Prosiding SNM 2010_Matematika UI

Diselenggarakan Oleh:Departemen Matematika FMIPA UI

Seminar Nasional Matematika Tahun 2010Depok, 6 Februari 2010

PROSIDING

Vol 1 thn 2010 ISSN : 1907 - 2562

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI i

SAMBUTAN KETUA PANITIA

Assalamualaikum Wr. Wb

Alhamdulillahi rabbil alamin, atas izinNya kami dapat menyelesaikan Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 (SNM 2010) ini. Begitu banyak rintangan dan halangan yang harus kami lalui dalam menyelesaikan tugas terakhir dari SNM 2010. Namun kami juga mendapat dukungan yang luar biasa dari berbagai pihak.

Prosiding ini bertujuan untuk menjadi sebuah referensi ilmu matematika di Indonesia. Makalah-makalah yang ada pada prosiding ini merupakan makalah-makalah yang telah dipresentasikan pada SNM 2010. Dan juga, makalah-makalah ini sudah melewati proses penilaian yang cukup panjang oleh tim makalah. Kami meyakini bahwa ilmu pengetahuan tak akan pernah berkembang tanpa hadirnya tulisan-tulisan ilmiah dari para ilmuwan.

Walaupun kami sudah berusaha sebaik mungkin dalam menyusun prosiding ini, kami akui bahwa prosiding ini masih jauh dari sesuatu yang sempurna. Untuk itu, kami mohon untuk dibukakan pintu maaf atas segala kekurangan, keterlambatan dan hal-hal lain yang kurang berkenan di hati para pemakalah dan pembaca.

Wassalamualaikum Wr. Wb

Atas Nama Panitia SNM 2010

Dr. Al Haji Akbar Bachtiar

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI iii

DAFTAR ISI Sambutan Ketua Panitia i Daftar Isi iii I. PEMBICARA UTAMA Keindahan Matematika dalam Aplikasinya di Industri Asuransi Jiwa ...xiii Drs. Hendrisman Rahim, MA. FSAI.AAI-J.QIP Spasial Data Mining Menggunakan Model SAR-Kriging (Spatial Autoregressive-Kriging) untuk Pemetaan Mutu Pendidikan di Indonesia ...xxxiii Atje Setiawan Abdullah II. PRESENTASI MURNI Aljabar

Sifat-sifat Ring Armendariz 1 Atun Ismarwati Isomorf antara Grup Abel Hingga dengan Dual dan Bidualnya 9 Euis Hartini

Basis Grbner untuk Ideal Di Gelanggang Polinomial 13 Ridwan Setiawan, Sri Mardiyati

Analisis

Solusi Deret Bertingkat dengan Fungsi Pembangkit dan Bilangan Eulerian 17 Alexander Agung S G

Kemonotonan Operator Di 21 Badrulfalah, Iin Irianingsih

Perbandingan Ruang Vektor Euclidean dan Ruang Vektor Gyro 25 Esih Sukaesih

Globally Small Riemann Sums (GSRS) Integral Henstock-Pettis pada Ruang Euclide Rn 31 Hairur Rahman

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI iv

Aplikasi Transformasi Laplace dalam Mencari Nilai Eksak Suatu Deret Tak Hingga 35 Nik Hael, Taufik Limansyah, Iwan Sugiarto

Geometri Geometri Hiperbolik : Model Poincare 39 Sangadji Graf Pelabelan Sisi Ajaib Super pada Beberapa Bentuk Graf Ulat 43 Abdussakir

Algoritma Pelabelan Total Simpul Ajaib untuk Graf Lingkaran dan Matahari 49 Alfa Isti Ananda, Denny R. Silaban

Penggunaan Fungsi Pembangkit untuk Mencari Banyaknya Graf Pola Dari Suatu Graf Pola Utama 55 Anggha S. Nugraha, Denny R. Silaban, Kiki A. Sugeng

Pelabelan Harmonious pada Graf Firecracker, Graf Hairy Cycle, dan Graf Korona 61 Anggie J. Asih, Denny R. Silaban, Kiki A. Sugeng

Algoritma Pelabelan Total Busur Ajaib pada Graf Lingkaran dan Kipas 67 Arumella Surgandini, Denny R. Silaban

