Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

123

RANDOM SUBGRAPH

Oleh:

Lena Rosdiana Pangaribuan, S.Pd, M.Si

Abstrak

Tesis ini mempelajari suatu random even subgraph dari graph finite G

dengan bobot edge yang secara umum p ∈ (0,1). Tesis ini menggambarkan

bagaimana random even subgraph diperoleh dari ukuran random cluster tertentu

di G dan menganjurkan algoritma sampling berdasarkan coupling-from-the-past

(cftp). Bagian-bagian dari graph akan dibahas dan dihubungkan pada Schramm-

Löwner Evolutions (SLE). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk

menentukan random even subgraph dari suatu graph finite G = (V, E) dengan

menggunakan algoritma sampling. Pada tahapan akhir, algoritma yang digunakan

berdasarkan pada algoritma sampling untuk menentukan suatu random even

subgraph.

Kata Kunci: Random even subgraph , algoritma sampling

1. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah

Suatu graph G adalah pasangan

terurut (V(G), E(G)) yang terdiri dari

himpunan V(G) vertex dan himpunan

E(G) yang disjoint dari V(G) yaitu

edge, yang secara bersama-sama

merupakan fungsi incident 𝜓G yang

mengaitkan dengan setiap edge di G

yang merupakan pasangan urut dari

vertex di G (Bondy dan Murty,

2007). Secara umum, suatu graph F

dikatakan subgraph dari graph G jika

V(F) ⊆ V(G) , E(F) ⊆ E(G), dan 𝜓

F adalah batasan dari 𝜓 G ke E(F).

Sehingga dapat dikatakan bahwa G

terdiri dari F atau F terdapat di G dan

ditulis G ⊇ F atau F ⊆ G, secara

berurut. (Bollobas, 1984)

Adapun contoh random

subgraph dari graph finite yakni

subgraph dari graph lengkap yang

vertexnya (V) diperoleh dengan cara

menghapus edge secara bebas

dengan peluang 1 – p dan pertama

sekali diperkenalkan oleh Erdös dan

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

124

Rényi pada tahun 1960. Mereka

menunjukkan bahwa ketika p

diskalakan sebagai (1 + ∈)V-1

, ada

suatu peralihan fase pada ∈ = 0 yang

dalam pengertiannya bahwa ukuran

dari komponen yang paling besar

adalah 𝜃(log V). Random even

subgraph dari suatu graph yang finite

G dengan bobot edge yang secara

umum mengarah pada p ∈ (0,1).

Grimmet (2009).

Random even subgraph dari

planar lattice mengalami suatu fase

peralihan dengan nilai parameter 1

2 pc

, di mana pc adalah titik kritis dari q

= 2 model random-cluster di dual

lattice. Setiap graph akan dibahas

dan dihubungkan dengan SLE

(Schramm-Löwner Evolutions).

Tujuannya adalah mengetahui

random even subgraph dari graph

yang finite G = (V, E) dan untuk

menunjukkan bagaimana

menggunakan subgraph. Suatu subset

F dari E disebut genap, jika untuk

semua x ∈ V , x berincident dengan

jumlah anggota F genap. Subgraph

(V, F) dikatakan genap jika F genap,

dan ditulis ℇ untuk himpunan dari

semua subset genap F di E. Ini

merupakan acuan bahwa setiap

himpunan genap F bisa tidak

digunakan lagi sebagai gabungan

edge-point dari cycle. (Grimmet,

2009)

Dalam menentukan random

subgraph ini diperlukan suatu model

yang cocok untuk memilih subgraph

yang acak. Sekilas akan dibahas

model tersebut dengan ukuran

peluangnya. Di sisi lain, random

subgraph G diperoleh secara acak

(random) dan bebas menghapus

setiap edge dengan peluang

(kemungkinan) 1 – p dan 𝜌p adalah

aturan dari random subgraph yang

berlaku jika genap. Suatu model di G

mempunyai bentuk ruang dan juga

memiliki ukuran suatu peluang.

Ukuran random-cluster di G dengan

parameter p dan q = 2 yang

digambarkan secara umum untuk q >

0, namun hanya bersifat pada kasus q

= 2.

Hampir semua informasi yang

mungkin kita dapat menyatakan

bahwa subgraph dari beberapa host

graph (graf asal) sering kali

mempunyai ukuran-ukuran besar

yang menjadi penghalang atau

memiliki informasi yang tidak

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

125

lengkap. Pertanyaannya adalah

apakah random subgraph dari graph

yang diberikan harus ada atau tidak.

Random subgraph Gp dari graf G

terjadi apabila setiap edge di Gp

bebas menghapus setiap edge dengan

peluang p, dan membuang edge

dengan peluang 1 – p.

1.2.Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah

untuk menentukan random even

subgraph dari graph yang finite G =

(V, E) dengan menggunakan

algoritma sampling.

