Revisi Laporan Aplikasi Teknik

Laporan Aplikasi Teknik

LAPORAN

PRAKTIKUM APLIKASI TEKNIK

DISUSUN OLEH :

1. NUR SHANDY HERDIANTO 02.2009.1.07911

2. ACHMAD BAIDOWI 02.2009.1.07916

3. YAHYA 02.2009.1.07944

INSTITUT TEKNOLOGI ADHI TAMA SURABAYA

JURUSAN TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

1


2012

LEMBAR PENGESAHAN

PRAKTIKUM APLIKASI TEKNIK

MENGETAHUI,

KOORDINATOR PRAKTIKUM DOSEN PEMBIMBING

ALI KHOMSA, MT ALI KHOMSA, MT

2


KATA PENGANTAR

Dengan mengucap syukur Alhamdulillah ke hadirat Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat, anugerah, serta hidayah-NYA kepada penyusun sehingga dapat

menyelesaikan penulisan laporan praktikum metalurgi dengan tema pengenalan program

matlab.

Laporan ini disusun sebagai salah satu proses pembelajaran yang sudah terprogram di

jurusan Teknik Mesin, Institut Teknologi Adhi Tama Surabaya. Pada kesempatan ini,

penyusun tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Ali Khomsa, MT selaku koordinator praktikum Aplikasi Teknik.

2. Bapak Ali Khomsa, MT selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk

membimbing dan mengarahkan dalam penulisan dan penyusunan laporan ini.

3. Serta semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan laporan ini.

Penyusun menyadari bahwa laporan ini jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu saran

dan kritik yang bersifat membangun sangat diharapkan untuk menyempurnakan laporan

selanjutnya.

Akhir kata penyusun berharap semoga laporan praktikum ini dapat bermanfaat bagi

kita semua. Amin.

Surabaya, Januari 2012

Penyusun

3


KARTU KONSULTASI

LAPORAN PRAKTIKUM APLIKASI TEKNIK

Anggota kelompok : NUR SHANDY HERDIANTO 02.2009.1.07911

ACHMAD BAIDOWI 02.2009.1.07916

YAHYA 02.2009.1.07944

Dosen pembimbing : ALI KHOMSA, MT

NO Tanggal konsultasi Permasalahan Paraf

Dosen pembimbing

4


ALI KHOMSA, MT

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. LATAR BELAKANG

Aplikasi teknik merupakan penerapan ,etode numerik, yaitu teknik dimana masalah

matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan pengoprasi arit

matik. Walaupun terdapat banyak metodenumerik, namun pada dasarnya metode

tersebut meiliki satu dasar karakteristik umum.

Penguasaan metode numerik serta komputer (MATLAB) untuk penyelesaian masalah

sangat diperlukan, hal ini dikarenakan dengan metode numerik akan memudahkan

penyelesaian masalah, yaitudengan mengembangkan dengan satumodel matematika

darisebuah proses fisika.

Dunia fisika dalam segalah kompetisinya dapat muncul banyak sekali problem.

Secara tradisional para ilmuan telah menandai pola –pola dan hukum-hukum yang akan

ditiru misalkan dalam pengamatan, newton telah menformulasikan hukum gerak kedua

yang menyatakan bahwah laju waktu perubahan momentum dalam sebuah benda sama

dengan gaya resultan yang bekerja pada nya .dengan memepertimbangkan cara yang

amat kompleks ,dimana gaya –gaya yang berintraksi dengan bumi ,hukum ini terbukti

secara umum.

Suatu model matematika secara dapat didefinisikan sebagai sebuah formulasi atu

persamaman menggunakan segiutama satu sistem atau proses fisika dalam istilah model

matematika. Model merentang dari hubungan aljabar sederhana saipai system persamaan

didefinisikan yang besar dan rumit.

1.2. TUJUAN PRATIKUM

Tujuan dalam praktikum ini adalah

1. Menyelesaikan beberapa persamaan model matematika baik dengan analisa.

2. Menyelesaikan persamaa model matematika dengan numerik (MATLAB) 5


3. Membuat interprestasi hasil MATLAB dan meml andingnya dengan model analisis

1.3. BATASAN MASALAH

Untuk membatasi objek penelitian dan agar konsentrasi penelitian terpusat maka perlu

adanya batasan yang diberikan antara lain :

1. Soal yang dihitung menggunakan soal yang diberikan pada waktu pelaksanaan

praktikum

2. Model dan jenis soal didalam modul menyesuaikan jenis modul yang diberikan

3. Perhitungan dalam laporan menggunakan perhitungan manual dan perhitungan

matlab.

1.4. SISTEMATIKA PENULISAN LAPORAN

BAB I PENDAHULUAN

Berisikan latar belakang dilaksanakannya praktikum aplikasi teknik,

permasalahan, tujuan seluruh percobaan, batasan masalah dan sistematika

penulisan.

BAB II DASAR TEORI

Berisikan teori penunjang seluruh praktikum meliputi teori pengenalan matlab,

program matlab, akar-akar persamaan dengan metode Newton Raphson,

penyelesaian persamaan dengan eliminasi Gauss

BAB III PROSEDUR PRAKTIKUM DAN PROGRAM MATLAB

Berisikan prosedur praktikum, program matlab, dan data-data

BAB IV ANALISIS

Berisikan perhitungan cara analisis, interpretasi hasil numeric dan perbadingan

cara analisis dan numeric.

BAB V KESIMPULAN

Berisikan kesimpulan berdasarkan perhitungan dan analisis data selruh

praktikum.