Algoritma Pelabelan Total Simpul Ajaib pada Graf Friendship dan Graf Kipas 75 Budi Utami, Denny R. Silaban

Pelabelan- pada Graf Helm dan Graf Bunga 81 Diari Indriati, Mania Roswitha

Karakterisasi Graf DNA untuk Dicycle, Dipath, Rooted Tree dan Self Adjoint Digraph Menggunakan Pelabelan-(,) 87 Inne, Denny R. Silaban, Kiki A. Sugeng

Membangun Suatu Gray Code Gn (n = bilangan bulat positif) 91 Latifah, Widaningrum Algoritma Pelabelan Total (a,d)-Simpul Antiajaib pada Graf Lintasan dan Graf Lingkaran 95 Milla Rachmawati, Denny R. Silaban

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI v

Pembangkitan Permutasi dengan Dua Siklus 103 Sulistyo Puspitodjati, Asep Juarna, Djati Kerami, Ernastuti

Bilangan Ramsey Multipartit Ukuran untuk Graf Lintasan dan Graf Lengkap 109 Syafrizal Sy Pelabelan Total (a,d)-Busur Anti Ajaib pada Gabungan Graf Lingkaran 113 Widya M. Niagara, Denny R. Silaban, Kiki A. Sugeng STATISTIKA, KEUANGAN DAN AKTUARIA Aktuaria Penentuan Rentang Dari Premi Posterior untuk Prior-Prior dengan Kontaminasi Sembarang 119 Netty Sunandi Keuangan Penentuan Harga Opsi Compound Menggunakan Metode Martingale dan Metode Binomial 125 Bony Parulian J Marbun Kajian Persamaan Harga Zero-Coupon Bond dengan Menggunakan Kerangka Model Heath-Jarrow-Morton Satu Faktor Markovian 133 Noorbaity, Bevina D. Handari, Gatot F. Hertono Statistika Penggunaan Metode Analisis Klaster untuk Mengetahui Kecenderungan Pengambilan Kelompok Mata Kuliah Pilihan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya 143 Anita Desiani, Sri Indra Maiyanti, Andika Trisnawati

Penaksiran Parameter pada Random Effects Spatial Lag Panel Data Model 153 Avidati, Dian Lestari, Siti Nurrohmah

Pendekatan Model Linier dalam Penaksiran Parameter Model Generalisasi Space Time Autoregresi Orde p 159 Budi Nurani Ruchjana Penaksiran Parameter Model Linier Berkson 163 Desti Riminarsih, Saskya Mary Soemartojo, Siti Nurrohmah

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI vi

Pemilihan Faktor Penyesuai dalam Metode Taguchi 169 Dian Lestari Perbandingan Diagram Kontrol Residual VAR & VARX untuk Pengamatan Berautokorelasi Yang Mengandung Outlier 177 Faula Arina Scan Statistic dengan Model Probabilitas Normal 185 Ias Sri Wahyuni, Dina Indarti Kontribusi Sebaran Gamma Terhadap Hukum Kegagalan Eksponensial 189 Iwa Sungkawa Kajian Fenomena EL-NIO Southern Oscillation Melalui Pendekatan Rantai Markov 3-State 195 Miftahuddin

Pengembangan Perangkat Lunak Analisis Ekonomi dengan Parameter Ketidakpastian Menggunakan Metoda Latin Hypercube Sampling 205 Mike Susmikanti, Dinan Andiwijayakusuma, Entin Hartini

Biplot dan Korelasi Fraksi Fosfor Tanah Kaolinitik dan Smektitik dengan Serapan Fosfor Padi Sawah 213 Mohammad Masjkur, I Made Sumertajaya

Model Regresi Polinomial Lokal dan Aplikasinya pada Data Jumlah Kasus Demam Berdarah Dengue di Kota Depok 223 Nurma Nugraha, Yekti Widyaningsih, Sarini Abdullah

Penaksiran Parameter pada Classical Error in Variable Model 227 Raisa Pratiwi, Siti Nurrohmah, Dian Lestari Penaksiran Parameter pada Model Regresi Data Panel Spatial Error 231 Rifki Kosasih, Siti Nurrohmah, Dian Lestari Menguji Kesamaan Dua Rata-rata untuk Varians Berbeda 235 Sudartianto Hubungan Bobot dan Fisher Scoring dengan Fungsi Hubung dalam Distribusi Binomial pada Generalized Linear Models (GLM) 241 Titin Siswantining Mencari Fungsi Hubung yang Sesuai dalam Distribusi Poisson Melalui Residual 247 Titin Siswantining