2. Uraian Teoritis

2.1.Random Even Subgraph

Suatu subset F di E dikatakan

genap jika, untuk semua 𝑥 ∈ 𝑉,

dimana 𝑥 berincident terhadap

jumlah anggota F genap. Sehingga

subgraph (V, F) dikatakan genap jika

F genap dan ℰ ditulis sebagai

himpunan dari semua subset genap F

di E. Dikatakan standar jika setiap

himpunan genap F bisa dihapus dari

gabungan edge-disjoint di cycle-nya.

Misalkan p ∈ [0, 1) , maka random

even subgraph G dengan parameter p

dapat ditunjukkan sebagai berikut :

𝜌p(F) = 1

𝑍𝐸𝑝 𝐹 (1 − 𝑝) 𝐸\𝐹 , F ∈

ℰ (2.1)

dimana ΖE = Ζ𝐺

𝐸 𝑝 .

Mencari 𝜌p dapat juga

menggunakan cara sebagai berikut.

Misalkan 𝜙𝑝 adalah product measure

dengan density p pada bentuk ruang

= {0,1}E. Untuk 𝜔 ∈ dan 𝑒 ∈ 𝐸,

dikatakan 𝜔-open jika 𝜔(𝑒) = 1 dan

𝜔-closed untuk yang lainnya.

Misalkan 𝜕𝜔 adalah himpunan dari

vertex 𝑥 ∈ 𝑉 yang berincident

dengan jumlah edge ganjil pada 𝜔-

open. Sehingga

𝜌𝑝(𝐹) = 𝜙𝑝 (𝜔𝐹)

𝜙𝑝 (𝜕𝜔 = ∅) , F ∈ ℰ (2.2)

dimana 𝜔𝐹 adalah bentuk edge yang

himpunan edge terbukanya adalah F.

Dengan kata lain, 𝜙𝑝 digambarkan

sebagai random subgraph G yang

diperoleh secara acak dan bebas

menghapus setiap edge dengan

peluang (kemungkinan) 1 – p dan 𝜌𝑝

merupakan aturan dari random

subgraph yang berlaku jika genap.

(Grimmet, 2009)

2.2.Finite Graph

Suatu graph dikatakan finite

apabila suatu graph dengan jumlah

yang finite di vertex dan edge-nya.

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

126

Jika graph memiliki n vertex dan

tidak memiliki kelipatan edge atau

graph yang loop, maka graph finite

merupakan subgraph dari graph

komplit Kn. Suatu graph yang tidak

finite disebut dengan infinite. Jika

setiap vertex memiliki derajat yang

finite, maka graph itu disebut sebagai

daerah yang finite. (Biggs, 1993)

Pada kasus p = 1

2 pada

persamaan 𝜌p(F) = 1

𝑍𝐸 𝑝 𝐹 (1 −

𝑝) 𝐸\𝐹 , dimana F ∈ ℰ,

setiap even subgraph memiliki

peluang yang sama, sehingga 𝜌12

dikatakan sebagai random even

subgraph yang uniform di G. Peluang

yang dipilih p = 1

2 karena

memberikan hasil pada persamaan

𝜌p, sedangkan jika p = 1 akan

memberikan hasil bernilai

0.Sehingga random subgraph dapat

diperoleh sebagai berikut. Pertama-

tama identifikasikan family dari

semua spanning subgraph di G = (V,

E) dengan family 2E dari semua

subset di E. Family ini dapat

diidentifikasikan lebih lanjut dengan

{0,1}E = ℤ2

𝐸 dan dengan demikian

ruang vektornya (vector space) diatas

ℤ2; sebagai tambahannya adalah 2

modul tambahan cara pada {0,1}E ,

sehingga diterjemahkan sebagai

pengambilan perbedaan simetris

pada himpunan edgenya : F1 + F2 =

F1 ∆ F2 untuk F1, F2 ⊆ E.

Family dari even subgraph G

merupakan bentuk dari subspace ℰ

pada ruang vektor {0,1}E , sehingga

F1 + F2 = F1 ∆ F2 dikatakan genap

jika F1 dan F2 juga genap. (Pada

kenyataannya, ℰ adalah ruang cycle

(cycle space) Ζ1 pada ℤ2-homology

di G sebagai suatu kompleks yang

sederhana). Pada khususnya, jumlah

even subgraph di G sama dengan

2c(G)

, dimana c(G) = dim(ℰ) ; dengan

demikian c(G) adalah jumlah cycle

bebas di G, dan diperoleh :

c(G) = 𝐸 − 𝑉 + 𝑘(G)

Preposisi 1. Misalkan C1, . . . , Cc

adalah himpunan maksimal dari

cycle bebas di G. Misalkan 𝜉1, . . .

