Bilangan bulat adalah bilangan yang tediri dari bilangan bulat positif,negatif,dan nol.

Contoh = ...,...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...,...

1.bilangan bulat positif = lebih dari nol,di atas atau di kanan nol

Contoh = 1 ,2 ,3,dll

2.bilangan bulat negatif = kurang dari nol,di bawah atau di kiri nol

Contoh = -1,-2,-3

3.bilangan nol = bilangan netral yaitu tidak positif dan tidak negatif

MEMBANDINGKAN PECAHAN

Jika bilangan lebih dari bilangan yang lain,maka terletak di sebelah kanan nol dalam garis bilangan

Contoh= 4 >-1 = -1 lebih besar dari 4

Jika bilangan kurang dari bilangan yang lain,maka terletak di sebelah kiri nol dalam garis bilangan

Contoh -1 < 4 = -1 lebih kecil dari 4

PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT

(-) + (-) = (-) = -2 +(- 3) =- 5

(+) +(+)=(+) = 2 + 3 = 5

(+) + (-)=DICARI SELISIH TANDA IKUT YANG ANGKANYA BESAR = 4 + (-8)= 8 – 4 = 4,TANDA IKUT 8 KARENA LEBIH BESAR DARI 4.JADI HASILNYA - 4

(-) + (+)=DICARI SELISIH TANDA IKUT YANG ANGKANYA BESAR = -7 + 4 =7 – 4 = 3,TANDA IKUT 7 KARENA LEBIH BESAR DARI 4.JADI HASILNYA – 3

SIFAT-SIFAT PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT

a.sifat komutatif (pertukaran)

a + b = b + a

Contoh : 2 + 3 = 5

3 + 2 = 5

b.unsur identitas

unsur udentitas pada penjumlahan adalah 0 karena suatu bilangan jika ditambah 0 hasilnya

bilangan itu sendiri.

Contoh : 3 + 0 = 0

c.sifat asosiatif (pengelompokan)

(a + b) + c = a + (b + c)

Contoh : (68 + 44)+56 =112 + 56 = 168

68 + (44+56)=68 + 100 = 168

Biasanya dipilih yang lebih mudah

PENGURANGAN BILANGAN BULAT

(-) + (-) =Jika angka pertama lebih kecil dari angka kedua.dijadikan penjumlahan,angka yang belakang dicari lawannya

(+) +(+)= Jika angka pertama lebih kecil dari angka kedua.dijadikan penjumlahan,angka yang belakang dicari lawannya

(+) + (-)=dijadikan penjumlahan,angka yang belakang dicari lawannya.Cara seperti penjumlahan.

(-) + (+)=dijadikan penjumlahan,angka yang belakang dicari lawanya.Cara seperti penjumlahan.

PERKALIAN DAN SIFAT – SIFATNYA

PERKALIAN BILANGAN BULAT POSITIF DAN NEGATIF

(-) X (-) = (+) = -2 X(- 3) =6

(+) X(+)=(+) = 2 X 3 =6

(+) X (-)= (-) = 5 X (-3) = - 15

(-)X (+)= (-) = -4 X 2 = -8

Jika bilangan bulat dikalikan dengan nol,hasilnya nol

Jika bilangan bulat dikalikan dengan 1,hasilnya bilangan itu sendiri.jadi 1 adalah unsur identitas perkalian

SIFAT – SIFAT PERKALIAN PADA BILANGAN BULAT

a.sifat komutatif (pertukaran)

a x b = b x a

contoh : -1 x 3 = -3

3 x (-1)= -3

b.sifat asosiatif(pengelompokan)

(a x b) x c = a x (b x c)

contoh : (5 X 4)X 3 = 20 X 3 = 60 5 X (4 X 3)= 5 X 12 = 60

c.sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

p x (q + r) = (p x q) + (p x r)

contoh = 2 x (5 + 3) = (2 x 5)+(2 x 3)

2 x 8 = 10 + 6

16 = 16

d.sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

p x (q - r) = (p x q) - (p x r)

contoh: 5 x (10 - 4) = (5 x 10) - (5 x 4)

5 x 6 = 50 - 20

30 = 30

PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

PEMBAGIAN SEBAGAI OPERASI KEBALIKAN DARI PERKALIAN

Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian

Operasi ini disebut invers perkalian

p : q =r —> r x q =p

56 : 7 = 8 —> 8 x7 = 56

PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

(-) : (-) = (+) = -6 X(- 3) =2

(+) : (+)=(+) = 12 X 3 =4

(+) : (-)= (-) = 15 X (-3) = - 5

(-) : (+)= (-) = -14 X 2 = -7

Jika sembarang bilangan bulat dikalikan dengan nol,hasilnya tidak didefinisikan

Jika nol dibagi dengan sembarang bilangan bulat,hasinya nol

KPK DAN FPB

Cara mencari KPK atau FPB secara mudah diperoleh dengan cara tabel

Contoh :

KPK dan FPB dari 24 dan 36 adalah

FPB nya adalah faktor pembagi yang dapat membagi 2 bilangan (warna merah) = 2 x 2 x 3 = 2² x 3 = 4 x 3 = 12

KPK nya adalah semua faktor pembagi = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³ x 3²= 8 x9=72

TAKSIRAN PADA BILANGAN BULAT

Pembulatan ke puluhan terdekat

Perhatikan angka satuannya

1.Jika kurang dari 5,satuan dihilangkan.Contoh : 273 -> 270

2.jika 5 atau lebih dari 5 dibulatkan ke atas menjadi 1 puluhan. Contoh 55 -> 60 148 ->150

Pembulatan ke ratusan terdekat

Perhatikan angka puluhannya

1.Jika kurang dari 5,satuan dihilangkan.Contoh : 239 -> 200

2.jika 5 atau lebih dari 5 dibulatkan ke atas menjadi 1 puluhan. Contoh 555 -> 600

7870 ->7900

MENAKSIR HASIL PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PADA BILANGAN BULAT

Digunakan untuk perkiraan atau menentukan taksiran dari hasil suatu perhitungan dan sebagai

Faktorpembagi

24 36

2 12 18 2 6 9 2 3 - 3 1 3 3 - 1

acuan atau pembanding dalam menentukan kebenaran dari hasil suatu perhitungan

caranya, angka dalam soal dibulatkan ke ratusan atau puluhan terdekat

contoh :

ke puluhan terdekat

17 x 12 ≈ 20 x 10 = 200 252 : 14 ≈ 250 : 10 = 25

17 20 12 10 250 250 14 10

Ke ratusan terdekat

1.472 x 225 ≈ 1.500 x 200 = 300.000 2.472 : 492 ≈ 2.500 : 500 = 5

1.472 1500 225 200 2.470 2500 492 500

PEMANGKATAN BILANGAN BULAT

Pemangkatan bilangan diperoleh dari perkalian berulang untuk bilangan yang sama

aⁿ = a x a x a x ...x a

warna merah =n faktor

15² = 15 x 15

15² dibaca lima belas pangkat dua atau lima belas kuadrat

15 disebut bilangan pokok atau dasar

2 disebut pangkat atau ekponen

(-8)³= (-8) x (-8) x (-8)

