MATEMATIKA EKONOMI

Djayadi Nugroho, M.Komnugroho.stiemj.ac.id

PERSYARATAN KULIAH

• Kehadiran minimal 75 %• Tugas terstruktur• Tugas mandiri• Ujian tengah semester• Ujian akhir semester• Di kelas nada dering HP dinonaktifkan• Wajib pakai sepatu• Tidak memakai kaos

Tujuan Mata Kuliah

• Mahasiswa memahami teori dasar dariBarisan dan Deret Aritmatika

• memahami teori dasar dari Barisan dan DeretGeometri

BARISAN DAN DERET

Pengertian Barisan BilanganBarisan bilangan adalah urutan bilangan‐bilangan dengan aturan tertentu.Contoh :a. 1, 2, 3, 4, 5,...b. 2, 4, 6, 8, 10,...c. 14, 11, 8, 5, 2,...d. 2,– 2, 2, – 2, 2, – 2,...e. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...f. 8,4,3,1, – 2, – 5,...g. 1, 5, 3, 7, 9,...Pada contoh diatas, bilangan‐bilangan pada a,b,c,d,e mempunyai aturantertentu sehingga disebut sebagai barisan bilangan, sedangkan f dan g tidakmempunyai aturan.

Tiap‐tiap bilangan pada barisan bilangan disebutsuku (U)Suku pertama dilambangkan dengan U1 atau aSuku kedua dilambangkan dengan U2Suku ketiga dilambangkan dengan U3Suku ke‐n dilambangkan dengan un dengann A (bilangan Asli

Pola bilangan suku ke‐n

Barisan bilangan : 1, 3, 5, 7, ... MakaU1= 1 = (2 x 1) – 1U2= 3 = (2 x 2) – 1U3= 5 = (2 x 3) – 1U4= 7 = (2 x 4) – 1

Barisan bilangan : 1, 4, 9, 16, ...MakaU1= 1 = (1 x 1) U2= 4 = (2 x 2) U3= 9 = (3 x 3) U4= 16 = (4 x 4) ...Un= (n x n) = n2

1. Tentukan tiga suku pertama suatu barisan yangrumus suku ke‐n nya Un= 3n2‐2 !

2. Tentukan rumus suku ke‐n dari barisana) 4, 6, 8, 10, ...b) 1, 9, 25, 49, ...

3. Suatu barisan bilangan dengan rumusUn =a) Tulis empat buah suku pertamanyab) Berapa suku ke‐5 dan ke‐7 ?

4. Hitunglah n jika :a)b)

PENGERTIAN DERET

Deret adalah jumlah seluruh suku‐suku dalambarisan dan dilambangkan dengan SnContoh 1 :a) 1+2+3+4+5+...b) 1+3+5+7+...c) 2+4+6+8+...

Contoh 2 : Diketahui suatu deret : 1+3+5+7+...Tentukana) Jumlah dua suku yang pertamab) Jumlah lima suku pertamaJawab :a) S2= 1+3 = 4b) S5= 1+3+5+7+9 = 25

LATIHAN 11. Tentukan 4 suku pertama dari barisan‐barisan dengan rumus suku ke n

a.  Un = n + 5 d.  Un = (n + 1)2b.  Un = n2 + n e.  Un = 2n – 3c.  Un = (– 3)n f. Un = n2+ 1

2. Hitunglah nilai n dari barisan‐barisan berikut ini, jika :a.  Un = n – 16 = 0 c.  Un = 3n – 1 = 80b.  Un = 2n– 2 = 30  d.  Un = n2 – 5n + 6 = 0

3.  Tentukan rumus suku ke‐n dari barisan‐barisan di bawah ini !a.  1, 6, 11, 16, ... f.  12, 9, 6, 3, ...b.  2, – 4, 8, –16,... g. 

c. h.d.  100, 50, 25, 12½, ... i.  2, 6, 12, 20, ....e.  1, 2, 4, 8, ... j.  2, 4, 8, 16, ...

4. Diketahui deretHitunglah :a.  Jumlah dua suku pertamab.  Jumlah empat suku pertama

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

1. Barisan AritmetikaBarisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang selisihantara dua suku yang berurutan sama atau tetap.Contoh :a. 3, 8, 13, 18, ... (selisih/beda = 8–3=13–8

= 18–13 = 5 )b. 10,7,4,1, ... (selisih/beda = 7–10 = 4–7

= 1–4 = –3)c. 2, 4, 6, 8, ... (selisih/beda = 4–2 = 6–4

= 8–6 = 2)d. 25, 15, 5, –5, ... (selisih/beda = 15–25 = 5–15

= –5–5 = –10)

Selisih dua suku yang berurutan disebut beda (b)Rumus : 

b = U2–U1, b = U3–U2, b = U4–U3, b = Un–Un‐1, dst

Contoh 1 :Diketahui barisan Aritmetika : 2, 6, 10, ... Tentukan suku ke‐14Jawab :a = 2, b = 6 – 2 = 4, n = 14Un  = a + (n – 1)bU14 = 2 + (14 – 1). 4

= 2+ 13.4= 2+52= 54

Contoh 2 :Diketahui suatu barisan Aritmetika dengan U2= 7 dan U6= 19, tentukan :a) Bedab) Suku pertamac) Suku ke‐41Jawab :