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN-LAMPIRAN

6


BAB II

DASAR TEORI

2.1. PENGENALAN MATLAB

Matlab (Matrik laboratori ) awalnya hanya sebuah softwer yang dikhususkan untuk

menyelesaikan persamaan matematika kedalam sebuah matrik. Namun sekarang sesuai

dengan perkembangan sains yang ada matlab sekarang digunakan sebagai bahasa untuk

komputasi teknik maupun sains lainya. Matlab sekarang ini dirancang untuk meningkatkan

jangkauan dalam produktivitas ilmu, mempercepet proses penemuan dan pengembangan

untuk kreativitas penelitian. karena matlab dirancang untuk bahasa komputasi, sehingga

matlab menyediakan fasilitas fasilitas yang mudah dipelajari dan digunakan sehingga

memungkin kan untuk membuat aplikasi yang lebih besar dan kompleks. kegunakan matlab

antara lain.

1. Alat pemprograman dan pembuatan aplikasi.

2. Komputasi dan visualisasi gambar lebih baik dan cepat.

3. Menyediakan vasilitas matematika untuk analisa data.

Penggunaan Menu Pull-Down Pada Matlab

Pemakaian matlab sangat mudah karena menggunakan fasilitas menu Pull-down.

Diskripsi penggunakan fungsi menu untuk Command Window (layar perintah) dan figure

Window (layar Gambar).

Menu Command Window

Command Window (layar perintah) menyediakan perintah perintah yang digunakan

pada matlab. Anda dapat mengakses semua fungsi yang disediakan untuk menjalan kan

perintah pada matlab dengan diberi tanda prompt (>>) pada Command Window. Menu

command Window terliat seperti pada gambar.

7


Command window

Title

Menu bar

FILE

Menu file merupakan item untuk menangani set-up statement yang menghubungkan dengan

file.

NEW

Menu new mempunyai sub menu

8


M-File

Membuka editor dengan layar kosong sehingga anda siap untuk membuat M-file baru (liat

menu yangada pada editor/notepad yang dipakai).

Figure

Membuat sebuah figure window (layar baru).

Model

Membuat layar model simulink (jika progam matlab menyediakan fasilitas simulink)

Open M-file

Menampilkan dialok box

9


Open

Membuat editor dengan default pada m-file sesuai spesifikasi pada command window.

Run Seript

Menampilkan dialog box yang menanyakan nama M-file yng akan di eksekusi

Set Path

Untuk menentukan direktori tempat m file yang akan dieksekusi

Seve Workspance As

Menampilkan dialok box.

Anda diminta untuk memilih letakdriove, direc ory, dan masukkan nama file dengan ekstensi

kat(*mat) untuk menyimpan workspace (lembar kerja dan Matlab).

Preverences

Untuk mengset format tampilan yang ada mulai dari warna , jenis font ukuran model grafik

dan lainya.

10


Colors form

Untuk menset format tampilan angka pada output ,seperti pada tampil di bawah ini.

Losse

Tampilan numerik dengan basis baru sebelum dan sesudah matrik.

Compact

Tampilan numerik tanpa baris baru sebelum dan sesudah matrik.

Turn Echo on

Turn echo dapat diset dalam dua kondisi yaitu turn echo On turn echo Off.

Turn echo On pada m fale dieksekusi maka baris yang di eksekusi ditampilkkan pada layar

dan jika Turn Echo Off maka pada saat M-file dieksekusi maka baris-baris yang di eksekusi

tidak ditampilkan pada layar (command window).

11


Enable Background Procee

Perintah ini merupakan toggle yaitu dapat diset on atau off.

Font

Menampilkan dialog box yang dapat digunakan untuk men –set sepesifikasi font (huruf) dan

warna background pada command window yang digunakan.

Print

Mencetak semua text yang berada pada command window jika yang dicetak tidak ingin

semuanya maka cetak bagian (variable) yang ingin di cetak.

Print setup

Merupakan dialok box yang digunakan untuk men-set spesifikasi printer yang di inginkan.

Exit Matlab

Perintah untuk keluar dari pelayanan metlab.

EDIT

Menu edit adalah item yang menangani fasilitas edit.

Menu edit seperti terliat pada gambar.

12


Cut

Menghilangkan text yang di blok dari command window dan text tersebut disimpan pada

Clipboard.

Copy

Meng-copy (duplikasi) text yang di blok dari command window ke clipboard.

Paste

Menulis teks yang ada pada clipboard ke command windows.

Clear Session

Membersihkan lembar kerja

VIEW

Untuk menampilkan

WINDOW

menu window akan menampilkan matlab command window ke figure window. Contoh

matlab running dengan 2 figure window sehingga akan tampak sebagai berikut.

13


Dengan memilih salah satu maka kita akan masuk ke window yang dipilih(window yang

dipilih akan diaktifkan).

HELP

Menu help menyediakan fasilitas untuk mengakses program help dari matlab, diman pada

menu tersebut mempunyai sub menu sbb :

Help Window

Untuk melihat isi, perintah, indeks dan fasilitas lain pada matlab.

Help Tips

Isi sama dengan help window

Help Desk(HTML)

Melihat isi dan fasilitas matlab seperti tampilan internet

Joint Matlab Access

Untuk mendapatkan dan memperoleh informasi matlab, bila adda fasilitas internet kita

dapat mengaksesnya.

Subyek matematika dapat meliputi :

1. Akar-akar persamaan, persoalan

ini bertalian dengan nilai suatu 14


variable atau parameter yang memenuhi sutu persaman tunggal. Masalah ini pada

umumnya digunakan dalam desain teknik, dimana sering kali tidak mungkin

memecahkan parameter-parameter persamaan secara analitis.

f(x)

Gambar 1. Kurva fungsi dengan akar persamaan

2. Sistem persamaan aljabar linear, seperti halnya akan mencari akar-akar persamaan,

dalam hal ini berhubungan dengan nilai harga (nilai) yang memenuhi persaman.