, 𝜉𝑐 adalah bebas dari random

variabel (sebagai contoh, hasil

lemparan koin yang adil). Sehingga

𝜉𝑖𝐶𝑖𝑖 merupakan random even

subgraph yang uniform di G.

Bukti : C1, . . . , Cc adalah basis dari

ruang vektor ℰ di atas ℤ2.

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

127

Salah satu cara yang

dilakukan dalam memilih C1, . . . , Cc

adalah dengan memanfaatkan dalil

yang berikutnya. Pada dalil yang

berikutnya, akan menggunakan

spanning subforest di G yang berarti

suatu maximal forest di G, yaitu

gabungan spanning tree dari setiap

komponen di G.

Preposisi 2. Misalkan (V, F) adalah

spanning subforest di G. Setiap

subset X di E \ F dapat diselesaikan

dengan kekhususan Y ⊆ F pada

himpunan edge genap EX = X ∪ Y ∈

ℰ. Memilih random subset yang

uniform X ⊆ E \ F akan memberikan

suatu random even subgraph yang

uniform EX juga di G.

Bukti : Setiap edge 𝑒𝑖 ∈ E \ F dapat

diselesaikan dengan edge di F pada

cycle yang unik Ci ; dimana cycle ini

merupakan dasar dari ℰ dan hasilnya

seperti pada dalil 1. (Grimmet dan

Janson, 2009)

2.3.Sampling Subgraph

Contoh-contoh algoritma

subgraph n dari pemilihan edge

secara acak yang terhubung dengan

suatu himpunan n dapat

dicapai.Selanjutnya digambarkan

prosedur random sampling dari suatu

n vertex subgraph pada suatu

network (jaringan). Pilih edge secara

acak dari jaringan, lalu perluas

subgraph secara berulang-ulang

dengan memilih edge tetangganya

secara acak hingga membentuk

subgraph n.

Untuk setiap pilihan acak dari

suatu edge, dalam memilih suatu

edge sebaiknya ukuran subgraph

diperluas dari pertama, kemudian

siapkan daftar semua kandidat

(calon) edge, lalu lakukan pemilihan

edge secara acak dari daftar itu

sendiri. Jadi, contoh subgraph dapat

digambarkan sebagai suatu

himpunan vertex n dan semua edge

yang terhubung diantara vertex pada

original network (tidak hanya edge

yang dipilih dengan proses

perluasan). Penilaian yang tepat

untuk sampling yang tidak uniform.

Suatu subgraph yang spesifik

adalah suatu himpunan n yang

terhubung dengan vertex dalam suatu

jaringan. Peluang dari sampling

subgraph spesifik yang berbeda

dalam jaringan tidaklah sama

meskipun mempunyai topologi yang

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

128

sama. Untuk menilai ini, kita akan

menghitung peluangnya P, dari

sampling subgraph yang spesifik.

Setiap jenis subgraph akan menerima

skor / nilai. Kemudian, kita akan

menambah skor berat W = 1

𝑝 untuk

skor jenis subgraph yang relevan. Ini

diulang untuk mendapatkan jumlah

banyaknya sampel spanning tree.

Dengan demikian, kita dapat

menghitung konsentrasi semua jenis

subgraph menurut skor/nilainya.

Untuk contoh subgraph n, himpunan

terurut n – 1 edge dipilih berulang-

ulang secara acak. Sedangkan untuk

menghitung peluangnya P dari

sampling subgraph, kita perlu

memeriksa semua peluang

(kemungkinan) himpunan terurut n –

1 edge yang menuju pada sampling

subgraph. Kashtan et al (2004)

3. Metode Penelitian

Metode penelitian ini secara

ringkas seperti berikut ini. Pertama

sekali buat suatu graph yang terdiri

dari vertex dan edge. Kemudian dari

graph ini, pilih subgraph-nya secara

acak. Untuk memilih subgraph yang

acak digunakan suatu algoritma.

Dalam hal ini algoritma yang akan

dipergunakan adalah algoritma

sampling yang tujuannya pemilihan

random subgraph ini sesuai dengan

yang diinginkan. Dapat dikatakan

ada batasannya dalam memilih

random subgraph dari graph yang

ada.

4. Hasil Penelitian

4.1. Random Even Subgraph

Random even subgraph dengan

parameter p [0, 1) didefinisikan

dari persamaan 𝜌p(F) = 1

𝑍𝐸 𝑝 𝐹 (1 −

𝑝) 𝐸\𝐹 untuk suatu graph finite G =

(V, E). Selanjutnya bagaimana

memasangkan model random-cluster

q = 2 dan random even subgraph di

G. Misalkan p [0, 1

2] dan 𝜔 sebagai

realisasi model random cluster di G

dengan parameter 2p dan q = 2.

Misalkan R = (V, 𝛾) sebagai random

even subgraph yang uniform di (V,

𝜂(𝜔)).

Teorema 4.1. Misalkan p [0, 1

2].