(-8)³ dibaca min dua belas pangkat tiga atau min dua belas kuadrat

Jika bilangan itu adalah bilangan bulat negatif,jika pangkatnya bilangan genap,hasilnya positif dan jika bilangan ganjil,hasilnya negatif

PERKALIAN BILANGAN BERPANGKAT

aᵐ x aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

contoh : 2² x 2⁵ = 2 ²⁺⁵ = 2⁷

PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT

aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

contoh : 5⁹ : 5⁵ = 5 ⁹⁻⁵ = 5⁴

Syaratnya,kedua bilangan harus sama

PEMANGKATAN BILANGAN BERPANGKAT

(aᵐ)ⁿ = a ᵐ x ⁿ

Contoh : (3⁴)⁵ = 3⁴x⁵ = 3²0

AKAR KUADRAT BILANGAN BULAT

Akar kuadrat merupakan saling kebalikan atau invers dengan operasi kuadrat atau pangkat dua

√16 dibaca akar kuadrat atau akar pangkat dua dari 16

Untuk menghindari arti rangkap sqrt <?> maka diberi batasan bahwa akar kuadrat dari bil.positif adalah bil.positif jadi√25=5dan salahbiladinyatakan √25 = -5 walaupun (-5)² = 25

a² = b,maka nilai √b = a dengan a , b > 0

√0 = 0

MENGHITUNG AKAR KUADRAT SUATU BILANGAN

Cara =√144

1. √144 = √2x 72 144 dibagi bilangan prima atau hasil pemangkatanbilangan prima

= √2x 2x 36 angka 2 ditulis dan diturunkan lalu 72 dibagi bilangan prima atau hasil

pemangkatanbilangan prima

=√2x 2x 2 x18 cara seperti di atas yang diturunkan bil.prima atau hasil

pemangkatan bil prima

= √2x 2x 2 x2 x9

=√2x 2x 2 x2 x3 x3

=√24 x3² setelah semua bilangan prima,dipangkat dan dicari akarnya

=2² x 3 =12 lalu dikalikan

2. √1 .44 angka diberi titik dua angka dari belakang

1 x 1 1 angka paling depan dicari akar yang sama atau mendekati (biru)

TTTTT‾T‾‾‾‾ ‾ dikurangkang

2... x ... 44 akar tersebut(ungu)dijumlah lalu diberi titik – titik 2 seperti gambar

2 2 x 2 44 dan diisi dengan angka yang sama

TTTTT‾T‾‾‾‾ ‾

0 jika nol hasilnya berarti cara sudah benar

HASILNYA ADALAH 2 ANGKA TERSEBUT DIAMBIL SALAH SATU(YANG DIGARIS BAWAH)

MENENTUKAN AKAR KUADRAT SUATU BILANGAN DENGAN PERKIRAAN ATAU TAKSIRAN

Contoh : Nilai √11 adalah

√9 √11 √16 √11 terletak antara √9dan√16

↓ ⤑⤑ ↗ selisih 9 dan 11 adalah 2 3 dan 4 JADI √11 ≈ (MENDEKATI) 327

⤑⤑ ⤑⤑⤑↗ selisih 9 dan 16 adalah 7 ATAU 3,3

ANGKA 3 DIPEROLEH DARI ANGKA YANG LEBIH KECIL DARI AKAR √11

AKAR PANGKAT TIGA SUATU BILANGAN

Merupakan invert dengan pangkat tiga Cara menghitung :

Contoh : 3√1728 adalah 3√1728 = 3√8 x216 dibagi bilangan prima atau hasil kali bil.prima

= 3√8 x8 x 27 angka tersebut diturunkan lagi dan membaginya

= 3√8 x8 x 3x 9 dengan cara yang sama

=3√8 x8 x 3x 3 x3 =3√2 ᵌ x 2 ᵌ x 3 ᵌ setelah selesai,angka dipangkatkan

= 3√26 x 3 ᵌ dicari akar pangkat 3 nya

= 2² x 3 = 4 x 3 = 12

Pecahan 12

1 sebai pembilang dan 2 sebagai penyebut

Pecahan yang menunjukkan daerah yang diarsir adalah 12

PECAHAN SENILAI

Cara mencarinya adalah mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama

Contoh :

23 = 2x 2

3x 2 = 46 ab=

a xmb xm m adalah bilangan cacah bukan nol

812 = 8: 4

12: 4 = 23 ab=

a :b :mm

MEMBANDINGKAN PECAHAN

ab pq caranya dengan mengalikan a dengan p adalah nilai

ab ,sedangkan b dikali q adalah nilai

pq

Bandingkan nilainya,beri tanda < atau >

Contoh

34 3

5 3 x 5 = 15 4 x 3 = 12

15 > 12 , jadi 34

> 35

PECAHAN CAMPURAN

Yaitu pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan pecahan

Contoh : 2 23

Cara mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran

C ab caranya, b dikali c dan ditambah a menjadi pembilang penyebutnya tetap

Contoh :

3 25

= 3 x 5 = 15 + 2 = 17(menjadi pembilang),penyebutnya 5 jadi 175

Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran

ab

a harus lebih besar dari b

A dibagi b menjadi bilangan bulat,sisanya menjadi pembilang,dan penyebut tetap

Contoh : 73

7 : 3 = 2 sisa 1 = 2 13

PECAHAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI – HARI

CONTOH =

25

dari penduduk kota laki – laki. Jika banyak penduduk 8 juta jiwa,maka banyak penduduk laki – laki

adalah 25

x 8.000.000 adalah 8.000.000 : 5 adalah 1.600.000,1.600.000 x 2 adalah 3.200.000

PECAHAN DESIMAL

Contoh : 0,25 dibaca 25 per seratus,karena berpenyebut 100

MENGUBAH PECAHAN DESIMAL KE PECAHAN BIASA ATAU DESIMAL ATAU SEBALIKNYA

Pecahan biasa ke pecahan desimal

Cara : 35

1. 35

penyebutnya dijadikan 10, 100,100,dst

3x…5x…

= ❑10 10 : 5 = 2,....(titik - titik) diisi 2

3x 25x 2

= 6

10,ditulis 0,6

2.membaginya

3 : 5 =

0,6 diberi 0,

5)30‾ ditambah 0 satu

30 dibagi seperti biasa,kalau tidak bisa dibagi ditambah nol (0)

___ -

0

Pecahan desimal ke pecahan biasa

Cara :

Contoh : 0,12 = 12

100 tinggal disederhanakan atau dibagi dengan FPB nya

12: 4

100: 4 =

325

PERSEN DAN PERMIL

Persen

Adalah pecahan dengan pecahan 100

Cara mengubah pecahan biasa dan pecahan menjadi persen :

Jika pecahan campuran harus dijadikan pecahan biasa

Jika pecahan biasa tinggal dikali 100 %

Contoh :

720

x 100 % = 100 : 20 = 5 x 7 = 35 %

Mengubah persen ke pecahan = contoh = 45 % = 45 :5

100:5 =

920

dijadikan pecahan dan

disederhanakan (dibagi dengan FPB)

Contoh dalam kehidupan sehari – hari

Jumlah siswa kelas 7 a 25 anak,12 laki – laki dan 13 perempuan , berapa persen siswa laki – laki ?