Berbeda dengan pemenuhan sebuah persamaan tunggal, beberapa harga linear dicari

agar muncul secara simultan dalam berbagai konteks masalah dan pada setiap disiplin

teknik.

x2

a11x1+a12x2=c1

a21x1+a22x2=c2

Gambar 2. Grafik untuk

persamaan aljabar linear

3. Pencocokan kurva, teknik yang digunakan untuk mencocokkan kurva yang

dikembangkan dibagi menjadi 2 kategori umum yaitu regresi dan interpolasi.

Regresi digunakan jika ada tingkat yang berarti dari kesalahan yang berkenaan dengan

data. Hasil-hasil percobaan termasuk jenis ini.

15


Untuk keadaan semacam ini, strateginya ialah menurunkan sebuah kurva tunggal yang

memperihatkan kecenderungan dat umum tanpa perlu dicocokkan dengan masing-

masing titik.

Interpolasi digunakan untuk tujuan menentukan nilai-nilai tengahan diantara titik-titik

data yang secara relative bebas dari kesalahan. Hal semacam ini biasanya terdapat

dalam hal menabulasikan informasi. Strateginya adalah mencocokkan suatu kurva

secara langsung dengan titik-titik data kurva itu dipakai untuk memprediksi nilai-nilai

antara (tengahan).

f(x)

x

Gambar 3. Regresi

f(x)

x

Gambar 4. Interpolasi

16


2.2. MENCARI AKAR-AKAR PERSAMAAN

METODE NEWTON RAPHSON

Metode yang paling banyak digunakan dari semua formula mencari akar adalah Newton

raphson. Jika tebakan awal dari akar adalah x1, sebuah garis singgung dapat dari titik [x1,

f(x1)].

Titik dimana garis singgung ini memotong sumbu x biasanya menunjukkan sebuah

taksiran perbaikan dari akar. Metode Newton Raphson dapat diturunkan berdasarkan

interpretasi geometric (sebuah metode alternative yang didasarkan pada deret Taylor)

= f’(x1)

Gambar 5. Grafik Metode Newton Raphson

Garis singgung terhadap fungsi pada x1 [yakni f’(x1)] diekstrapolasikan ke bawah

terhadapsumbu x untuk memberikan sebuah taksiran akar pada xi+I.

Turunan pertama dar x1 adalah f’ (x1), ekuivalen dengan slope (kemiringan) :

f(xi) - 0

f’ (x1) =

xi – xi + 1

yang dapat diatur kembali menjadi :

f(xi)

f’ (x1) =

f’ (x1)

17


yang dinamakan formula Newton Raphson

2.3. PERSAMAAN ALJABAR LINEAR

ELIMINASI GAUSS

Persamaan aljabar linear simultan yang secara umum dinyatakan sebagai :

a11x1 +….+a1nxn = c1

a21x1 + a22x2+….+a2nxn = c2

. . . .

. . . .

an1x1 + an2x2+….+annxn = cn

dimana setiap harga a adalah koefisien dan c adalah konstanta.

Teknik ini dinamakan Eliminasi Gauss, karena meliputi kombinasi persamaan agar

mengeliminasikan (menghilangkan) yang tidak diketahui. Walaupun metode ini merupakan

salah satu metode tertua untuk menyelesalikan persamaan simultan, namun tetap diantara

algoritma yang sangat penting dipakai saat ini dan juga mudah diprogram dan diterapkan

dengan menggunakan komputer. Metode yang sesuai untuk menyelesaikan dari persamaan-

persamaan simultan selain dengan komputer, diantaranya dapat menggunakan aturan Cramer

dan Eliminasi yang tidak diketahui.

DETERMINAN DAN ATURAN CRAMER

Aturan cramer adalah teknik solusi yang sangat baik untuk persamaan-persamaan yang

berjumlah kecil. Sebelum menjelaskan metode ini akan dijelaskan konsep determinan yang

digunakan untuk melakukan untuk aturan cramer. Determinan mempunyai manfaat dalam

mengevaluasi kondisi timpang sebuah matriks.

Misalnya :

a11x1+a12x2+a13x3 = c1

a21x1+a22x2+a23x3 = c2

a31x1+a32x2+a33x3 = c3

18


atau dalam bentuk matriks :

[A] [X] = [C]

Dimana [A] adalah matriks koefisien :

a11 a12 a13

[A] = a21 a22 a23

a31 a32 a33 (2.1)

determinan D dari sistem ini dibentuk koefisien-koefisien persamaan, seperti :

a11 a12 a13

[D] = a21 a22 a23

a31 a32 a33 (2.2)

walaupun determinan D dan matriks koefisien [A] terdiri dari elemen-elemen yang sama,

mereka adalah konsep matematika yang sepenuhnya berbeda. Itulah sebabnya mereka

dibedakan secara visual oleh akolade yang menutupi matriks dan garis lurus yang menutupi

determinan. Berlainan dengan sebuah matriks, determinan adalah suatu bilangan tunggal.

Misalnya harga orde kedua determinan :

D = a11 a12

a21 a22 (2.3)

dihitung dengan :

D = a11a22 – a12a21

Untuk kasus orde ketiga, (persamaan 2.2), sebuah harga numerik tunggal untuk determinan

dapat dihitung sebagai :

D = a11 a22 a23 -a12 a21 a23 + a21 a22

a21 a22 a31 a33 a31 a33 (2.4)

dimana determinan 2 x 2 dinamakan minor.