Graph R = (V, γ) adalah random

even subgraph di G dengan

parameter p.Bukti : Misalkan g ⊆ E

genap dan c(𝜔) = c(V, 𝜂(𝜔))

merupakan jumlah cycle bebas pada

open subgraph,

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

129

ℙ 𝛾 = 𝑔 𝜔 =

2−𝑐 𝜔 jika 𝑔 ⊆ 𝜂 𝜔

0 yang lain

sehingga

ℙ 𝛾 = 𝑔 =

2−𝑐 𝜔 𝜙2𝑝 ,2(𝜔)𝜔 :𝑔⊆𝜂(𝜔)

(4.1)

Jika c(𝜔) = 𝜂 𝜔 − 𝑉 + 𝑘(𝜔) ,

maka :

ℙ 𝛾 = 𝑔

∝ 2𝑝 𝜂 𝜔 (1

𝜔 :𝑔⊆𝜂(𝜔)

− 2𝑝) 𝐸\𝜂 𝜔 2𝑘 𝜔 1

2 𝜂 𝜔 − 𝑉 +𝑘 𝜔

∝ 𝑝 𝜂 𝜔 (1 − 2𝑝) 𝐸\𝜂 𝜔

𝜔 :𝑔⊆𝜂(𝜔)

= [𝑝 + (1 −

2𝑝)] 𝐸\𝑔 𝑝 𝑔

= 𝑝 𝑔 (1 − 𝑝)] 𝐸\𝑔 ,

g ⊆ E. (4.2)

Misalkan p (1

2, 1). Jika G

genap, maka contoh dari 𝜌𝑝 dengan

sampling (pengambilan) pertama

suatu subgraph (V, 𝐹 ) dari 𝜌1−𝑝 dan

komplemennya (V, 𝐸 \ 𝐹 ) memiliki

distribusi 𝜌𝑝 . Jika G ganjil, maka

akan disesuaikan seperti berikut ini.

Untuk W ⊆ V dan H ⊆ E ; H

dikatakan W-genap jika setiap

komponen dari (V, H) terdiri dari

jumlah anggota dari W genap.

Misalkan W ≠ ∅ adalah himpunan

vertex G dengan derajat ganjil,

sehingga, secara khusus, E adalah

W-genap. Asumsikan Ω𝑊 = {𝜔 ∈ Ω :

𝜂 𝜔 adalah W-genap}. Untuk 𝜔 ∈

Ω𝑊 , pilih subset yang disjoint

𝑃𝑖 = 𝑃𝜔 𝑖 , dimana i = 1, 2, . . . ,

1

2 𝑊 , dari 𝜂 𝜔 , yang merupakan

path non-self-intersecting terbuka

dengan titik akhir nyata yang terletak

di W, sehingga setiap anggota di W

merupakan titik akhir tepat satu path.

Ditulis 𝑃𝜔 = 𝑃𝜔𝑖

𝑖 .

Misalkan r = 2(1 – p), dan

misalkan 𝜙𝑟 ,2𝑊 adalah ukuran random

cluster pada Ω dengan parameter r

dan q = 2 bersyarat pada kejadian

Ω 𝑊 . Ambil sample dari 𝜙𝑟 ,2𝑊 untuk

memperoleh subgraph (V, 𝜂(𝜔)) ,

dengan memilih suatu random even

subgraph yang uniform (V, 𝛾).

Teorema 4.2. Misalkan p (1

2 , 1).

Graph S = (V, E \ (γ ∆ Pω)) adalah

suatu random even subgraph di G

dengan parameter p.

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

130

Teorema 4.1. dan teorema

4.2. dapat digabungkan sebagai

berikut. Dengan mempertimbangkan

model yang dibangun dengan satu

parameter 𝑝𝑒 (0,1) untuk setiap

edge 𝑒 E. Misalkan A = {𝑒 E :

𝑝𝑒 > 1

2}. Didefinisikan bahwa 𝑟𝑒 =

2𝑝𝑒 jika 𝑒 ∉ A dan 𝑟𝑒 = 2(1 – 𝑝𝑒 ) jika

𝑒 A. (Jadi 0 < 𝑟𝑒 ≤ 1). Misalkan

W = WA adalah himpunan vertex A-

ganjil, sebagai contoh, titik akhir dari

jumlah edge ganjil di A. Sample 𝜔

dari ukuran random-cluster dengan

parameter r = (𝑟𝑒 : 𝑒 E) dan q = 2,

sehingga 𝜂 𝜔 menjadi W-genap,

misalkan Pω (untuk W = WA) , dan

sample random even subgraph yang

uniform (V, 𝛾) pada (V, 𝜂(𝜔)).