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI vii

Penggunaan Metode Direct Sampling dan Inverse Sampling dalam Mengestimasi Ukuran Populasi Kucing Di Perumahan Bukit Rivaria Sawangan Depok pada Bulan Desember 2009 253 Tri Handhika, Murni Pemodelan Bayesian untuk Pemetaan Kasus Penyakit (Bayesian Modelling For Diseases Mapping) 261 Yekti Widyaningsih APLIKASI Komputasi

Penyelesaian Persamaan Diferensial Bessel Secara Numerik 267 Akhmad Saefudin, Sri Mardiyati, Al Haji Akbar B.

Brain Cancer (Astrocytoma) Clustering Menggunakan Metode Fuzzy C-Means 271 Akmal Fikri, Zuherman Rustam, Jacub Pandelaki Karakterisasi Rekonstruksi dan Pencacahan Pola Barisan DNA dengan Pengulangan 279 Alberta Parinters Makur, Denny R. Silaban, Kiki A. Sugeng

Prediksi Pergerakan Nilai Euro Terhadap US Dollar dengan Menggunakan Jaringan Syaraf Tiruan dan Model Pergerakan Nilai Valas 285 Andreas Sri Harjoko, Liem Chin Clustering Brain Cancer Menggunakan Possibilistic C-Means 289 Anggi Pandyo Wibowo, Zuherman Rustam, Jakub Pandelaki

Aplikasi Spherical K-Means pada Pengklasifikasian Brain Cancer 293 Ardibian Krismanti, Zuherman Rustam, Jakub Pandelaki

Pengenalan Wajah Berbasis Kamera Menggunakan Jaringan Syaraf Tiruan 299 Asep Sholahuddin, Rustam E. Siregar, Iping Supriana, Setiawan Hadi

Solusi Persamaan Tak Linier dengan Metode Homotopi dan Aplikasinya pada Bidang Keuangan 303 Betty Subartini

Implementasi Metode Binomial Tree pada Model Black-Derman-Toy dalam 311 Mengaproksimasi Harga Zero-Coupon Bond Dwi Rahmayuni Hajar, Gatot F. Hertono

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI viii

QROCK, Algoritma Klastering untuk Data Kategori 317 Dyah Paminta Rahayu

Ketidakpastian Input dalam Simulasi Ekonomi pada Reservoir-X Berbasis Metode Probabilistik 325 Entin Hartini, Dinan Andiwijayakusuma Efektifitas Algoritma Perturbasi Walk 329 I Made Sulandra

Ekstraksi Fitur Data Remote Sensing Menggunakan Principal Component Analysis 337 Ismail Djakaria, Suryo Guritno, Sri Haryatmi Kartiko

Enhancement Citra Sidik Jari Kotor dengan Teknik Gabor Filter 343 Muhammad Nasir, Rahmat Syam, Mochammad Hariadi

Pengujian Struktur Aljabar Group, Ring & Field Berbasis Komputer 349 Ngarap Im Manik

Kajian Implementasi Metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) dalam Mengaproksimasi Pergerakan Model Tingkat Bunga Constant Elasticity of Variance (CEV) 355 Noor Indah Ekawati, Bevina D. Handari, Mila Novita Penerapan Algoritma Genetik pada DNA Sequencing By Hybridization 363 Novi Murniati, Dhian Widya, Denny R.Silaban

Pemanfaatan Memory Ekstra untuk Optimisasi Join Query menggunakan Metode Hybrid Hash Join 371 R Sudrajat

Implementasi Metode Binomial dan Trinomial Tree pada Model Ho-Lee dalam Mengaproksimasi Harga Zero-Coupon Bond 377 Ratna Dewi Hidayati, Gatot F. Hertono Penyejajaran Barisan DNA dengan Menggunakan Algoritma X-Drop dan Algoritma Greedy 383 Siti Aminah, Eny Christiningsih, Denny Riama Silaban

Aproksimasi Tingkat Bunga dengan Model Ho-Lee 391 Stefani, Bevina D Handari, Mila Novita