19


Contoh :

Hitunglah harga-harga determinan dari persamaan-persamaan berikut :

3X1+2X2 = 18

-X1+2X2 = 2

3 2

D = =3(2)-2

-1 2

ATURAN CRAMER

Aturan ini menyatakan bahwa setiap yang tidak diketahui dalam sebuah sistem persamaan

aljabar linear boleh dinyatakan sebagai sebuah friksi dari dua determinan, penyebut D dan

pembilang yang diperoleh dari D, dengan mengganti kolom dari koefisien-koefisien yang

tidak diketahui yang dinyatakan oleh konstanta-konstanta C1,C2,…,Cn.

Misalnya X1 dapat diitung sebagai :

c1 a12 a13

c2 a22 a23

x1 = c3 a32 a33

D

Contoh :

Gunakan aturan cramer untuk menyelesaikan :

0,3 X1+0,52 X2+X3 = - 0,01

0,5 X1+ X2 +0,5 X3 = 0,67

0,1 X1+0,3 X2+0,5 X3 = - 0,44

Penyelesaian :

20


Determinan D dapat ditulis sebagai :

0,3 0,52 1

D = 0,5 1 1,9

0,1 0,5 0,5

Minor-minor adalah :

A1 = 1 1,9 = 1(0,5) – 1,9(0,3) = - 0,07

0,3 0,5

A1 = 0,5 1,9 = 0,5(0,5) – 1,9(0,1) = 0,06

0,1 0,5

A1 = 0,5 1 = 0,5(0,3) – 1(0,1) = 0,05

0,1 0,3

Ini dapat digunakan untuk mengevaluasi determinan, seperti dalam persamaan (2.4)

D = 0,3(0,07) – 0,52(0,06) + 1(0,05) = - 0,0022

Dengan menerapkan persamaan (2.5), penyelesaian adalah :

-0,01 0,52 1

0,67 1 1,9

-0,44 0,5 0,5 0,03278

X1= = = -1,49

- 0,0022 - 0,0022

0,3 -0,01 1

0,5 0,67 1,9

0,1 -0,44 0,5 0,0649

X2= = = -29,5

- 0,0022 - 0,0022

21


0,3 0,52 -0,01

0,5 1 0,67

0,1 0,3 -0,44 0,04356

X3= = = 19,8

- 0,0022 - 0,0022

Untuk lebih dari 3 persamaan, aturan cramer menjadi tidak praktis, kalau jumlah persamaan

bertambah, determinan akan menghabiskan waktu jika dihitung dengan tangan. Akibatnya,

alternative yang lebih efisien (tanpa computer) adalah eliminasi yang tidak diketahui.

ELIMINASI YANG TIDAK DIKETAHUI

Eliminasi yang tidak diketahui yang didapat dengan menggabungkan persamaan-persamaan

adalah merupakan pendekatan aljabar yang dapat digambarkan untuk sebuah kumpulan yang

terdiri dari dua persamaan :

a11x1+a12x2 = c1 (2.6)

a21x1+a22x2 = c2 (2.7)

strategi dasar adalah dengan mengalikan persamaan-persamaan ini dengan konstanta-

konstanta, supaya dari yang tidak diketahui akan dieliminasi sewaktu kedua persamaan

digabungkan. Hasil tersebut adalah sebuah persamaan tunggal yang dapat diselesaikan untuk

yang tidak diketahui selebihnya. Harga ini dapat dimasukkan kedalam persamaan asli guna

menghitung variable lainnya.

Misalnya persamaan (2.6) dapat dikalikan dengan a21, dan persamaan (2.7) dengan a11,

sehingga menjadi :

a11a21x1 + a12a21x2 = c1 a21 (2.8)

a21a11x1 + a22a11x2 = c2 a11 (2.9)

dengan mengurangkan persamaan (2.8) dari persamaan (2.9), karenanya akan mengeliminasi

suku x1 dari persamaan agar memenuhi :

a22a11x2 - a12a21x2 = c2 a11 - c1 a21

22


yang dapat diselesaiakan untuk :

c2 a11 - c1 a21

x2 = (2.10)

a11a22 - a12 a21

persamaan (2.10) lalu dimasukkan kedalam persamaan (2.6) yang dapat diselesaiakan untuk :

a22 c1 - a12 c2

x1 = (2.11)

a11a22 - a12 a21

perhatikan bahwa persamaan (2.10) dan (2.11) secara langsung mengikuti aturan cramer yang

menyatakan :

c1 a12

c2 a22 c1a22 – c1a21

x1 = =

a11 a12 a11a22 – a12a21

a21 a22

dan

a11 c1

a21 c2 a1c2 – c1a21

x2 = =

a11 a12 a11a22 – a12a21

a21 a22

contoh :

Gunakan eliminasi yang tidak diketahui untuk menyelesaiakan :

3x1 + 2x2 = 18

-x1 + 2x2 = 2

23


Penyelesaian :

Menggunakan persamaan (2.11) dan persamaan (2.10) :

2(18) – 2(2)

x1 = = 4

3(2) – 2(-1)

3(2) – (-1)18

x2 = = 3

3(2) – 2(-1)

Eliminasi yang tidak diketahui dapat diperluas terhadap sistem dengan lebih dari dua atau

tiga persamaan. Tetapi berbagai kalkulasi yang diperlukan bagi sistem yang lebih besar dan

untuk memudahkan, metode tersebut dilakukan perhitungan program.

TEORI MATLAB

Matlab adalah paket program matematika canggih yang berfungsi pada operasi atas matrik.