Cara : yangditanyakanyang diketahui

= 1225

x 100 = 100 : 25 = 4 x 12 = 48 %

Permil

Yaitu pecahan berpenyebut 1000,dengan lambang ‰

Mengubah pecahan ke permil = dikali 1000 ‰,jika pecahan campuran harus dijadikan pecahan biasa

Contoh : 7

250 =

7250

X 1000 ‰ = 1000 : 250 = 4 X 7 = 28 ‰

Mengubah permil menjadi pecahan

Contoh : 25 ‰ = 25

1000 =

140

Dijadikan pecahan biasa, lalu disederhanakan (dibagi dengan FPB nya)

PENJUMLAHAN PECAHAN

Cara =jka penyebut sudah sama tinggal ditambah. Pembilang dengan pembilang dan penyebutnya tetap

Contoh : 35

+ 15

=45

Jika penyebutnya berbeda,harus disamakan dengan cara mencari KPK nya

Contoh :

14

+ 38

= KPK dari 4 dan 8 adalah 8,jadi penyebutnya 8 =❑8 +

❑8 =

8 : 4 = 2 x 1 = 2, berarti = 28

28

+ 38

= 58

tinggal dijumlahkan

8 : 8 = 1 x 3 = 3,berarti =38

Jika pecahan campuran,caranya menjumlahkan pecahan dengan pecahan dan bilangan dengan bilangan ,cara seperti di atas

Contoh : 4 23

+ 325

= 4 + 3 = 7 1015

+ 6

15 =

1615

= 1 1

15 =7 + 1

115

= 8 1

15

Sifat – Sifat Penjumlahan pada Bilangan Bulat

a.komutatif (pertukaran)

contoh : 37

+ 27

= 27

+ 37

b.Asosiatif (pengelonpokan)

contoh : 34

+ (7

10 +

25¿= (

34

+ 7

10) +

25

PENGURANGAN PECAHAN

Contoh =

34

- 14

= 24

jika penyebutnya sama,penyebut tetap,pembilang dikurangi pembilang

57

- 13

= 15−7

21 =

821

jika penyebutnya berbeda,disamakan dahulu (dengan FPB nya) ,cara sama

seperti di

atas

5 34

- 2 38

= 5 -2 = 3 34

- 38

=6−3

8 =

38

= 338

jika pecahan campuran,kurangkan biangan bulat

dengan bilangan bulat dan pecahan dengan pecahan

4 23

- 2 34

= 4 – 2 = 2 = 1 23

- 34

= 8−912

berlaku pada pecahan campuran karena tidak bisa, maka

diambil 1 masih 1 dan 8+12

12 =

2012

ditambah 1 (1212

)

Jadi,hasilnya 1(20−9

12) = 1

1112

Dalam kehidupan sehari – hari :

Upah seseorang Rp.840.000,00 setiap bulan.16

bagian digunakan membayar sewa rumah.25

untuk

makan dan sisanya untuk kebutuhan lain.Bagian dan uang yang digunakan untuk keperluan lain adalah....

Jawab : upah semua = 1 bagian

Bagian untuk keperluan lain adalah = (1 - 16−2

5) =

3030

−¿ 5

30−12

30 =

1330

Uang untuk keperluan lain adalah 1330

x Rp.840.000,00 = Rp.840.000,00 : 30 = Rp.28.000,00 x

13

= Rp.364.000,00

PERKALIAN PECAHAN

CONTOH : 38

x 47

= disederhanakan (pembilang dengan penyebut),jika tidak bisa

disederhanakan,dikali (penyebut dengan peyebut dan pembilang dengan pembilang)= 32x

17

= 3

14

Jika pecahan campuran dijadikan pecahan biasa,cara sama seperti di atas

= 125x2

13=7

5x

73

= 4915

jika bisa disederhanakan,disederhanakan = 3 45

Sifat – Sifat Perkalian Pada Bilangan Pecahan

a.Sifat Komutatif

12x

34=3

4x

12

b.Sifat Asosiatif

(23x

35

¿x 49=2

3( 35x

49)

c.Sifat Distributif

* Sifat distributif terhadap penjumlahan

abx ( cd + e

f )=( ab x cd )+( ab x ef ) 12x ( 3

8+ 5

8 )=( 12x

38 )+( 1

2x

58 ) =(1x 3

2x 8= 3

16) +¿ = 1x 1

2x 8 = 1

16)

316

+ 116

= 316

* Sifat distributif terhadap pengurangan

abx ( cd− e

f )=( ab x cd )−( ab x ef ) 34x (2 1

5−1

45 )=(2 1

5x

34 )−(1

45x

34 ) =(

115x

34=33

20)−¿ (

95x

34=27

20¿

=3320

+ 2720

=60 :2020 :20

= 3

10

Perkalian pecahan dalam kehidupan sehari –hari

Contoh :

Harga 1 liter beras sama dengan 12

harga 1 kg gula dan harga 1 kg gula sama dengan 34

dari harga 1 kg

telur. Jika telur Rp.8.000,00.Berapa 1 liter beras ?

Jawab : harga 1 kg gula : 34

x Rp.8.000,00 = Rp.2.000,00 x 3 = Rp.6.000,00

Harga 1 liter beras 12

x Rp.6.000,00 =Rp.3.000,00

PEMBAGIAN PECAHAN

Cara mencarinya adalalah mengalikan pecahan tersebut ,tetapi pecahan yang membagi dicari kebalikannya

Contoh :

ab

: cd

= abxdc

dc

adalah kebalikan dari cd

❶ 56

:34=¿

56

x 43

= dikalikan biasa, jika bisa disederhanakan disederhanakan dengan menbagi

pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama,jika tidak bisa,kalikan pembilang dengan

pembilang dan penyebut dengan penyebut =53

x 23

= 109

= 119

❷113

: 56

= 4 x 63 x5

=4 x 21 x5

= 85

=135

jika pecahan campuran,harus dijadikan pecahan biasa

Pembagian pecahan dalam kehidupan sehari – hari

Di tepi jalan yang panjangnya 500 meter dipasangi lampu penerang jalan setiap 12 12

meter. Banyak

lampu yang digunakan adalah 500 : 1212

= 40 + 1

Ditambah 1 menjadi rumus pembagian seperti di atas

PEMANGKATAN PECAHAN

Contoh : (12

)ᵌ = dibaca negatif satu per dua dipangkat tiga artinya dikalikan 3 kali 12x

12x

12

(12

) disebut bilangan pokok dan 3 disebut eksponen atau pangkat.