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI ix

Kajian Implementasi Model Pareto-Beta Jump-Diffusion dengan Volatilitas Stokastik dalam Mengaproksimasi Harga Saham dengan Lompatan 399 Susatyo, Bevina D.Handari, Dian Lestari Model Hidden Markov untuk Memperkirakan Struktur Sekunder Protein 407 Tigor Nauli

Simulasi Sistem Parameter Terdistribusi Menggunakan Metode Garis Lateral Di Lingkungan PSE SCILAB 415 Verawati, Prasetyaning Diah R.L., A.D. Garnadi

Varian Modifikasi Metode Halley dengan Konvergensi Orde Empat 423 Wartono, Hari Saputra

Perancangan Program Aplikasi Pengurangan Noise pada Citra Digital Menggunakan Metode Berbasis Wavelet 427 Wikaria Gazali, Haryono Soeparno Representasi Fungsi Boolean pada Diagram Keputusan Biner 435 Yahma Wisnani Feature Ordering Menggunakan Matriks Kernel 445 Zuherman Rustam Intrusion Detection Systems Menggunakan Fuzzy Support Vector Machines 449 Zuherman Rustam Kriptografi

Perluasan Algoritma Hill Cipher Menggunakan PInvers 455 Akik Hidayat

Ukuran "Share" pada Konstruksi Pembagian Rahasia 461 I Ketut Tri Martana, Retno Indah Pemodelan

Prediksi Penyakit Ikan Gurame Berdasarkan Gejala Klinis dengan Menggunakan Algoritma Levenberg-Marquardt 467 Erick Paulus

Dinamika Global pada Model Epidemik Tipe SEIR 471 Jonner Nainggolan, Rustam E. Siregar, Sudradjat

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI x

Analisis Basic Reproduction Number Model Deterministik Kecanduan Narkoba dengan Faktor Rehabilitasi 479 Kasbawati, Herana

Analisis Kestabilan Proses Daur Ulang Nutrisi dalam Suatu Kolam Nutrisi 485 Yusfridawati Model-model Pemeliharaan yang Optimal dengan Perbaikan Minimal, Pemeriksaan Berkala dan Pembaharuan Secara Lengkap 491 Yusup Supena

Riset Operasi Formulasi Integer Programming pada Masalah Penjadwalan Ujian Di Universitas Terbuka 499 Asmara Iriani Tarigan, Amril Aman, Farida Hanum Pemrograman Linier dengan Kendala Fuzzy untuk Optimisasi Produksi 507 Ino Suryana

Pelinearan Suatu Model Mixed Integer Nonlinear Programming 511 Sitta Alief Farihati, Amril Aman, I.N.K. Kutha Ardana

Teknik Pengaruh Bias Ionosfer pada Akurasi Pengukuran Jarak Satelit GPS 517 Buldan Muslim

Sistem AVR Berbasis Type-2 Fuzzy PI 525 Dedy Kurniawan, M. Budi R. Widodo, Muhammad Abdillah, Imam Robandi

Validasi Model foF2 GIM-MSILRI pada Saat Aktivitas Matahari Minimum Tahun 2009 Menggunakan Data Ionosonde Tanjungsari 533 Dyah RM, Buldan Muslim

Pengembangan Perangkat Lunak untuk Penentuan Nilai Eigen pada Analisis Sifat Getar Komponen Berbasis Metoda Elemen Hingga 539 Elfrida Saragi

Kompensasi Daya Reaktif pada Sistem 500 kV Jamali Menggunakan Bacteria Foraging Algorithm 547 Juningtijastuti, Muhammad Abdillah, Imam Robandi

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xi

Penerapan Propagasi Matriks untuk Simulasi Arus Listrik Terobosan pada Struktur Dua Dinding Potensial 555 Ratno Nuryadi

Adaptive Predictive Control Berbasis ANFIS-PI untuk Pengaturan Temperatur Heat Exchanger 561 Ruslim, Rusdhianto Effendie

Perhitungan Analitik Gaya dan Tegangan untuk Perancangan Struktur Nose Cone Roket RX-200 LPN 569 Setiadi

Penentuan Ketebalan Dinding Struktur Cap Motor Roket RX-200 LPN Secara Analitik dengan Pembanding Hasil Analisis Dari Metoda Elemen Hingga 577 Sugiarmadji HPS