Teorema 4.3. Graph S = (V,

𝛾 ∆ 𝑃𝜔 ∆ 𝐴) adalah random even

subgraph di G dengan distribusi

𝜌𝒑.Bukti : Misalkan F = 𝛾 ∆ 𝑃𝜔 ∆ 𝐴

merupakan hasil dari himpunan edge

sehingga 𝜂(𝜔) ⊇ 𝛾 ∆ 𝑃𝜔 =

𝐹 ∆ 𝐴.

(4.3)

Selanjutnya, jika F genap,

maka 𝐹 ∆ 𝐴 mempunyai derajat

ganjil tepat pada vertexnya W = WA ,

karena itu pers. (4.3) menunjukkan

bahwa 𝜔 Ω𝑊 diperlukan.

Diberikan himpunan egde genap f ⊆

E, sehingga diperoleh F = f jika

pemilihan pertama 𝜔 Ω𝑊 dengan

𝜂(𝜔) ⊇ 𝑓 ∆ 𝐴 dan kemudian (𝑃𝜔

telah terpilih) pilih 𝛾 sebagai even

subgraph 𝑓 ∆ 𝐴 ∆ 𝑃𝜔 . Karena itu,

untuk setiap 𝜔 Ω𝑊 dengan

𝜂(𝜔) ⊇ 𝑓 ∆ 𝐴, diperoleh

ℙ 𝐹 = 𝑓 𝜔 = 2−𝑐(𝜔).

ℙ 𝐹 = 𝑓

∝ 2−𝑐 𝜔 𝜙𝒓,2(𝜔)

𝜔 :𝜂(𝜔)⊇𝑓∆𝐴

∝ 2−𝑐 𝜔 2𝑘 𝑤 𝑟𝑒𝜔 𝑒 1

𝑒∈𝐸𝜔 :𝜂(𝜔)⊇𝑓∆𝐴

− 𝑟𝑒 1− 𝜔 𝑒

∝ 2− 𝜂 𝜔 𝑟𝑒𝜔 𝑒 1

𝑒∈𝐸𝜔 :𝜂(𝜔)⊇𝑓∆𝐴

− 𝑟𝑒 1− 𝜔 𝑒

= 𝑟𝑒2 𝜔 𝑒

1

𝑒∈𝐸𝜔 :𝜂(𝜔)⊇𝑓∆𝐴

− 𝑟𝑒 1− 𝜔 𝑒

= 𝑟𝑒2

𝑒∈𝑓∆𝐴

1 −𝑟𝑒2

𝑒∉𝑓∆𝐴

Dengan 1e yang merupakan fungsi

indikator pada kejadian {𝑒 ∈ 𝑓},

dapat ditulis kembali seperti berikut

ini :

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

131

ℙ 𝐹 = 𝑓

∝ 𝑟𝑒2

1𝑒

𝑒∉𝐴

1

−𝑟𝑒2

1−1𝑒

𝑟𝑒2

1−1𝑒

1 −𝑟𝑒2

1𝑒

𝑒∈𝐴

= 𝑝𝑒 1𝑒

𝑒∉𝐴 1 −

𝑝𝑒 1−1𝑒 (𝑝𝑒)1−1𝑒 1 − 𝑝𝑒

1𝑒𝑒∈𝐴

= 𝑝𝑒 1𝑒

𝑒∉𝐴 1 −

𝑝𝑒 1−1𝑒

∝ 𝜌𝒑(𝑓).

(4.4)

Ini bertentangan dengan

dengan Teorema 4.1. Ambil random

even subgraph (V, F) di G = (V, E)

dengan parameter p ≤1

2 . Untuk

setiap 𝑒 ∉ 𝐹, dapat ditentukan suatu

warna random bebas, biru dengan

peluang p / (1 – p) dan merah untuk

yang lainnya. Misalkan H diperoleh

dari F dengan menambahkan di

semua edge biru.

Teorema 4.4. Graph (V, H) memiliki

aturan 𝜙2𝑝 ,2.

Bukti : Untuk 𝑕 ⊆ 𝐸 ,

ℙ(𝐻 = 𝑕) ∝

𝑝

1−𝑝 𝐽

𝑝

1−𝑝 𝑕\𝐽

1−2𝑝

1−𝑝 𝐸\𝑕

𝐽⊆𝑕 , 𝐽 genap

∝ 𝑝 𝑕 1 − 2𝑝 𝐸\𝑕 𝑁 𝑕 ,

(4.5)

dimana 𝑁(h) adalah jumlah subgraph

genap di (V, h). Seperti pembuktian

di atas, 𝑁 𝑕 = 2 𝑕 − 𝑉 +𝑘(𝑕) dimana

𝑘(𝑕) adalah jumlah komplemen dari

(V, h).

Suatu edge 𝑒 dari graph

disebut cyclic jika edge tersebut

termasuk di dalam beberapa cycle

suatu graph.

