARIS PINGGIR DENGAN TULIS TANGAN SECARA RAPI

NAMA, NIM, KELAS DAN TEMA TUGAS UNTUK MASING-MASING MAHASISWA MENULISNYA SEBAGAI HALAMAN DEPAN

TIAP MAHASISWA MENGUMPULKAN KEPADA KETUA TINGKAT, DAN KETUA TINGKAT MEMBUAT SAMPUL UTAMA DAN DAFTAR ISI TUGAS KEMUDIAN MENJILID MENJADI SATU BUKU

TUGAS DIKUMPULKAN SETELAH TIGA MINGGU DARI SEJAK TUGAS DITERIMA.