Analisis Perhitungan Besarnya Tegangan Statik pada Struktur Tabung Motor Roket RX-4012 LPN dengan Metoda Analitik 583 Sugiarmadji HPS, Setiadi

PENDIDIKAN

Belajar Mengajar Limit secara Sederhana dan Praktis melalui Komputer 591 Abraham Salusu

Matematika Rekreatif Sebagai Pendekatan dalam Pembelajaran Matematika 597 Al Jupri

Manfaat Internet dalam Kegiatan Pembelajaran Matematika di SMA (Studi Evaluatif terhadap Siswa SMA Negeri 66 Jakarta) 603 Dedi Sukarsana

Bagaimana Matematika Dapat Mendukung Pendidikan untuk Pembangunan Yang Berkelanjutan (Education For Sustainable Developmen) 611 Dianne Amor Kusuma, Asep K. Supriatna

Hubungan Nilai Ujian Tulis Terhadap Keberhasilan Mahasiswa Di Perguruan Tinggi. Studi Kasus : IT Telkom 615 Erni D. Sumaryatie, Jondri

Pembelajaran Kaidah Pencacahan dengan Pendekatan RME 619 Ervin Azhar

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xii

Pembelajaran Eksplorasi Berbasis Budaya Lokal: Pembelajaran Matematika Indah dan Bermakna di Era Globalisasi untuk Meningkatkan Pemahaman Konsep Siswa 627 Euis Eti Rohaeti

Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif Matematika Siswa Melalui Pembelajaran yang Menggunakan Metaphorical Thinking 635 Heris Hendriana

Uji Komparatif Efisiensi Ujian Masuk Perguruan Tinggi Studi Kasus : IT Telkom 643 Indwiarti, Jondri

Pemecahan Masalah Kontekstual oleh Siswa Kelas III SD Lab UNESA Surabaya 647 Janet Trineke Manoy

Penerapan Pembelajaran Conceptual Understanding Procedure Sebagai Upaya Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa di SMPIT Al-Fatah Bekasi 653 Nila Sari, Wardani Rahayu, Tri Murdiyanto

Pembelajaran Matematika Realistik Yang Mengembangkan Kreatifitas Siswa 661 Syaiful The Formula of Volume and Surface Area of a Sphere Through Abstract Mathematics Using Pythagoras and Similarity Theorem 671 Warman

III. POSTER Studi Prekursor Gempa Bumi Menggunakan Analisis Fraktal Data Geomagnetik Ultra Low Frequency 677 Imran Hilman Mohammad, Sarmoko Saroso Validasi Data TEC GPS Watukosek Menggunakan Data foF2 Tanjung Sari, Sumedang 683 Mumen Tarigan, Buldan Muslim

Pembicara Utama Drs. Hendrisman Rahim, MA. FSAI.AAI-J.QIP

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xiii

Keindahan Matematika

Dalam Aplikasinya di Industri Asuransi Jiwa Drs. Hendrisman Rahim, MA. FSAI.AAI-J.QIP

Assalamualaikum Wr. Wb

Para hadirin, Peserta Seminar yang saya hormati.

Sebuah kehormatan bagi saya diundang untuk berbicara pada forum Seminar Nasional Matematika yang dihadiri oleh pakar matematika dari seluruh Indonesia. Saya diminta untuk membawakan materi yang temanya mengenai Mengungkap Keindahan Matematika, tema yang menurut saya menarik tapi sulit. Menarik karena kini kita bisa rasakan peran dan manfaatnya sudah merasuk dalam setiap kehidupan manusia. Sulit karena menurut saya, mungkin tidak akan ada waktu yang cukup untuk mengungkapkan betapa indahnya matematika. Saya berharap kiranya peserta seminar dapat mengerti apa yang saya sampaikan mengingat dengan keterbatasan yang ada, saya lebih banyak menyampaikan keindahan matematika yang lebih dekat dengan kehidupan dan pengalaman saya sebagai praktisi di Industri Asuransi. Hal ini karena masih sangat banyak keindahan yang dapat dirasakan dan dieksplorasi dari Matematika di luar materi yang saya sampaikan ini.