Jika bilangan pokoknya negatif,maka jika pangkatnya genap hasilnya positif dan jika pangkatnya ganjil hasilnya negatif

Jika bilangan pokok pecahan campuran dan desimal maka harus diubah ke pecahan biasa

(118

)ᵌ = 98

ᵌ = 98x

98x

98=729

212

(0,5)² = (5

10)² =

510x

510

=¿ 25

100 = 0,25

SIFAT – SIFAT OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT

1.PERKALIAN BILANGAN BERPANGKAT

( ab )ᵐ X ( ab )ⁿ=( ab )ᵐ⁺ⁿ

(35¿ ⁴ x (3

5) ⁵ = (

35¿ = (⁴⁺⁵⁼⁹

35¿ ⁹ syaratnya kedua bilangan harus sama

(−35

¿ ᵌ x (−35

) ² = (35¿ = (ᵌ⁺²⁼⁵

−35

¿ ⁵ 2.PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT

( ab )ᵐ X ( ab )ⁿ=( ab )ᵐ⁻ⁿ SYARATNYA,KEDUA BILANGAN PANGAT HARUS SAMA

CONTOH: ( 13

)⁹ : ¿ )⁵ = ( 13

)⁴

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN PADA PECAHAN DESIMAL

CARANYA DENGAN MENYAMAKAN KOMA

CONTOH :

231,421

60,806

TTTTT‾T‾‾‾‾ TTTTT‾ ⁺

291,227 JUMLAHKAN SESUAI NILAI TEMPATNYA

78,69

4,58

TTTTT‾T‾‾‾‾ ‾ KURANGKAN SESUAI NILAI TEMPATNYA

74,11

PERKALIAN BILANGAN DESIMAL

Cara seperti perkalian biasa.letak komanya dihitung berdasarkan jumlah angka di belakang koma kedua bilangan tersebut

CONTOH :

6,4

1,3

TTTTT‾T‾

192

64 karena angka di belakang koma 2 ( 4 dan 3) jadi angka koma dihitung ke depan ,hasilnya 8,32

TTTTT‾T‾‾ ⁺

832 = 8,32

Perkalian bilangan 10,100,1000,10000,dst tinggal menggeser koma ke kanan sebanyak nol dalam angka tersebut

Contoh : 46,72 x 100 = 4672

PEMBAGIAN BILANGAN DESIMAL

Cara membaginya dengan menjadikan kedua bilangan tersebut menjadi bilangan bulat. Dan membaginya seperti biasa.

Contoh : 14,245 : 0,7 = 14245 : 700 = 20,35

Cara menghitung pembagian dengan 10,100,1000,10000,100000,dst dengan menggeser koma ke kiri sebanyak nol dalam angka tersebut

Contoh : 34,56 : 10 = 3,456

PEMBULATAN PECAHAN DESIMAL

Aturan :

1) Untuk membulatkan bilangan sampai 1 desimal perhatikan angka desimal yang kedua (2 angka di belakang koma)

Untuk membulatkan bilangan sampai 2 desimal perhatikan angka desimal yang ketiga (3 angka di belakang koma),dst

2) Jika angka yang dibulatkan lebih dari 5 atau 5 maka angka di depannya bertambah 13) Jika angka yang dibulatkan kurang dari 5,maka angka di depannya tetapi

Contoh : 2,637 (2 desimal) = 7 lebih dari 5 maka 3 bertambah 1 menjadi 4 = 2,64

PEMBULATAN KE BILANGAN BULAT (KE SATUAN TERDEKAT)

Caranya memperhatikan bilangan desimal ke 1 (angka persepuluhan)

Contoh = 143,48 karena angka persepuluhannya 4 kurang dari 5,maka dihilangkan menjadi 143

63,74 karena angka persepuluhannya 7 lebih dari 5,maka angka 3 ditambah 1 menjadi 4 =64

MENAKSIR HASIL PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN PECAHAN

Caranya dengan membulatkan setiap bilangan ke satuan terdekat

Contoh : 11,8 x 10,2 ≈ 12 x 10 ≈ 120

225,12 : 24,93 ≈ 225 : 25 ≈ 9

BENTUK BAKU BILANGAN

Bentuk baku bilangan besar (lebih dari 1) dinyatakan dengan a x 10ⁿ

a harus lebih besar atau sama dengan satu dan kurang dari 10

Contoh : 345,6 = 3,45 x 10² angka 2 diperoleh dari pergeseran koma menuju angka kurang dari 10

lebih dari 1

Bentuk baku bilangan kecil(kurang dari 1) dinyatakan dengan a x 10⁻ⁿ

a harus lebih besar atau sama dengan satu dan kurang dari 10

Contoh : 0,045 = 4,5 x 10⁻² angka 2 diperoleh dari pergeseran koma menuju angka kurang dari 10

lebih dari 1 harus dengan negatif

Kata aljabar berasal dari kata al-jabr yang diambil dari buku karangan Muhammad ibn Musa Al – Khowarizmi(780 – 850 M)yaitu kitab al – jabr wa al – muqabalah yang membahas tentang cara menyelesaikan persamaan aljabar.

ARTI BENTUK ALJABAR

Pengertian bentuk aljabar

Bentuk seperti 2a,5q³,dan -7 xy disebut bentuk aljabar,yaitu bentuk aljabar suku tunggal.

Pada bentuk 2a= 2 x a, 2 dan a disebut faktor perkalian. Faktor perkalian yang berupa angka disebut koefisien.pada aljabar -3p + 2, -3 disebut koefisien,p disebut variabel (peubah), dan 2 disebut konstanta. -3p + 2 adalah bentuk aljabar suku 2 atau binom.bentuk aljabar suku 3 disebut suku trinom dan suku banyak disebut polinom.

Bentuk aljabar 2a + 3b + 4a – 5b terdiri dari 4 suku,dan memiliki suku – suku sejenis yaitu 2a dengan 4a dan 3b dengan -5b. Suku – suku sejenis hanya berbeda pada koefisiennya.

Pengertian perkalian, pemangkatan, dan pembagian pada bentuk aljabar suku tunggal.

a. Perkalian

caranya dengan mengkalikannya seperti biasa contoh :

a x 2 = 2a

x x 1 = 1x = x

a x b = b x a yaitu berlaku sifat komutatif.

8 x (-4p) x 3q = 8 x (-4) x 3 x p x q = -96pq

b. Pemangkatan

b² = b x b

cara pemangkatannya dengan memangkatkan bilangan lalu variabel.

