9.3 Ekstensi

Asumsi utama yang mendasari pendekatan simulasi sejarah adalah bahwa dalam arti tertentu sejarah merupakan panduan yang baik untuk masa depan. Lebih tepatnya, distribusi probabilitas empiris yang diestimasikan untuk variabel pasar selama beberapa tahun terakhir adalah panduan yang baik untuk perilaku variabel pasar sampai hari berikutnya. Sayangnya, perilaku variabel pasar tidak bersifat statis. Kadang-kadang volatilitas dari variabel pasar tinggi, kadang-kadang rendah. Pada bagian ini, kita menutupi ekstensi dari pendekatan simulasi dasar sejarah dalam Bagian 9.1 yang dirancang untuk menyesuaikan ketidakstatisan tersebut.

Pembobotan Observasi

Pendekatan simulasi dasar historis mengasumsikan bahwa setiap hari di masa lalu diberikan bobot yang sama. Lebih formalnya, jika kita memiliki pengamatan perubahan untuk n dari hari ke hari, masing-masing diberi bobot 1 / n. Pengamatan yang lebih baru harus diberi bobot lebih karena mereka lebih mencerminkan volatilitas saat ini dan kondisi ekonomi makro saat ini. Skema pembobotan alami yang digunakan adalah skema pembobotan di mana bobot menurun secara eksponensial. (Kita gunakan ini dalam Bagian 5.6 ketika mengembangkan model eksponensial rata-rata tertimbang bergerak untuk pemantauan volatilitas.) Bobot diberikan untuk Skenario 1 (yang merupakan salah satu yang dihitung dari data yang paling jauh) adalah λ kali yang diberikan untuk Skenario 2. Hal ini pada gilirannya adalah λ kali yang diberikan kepada Skenario 3 dan seterusnya. Sehingga bobot menambah sampai 1, maka bobot yang diberikan kepada Skenario i adalah :

λi−1 (1−λ )1− λn

di mana n adalah jumlah skenario. Ketika λ mendekati 1 mendekati pendekatan simulasi dasar sejarah di mana semua pengamatan diberi bobot 1 / n. (Lihat Soal 9.2.)

VaR dihitung dengan peringkat pengamatan dari hasil yang terburuk sampai yang terbaik. Mulai dari hasil terburuk, bobot dijumlahkan sampai persentil yang dibutuhkan distribusi tercapai. Sebagai contoh, jika kita menghitung VaR dengan tingkat kepercayaan 99%, kita lanjutkan menjumlahkan bobot sampai jumlahnya melampaui 0,01. Lalu kemudian kita mencapai tingkat VaR 99%. Parameter λ dapat dipilih dengan melakukan percobaan untuk melihat mana nilai backtests terbaik. Salah satu kelemahan dari pendekatan bobot eksponensial relatif terhadap pendekatan simulasi dasar sejarah adalah bahwa ukuran sampel yang efektif berkurang. Namun, kita dapat mengatasi hal ini dengan menggunakan nilai yang

lebih besar dari n. Memang, tidak terlalu penting untuk membuang masa lalu saat kita bergerak maju dalam waktu, karena mereka diberi bobot relatif sedikit.

Memasukkan Volatilitas Update

Hull dan White (1998) menyarankan cara menggabungkan volatilitas, memperbarui ke pendekatan simulasi sejarah. Sebuah prosedur update volatilitas, seperti EWMA atau GARCH (1,1) (keduanya digambarkan dalam Bab 5) digunakan secara paralel dengan pendekatan simulasi historis untuk semua variabel pasar. Misalkan volatilitas harian untuk variabel pasar tertentu diperkirakan pada akhir hari i - 1 adalah σi. Ini merupakan perkiraan volatilitas harian antara akhir hari i - 1 dan akhir hari i. Misalkan sekarang n hari. Perkiraan saat ini volatilitas variabel pasar σn +1. Hal ini berlaku untuk periode waktu antara hari ini dan besok, yang merupakan periode waktu di mana kita menghitung VaR.

Misalkan σn + 1 dua kali σi untuk variabel pasar tertentu sehingga kita memperkirakan volatilitas harian variabel menjadi dua kali lebih besar hari ini sebagai hari i - 1. Ini berarti bahwa kita berharap dapat melihat perubahan antara hari ini dan besok yang dua kali lebih besar perubahan antara hari i - 1 dan hari i. Ketika melaksanakan simulasi historis dan menciptakan contoh dari apa yang bisa terjadi antara hari ini dan besok didasarkan pada apa yang terjadi antara hari i - 1 dan hari i, karena itu masuk akal untuk melipatgandakan yang terakhir ini dengan 2.

Secara umum, ketika pendekatan ini digunakan, ekspresi dalam persamaan vnv iv i−1

untuk nilai variabel pasar di bawah skenario ith akan menjadi

nilai dibawahskenario ith=vnv i−1+ (v i−v i−1 )σn+1/ σ i

v i−1

Setiap variabel pasar ditangani dengan cara yang sama. Pendekatan ini memperhitungkan perubahan volatilitas dengan cara alami dan intuitif dan menghasilkan estimasi VaR yang menggabungkan informasi lebih lanjut saat ini. Estimasi VaR dapat lebih besar daripada sejarah kerugian yang akan terjadi untuk portofolio saat ini selama periode sejarah dipertimbangkan. Hull dan White menghasilkan bukti dengan menggunakan nilai tukar dan indeks saham untuk menunjukkan bahwa pendekatan ini lebih unggul pada simulasi sejarah tradisional dan skema pembobotan eksponensial yang dijelaskan sebelumnya. Model yang lebih rumit dapat secara teori dikembangkan, di mana pengamatan disesuaikan untuk informasi terbaru tentang korelasi serta informasi terbaru tentang volatilitas.