Ada dua cara pelayanan, yaitu :

1. Secara iterative

2. Dengan pemrograman

Dalam penulisan modul ini ada dua model penulisan :

1. Time new roman untuk penulisan non program

2. Arial untuk penulisan program

Pelayanan secara interative dilakukan dengan cara mengetikkan perintah-perintah yang

diinginkan langsung pada “prompt” dari matlab yang berbentuk lambing “>>”.

Pelayanan dengan pemrograman dilakukan dengan cara membuat/menyusun program dengan

editor dan disimpan dengan ekstensi “m”(*.m).

Lakukan perintah dibawah ini sebagai pelayanan iterative.

Membuat matriks

24


>> A = [4 3 2; 4 4 3; 3 2 2]

Perintah mencari invers

>> B = inv(A); %Menampilkan hasil invers dari matriks A

>> C = det(A); %Menampilkan hasil determinan dari matriks A

Mengambil bagian dari matriks

>> a = A(1,;) %Menampilkan baris ke satu semua kolom dari matriks A

a

>> b = A(:,2); %Menampilkan semua baris kolom ke dua dari matriks A

B

>> c = A(1:2,:);

c

Untuk menampilkan variable yang aktif dalam lembar kerja.

>>who

Menyimpan lembar kerja

>>save temp

Untuk menghapus semua variable pada lembar kerja (buffer memori).

>> clear

>> who

Memanggil lembar kerja yang telah disimpan

>> load temp

>> who

Mencari ukuran dari matriks

25


>>[n,m] = size (A);

Matriks-matriks khusus yang telah disediakan oleh matlab :

Eye(n) : membuat matriks identitas dengan ukuran n x n

Zeros(n) : membuat matriks nol dengan ukuran n x n

Ones(n) : membuat matriks segitiga bawah dari matriks x

Triu(n) : membuat matrik segitiga atas dari matrik x

Untuk lebih mendalami lakukan dan jawab pertayaan di bawah ini:

Buat matrik di bawah ini:

0,6 1,5 2,3 -0,5

8,2 0,5 -0,1 -0,2

G = 5,7 8,2 9,0 1,5

0,5 0,5 2,4 0,5

1,2 -2,3 -4,5 0,5

[m,n]=size(G)

A = det(G)

B = inv(G)

C = GT

D =(:,2)

E = G(1:3,2:4)

Tugas 2a

GRAFIK

Grafik 2D contohnya adalah sbb:

26


Membuat grafik sinus dan cosines

X=0:0,0,01:2*pi;

Y=sin(x);

Z=cos(x);

Plot(x,y,’r-‘,x,z’g-‘);

Grid;

Title(‘Grafik fungsi sinus (x)dan cosines (x)dan cosines (x)’);

Xlabel(‘nilai x’);

Ylabel(‘cos(x)atau sin (x)’);

Shg;

Tugas 2a

Grafik 3D contoh nya adalah sbb:

X=-8:0,5:8:

Y=x;

[x,y]=meshgrid (x,y);

R=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;

Z=sin (R)./R;

Mesh (Z);

Title (‘Grafik sin (R)/R’);

27


Buatlah Grafik 3D dari data di bawah ini:

G =

% sedangkan perintah mensh(G)

Mens(G)

Title(‘Grafik 3 Dimensi ‘);

Xlabel (harga x’)

Ylabel (harga y’)

Zlabel (harga z’)

28

Dari data percobaan di peroleh data sbb:

Waktu(detik) Suhu(F˚)

0 54,2

1 58,5

2 63,8

3 64,2

4 67,3

5 71,5

6 88,3

7 90,1

8 90,6

9 89,5

10 90,4

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 -5 -5 -5 -5 1 1

1 1 -5 5 10 -5 1 1

1 1 -5 -5 -5 -5 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1


Pause

Pcolor(G)

Axis off

Shading plat

Setelah menyelesaikan program di atas fahami dan buat logikanya

Tipe garis ,tanda dan warna

Mengambarkan grfik dapat digunakan karakter-karakter khusus sebagai symbol

garis,tanda maupun warna.

Simbol-simbol ,tipe-tipe garis,dan warna ssb:

Symbol Warna

y kuning

m mentega

c cyan

r merah

g hijau

b biru

w putih

k hitam

Simbol Tipe warna

• Titik•

O Linkaran

X Tanda-x

+ Tanda-+

* Tanda-*

_ Garis penuh

: Tanda-:

Garis petik

Garis putus’’

Perintah:

Plot :Membuat grafik 2 dimensi

Mesh :Membuat grafik 3 dimensi

Xlabel : memebeeri nama sumbu x

29


Ylabel : member nama sumbu y

Zlabel : member nama sumbu z

Title : member judul grafik

OPERATOR MATEMATIK

+ : jumlah (plus)

- : kurang (minus)

* : perkalian

/ : pembagian

^ : pangkat

Operator ini dapat digunakan pada skalar, vector maupun matriks. Jika dikenakan pada maka

berlaku seperti aljabar biasa.

Coba lakukan perintah dibawah ini dan perhatikan hasil operasi-operasinya.

a = [1 2 3 4 5]

b = [6 7 2 5 3]

c = 2

A = a + b; E = b – a;

B = a + c; B = a / b;

C = a ^ c; C = a b;

D = a * Bp; D = b^a;

Sedangkan untuk operasi dibawwah ini tidak dapat dilakukan.