Di dunia ini banyak sekali sejarah dalam kehidupan kita. Salah satunya adalah sejarah ilmu matematika. Sejarah dalam bidang matematika ini juga meliputi banyak hal. Sejarah ini tentunya tak lepas dari awal peradaban manusia, perkembangan matematika dari masa ke masa, sampai dengan penemuan-penemuan dalam bidang matematika oleh para Ahli matematika dunia.

Kata matematika menurut beberapa literatur berasal dari mthema dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai sains, ilmu pengetahuan, atau belajar juga mathematikos yang diartikan sebagai suka belajar. Menurut saya, arti ini secara tegas memposisikan matematika yang bersifat universal yang tidak dibatasi pada pemahaman spesifik atau sektoral. Konsep awal matematika itu sendiri pada awal beradaban manusia, mengenalkan tentang perkalian dan ukuran. Perkalian berguna untuk menghitung hari, binatang dan lain-lain, sedangkan ukuran berguna untuk mengetahui luas dan isi dari tanah, air, produksi pertanian dan sebagainya. Pada zaman mesir kuno cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dan sebagainya. Tentu sulit untuk membayangkan bagaimana menginformasikan luas sawah atau informasi lain bila tanpa adanya ukuran. Situasi ini mungkin setara dengan melihat dalam kegelapan.

Sejarah perkembangan ilmu matematika berkembang sesuai dengan zamannya. Sebagai contoh, pada periode 2000 SM - 300 M, telah muncul ilmu hitung, geometri, dan logika. Dan pada periode tahun 300 M - 1400 M telah berkembang teori bilangan, geometri


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xiv

analitik, aljabar, dan trigonometri. Serta sampai abad ke-20 telah melahirkan logika matematika, geometri non euclid, dan lain-lain.

Pencapaian ini tidak lepas dari jasa para Ahli matematika terdahulu yang dengan berbagai bentuk perannya memberikan kontribusi nyata atas perkembangan matematika hingga kini. seperti ahli geometri Yunani Thales of Miletus, Pytagoras menemukan 2 hal penting yaitu teori pytagoras, dan jumlah irrasional, Euchid ahli geometri, dan Plato yang terkenal yang sangat gigih dalam mempelajari matematika dan mendirikan sekolah matematika yang menghasilkan banyak ahli matematika besar, diantaranya adalah Aristoteles, Eudoxus, Menaechmus serta masih banyak lagi. Ahli Matematika dalam masa itu tidak semata berperan dalam hal pengembangan ilmu matematika tetapi juga dalam melakukan pendekatan kepada Penguasa untuk ikut membantu mengembangkan matematika. Adalah Menaechmus yang namanya disebut dalam cerita Alexander the Great, dimana Alexander meminta Menaechmus mengajarinya tentang geometri. Menaechmus berkata kepada Alexander Wahai raja, sepanjang negeri ini ada jalan untuk raja dan jalan untuk warga negara biasa, tetapi pada geometri terdapat satu jalan untuk semuanya Alexander memasuki Mesir dan mendirikan kota Alexandria di pinggir sungai nil pada 332 sebelum masehi. Kota ini berkembang sangat pesat dan memilik populasi setengah juta dalam tiga dekade. Pada 306 sebelum masehi Alexandria segera berganti menjadi akademi yang paling terkemuka, pusat bagi beasiswa di dunia. Di samping itu, perpustakaannya memiliki lebih dari 600.000 gulungan kertas. Alexandria meninggalkan kota intelektual suku bangsa Yunani. Selama itu ilmu pengetahuan menarik bagi Alexandria sepanjang 300 sebelum masehi, adalah Euclid bersama ahli lainnya yang mengatur sekolah matematika. Hal ini berpengaruh mendalam di barat dan merupakan sesuatu yang dipelajari dan dianalisis selama berabad-abad. Ini semua telah diwujudkan dalam buku-buku dan berisikan ratusan pernyataan dari bidang data, geometri murni dan teori bilangan. Sekolah ini merupakan sarana untuk mempelajari bagaimana metode menerangkan matematika lama menjadi jelas, logik dan terstruktur.

Perkembangan matematika selama beberapa masa, juga mewariskan sejarah yang begitu kuno, diantaranya sebelum zaman modern dan pengetahuan yang tersebar global. Contoh-contoh tertulis dari perkembangan dan masa kemilaunya matematika hanya terdapat di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang pernah ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka tahun 1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka tahun 1850 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir yang berangka tahun 1650 SM), dan Shulba Sutra (Matematika India yang berangka tahun 800 SM). Ini adalah bukti nyata suatu karya yang sangat luar biasa sejak awal kehidupan manusia.