Metode Bootstrap

Metode bootstrap adalah variasi pada pendekatan simulasi dasar sejarah, yang bertujuan untuk menghitung interval keyakinan untuk VaR. Ini melibatkan pembuatan satu set perubahan nilai portofolio berdasarkan gerakan sejarah variabel pasar dengan cara yang biasa. Kemudian kita sampel dengan penggantian dari perubahan ini untuk menciptakan banyak set baru data yang sama. Kita menghitung VaR untuk masing-masing set data baru. 95% confidence interval VaR kita adalah rentang antara titik persentil 2,5 dan titik persentil 97,5 dari distribusi VaR dihitung dari set data. Biasanya, lebar interval kepercayaan yang dihitung untuk VaR menggunakan metode bootstrap kurang dari yang dihitung dengan menggunakan prosedur dalam Bagian 14.2.

9.5 Aplikasi

Kita sekarang mengilustrasikan hasil pada bagian sebelumnya dengan menggunakan data untuk pengembalian harian pada S & P 500 di antara 11 Juli,, 1988 dan 10 Juli 1998. Selama periode ini jumlah pengamatan, n, pada pengembalian harian adalah 2.256 dan pengamatan berkisar antara -6,87% menjadi 5,12%. Kita anggap sebelah kiri ekor dari distribusi pengembalian. Ini berarti bahwa dalam persamaan yang diberikan di atas variabel x adalah negatif dari pengembalian harian pada S & P 500. Kita pilih nilai untuk u sebesar 0,02. Ada total 28 pengembalian kurang dari -2%. Ini berarti dari nu = 28. Pengembalian dan x-nilai yang ditampilkan pada dua kolom pertama Tabel 9.3. Kolom ketiga menunjukkan nilai

ln [ 1β (1+ ε (x i−u )β )

−1ε−1]

untuk nilai-nilai tertentu x i dan β (nilai uji dari ε dan β dalam Tabel 9.3 adalah ε = 0,2 dan β = 0,01.) Jumlah dari angka-angka pada kolom ketiga adalah fungsi log-likelihood dalam persamaan (9.4). Setelah kita telah menyiapkan spreadsheet, kita mencari nilai-nilai terbaik dari ε dan β yang memaksimalkan fungsi log-likelihood. Hasilnya menjadi :

ε=0,3232 , β=0,0055

Dan maksimum log-likelihood adalah 108,48

Misalkan kita ingin memperkirakan probabilitas bahwa x akan kurang dari 0,04. Dari persamaan (9.5), hal ini

Ini berarti bahwa kita memperkirakan probabilitas pengembalian harian akan kurang dari - 4% menjadi 1-0,9989 = 0,0011. (Ini lebih akurat daripada perkiraan yang diperoleh dengan menghitung pengamatan.) Probabilitas bahwa x akan kurang dari 0,06 yang sama 0,9997. Ini berarti bahwa kita memperkirakan probabilitas bahwa pengembalian harian akan kurang dari - 6% menjadi 1-0,9997 = 0,0003.

Table 9.3 Estimation of extreme value theory parameters.

Daily return x i ln [ 1β (1+ ε (x i−u )β )

−1ε−1]

-0.068667 0.068667 0.5268

-0.061172 0.061172 10.008

-0.036586 0.036586 28.864

-0.034445 0.034445 30.825

-0.031596 0.031596 33.537

-0.030827 0.030827 34.291

-0.029979 0.029979 35.133

-0.029654 0.029654 35.460

-0.029084 0.029084 36.035

-0.027283 0.027283 37.893

-0.025859 0.025859 39.403

-0.025364 0.025364 39.937

-0.024675 0.024675 40.689

-0.024000 0.024000 41.434

-0.023485 0.023485 42.009

-0.023397 0.023397 42.108

-0.023234 0.023234 42.291

-0.022675 0.022675 42.925

-0.022542 0.022542 43.076

-0.022343 0.022343 43.304

-0.022249 0.022249 43.412

-0.022020 0.022020 43.676

-0.021813 0.021813 43.915

-0.021025 0.021025 44.835

-0.020843 0.020843 45.049

-0.020625 0.020625 45.306

-0.020546 0.020546 45.400

-0.020243 0.020243 45.761

1.061.842

Trial estimates of EVT parameters

ε β

0,2 0,01

Dari persamaan VaR=u+ βε [( nnu (1−q ))

−ε

−1] nilai dari VaR satu hari 99% untuk

portofolio di mana $ 1 juta diinvestasikan dalam S & P 500 adalah $ 1 juta kali adalah

atau $ 21.200. Secara umum, perkiraan kita akan VaR satu hari 99% untuk portofolio investasi di S & P 500 adalah 2,12% dari nilai portofolio.

Pilihan u

Sebuah pertanyaan alamiah adalah bagaimana hasilnya tergantung pada pilihan u. Dalam contoh kita nilai-nilai dari ε dan β benar tergantung pada u, tapi perkiraan F (x) tetap kurang lebih sama. Sebagai contoh, jika kita memilih u = 0,015, nilai-nilai cocok dari ε dan β adalah 0,264 dan 0,0046, masing-masing. Perkiraan untuk F (x) ketika ε = 0,04 dan β = 0,06 adalah 0,9989 dan 0,9997 (sama seperti sebelumnya). Estimasi VaR juga tidak berubah terlalu banyak diberikan bahwa tingkat kepercayaan tidak terlalu tinggi. 99% VaR sehari untuk investasi di S & P 500 ketika u = 0,015 adalah 2,13% (dibandingkan dengan 2,12% ketika u = 0,02) dari nilai portofolio.