Relasi

2

Relasi Hubungan antara anggota-anggota himpunan

direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi.

Untuk mendeskripsikan relasi antara anggota-anggota dua himpunan A dan B, dapat digunakan pasangan terurut dengan anggota pertamanya diambil dari A dan anggota keduanya diambil dari B.

Karena ini merupakan relasi antara dua himpunan, maka disebut relasi biner.

Definisi. Misalkan A dan B himpunan. Suatu relasi biner dari A ke B adalah subhimpunan dari

AB. Untuk relasi biner R berlaku R AB. Digunakan notasi aRb untuk menyatakan (a,b)R dan aRb

untuk menyatakan (a,b)R. Jika (a, b) merupakan anggota R, a dikatakan berelasi

dengan b oleh R.

3

Contoh 1Misalkan O himpunan orang,

A himpunan angkutan kota, dan N relasi yang mendeskripsikan siapa yang

menaiki angkot tertentu.O = {Aang, Bida, Charlie, Dina}, A = {Cicaheum-Ledeng (CL), Kelapa-Dago (KD), Stasiun-Sadang Serang (SS)}N = {(Aang, CL), (Bida, CL), (Bida, KD), (Charlie, SS)}

Artinya Aang naik Cicaheum-Ledeng, Bida naik Cicaheum-Ledeng dan Kelapa-Dago, Charlie naik Stasiun-Sadang Serang, dan Dina tidak menaiki salah satu dari angkot tersebut.

4

Fungsi sebagai Relasi Fungsi f dari A ke B memasangkan tepat satu

anggota B pada setiap anggota A. Graf dari f adalah himpunan pasangan terurut (a,b)

sehingga b = f(a). Karena graf dari f merupakan subhimpunan dari

AB, maka graf merupakan relasi dari A ke B. Untuk setiap aA, terdapat tepat satu pasangan

terurut di dalam graf dengan a sebagai anggota pertama.

Sebaliknya, jika R suatu relasi dari A ke B sehingga setiap anggota A merupakan anggota pertama dari tepat satu pasangan terurut di R, maka dapat didefinisikan suatu fungsi dengan R sebagai grafnya.

Ini dilakukan dengan memasangkan pada setiap anggota aA tepat satu bB sehingga (a, b)R.

Relasi adalah perumuman dari fungsi.

5

Relasi pada HimpunanDefinisi.Suatu relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ke A.

Relasi pada himpunan A adalah subhimpunan dari AA.

Contoh 2. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. Himpunan terurut manakah yang terdapat dalam relasi

R = {(a, b) | a < b} ?

Solusi. R = {

(1, 2),(1, 2),(1, 3),(1, 3),(1, 4),(1, 4),(2, 3),(2, 3),(2, 4),(2, 4),(3, (3, 4)}4)}

6

R 1 2 3 4

1

2

3

4

11 11

22

33

44

22

33

44

XX XX XX

XX XX

XX

Contoh 2…

7

Banyaknya Relasi pada HimpunanAda berapa relasi berbeda yang dapat didefinisikan pada himpunan A dengan n anggota?

Suatu relasi pada A adalah subhimpunan dari AA.

Ada berapa anggota AA ?Terdapat n2 anggota AA

Ada berapa subhimpunan dari AA?Banyaknya subhimpunan yang dapat dibentuk dari suatu himpunan dengan m anggota adalah 2m. Jadi, ada 2n2 subhimpunan dapat dibentuk dari AA.

Sehingga, dapat didefinisikan 2n2 relasi berbeda pada A.

8

Sifat RelasiDefinisi. Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)R untuk setiap anggota aA.

Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} refleksif?R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} Tidak.

R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} Ya.

R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} Tidak.

Definisi. Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika

(b,a)R setiap kali (a,b)R untuk setiap a,bA. Relasi R pada himpunan A disebut antisimetris

jika a = b setiap kali (a,b)R dan (b,a)R.

9

Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} simetris atau antisimetris?

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)} simetris

R = {(1, 1)} simetris & antisimetris

R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} antisimetris

R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)} antisimetris

Contoh 3

10

Definisi. Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika setiap kali (a,b)R dan (b,c)R, maka (a,c)R untuk a,b,cA.

Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} transitif?

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)} Ya.

R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)} Tidak.

R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)} Tidak.

Sifat Relasi (2)

11

Menghitung RelasiAda berapa banyak relasi refleksif yang berbeda yang dapat didefinisikan pada himpunan A yang memuat n anggota?

Solusi. Relasi pada A adalah subhimpunan dari AA, yang memuat n2 anggota.Jadi, relasi yang berbeda pada A dapat dibangun dengan memilih subhimpunan yang berbeda dari n2 anggota, sehingga terdapat 2n2 relasi.Namun, suatu relasi refleksif harus memuat n anggota (a,a) untuk setiap aA.Konsekuensinya, kita hanya dapat memilih di antara

n2 – n = n(n – 1) anggota untuk membangun relasi refleksif, sehingga terdapat 2n(n – 1) relasi.

12

Kombinasi RelasiRelasi adalah himpunan, sehingga operasi himpunan dapat diaplikasikan.Jika ada dua relasi R1 dan R2, dan keduanya dari himpunan A ke himpunan B, maka terdapat kombinasi

R1 R2, R1 R2, atau R1 – R2

yang merupakan suatu relasi dari A ke B.

Definisi.Misalkan R relasi dari A ke B dan S relasi dari B ke C. Komposisi dari R dan S adalah relasi yang memuat himpunan terurut (a,c), dengan aA, cC, di mana terdapat anggota bB sehingga (a,b)R dan (b,c)S. Komposisi dari R dan S dinotasikan oleh SR.Jika relasi R memuat pasangan (a, b) dan relasi S memuat pasangan (b,c), maka SR memuat pasangan (a,c).