Di samping itu masih ada karya-karya yang fenomenal dari Ahli matematika, antara lain seperti Euclid dan Phytagoras yang namanya diabadikan sebagai nama formulasi matematika, Al-Khawarizmi yang dikenal sebagai bapak Aljabar, yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh.

Seorang seniman terkenal Leonardo Da Vinci adalah seniman dunia yang telah merasakan indahnya matematika. Dia pernah berkata


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xv

Painting is science and all sciences are based on mathematics. No human enquiry can be a science unless it pursues its path through mathematical exposition and demonstration (Leonardo Da Vinci)

Dalam hal ini tentu pemahaman akan menjadi luas. Artinya untuk matematika, setiap orang tidak semata dapat mengungkapkan keindahan matematika tetapi juga dapat me-matematika-kan suatu keindahan. Luar biasa.

Matematika sebagai disiplin tentunya memiliki peran dalam kehidupan sehari-hari. Bagi kebanyakan orang, matematika sering dianggap abstrak dan tidak terlihat secara langsung manfaatnya. Hal ini terjadi mungkin saja karena pemahaman yang masih terbatas atau orang lebih mengenal sebagai manfaat karya ilmu terapan lain yang sebenarnya membungkus matematika di dalamnya.

Ada dua sisi dari seorang matematikawan saat menghadapi aplikasi dari matematika dalam pembuatan model matematika. Satu sisi model yang dihasilkan haruslah akurat dan bermanfaat, di sisi lain haruslah simpel, realistis dan menarik dalam penyelesaian matematika. Akhirnya mereka memilih yang kedua, menarik dan elegant daripada keakuratan yang sering kali tidak begitu berguna dalam aplikasi seharihari.

Kini, ilmu matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan alam, teknologi Informasi dan komunikasi, rekayasa, medis, dan ilmu pengetahuan sosial seperti ekonomi, keuangan, asuransi dan psikologi, serta lainnya. Penggunaan matematika di berbagai bidang ini tidak terlepas dari filosofi matematika yang universal dan membumi serta berkembangnya penelitian-penelitian pemodelan matematika dalam kehidupan sehari-hari, sehingga matematika dapat diaplikasikan. Matematika telah mengilhami dan membuat terobosan-terobosan baru bahkan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru.

Secara umum, semakin kompleks suatu permasalahan maka semakin kompleks pula pemodelan matematikanya. Namun demikian, hal ini diharapkan mampu untuk mendapatkan atau mendekati penyelesaian eksak seakurat-akuratnya.

Jadi, tingkat kesulitan ilmu matematika bukan disebabkan oleh matematika itu sendiri, melainkan disebabkan oleh kompleksnya permasalahan yang ada dimana penyelesaiannya didekati dengan pemodelan matematika.

Dalam perkembangannya, matematika bukan hanya sekadar angkaangka, operasi bilangan ataupun rangkaian aksioma, tetapi matematika juga bisa berfungsi sebagai bahasa. Notasi, simbol dan operasi matematika adalah media komunikasi yang bisa menyederhanakan sekaligus alat untuk mengambil keputusan. Dalam bidang ekonomi dan keuangan, indikator-indikator perekonomian disajikan dalam bentuk kuantitatif. Tentunya data kuantitatif yang disajikan tersebut merupakan alat untuk mengambil keputusan. Perkembangan model keputusan bisnis secara matematika juga berkembang cepat, sejalan dengan ketidakpastian yang dominan dalam mempengaruhi kinerja bisnis perusahaan. Sesuai dengan pergeseran kebutuhan manusia akan perhitungan dalam bisnis, serta untuk memahami hubungan mendasar informasi kuantitatif, mengukur