Coba anda terangkan :

a*b

a/b

a\b

b^a30


Tugas 2d1.A=[2-1 5 0]; B=[3 2 -1 4];

1.A-B

2.B+A-3

3.2*A+A^B

4.B/A

5.B\A

6.A^Bp

7.(2)^B+A

8.2*B/3.0*A

2. C = D =

1.C*D

2.C+D

3.C/D

4.C\D

5.D-C

6.C.*D

7.C./D

8.C.\D

OPERATOR RELASI

Operator :

< Lebih kecil

<= Lebih kecil atau sama dengan

> Lebih besar

>= Lebih besar atau sama dengan

31

2 3

4 6

5 7

4 3


== Sama dengan

[= Tidak sama dengan

Operasi relasi ini sangat penting untuk aliran program yang menggunakan statement WHILE

dan IF.

Kontrol Aliran Program:

Dalam Matlap,control aliran program ini terdiri dari FOR LOOP,WHILE LOOPS,dan IF-

ELSE-END.

•FOR LOOPS

For X=array

Perintah

End

Contoh:

For n=1:10

X(n)=sin(n*П/10);

End

X(lihat nilai x)

Selain itu juga dapat digunakan perintah for loop dalam for loop.

Contoh:

For n=1:5

For m=5:-1:1

A(n,m)=n.^2+m.^2

End;

End;

•WHILE LOOP

32


Perintah pengulangan tetapi di ketahui jumlah pengulangannya,sehingga diperlukan syarat

batas (syarat yang harus dipenuhi)

While ekspresi

Perintah

End

Contoh:

>>num=0;eps=1

While(!=eps).1

Num=num+1

End

>>num

>>eps

•IF-ElSE-END

Melakukan perintah dengan syarat batas:

IF ekspfesi

Peritah

End

If ekspresi 1

Perintah 1

Elseif

Perintah2

Elseif

Perintah 3

End;

End;

End;

Contoh:

33


>>a=[25678]

>>a=max (size(a))

>>if n>0

Rata=a/n

End

Dalam kesepakatan ini anda akan diperkenalkan ;

Pengunaan editor

Membuka dan menutup Matlap

Program berikut ini adalah untuk menghitung akar kuadrat bilangan file akar .m dengan

memasukkan program ini (program dibuat dalam editor)

Tugas 3a

%mencari akar:

X=a;

Error=1;

K=1;

While error>0.000001

Y=0.5*(x+a/x;

Sbx(k)=x;

Sby(k)=y;

Error=abs(x-y);

X=y;

K=k+1;

End

X

Pause;

Plot(sbx,sby);

34


Sesudah program di atas di samping (dilakukan dalam editor),kemudian kembali ke Matlap

dan lakukan;

>>a=10;

>>akar

Pelajarilah hasil dan makna tiap baris dalam program ini .catatlah semua hasil yang purlu

dalam buku catatan praktikum anda.

Tugas 3b

Mencari akar polynomial dengan mengunakan metode NEWTON-RAPHSON,dimana

pada metode neuton tersebut harus diberikan turunan dari polynomial tersebut.dalam program

di bawah ini diperkenalkan metode Newton sekaligus diperkenalkan siapkan file zfungsi.m di

bawah ini;

%nama file zfungsi.m

%program untuk menghitung f(x) dan f’(x)dengan x diketahui

%program ini di sertakan prosedur ffunction

%Distribusi temperature (!D)kondisi steady state pada dinding (wall)

T(x)

Function [f,ff] = z fungsi (x)

F=x.^5-2*x.^4+3*x.^3-4*x.^2+5*x-6

Ff=5*x.^4-8*x.^3+9*x.^2-8*x.+5

Simpan program tersebut dengan nama file zfungsi .m

Setelah itu siapkan file baru lagi dengan nama file znewton.m di bawah ini.

%nama file znewton.m

%sebagai program induk untuk memanggil program zfungsi.m

%untuk mencari akar dari f(x)dengan metode newton

%nilai tafsiran awal x dimasukkan dulu.

35


For xo=1:5

End;

%tol=0,0001;

[f,ff]=zfungsi(xo)

While abs(xo-x)>0.0000001

X=xo-f/ff;

Xo=xo+1;

Xo=x;

Break

End;

End;

Pelajarilah hasil dan maka tiap baris dalam program ini.

Mencari solusi system dari persamaan linier

Untuk menyelesaikan solusi dari beberapa persamaan linear dengan n buah persamaan yang

dapat ditulis dalam bentuk persamaan berikut:

a11.x1+a12.x2+a13.x3+…………..+a1n.xn =b1

a21.x1+a22.x2+a23.x3+……………+a2n.xn =b2

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

an1.x1+an2.x2+an.x3+……………..+ann.xn=bn

dimana a11,a12,a13,………an1,an2,…..ann adalah konstan,sedangkan x1,x2,x3…..xn

adalah variable yang nilai nya belun diketahui.system persamaan aljabar linier dapat ditulis

dalam bentuk matrik:

36


[A]*[B]

a11 a12 a13 … a1n

dengan [A] = a21 a22 a23 … a2n

.. .. .. … …

a31 a32 a33 ... ann

x1 b

x2 b2

[X] = … [B] = ...

… …

xn bn

Contoh beberapa cara penyelesaian system persamaan tersebut secara simultan sehingga

diperoleh nilai beberapa variable tersebut.

Metode invers yang telah tersedia pada program matlap

Mencari invers suatu matrik pada program invers tersedia pada matlap dengan metode

adjoint.