13

Contoh.Misalkan D dan S relasi pada A = {1, 2, 3, 4}.D = {(a, b) | b = 5 - a} “b sama dengan (5 – a)”S = {(a, b) | a < b} “a lebih kecil dari b”

D = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

SD = {

D memetakan suatu anggota a ke anggota (5 – a), dan setelah itu S memetakan (5 – a) pada semua anggota yang lebih besar dari (5 – a), yang menghasilkan SD = {(a,b) | b > 5 – a} atau SD = {(a,b) | a + b > 5}.

(2, 4),(2, 4),(3, 3),(3, 3),(3, 4),(3, 4),(4, 2),(4, 2), (4, 3),(4, 3), (4, 4)}(4, 4)}

Contoh 4

14

Kuasa dari RelasiDefinisi. Misalkan R relasi pada himpunan A. Kuasa Rn, n = 1, 2, 3, …, didefinisikan secara induktif

R1 = RRn+1 = RnR

Dengan kata lain:Rn = RR … R (sebanyak n kali)

Teorema. Relasi R pada A transitif jika dan hanya jika Rn R untuk setiap bilangan bulat positif n.

15

Representasi RelasiBeberapa cara untuk merepresentasikan relasi: e.g., pasangan terurut.

Dua cara: matriks nol-satu dan graf beraraf (digraf).

Jika R relasi dari A = {a1, a2, …, am} ke B = {b1, b2, …, bn}, maka R dapat direpresentasikan oleh matriks nol-satu MR = [mij] dengan

mij = 1, jika (ai,bj)R, dan

mij = 0, jika (ai,bj)R.

MR merupakan matriks bujursangkar.

16

Representasi Relasi dengan MatriksContoh. Bagaimana merepresentasikan relasi R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)} sebagai matriks nol-satu ?

Solusi. Matriks MR diberikan oleh

11

01

00

RM

17

Matriks yang merepresentasikan relasi refleksif?Setiap elemen diagonal dari matriks Mref haruslah 1.

1

.

.

.

1

1

refM

Sifat Matriks Representasi Relasi

Matriks yang merepresentasikan relasi simetris?Matriksnya juga simetri, yaitu MR = (MR)t.

1101

1001

0010

1101

RM

matriks simetri,relasi simetris.

0011

0011

0011

0011

RM

matriks tak-simetri,relasi tak-simetris.

18

Misalkan relasi R dan S direpresentasikan oleh matriks

011

111

101

SRSR MMM

001

110

101

SM

Apakah matriks yang merepresentasikan RS and RS?Solusi: Matriks-matriks tersebut adalah

000

000

101

SRSR MMM

010

001

101

RM

Operasi pada Matriks Representasi

19

Hasil kali Boolean

Misalkan A = [aij] matriks nol-satu mk and B = [bij] matriks nol-satu kn .

Maka hasil kali Boolean dari A dan B, dinotasikan oleh AB, adalah matriks mn dengan entri ke-(i, j) [cij], dengan

cij = (ai1 b1j) (ai2 b2i) … (aik bkj).

cij = 1 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari (ain bnj) = 1 untuk suatu n; selain itu cij = 0.

20

Matriks komposit

Misalkan diasumsikan bahwa matriks nol-satu MA = [aij], MB = [bij] dan MC = [cij] mrepresentasikan matriks A, B, dan C.

Untuk MC = MA MB:cij = 1 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari bentuk(ain bnj) = 1 untuk suatu n; selain itu cij = 0.

Dalam bahasa relasi, ini berarti C memuat (xi, zj) jika dan hanya jika terdapat elemen yn sehingga (xi, yn) anggota relasi A dan (yn, zj) anggota relasi B.

Jadi, C = B A (komposisi dari A dan B).

21

Komposisi dan Komposit

Ini memberikan aturan berikut:MBA = MAMB

Jadi, matriks yang merepresentasikan komposisi dari relasi A dan B adalah hasil kali Boolean dari matriks yang merepresentasikan A dan B.

Secara analog, kita dapat menemukan matriks yang merepresentasikan kuasa dari relasi:

MRn = MR[n] (kuasa Boolean ke-n).

22

Contoh

Cari matriks yang merepresentasikan R2, dengan matriks yang merepresentasikan R sbb

001

110

010

RM

Solusi: Matriks untuk R2 diberikan oleh

010

111

110]2[

2 RRMM

23

Digraf

Definisi: Graf berarah (atau digraf) memuat himpunan titik (atau vertex) V dan himpunan E yang terdiri dari pasangan terurut dari anggota-anggota V yang disebut sisi (atau arc).

Vertex a disebut vertex awal dari sisi (a,b), dan vertex b disebut vertex akhir dari sisi ini.

Kita dapat menggunakan panah untuk mengilustrasikan digraf.

24

Representasi Relasi dengan Digraf

Contoh: Ilustrasikan digraph dengan V = {a, b, c, d}, E = {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)}.

aabb

ccdd

Sisi dalam bentuk (b, b) disebut loop.

25

Korespondensi satu-satu antara Relasi dan Digraf

Jelas kita dapat merepresentasikan setiap relasi R pada himpunan A dengan menggunakan digraf di mana anggota A adalah vertex dan pasangan (a, b)R sisi.

Sebaliknya, setiap digraf dengan vertex V dan sisi E dapat direpresentasikan oleh relasi pada V yang memuat setiap pasangan di E.

Korespondesi satu-satu antara relasi dan digraf berarti bahwa setiap pernyataan yang berlaku untuk relasi juga berlaku untuk digraf, dan sebaliknya.