Corollary : Untuk 𝑝 ∈ 0,1

2 dan

𝑒 ∈ 𝐸,

𝜌𝑝 (e terbuka) = 1

2𝜙2𝑝 ,2 (e adalah

suatu cyclic edge di graph terbuka)

Dengan menghitung di atas

𝑒 ∈ 𝐸, dapat disimpulkan bahwa

rata-rata jumlah edge terbuka

dibawah 𝜌𝑝 adalah setengah dari

rata-rata jumlah cyclic edge dibawah

𝜙2𝑝 ,2.Bukti : Misalkan 𝜔 ∈ Ω dan 𝒞

adalah maximal family dari cycle

bebas 𝜔. Misalkan R = (V, 𝛾) adalah

random even subgraph yang uniform

di (V, 𝜂(𝜔)) , suatu tafsiran yang

menggunakan Dalil 2.2 dan 𝒞 .

Untuk 𝑒 ∈ 𝐸, misalkan Me adalah

jumlah elemen dari 𝒞 yang

memasukkan e. Jika Me ≥ 1, maka

jumlah cycle Me pada 𝛾 yang telah

terpilih dalam susunan/bentuk pada

𝛾 adalah sama seperti penggunaan

genap atau ganjil. Oleh karena itu,

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

132

ℙ 𝑒 ∈ 𝛾 𝜔 = 1

2 jika 𝑀𝑒 ≥ 1

0 jika 𝑀𝑒 = 0

(4.6)

4.2.Sampling Even Subgraph

Seperti dinyatakan diawal

bahwa Teorema 4.1 memberikan

suatu cara yang sistematis pada

sampling even subgraph di G yang

sesuai dengan ukuran peluang

𝜂𝑝 dengan p ≤ 1

2 . Coupling-from-

the-past (cftp) hanya digunakan

untuk memberi contoh pada ukuran

random-cluster 𝜙2𝑝 ,2 , kemudian

melepaskan koin secara adil sekali

untuk setiap anggota dari beberapa

himpunan bebas yang maksimal dari

cycle G. Diingatkan kembali

bahwasannya implementasi

(pelaksanaan) dari cftp ini

berdasarkan pada periode waktu T

secara acak yang bagian akhirnya

dibatasi oleh suatu distribusi

geometri ; yang berakhir dengan

peluang 1 dengan suatu sample yang

tepat dari target distribusi. Sedikit

lebih rumit ketika p > 1

2 dan G tidak

hanya genap, sehingga dilihat dari

situasinya ukuran random cluster

digunakan dalam Teorema 4.2 dan

4.3 baik monoton maupun anti-

monoton. Kemudian akan dicari

bagaimana menyesuaikan teknik cftp

pada beberapa situasi.

Misalkan E adalah suatu

himpunan finite tak kosong dan 𝜇

adalah ukuran peluang pada product

space Ω = {0, 1}E. Dikatakan 𝜇

monoton (respectively, anti-

monoton) jika 𝜇 1𝑒 𝜉𝑒 adalah non-

decreasing (respectively, non-

increasing) dimana 𝜉 ∈ Ω. Dimana,

1𝑒 adalah fungsi indikator yang

edge-nya e adalah terbuka dan 𝜉𝑒

adalah bentuk yang diperoleh dari 𝜉

pada E \ {e}. Untuk 𝑒 ∈ 𝐸, 𝜓 ∈ Ω,

dan b = 0,1 , maka 𝜓𝑒𝑏 ditulis sebagai

bentuk yang sesuai dengan 𝜓 pada e

dan memperoleh nilai b pada e.

Secara standar cftp mungkin dapat

digunakan untuk sample dari 𝜇 jika 𝜇

adalah monoton dan akan dijelaskan

bagaimana menyesuaikan apabila 𝜇

adalah anti-monoton. Suatu

mekanisme diusulkan sebagai hasil

dalam sample yang tepat dari 𝜇 tanpa

asumsi apapun dari (anti-

)monotonicity. Mekanisme ini dapat

digunakan dalam kerangka umum

yang lebih banyak pada “bounding

chain”, akan tetapi tidak sesuai

dalam pekerjaannya, karena pada

kenyataannya Ω adalah partially

ordered (orde sebagian).

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

133

Misalkan 𝑆𝜇 = {𝜔 ∈ Ω :

𝜇 𝜔 > 0} , subset dari Ω yang

mana 𝜇 adalah strictly positive

(benar-benar positif) dan asumsikan

secara sederhana bahwa 𝑆𝜇 adalah

increasing dan 1 ∈ 𝑆𝜇 , dimana 1

(respectively, 0) menunjukkan

bentuk untuk ‘semua bernilai 1’

(respectively, ‘semua bernilai 0’).

Asumsi ini dikatakan valid pada

pengaturan sekarang ini (current

setting) , tetapi tidak dapat digunakan

untuk semuanya seperti berikut ini.