[A]*[B]=[B]

[A]-1 *[A]*[X]=[A]-1[B]

[I]*[X]=[A]-1 *[B]

[X]=[A]*[B]

Keterangan : [A]-1 = invers dari matriks [A]

[I] = invers identitas

Tugas 4a37


Untuk mempermudah lakukanlah percobaan/praktikum untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut :

3x1 + 2x2 - x3 = 10

-x1 + 3x2 + 2x3 = 5

x1 - x2 - x3 = 1

persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk :

[A] [X] = [B]

Dengan,

3 2 -1 x1 10

[A] = -1 3 2 [X] = x2 dan [B] = 5

1 -1 -1 x3 1

Program : A = [3,2,-1;-1,3,2;1,-1,-1]

B = [10;5;1]

C = inv[A] %C adalah invers A

X = C*Bp

Invers dengan metode SMW(Sherman Morisson Woodbry)

Metode SMW adalah mencari invers dari suatu matriks dengan mencari selisih

matriks tersebut dengan matriks yang lain yang sudah diketahui inversnya. Maka yang paling

mudah matriks yang digunakan sebagai acuan adalah matriks [I].

Relasi matriks SMW adalah :

V1 * A-1 * U = B-1 dan B = A+U*V-1

Tugas 4b

%program mencari invers dengan metode SMW

Function [A] = invers SMW [A]

%mencari invers dengan metode SMW

%matriks yang dicari dimasukkan

[m,n] = size(a);

c = a-eye(n,n);38


a = eye(n,n);

for k = 1:n

z = 1+a(k,:)*c(:, k);

a = a-a*c(:,k)*a(k,:)/z;

end;

sesudah disimpan siapkan file lain seperti dibawah ini, untuk menyelesaikan persamaan di atas :

a = [3,2,-1;-1,3,2;1,-1,-1];

b = [10;5;1];

[c] = inv (a) %invers matriks a disimpan di c

X = c*b;

Diketahui :

1. -2x1 + x2 = -3 6. -3x1 + 2x2 – x3 = 1

x1 + x2 = 3 -x1 + 3x2 + 2x3 = 1

x1 – x2 – x3 = 1

2. -2x1 + x2 = -3 7. 10x1 – 7x2 = 7

-2x1 + 3x2 = 9 -3x1 + 2x2 + 6x3 = 4

5x1 + x2 + 5x3 = 6

3. -2x1 + x2 = -3 8. x1 + 4x2 – x3 + x4 = 2

-6x1 + 3x2 = 9 2x1 + 7x2 + x3 – 2x4 = 16

4. -2x1 + x2 = -3 x1 + 4x2 – x3 +2x4 = 1

-2x1 + x2 = -3,0001 3x1 – 10x2 – 2x3 +5x4 = -15

5. –x1 + 3x2 – x3 = 5

-x1 + 3x2 + 2x3 = 5

x1 – x2 – x3 = -1

Metode eliminasi Gauss39


metode eliminasi yang banyak digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan

linier selain metode invers adalah eliminasi gauss. Pada pembahasan ini eliminasi gauss

didekati dengan menggunakan sifat khusus dari matriks gauss.

Tugas 4d

%program eliminasi gauss dengan pertukaran baris

%matriks a ukuran [n,n] dimasukkan

%matriks b ukuran [1,n] dimasukkan

[m,n]=size(a);

For i =1;1;(n-1)

g = eye(n,n);

j = i;

while a(i,j)=0

c = a(j,:);

d = b(j);

a(j,:)=a(j+1,:);

b(j)=b(j+1);

a(j+1.:)=c;

b(j+1,:)=d;

end;

for k=1:1:n

if i = k

g(k,i) = a(k,i)/a(i,i);

else

g(k,i) = -a(k,i)/a(i,i);

end;

end;

a=g*a;

b=g*b;

40


end;

%untuk melihat hasil akhir eliminasi gauss

%matriks segitiga atas

%mencari solusi X1,X2,…,Xn

x=zeros(n,1);

for i = n:-1:1

c = 0;

for j = 1:1: n

if i ~=j

c = c+(a(i,j)*x(j));

end;

end;

x(i,j)=(b(i)-c)/a(i,i);

end;

%menampilkanhasilnya

x

Jika sudah selesai simpan dengan file gauss.m. setelah itu kerjakan pd promptmatlab :

>>a = [1,4,-1,1;2,7,1,2;1,4,-1,2;3,-10,-2,5];

>>b = [2;16;1;-15];

>>gauss

nilai x adalah solusi dari persamaan diatas :

Regresi linear dengan metode least square

41


regresi ini sangat diperlukan untuk mencari kurva g(x) yang dapat memiliki titik dari hasil

percobaan. perhatikan gambar berikut :

f(x) g(x)

x

dengan metode least square regresi llinear (orde 1) diperoleh :

a = 1/n Σy1 – 1/n Σx1 b = y - bx

dan

n Σ x1y1 – Σ x1 Σ y1

b =

n Σ x12 – (Σx1)1

dimana :

n = jumlah data percobaan

sehingga diperoleh persamaan linearisasi :

g(x) = a + Bx

agar lebih mudah untuk mengembangkan logika kita regresi yang lebih besar, hal tersebut

dapat dibentuk dalam matriks :

n Σx1 a1 = Σy1

dimana : Σx1 Σx12 a2 Σx1y1

a1 = a

a2 = b

untuk menentukan a1 dan a2, setelah ketemu bentuk matriks, dapat digunakan metode invers

atau matriks gauss.

tugas 4f

42


sebuah tangki yang memiliki sisi vertikal dengan daerah penyimpanan air. untuk mengisi

tangki diperlukan pompa untuk memindahkan air ke atas. laju aliran air adalah sebagai

berikut :

time 10 20 30 40

flow rate 10 30 50 60

%program

%masukkan data pada matriks [dat] dengan ukuran[n,2]