Contoh : (3a)² = 3² = 9

a² = a2 jadi hasilnya 9a²

pada bentuk –(b)2 yang dipangkatkan b

pada bentuk (–b)2 yang dipangkatkan –b

c. Pembagian

caranya dengan membagi bilangan dengan bilangan dan variabel dengan variabel yang sama lalu dikali atau dengan dibuat pecahan

contoh : 2a : a = 2 : 1 = 2 , a : a = 1 jadi 2a : a = 2 x 1 = 2

(2aa

) = (21

)(aa

) = (2)(1) = 2

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK ALJABAR

ab + ac = a(b + c) atau ab + ac = (b + c)a

ab - ac = a(b + c) atau ab - ac = (b - c)a

Caranya dengan menjumlahkan atau mengurangkan aljabar yang variabelnya samaContoh :1) 4a + 2b – 3a + 3b = 4a – 3a + 2b + 3b = 1a + 5b = a + 5b

2) 4(3x2 + 2 x) – 15x2 = (4 x 3x2)(4 x 2x) – 15x2 = 12x2 + 8x – 15x2 = 12x2 – 15x2 + 8x = -3x2 + 8x

3) 4p + 3 + p – 5 = 4p + p + 3 – 5 = 5p - 2 Atau4p + 3P - 5⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻ +5p -2 (3 + (-5) = -2) 5p dari 4p + p = 4p + 1p = 5p

4) Kurangkan -5p2 + 7 dari 2p2 – 4 Kurangkan a dari b = b – a2p2 – 4-5p2 + 7⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻ ⁻ 7p2 - 11(-4 - 7 = -4 + -7) , 7p2 dari 2-(-5) = 2 + 5 = 7 Atau (2p2 – 4) – (-5 p2 + 7) = 2p2 – 4 + 5p2(dari – x -5 ) -7(dari – x 7) = 2p2 + 5p2 -4 -7 = 7p2 – 11

MENSUBSTITUSIKAN BILANGAN PADA BENTUK ALJABARYaitu mengganti variabel dengan bilangan yang ditentukanContoh :1) Jika k = 4, nilai dari 3k + 8 adalah (3(4)) + 8 = (3 x 4) + 8 = 12 + 8 = 20 2) Hubungan jarak (s),waktu (t),dan kecepatan (v) dinyatakan dengan rumus s = v x t. jarak yang ditempuh jika kecepatan 68 km/jam dan waktu 1,5 jam adalah s = v x t = 68 x 1,5 = 102 km

KPK DAN FPB BENTUK ALJABAR SUKU TUNGGAL

Cara mencarinya dengan pemfaktoran (faktorisasi).KPK merupakan hasil perkalian dari semua faktor – faktor (prima) dan variabel yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi.FPB merupakan jasil perkalian dari faktor – faktor (prima) dan variabel sama dengan mengambil pangkat terendah.Contoh : KPK dan FPB dari 3xy2 dan 9y3z

3xy2 = 3 x x x y2

9y3z = 32 x y3 x z FPB = 3 x y2 = 3y2

KPK = 32 x X X y3 x z = 9xy3z

PECAHAN BENTUK ALJABAR

Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarJika penyebutnya sama tinggal menjumlahkan / mengurangkan pembilang (variabelnya sama),penyebutnya tetap.

Contoh : a5

+ 3a5

= 4 a5

8 x7 y

- 4 x7 y

= 4 x7 y

Jika penyebutnya berbeda disamakan terlebih dahuluContoh :3a

+ 4b

= 3b+4 aab

3b dari ab : a = b x 3 = 3b,4a dari ab : b = a x 4 = 4a

x+16 x + x−2

3 x = 1 ( x+1 )+2(x−2)6 x

=1x+1+2 x−46 x = 1x+2 x+1−4

6 x = 3x−36 x

Angka 1 dan 2 diperoleh dari KPKnya dibagi penyebut

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PECAHAN BENTUK ALJABAR

Perkalian

Caranya dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Atau jika bisa disederhanakan sederhanakanlah pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan FPBnya sebelum atau sesudah penghitungan.

ab

x xy

= ax xb x y

= axby

4 p15

x 92 p

= 36 p30 p

= 65

= 115

atau 4 p15 x

92 p =

25 x

31 =

65 = 1

15

Pembagian

Caranya dengan mengalikan pecahan yang ingin dibagi kebalikan dari pecahan pembagi.cara seperti perkalian pecahan bentuk aljabar.

ab

: xy

= ab

x yx

Contoh:

4 y5x

: 8 xy15 z

= 4 y5x

x 15 z8 xy

= 60 yz40 x ² y

= 3 z2x ²

atau

4 y5x

x 15 z8 xy

= 1x

x 3 z2x

= 3 z2x ²

Pemangkatan pecahan bentuk aljabar

Caranya dengan memangkatkan pembilang dan penyebutnya pertama pangkatkan bilangannya lalu variabelnya.

Contoh :

(3a3 yz

)3 = pangkatkan pembilangnya = 33 = 9,a3 = a3 jadi pembilangnya 9a3

Pangkatkan penyebutnya = 33 = 27,y3 = y3 ,z3 = z3,jadi penyebutnya 27y3z3

Jadi hasilnya 9a ³

27 y ³ z ³

jika bilangan itu bilangan negatif,maka jika pangkatnya genap hasilnya positif dan jika pangkatnya ganjil hasilnya negatif

Jika bilangan yang dipangkatkan sudah berpangkat, kedua pangkat tersebuttinggal dikalikan saja

Contoh :

( - 2a ²3bc ²

)3 = pembilang = 23 = 8,(a2)3 = a6 jadi pembilangnya = 8a6

Penyebutnya = 33= 27,b3 = b3,(c2)3 = c6 ,jadi penyebutnya = 27b3c6

Hasilnya = 8a⁶

27b ³ c ⁶

PERKALIAN ISTIMEWA BENTUK ALJABAR

Perkalian suatu blangan dengan suku dua atau suku tiga

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan disebut menjabarkan (menguraikan)

Untuk sembarang bilangan x,y,dan k selalu berlaku

x(x + k) = (x kali x) + (x kali k) = x2 + kx

x(x + y + k)=(x kali x) + (x kali y) + (x kali k) = x2 + xy + kx

contoh : 2x(4x2 – 3y) = 8x3 - 6xy

4x (x2 + 2xy – 3y2) = 4x3 + 8x2y – 12xy2

Perkalian suku dua dengan suku dua

a. Dengan menggunakan hukum distributif

cara : suku dua diuraikan, sedangkan suku dua yang kedua tetap.