Dimulai dengan contoh Gibbs

yang biasa/lazim digunakan untuk 𝜇.

Ini adalah suatu discrete-time

Markov chain G = (Gn : n ≥ 0) pada

state space Ω. Anggap Gn = 𝜉.

Secara uniform distribusi anggota di

E sudah terpilih, sebut saja 𝑒, dan

juga variabel random U dengan

distribusi uniform pada [0, 1].

Kemudian Gn + 1 = 𝜉′ dimana 𝜉′(𝑓)

untuk 𝑓 ≠ 𝑒 dan

𝜉′(𝑒) = 0 jika U > μ 1𝑒 𝜉𝑒

1 jika U ≤ μ 1𝑒 𝜉𝑒 .

Aturan transisi baik digunakan

jikalau 𝜉𝑒1 ∈ 𝑆𝜇 . Ini baik sekali

digunakan dalam memperluas

definisi dari susunan/bentuk yang

tidak berada dalam 𝑆𝜇 dan pada

akhirnya diperoleh :

μ 1𝑒 𝜉𝑒 = max

μ 1𝑒 𝜓𝑒 : 𝜓𝑒 ≥ 𝜉𝑒 , 𝜓𝑒1 ∈ 𝑆𝜇

(4.7)

dimana 𝜉𝑒1 ∉ 𝑆𝜇 .

Misalkan (𝑒𝑛 ,𝑈𝑛) adalah

barisan yang independent (bebas).

Asumsikan (𝐴𝑛 ,𝐵𝑛 ∶ 𝑛 ≥ 0) adalah

Markov chain dengan state space Ω2

dan (𝐴0 ,𝐵0) = (0, 1). Anggap

(𝐴𝑛 ,𝐵𝑛) = (𝜉 , 𝜂) dimana 𝜉 ≤ 𝜂.

Buat (𝐴𝑛+1 ,𝐵𝑛+1) = (𝜉′ , 𝜂′) dimana

𝜉′(𝑓) = 𝜉(𝑓) , 𝜂′(𝑓) = 𝜂(𝑓) untuk

𝑓 ≠ 𝑒𝑛+1 , dimana 𝑒 = 𝑒𝑛+1.

Diperoleh :

𝜉′(𝑒) = 1 jika dan hanya jika

𝑈𝑛+1 ≤ 𝛼 ,

𝜂′(𝑒) = 1 jika dan hanya jika

𝑈𝑛+1 ≤ 𝛽 ,

dimana

𝛼 = 𝛼 𝜉 , 𝜂 =

min μ 1𝑒 𝜓𝑒 : 𝜉𝑒 ≤ 𝜓𝑒 ≤ 𝜂𝑒 ,

𝛽 = 𝛽 𝜉 , 𝜂 =

max μ 1𝑒 𝜓𝑒 : 𝜉𝑒 ≤ 𝜓𝑒 ≤ 𝜂𝑒 .

(4.8)

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

134

Sehingga 𝛼 ≤ 𝛽 , kita mempunyai

𝜉′ ≤ 𝜂′.

Rantai (A, B) dimulai pada

waktu yang negatif (negative times),

merupakan cara yang ditentukan oleh

cftp. Misalkan T adalah waktu

perpaduan (coalescence time). Lebih

tepatnya lagi, untuk 𝑚 ≥ 0, misalkan

(𝐴𝑘 𝑚 ,𝐵𝑘 𝑚 ∶ −𝑚 ≤ 𝑘 ≤ 0)

menunjukkan bahwa rantai dimulai

dengan 𝐴−𝑚 𝑚 = 0 , 𝐵−𝑚 𝑚 = 1 ,

yang menggunakan suatu barisan

random yang fixed 𝑒𝑛 ,𝑈𝑛 −∞0

untuk semua 𝑚, dan diperoleh

T = min { m ≥ 0 : 𝐴0 𝑚 ,𝐵0 𝑚 } ,

(4.9)

sehingga 𝐴0 𝑇 ,𝐵0 𝑇 .

Teorema 4.5. Jika 𝑆𝜇 increasing

dan 1 ∈ 𝑆𝜇 , maka 𝑃 𝑇 < ∞ = 1

dan 𝐴0 𝑇 memiliki aturan 𝜇.

Bukti : Dari definisi 𝑆𝜇 dan

persamaan (4.7), terdapat 𝜂 =

𝜂 𝐸, 𝜇 > 0 sedemikian sehingga

μ 1𝑒 𝜉𝑒 ≥ 𝜂 untuk semua 𝑒 ∈ 𝐸 dan

𝜉 ∈ Ω. Pada setiap panjang interval

waktu yang diberikan 𝐸 , terdapat

peluang positif yang utuh yang

barisannya (𝑒𝑖 ,𝑈𝑖) memenuhi

𝐸 = 𝑒𝑖 dan 𝑈𝑖 < 𝜂 untuk semua 𝑖.