%dat1 sebagai harga x dan dat2 sebagai harga y

dat1 = [10,20,30,40];

dat2 = [10,30,50,60];

%[dat1,dat2] = size (dat)

x = sum(dat1);%x = sigma x

y= sum(dat2); %y = sigma y

x2 = dat1.^2;%x2 = [xi]2

sx2 = sum(x2);

xy = dat1.*dat2;

sxy = sum(xy);

%b = (n*sxy-x*y)/(n*sx2-x^2);

%a = (y-b*x)/n;

a = [n,x;x,sx2];

b = [y;sxy];

regresi = a b;

%untuk menggmbar

hor = dat1;

ver = dat2;

plot (hor,ver)

grid;

BAB III

43


METODOLOGI PERCOBAAN

3.1. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM

Pada dasarnya prosedur yang dilakukan pada praktikum ini antara tugas 1, tugas 2, dan

tugas 3 adalah sama, hanya yang membedakan adalah pembuatan programnya saja.

Berikut ini langkah kerja yang dilakukan pada saat praktikum :

1. Menjalankan program atau software matlab.

2. Memunculkan tampilan layar editor yang digunakan untuk menuliskan program.

3. Dengan memilih menu file kemudian memilih submenu new

4. Memilih M.file dan klik

5. Menuliskan program sesuai dengan tugas-tugas yang telah diberikan instruktur.

6. Kemudian setelah program selesai dibuat simpan program tersebut misalnya

dengan nama tugas 1.

7. Menampilkan hasil dari data yang tersimpan tadi, dengan menekan tombol F5 pada

keyboard maka data tersebut akan tampak pada kotak dialog command window.

8. Mencetak hasil data serta program yang telah selesai dibuat.

BAB IV

44


ANALISA DATA

1. Penyelesaian Secara Analitis

TUGAS 1

-18X - 10Y - 11Z = 12

-16X - 31Y - 15Z = 4

-15X - 18Y - 16Z = 22

maka :

-18 -10 -11 X 12

[A] = -16 -13 -16 [X] = Y Dan [B] = 4

-15 -18 -16 Z 22

persamaan linear diatas dapat dikerjakan dengan menggunakan eliminasi Gauss :

-18 -10 -11 12 -10

Δ = -16 -13 -16 -16 -31

-15 -18 -16 -15 -18

= [(-18.-31.-16) + (-10.-15.-15) + (-11.-16.-18)] - [(-15.-31.-11)-(-18.-15.-18)-

(-16.-16.-10)]

= - 1811

Δ1 = 12 -10 -11 12 -10

4 -31 -15 4 -31

22 -18 -16 22 -18

= [(12.-31.-16) + (-10.-15.22) + (-11.4.-18)] - [(22.-31.-11) - (-18.-15.12) -

(-16.4.-10)

= -1338

Δ2 = -18 12 -11 -18 12

-16 4 -15 -16 4

-15 22 -16 -15 22

= [(-18.4.-16) + (12.-15.-15) + (-11.-16.22)] - [(-15.4.-11) - (22.-15.18) -

(-16.-16.12)

= - 1948

45


Δ3 = -18 10 -12 -18 10

-16 -31 4 -16 -31

-15 -18 22 -15 -18

= [(-18.-31.22) + (-10.4.-15) + (12.-16.-18)] - [(-15.-31.12) - (-18.4.-18) -

(22.-16.-10)

= 5936

maka, harga nilai X adalah x = Δ1 / Δ = -1338 / -1811 = 0,738

harga nilai Y adalah y = Δ2 / Δ = -1948 / -1811 = 1,0756

harga nilai Z adalah z = Δ3 / Δ = 5936 / -1811 = -3,271

TUGAS 2

A = Sin (x+3)

B = Cos (x*4)

penyelesaian :

1

y=sin x

0 π 2π x(rad)

-1

Grafik fungsi sinus

A = Sin (2πft)

Sin (θ + 2πft)

(3 + 2πft)

2πf . x

2πf = 1

f = 1/2π = 1/6,28 46


t = 6,28

1

x=cos x

0 π 2π x (rad)

-1

Grafik fungsi cosinus

B = Cos (x*4)

Cos (2πft)

2πf . x

2πf . 4

4 = 2πf

f = 4/6,28 = 0,636

t = 1/f = 1,57

47


TUGAS 3

F(x) = 2X3 - 3X2 - 5X + 16

dari hasil perhitungan matlab :

x = - 1,9334

1,7167 + 1,09131

1,7167 - 1,09131

maka apabila dimasukkan stu variable x dalam persamaan polinomial, akan didapatkan X3

menjadi X2.

perhitungan :

F(x) = 2X2(-1,9334) - 3x(-1,9334) - 5(1,9334) + 16

= - 3,8668X2 +5,8002X + 25,667

dengan menggunakan rumus ABC dicari harga x :

-b ± √b2 - 4acx = 2a

-5,8002 + √(5,8001)2 - 4(-3,8668)(25,667) = 2(-3,8668) -5,8002 + √(33,6423) + (396,3808) =

-7,7336

-5,8002 + 20,7369 = -7,7336 = - 1,931

48


jadi, nilai x1 = - 1,931

sedangkan dari perhitungan matlab diperoleh :

x1 = -1,931 x2 = 1,7167 + 1,0913i x3 = 1,7167 - 1,0913i

dan perhitungan dari analitis diperoleh :

x1 = -1,931 x2 = 2,808 x3 = 0,6254

jadi analisa dari perhitungan dari matalab dan perhitungan analitis adalah sama.

49

Revisi Laporan Aplikasi Teknik

Documents

Transcript of Revisi Laporan Aplikasi Teknik