(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)

Contoh : (3x + 4)(x - 2) = 3x(x - 2) + 4(x - 2) = 3x2 – 6 + 4x – 8 = 3x2 – 2x – 8

b.Dengan menggunakan skema

(x + p)(x + q) = x(x) + x(p) + p(x) + p(q)

X2 + (p + q)x + pq

(x + p)(x - q) = x(x) - x(p) - p(x) + p(q) jika suku pertamanya tidak sama maka tidak bisa dihitung

X2 + (p - q)x + pq dengan cara ini

X2 – p2

Contoh : (3x + 4)(x - 2) = 3x2 -6x + 4x -8 = 3x2 -2x -8

Pengkuadratan suku dua

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 contoh = (x + 4)2 = (x)2 + 2(x)(4) + (4)2 = x2 + 8x + 16

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 contoh = (2x - 9)2 = (2x)2 – 2(2x)(9) + (9)2 = 4x2 – 36x + 81

(3x - 13

)2 = (3x)² - 2(3)(13

) +( 13¿ ² = 9x² - 2 +

19

Penggunaan perkalian istimewa untuk menghitung hasil perkalian

a.Penggunaan perkalian a(b + c) dan a(b + c + d )

Contoh : 8 x 24 = 8 x (20 + 4),24 diuraikan menjadi 20 + 4

= 8 x 20 + 8 x 4 = 160 + 32 = 192

Jika ratusan cara penguraiannya : contoh 234 = 200 + 30 + 4

b.Penggunaan perkalian istimewa (x + a)(x + b)

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

= x2 + abx + ab

= x(x + ab) + ab

= 24 x 26 = (20 + 4)(20 + 6)

=20(20 + 10) + 4 x6 = 20 x 30 + 4 x 6 = 600 + 24 = 624

Cara cepat lainnya dengan mengalikan x dengan x + 1 dan a dengan b

Contoh : 24 x 26 = 2 x (2 + 1) + 4 x 6 = 2 x 3 = 6, 4 x 6 =24,jadi hasilnya 624

Jika a x b hasilnya kurang dari 10,maka sebelumnya harus ditulis nol

c.penggunaan perkalian istimewa(x + a)(x-a)

(x + a)(x-a) = x2 – a2

Contoh : 23 x 17 = (20 + 3)(20-3) = 202 – 32 = 400 – 9 = 391

(x + a)(x+b) = (x(x + 1))(ab)

Contoh = 24 x 26 = 2 x (2+1) (4x6) = (2 x 3) (4x6) =624

PENGGUNAAN ALJABAR

Jika diperlukan buatlah sketsa

Menerjemahkan dalam kalimat matematika bentuk aljabar

Contoh :

Sebuah truk memuat x ton beras dan (2x - 2) ton kacang tanah, sehingga berat muatan seluruhnya B ton.

a. Nyatakan B dalam x, dan sederhanakanlah

x + (2x – 2)

b.Jika x = 3,maka B = 3 + (2(3) - 2) = 3 + 6 – 2 = 9 – 2 = 7

Kalimat terbuka

Kalimat benar dan kalimat salah

Kalimat benar dan kalimat salah disebut pernyataan.

Contoh kalimat benar : jumlah 9 dan 17 adalah 26

Contoh kalimat salah : bilangan prima selalu bilangan ganjil

Pengertian kalimat terbuka

Yaitu kalimat yang memuat variabel sehingga belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah).

Variabel atau peubah adalah lambang atau simbol yang dapat diganti oleh sembaran bilangan yang ditentukan.

Contoh kalimat terbuka : x + 7 = 15, jika x diganti dengan 8 maka menjadi kalimat benar dan jika diganti angka bukan 8 maka menjadi kalimat salah.

Penyelesaian kalimat terbuka

Yaitu pengganti dari variabel yang membuat kalimat terbuka memjadi kalimat benar.

Jika tidak ada pengganti variabel yang membuat kalimat terbuka menjadi kalimat benar,maka kalimat tersebut tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh penyelesaian kalimat terbuka : x + 6 = 25, pengganti x yang benar adalah 19. Jadi penyelesaiannya adalah x = 19

Pengertian persamaan linier satu variabel

Kalimat yang menggunakan tanda hubung sama dengan disebut dengan persamaan.

Persamaan linier satu variabel adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat satu, jadi pangkat satu tidak ditulis.

Contoh : 3n – 7 = 20

Akar atau penyelesaian

Yaitu penggati dari variabel sehingga suatu persamaan menjadi kalimat benar.

Contoh : 3n – 7 = 20 , n adalah 9

Kesamaan

Kalimat yang variabelnya diganti dengan sembarang bilangan, maka menjadi kalimat benar.

Contoh : x + 2 = x 2x – 5 = x + x – 5

Persamaan yang ekuivalen

Yaitu jika dua persamaan atau lebih mempunyai penyelesaian yang sama.

Contoh : x + 4 = 11 jika x diganti 7 maka 7 + 4 = 11 merupakan kalimat benar. Maka penyelesaiannya x adalah 7

MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL

Menyelesaikan persamaan dengan cara substitusi

Yaitu menyelesaikan persamaan dengan mengganti variabel dengan bilangan – bilangan yang telah ditentukan sehingga menjadi kalimat benar.

Contoh : 2x – 1 = 3adalah

Jika x = 1 maka 2 x 1 – 1 = 2(salah) maka penyelesaiannya adalah x = 3

2 maka 2 x 2 – 1 = 3 (benar)

3 maka 2 x 3 – 1 = 4(salah)

Menyelesaikan menyelesaikan persamaan dengan menambah atau mengurangi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.

Setiap persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas persamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama agar dalam satu ruas hanya terdapat variabel saja atau konstan saja.

Contoh :

x + 6 = 10

Cara 1

x + 6 = 10

x + 6 – 6 = 10 – 6 kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan lawan bilangan yang beruas sama

x = 4 dengan variabel

Cara 2

x + 6 = 10

x = 10 – 6 dengan memindah ruasnya angka belakang ditulis lawannya

x = 4

5x – 2 = 4x + 7

Cara 1

5x – 2 = 4x + 7

5x – 2 -4x = 4x + 7 - 4x ditambah atau dikurangi bilangan dengan variabel di ruas kanan agar ruas

x - 2 = 7 kanan terdiri dari konstan saja.

x - 2 + 2 = 7 + 2 kedua ruas ditambah 2 agar ruas kiri hanya memuat x (variabel) saja.

= x = 9

Cara 2

5x – 2 = 4x + 7

5x -4x = 7 + 2 dengan memindah ruasnya angka belakang ditulis lawannya

x = 9

4(x + 2) = 3(x + 4)

4x + 8 = 3x + 12 diuraikan

4x + 8 – 3x = 3x + 12 – 3x kedua ruas dikurangi -3x agar ruas kanan terdiri dari konstan saja.

1x + 8 = 12

x + 8 - 8 = 12 - 8 kedua ruas dikurang 8 agar ruas kiri hanya memuat x (variabel) saja.

x = 4

Cara 2

4(x + 2) = 3(x + 4)

4x + 8 = 3x + 12 diuraikan

4x – 3x = 12 - 8 dengan memindah ruasnya angka belakang ditulis lawannya

x = 4

Menyelesaikan persamaan dengan mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama

Untuk menentukan pengali atau pembagi yamg harus diperhatikan adalah koefisen dari variabel sehingga koefisiennya menjadi 1.