Contoh 3 :Diketahui barisan Aritmetika 4, 7, 10, ... Tentukana) Bedab) U10c) Rumus suku ke‐nd) Jawab :

Contoh 4 :Pada suatu barisan Aritmetika diketahui U8= 24 dan U10 = 30. Tentukan :a) Beda dan suku pertamanyab) Suku ke‐12c) 6 suku yang pertamaJawab

LATIHAN 2

1. Tuliskan 6 suku pertama dari barisan aritmetika denganketentuan :a)  Un = 2n + 1 d)  a = 100 dan b = – 10b)  Un = 3n – 1 e)  Un = (– 2)n

c)  a = 3 dan b = 4 f)  a = – 10 dan b = 5

2. Tentukan rumus suku ke‐n dari barisan aritmetika berikut :a)  4, 6, 8, 10,... c)  1, 4, 7, 10, ...b)  25, 20, 15, 10, ...  d)  45, 30, 15, ....

3. Tentukan suku ke‐15 dari tiap‐tiap barisan aritmetika berikut:a)  5, 17, 29, ... d) –1, 2, 5, ...b)  – 4, – 1, 2, ... e)  –10, –7, –4, –1, ...c)  32, 21, 10, ... f)

4.  Pada barisan aritmetika, tentukan suku pertama, beda, danU27, jikaa) U4= 4 dan U5= 8 c)  U6= 25 dan U10 = 5b)  U15 = 50 dan U17= 30 d)  U12= 26 dan U15 = 17

5. Suatu barisan Aritmetika diketahui U2= 9 dan U5= 24. Tentukana)  Suku pertama dan bedanyab)  Suku ke‐25

6. Tentukan rumus suku ke‐n dari barisan aritmetika jikadiketahuia)  U3 = 9 dan U6 = 12 c)  U7 = 10 dan U13 = –2b)  U6 = –3 dan U20 = –45 d)  U10 = 39 dan U15 = 45

DERET ARITMATIKA

2. Deret Aritmetika

Deret Aritmetika adalah jumlah dari seluruh suku‐sukupada barisan aritmetika.Jika barisan aritmetikanya adalah U1, U2, U3, ..., Unmaka deret aritmetikanya U1+ U2+ U3+ ....+ Un dandilambangkan dengan Sn

Keterangan :Sn =  Jumlah n suku pertama deret aritmetikaUn =  Suku ke‐n deret aritmetikaa  =  suku pertamab  =  bedan  =  banyaknya suku

Untuk menentukan suku ke‐n selain menggunakan rumusUn = a + (n – 1)b 

dapat juga digunakan rumus yang lain yaitu :

Contoh 1 :Tentukan jumlah 20 suku pertama deret 3+7+11+…Jawab :

Contoh 2 :Suatu barisan aritmetika dengan suku ke‐4 adalah –12 dan sukukeduabelas adalah –28. Tentukan jumlah 15 suku pertama !Jawab :

Contoh 5 :Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 200 !Jawab :

LATIHAN 3

1. Diberikan sebuah barisan aritmetika dengan rumus suku ke‐nadalah Un = 3n + 1a) Tuliskan lima suku pertamab) Suku ke berapakah yang besarnya 100 ?c) Hitunglah jumlah 20 suku pertama

2. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetikaberikut :a) 1 + 4 + 7 + 10 + ...b) –10 – 5 + 0 + 5 + ...c) 20 + 15 + 10 + ...d) 5 + 3 + 1 + ...

3. Hitunglah jumlah 25 suku pertama dari deret aritmetika jikadiketahuia) U4= 4 dan U8=16 c) U15= 60 dan U17= 50b) U6= 5 dan U10= 25 d) U12= 17 dan U15= 26

4. Rumus jumlah n suku yang pertama dari suatu deret adalahSn = n2+ 2n. Tentukana) Jumlah 8 suku pertamab) 3 suku pertama

5. Tentukan banyaknya bilangan antara 10 dan 100 yang habisdibagi 3 dan hitunglah jumlah bilangan‐bilangan itu !

6. Sebuah pabrik batako pada bulan pertama dapatmemproduksi sebanyak 1000 buah batako. Karenapenambahan tenaga kerja maka terjadi peningkatan produksisehingga pabrik tersebut dapat menambah hasil produksinyasebanyak 200 buah batako setiap bulannya. Jikaperkembangan produksi konstan, berapakah hasil produksibatako pada bulan ke‐10 dan berapakah batako yang telahdiproduksi selama 10 bulan ?

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang hasil bagidua suku yang berurutan selalu tetap (sama).Hasil bagi dua suku yang berurutan disebut rasio (r)Contoh :

LATIHAN 4

2. DERET GEOMETRI

Deret geometri adalah jumlah dari semua suku‐suku padabarisan geometri. Jika barisan geometrinya U1, U2, U3, ...., Unmaka deret geometrinya U1+ U2+ U3+ ....+ Un dan dilambangkandengan Sn.

Contoh 1 :Tentukan jumlah 10 suku pertama deret 3 + 6 + 12 + ...

Contoh 2Suatu deret geometri 1 + 3 + 9 + 27 + ... Tentukana) r dan U8b) Jumlah 8 suku yang pertama (S8)

LATIHAN 5