Pada kejadian ini, proses A yang

rendah mendapat nilai 1 setelah

intervalnya lewat, sehingga

perpaduannya ada. Kejadian yang

sesuai dengan interval waktu yang

berbeda dikatakan bebas

(independent), dimana bagian akhir

dari waktu T tidak lebih besar

daripada geometri.

Misalkan G = (V, E) adalah

graf finite, dan W ⊆ V merupakan

himpunan vertex tak kosong dengan

𝑊 genap. Misalkan r = (𝑟𝑒 ∶ 𝑒 ∈ 𝐸)

adalah jumlah vektor dari (0, 1] dan

asumsikan 𝜙𝑟 ,𝑞 sebagai ukuran

random cluster di G dengan

parameter edge r dan q ≥ 1.

Kemudian 𝜙𝑟 ,𝑞𝑊 untuk 𝜙𝑟 ,𝑞ditulis

sebagai kejadian dimana graph

terbuka adalah W-genap dan catatan

bahwa 𝜙𝑟 ,𝑞𝑊 baik monoton maupun

anti-monoton. Kejadian 𝑆𝜇 dapat

dengan mudah meningkat

(increasing) dan 1 ∈ 𝑆𝜇 . Oleh

karena itu, Teorema 4.5 dapat juga

digunakan pada ukuran 𝜇 = 𝜙𝑟 ,𝑞𝑊 .

Grimmet dan Janson (2009)

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

135

5. Kesimpulan

Dalam penelitian ini dapat

disimpulkan beberapa hal sebagai

berikut :

1. Subgraph (V, F) dikatakan genap

jika F-nya genap dan ditulis ℇ

untuk himpunan semua subset

genap F di E. F ⊆ E dikatakan

genap jika untuk semua 𝑥 ∈ 𝑉,

dimana 𝑥 berincident terhadap

jumlah anggota F genap.

2. Random even subgraph dengan

parameter p [0, 1) didefinisikan

dari suatu persamaan 𝜌p(F) =

1

𝑍𝐸 𝑝 𝐹 (1 − 𝑝) 𝐸\𝐹 untuk suatu

graph finite G = (V, E).

3. Jika peluangnya p = 1

2 , maka

setiap even subgraph akan

memiliki peluang yang sama,

sehingga 𝜌12 dikatakan sebagai

random even subgraph yang

uniform di G.

4. Misalkan p ∈ 1

2, 1 , jika G

genap, maka sampel dari 𝜌𝑝

dengan sampling pertama

subgraph (V, 𝐹 ) dari 𝜌1−𝑝 dan

komplemennya (V, E\𝐹 ) memiliki

distribusi 𝜌𝑝 . Sampling even

subgraph di G menggunakan

ukuran peluang 𝜂𝑝 dengan 𝑝 ≤ 1

2.

Sehingga hanya dengan

menggunakan cftp inilah untuk

memberi contoh (sample) pada

ukuran random cluster 𝜙2𝑝 ,2.

DAFTAR PUSTAKA

Biggs N.L., (1993), Algebraic Graph

Theory,2nd

ed., Cambridge,

England : Cambridge

University Press, p. 161.

Bollobás B., (1984), Random

Graphs, 2nd

ed., Cambridge,

Baton Rouge.

Bollobás B., Grimmet G., Janson S.,

(1996), The Random Cluster

Model On The Complete

Graph, Math. Stat., 104, 283-

317.

Bondy J.A. dan Murty U.S.R.,

(2007), Graph Theory,

Springer, Berlin.

Borgs C., Chayes J.T., Hofstad R.,

Slade G., dan Spencer J.,

(2004), Random Subgraphs Of

Finite Graphs : I. The Scaling

Window Under The Triangle

Condition, New York.

Jurnal Ilmiah “DUNIA ILMU” Vol.2 No.1 Maret 2016

136

Chung F., Horn P., dan Lu L.,

(2002), The Giant In A

Random Subgraph Of A Given

Graph, California.

Clark L., (2002), Random Subgraphs

Of Certain Graph Powers,

IJMMS 32:5 , 285-292.

Grimmett G. dan Janson S., (2009),

Random Even Graphs,

Electron. J. Combin. 16.

Grimmett G. dan Kesten H., (1984),

Random Electrical Networks

On Complete Graphs II :

Proofs, J. Lond. Math. Soc., 30,

171-192.

Kashtan N., Itzkovitz S., Milo R.,

dan Alon U., (2004), Efficient

Sampling Algorithm For

Estimating Subgraph

Concentrations And Detecting

Network Motifs,

Bioinformatics, 20, 1746-1758.

Soshnikov A. dan Sudakov B.,

(2003), On The Largest

Eigenvalue Of A Random

Subgraph Of The Hypercube,

Comm. Math. Phys., 239, 53-

63.