Contoh :

3x = 18

3x3

= 183

x = 6

23

x + 4 = 8

------------------x3 dikali dengan penyebut pecahan

2x + 12 = 24

2x = 24 – 12 dipindah ruasnya dengan angka yang belakang ditulis lawannya.

2x = 12

2x2

= 122

x = 6

atau

23

x + 4 = 8

23

x = 8 - 4

23

x = 4

32

(23x) =

32

(4) dibagi dengan 23

atau dikali 32

x = 6

Grafik penyelesaian persamaan dengan satu variabel

Yaitu penyelesaian dari suatu persamaan yang dapat ditunjukkan pada garis bilangan yang dinyatakan dengan noktah atau titik.

Contoh :

x + 7 = 12,x adalah -5

Grafik Penyelesaian

<----------------.---------------.--------------.---------------.---------------.-----------------.-----------------.--------------->.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

2x - 1 = 5

Grafik penyelesaiannya

<----------------.---------------.--------------.---------------.---------------.-----------------.-----------------.--------------->.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Menyelesaikan persamaan bentuk pecahan

Caranya dengan mengalikan kedua ruas dengan KPK dari pecahan tersebut.

Lalu dicari persamaannya

Contoh :

12

x + 54=13

4

---------------------------- x4 dikali dengan KPK penyebut pecahan

2x + 5 = 13 dicari persamaannya

2x = 13 - 5

2x = 8

2x2

= 82

x = 4

12

(4q - 5) = q + 514

------------------------------------------------- x4 dikali KPK penyebut pecahan

2(4q - 5) = 4q + 21 dalam kurung tidak dikali

8q - 10 = 4q + 21 dalam kurung diuraikan

8q - 4q = 21 + 10 dicari persamaan

4q = 31

4 q4

= 314

q = 734

x+44

– 3x−97

= 12

---------------------------- x 28

7(x + 4) - 4(3x - 9) = 14

7x + 8 - 12x + 36 = 14

-5x + 64 = 14

-5x = 14 - 64

-5x = -50

−5x−5

= −50−5

x = 10

Penerapan Persamaan Dalam Kehidupan

Jika diperlukan buatlah sketsa

Menerjemahkan dalam kalimat matematika bentuk aljabar

Menyelesaikan persamaan

Contoh :

Panjang sebuah persegi (3x + 1) dan lebar (2x - 3). Jika kelilingnya 36 cm, maka luasnya adalah

Keliling : 2p + 2l jika x adalah 4 maka :

2(3x + 1) + 2(2x - 3) panjangnya 3(4) + 1 = 13

6x + 2 + 4x - 6 lebarnya 2(4) – 3 = 5

10x -4 luas = p x l = 13 x 5 = 65 cm

x adalah :

10x – 4 = 36

10x = 36 + 4

10x = 40

10x10

= 4010

x = 4

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER DENGAN SATU VARIABEL

PENGERTIAN KETIDAKSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Pengertian ketidaksamaan

Yaitu kalimat – kalimat seperti 8 > 5, 3 < 5

Jika kedua bilangan tidak sama, tandanya ≠

Untuk sembarang bilangan bulat berlaku hubungan

< : kurang dari

> : lebih dari

= : sama dengan

≤ : kurang dari atau sama dengan

≥ : lebih dari atau sama dengan

Pengertian pertidaksamaan linier satu variabel

Pertidaksamaan adalah kalimat – kalimat terbuka yang menggunakan tanda – tanda ketidaksamaan seperti di atas.

Pertidaksamaan linier satu variabel adalah persamaan dengan satu variabel.

Pertidaksamaan linier adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan < , > , ≤ , ≥ dan variabelnya berpangkat satu(dalam aljabar pangkat 1 tidak bioleh ditulis)

Menyelesaikan pertidaksamaan dengan menambah atau mengurangi dengan bilangan yang sama agar dalam satu ruas hanya terdapat variabel atau bilangan konstan saja.

5 + 6 > 8 5 + 6 > 8 kalimat benar

5 + 6 + 3 > 8 + 3 5 + 6 - 3 > 8 – 3 ditambah atau dikurangi 3

14 > 11 kalimat benar jadi tetap bernilai benar jika ditambah atau dikurangi bilangan yang sama

Menyelesaikan pertidaksamaan dengan mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama.

Contoh : 2 < 8 (kalimat benar) 2x < 8 13

x > -2

2 x 3 < 8 x 3 (kedua ruas dikali 3) 12

x 2x < 12

x 8 3 x 13

x > 3 x 2

6 < 24 (kalimat benar) x < 4 x > 6

5y - 1 < 2y + 5

5y - 1 -2y < 2y + 5 - 2y

3y - 1 < 5

3y - 1 + 1 < 5 + 1

3y < 6

13

x 3y < 13

x 6

y < 2

Jadi ketidaksamaan tetap bernilai benar jika kedua ruas dikali dengan bilangan positif yang sama.

Untuk menentukan pengali harus diperhatikan koefisien dari variabel

Menyelesaikan pertidaksamaan dengan mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama.

Untuk menentukan pembagi harus diperhatikan koefisien dari variabel supaya koefisiennya 1.

Contoh : 2 < 8 (kalimat benar)

2 x -3 < 8 x -3 (kedua ruas dikali -3)

-6 < -24 (kalimat salah)

Jadi ketidaksamaan tetap bernilai salah jika kedua ruas dikali dengan bilangan negatif yang sama.

Agar menjadi kalimat benar tandanya harus dibalik. Contoh dari < diubah menjadi >.

Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk pecahan

12

x + 54< 14

4

---------------------------- x4 dikali dengan KPK penyebut pecahan

2x + 5 < 14 dicari persamaannya

2x + 5 - 5 < 14 - 5

2x < 9

2x2

< 92

x < 4 12

12

(4q - 5) > q + 514

------------------------------------------------- x4 dikali KPK penyebut pecahan

2(4q - 5) > 4q + 21 dalam kurung tidak dikali

8q - 10 > 4q + 21 dalam kurung diuraikan

8q - 4q > 21 + 10 dicari persamaan

4q > 31

4 q4

> 314

q > 734

x+44

– 3x−97

= 12

---------------------------- x 28

7(x + 4) - 4(3x - 9) = 14

7x + 8 - 12x + 36 = 14

-5x + 64 = 14

-5x = 14 - 64

-5x = -50

−5x−5

= −50−5

x = 10

GRAFIK PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN

Yaitu grafik penyelesaian suatu pertidaksamaan yang dinyatakan dengan noktah.

Contoh :

Grafik penyelesaian x > 3 dan x bilangan asli kurang dari 7 yaitu 4, 5, 6

<----------------.---------------.--------------.---------------.---------------.-----------------.-----------------.--------------->.

0 1 2 3 4 5 6

3x – 6 > 15 grafik penyelesaian seperti di atas

3x – 6 + 6 > 15 + 6

3x > 21

x > 7

PENERAPAN PERTIDAKSAMAAN

Jika diperlukan buatlah sketsa

Menerjemahkan dalam kalimat matematika bentuk aljabar pertidaksamaan

Menyelesaikan pertidaksamaan

Contoh :

Panjang persegi panjang 6 cm lebih dari lebarnya, dan kelilingnya kurang dari 40 cm. Jika lebarnya x cm, susunlah pertidaksamaan dalam x dan selesaikanlah.

Jawab :

Lebar x cm, panjangnya (x + 6 cm)

Keliling = 2p + 2l

2p + 2l < 40

2(x + 6) + 2l < 40

2x + 12 + 2x < 40

4x + 12 < 40

4x < 28

x < 7

Dalam segitiga, jumlah panjang dua sisinya lebih dari panjang sisi ketiga. Pada segitiga AB(x + 4)BC (x + 2) AC(x + 1)berlaku AC + BC > AB. Susunlah pertidaksamaan dalam x, kemudian, selesaikanlah!

Jawab :

AB + BC > AB

(x + 1)+ (x + 2) > x + 4

2x + 3 > x + 4

x + 3 > 4

x > 1

cara cepat mencari perrtidaksamaan

3y + 12 ≥ 2y + 1

3y – 2y ≥ 1 – 12 dengan memindah ruas bilangan yang dibelakang dicari lawannya.

y ≥ -11

jika salah satu ruasnya, maka tandanya dibalik

jika berbentuk pecahan atau lainnya, cara seperti halaman sebelumnya, lalu setelah bentuk seperti di atas baru dihitung.

HARGA PEMBELIAN, HARGA PENJUALAN, UNTUNG, DAN RUGI

Dalam kegiatan perdagangan terdapat penjual dan pembeli.

Harga pembelian adalah harga barang yang dibeli padagang dari pabrik, grosir, atau tempat lainnya.

Harga penjualan adalah uang yang diterima pedagang dari hasil penjualan barang itu.

Dalam perdagangan, pedagang mengalami kemungkinan untung dan rugi.

Untung adalah jika harga penjualan lebih tinggi daripada harga pembelian.

Cara mencari untung adalah harga penjualan – harga pembelian.

Rugi adalah jika harga penjualan lebih rendah daripada harga pembelian.

Cara mencari rugi adalah harga pembelian – harga penjualan.

Jadi :

Harga penjualan = harga pembelian + untung

Harga pembelian = harga penjualan – untung

Harga penjualan = harga pembelian - rugi

PRESENTASE UNTUNG DAN RUGI

MENENTUKAN HARGA PEMBELIAN ATAU HARGA PENJUALAN BERDASARKAN UNTUNG ATAU RUGI YANG DIKETAHUI

Mencari harga pembelian jika harga penjualan dan untung atau ruginya diketahui

RABAT(DISKON), BRUTO, TARA, DAN NETO

RABAT(DISKON)

Yaitu potongan harga, dituliskan dalam bentuk persen.

Cara mencari harga sesudah diskon(harga bersih)

BRUTO, TARA, DAN NETO

Bruto yaitu berat kotor atau berat kemasan beserta isinya.

Neto adalah berat bersih atau berat isi tanpa kemasan.

Tara adalah berat kemasan.

Cara mencari

BUNGA TABUNGAN DAN PAJAK

BUNGA TABUNGAN

Presentase untung : untung

harga pembelian x

100%

Harga penjualan = 100+ presentaseuntung

100 x harga

pembelian

Harga penjualan = 100−presentase rugi

100 x harga pembelian

100100+ presentaseuntung

x harga

penjualan

100−presentasediskon100

x harga sebelum diskon(harga

Tara = persen tara x bruto

Neto = 100−persentara

100 x bruto

Bruto = 100

100−persentara x neto

Yaitu uang yang bertambah jika kita menyimpan uang di bank.

Bunga yang akan dipelajari yaitu bungan tunggal atau yang mendapat bungan hanya modalnya saja, bunganya tidak ikut berbungan lagi.

Bunga dihitung dalam persen yang berlaku untuk jangka waktu satu tahun.

PAJAK

Yaitu suatu kewajiban dari warga negara untuk menyerahkan sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan untuk kesejahteraan umum.

Macam – macam pajak

1. Pajak penghasilan (PPh) yaitu untuk pegawai tetap perusahaan swasta atau pegawai negeri.Mengakibatkan penerimaan menjadi berkurang.Cara mencari :

Gaji setelah PPh :100−persen pajak

100 x banyak penghasilan

Pajak : persen PPh x penghasilan2. Pajak pertambahan nilai (PPn) pada dealer, grosir, toko swalayan, atau tempat lainnya.

Mengakibatkan harga bayar menjadi bertambah

Cara mencari

Gaji setelah PPn :100+ persen pajak

100 x harga

Pajak : persen PPn x penghasilan

Perbandingan ada dua macam : perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai

Bunga 1 tahun = persen bungan x modal

Bunga b bulan = b

12 x persen bungan x modal

= b

12 x bungan 1 tahun

Persen bungan selalu dinyatakan untuk 1 tahhun, kecuali jika ada keterangan lain pada soal.

Membandingkan dua besaran/bilangan yang sejenis : untuk menyederhanakannya sama dengan pecahan.

Perbandingan senilai :

Perkalian silang : ab

xcd

= a x d = b x c = a : b = c : d

Suku tepi dan suku tengah = a : b = c : d, a dan d suku tepi, b dan c suku tengah Hasil perkalian suku tepi = perkalian suku tengah = a : b = c : d = a x d = b x c Penggunaan perbandingan senilai :

Jika banyak yang ditanyakan bertambah, besar nilai bertambah bila berkurang, nilai juga berkurang. Contoh : jika 5 buku Rp.6000,00, jika 1 lusin buku adalah...

Penyelesaian : ygditanyakanyg diketahui

x nilai diketahui = 125

x Rp.6000.00 = Rp.14.400,00

Perbandingan berbalik nilai :

a: b = 1p

: 1q

= q : p

Penggunaan perbandingan berbalik nilai :

Jika banyak yang ditanyakan bertambah, besar nilai bertambah bila berkurang, nilai juga berkurang.

Contoh : untuk menempuh jarak diperlukan 5 jam dengan kecepatan rata – rata 72 km/jam. Jika rata – ratanya 80 km/jam berapa waktu yang diperlukan adalah ... Penyelesaian :yg diketahuiygditanyakan

x nilai diketahui =7280

x 5 =4,5

Perbandingan campuran :a : b dan b : c = a : b : c

contoh 2 : 3 dan 3 : 4 = a : b : c = 6 : 9 : 12

Gambar berskala :

Mencari skala pda peta / gambar : jarak peta

jarak sebenrnya