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xvi

potensi bisnis, dan proyeksi rencana bisnis, maka kajian bisnisnya tak lepas dari pembagian ilmu mengenai besaran, struktur, ruang, dan perubahan (aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Di samping empat pembagian dasar tersebut terdapat cabang matematika lain seperti: logika, teori himpuan, matematikan terapan, dan ketidakpastian (probabilitas). Disinilah permodelan dalam bisnis berkembang dan diterapkan dalam industri/bisnis keuangan dan jasa termasuk Industri Asuransi. Dalam bisnis asuransi penggunaan ilmu matematika sangat dibutuhkan dalam setiap tahap proses bisnisnya. Para hadirin yang kami hormati. Untuk lebih memahami keterkaitan mengenai bisnis asuransi dan matematika, saya akan ulas secara singkat dari sejarah asuransi itu sendiri, serta bagaimana dominasi matematika diterapkan dan berperan dalam proses bisnisnya. Perkembangan Industri Asuransi sendiri juga tak lepas dari sejarah yang cukup tua dan panjang. Industri Asuransi yang merupakan bisnis yang berawal dari prinsip gotong-royong. Industri Asuransi bertujuan untuk melindungi nilai ekonomis sebuah aset dari risiko kerusakan atau kehilangan. Adapun jenis aset yang dilindungi meliputi aset yang dapat dilihat (tangible) seperti: rumah, mobil, tanah, ternak dan lainnya sedangkan aset yang tidak dapat dilihat (intangible) seperti: bakat atau keahlian seseorang, pengalaman dan lainnya. Awal sejarah perlindungan dimulai dengan pola gotong-royong. Sebuah komunitas yang terdiri dari banyak orang mengumpulkan iuran dimana dana yang terkumpul akan digunakan untuk membantu anggota dalam komunitas yang rumahnya terbakar. Apabila 1 orang anggota rumahnya terbakar, maka orang tersebut akan deiberikan 100% dana terkumpul. Namun pola ini menjadi terasa tidak adil dimata anggota komunitas apabila pada periode berikutnya terdapat 2 atau lebih rumah yang terbakar karena dana yang terkumpul akan dibagi rata kepada anggota-anggota yang rumahnya terbakar. Di sisi lain iuran yang dibebankan sama untuk setiap anggota. Artinya Jumlah santunan yang diberikan tergantung pada berapa jumlah rumah yang terbakar. Makin banyak rumah yang terbakar makin kecil besar santunannya. Jadi model gotong royong ini relatif belum adil. Dari sini mulai tampak adanya kebutuhan akan suatu alat yang bisa memecahkan masalah yang muncul pada metode gotong royong tersebut. Alat yang bisa memprediksi jumlah anggota yang mengalami musibah kebakaran dalam suatu periode di masa depan. Sehingga dengannya, pembagian uang penggantian kebakaran menjadi adil untuk tiap-tiap anggota yang tertimpa musibah. Perkembangan selanjutnya mengungkapkan bahwa kebutuhan akan alat ini ternyata dapat dijawab dengan baik oleh matematika, tepatnya ilmu probabilitas. Probabilitas menyediakan alat yang bernama mean atau rata-rata. Dari pengalaman-pengalaman yang ada selama itu, dicatatlah berapa orang anggota yang terkena musibah dalam suatu periode tertentu. Untuk lama periode yang sama, tentunya juga dapat dihitung berapa dana yang terkumpul dari iuran para anggota. Setelah diketahui berapa rata-rata kejadian per periode serta jumlah total dana yang tersedia, dapatlah kemudian


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xvii

mereka menghitung berapa seharusnya besar dana yang diberikan kepada anggota sebagai uang pengganti kebakaran. Dan terpecahkanlah masalah tadi. Itulah awal dari lahirnya konsep proteksi risiko serta sekaligus menandai keterlibatan ilmu matematika dalam industri tersebut. Selanjutnya, industri ini pada akhirnya dinamakan sebagai industri asuransi. Bisa dibayangkan tanpa ada ilmu probabilitas sebagai cabang matematika, tentu masalah tersebut tak pernah terpecahkan sampai saat ini. Para Hadirin yang saya hormati. Telah diceritakan secara singkat tentang sejarah asuransi secara ringkas dan bagaimana sejarah penerapan matematika menjadi awal dari sejarah asuransi. Lalu ada pertanyaan, sejauh mana kemudian perkembangan industri asuransi? Bagaimana peranan matematika di Industri asuransi saat ini? Untuk memberikan gambaran atas dua pertanyaan tersebut, mungkin dapat dijawab dengan menguraikan betapa disiplin ilmu aktuaria serta Ahli aktuaria (Aktuaris) sebagai cabang ilmu matematika dan Ahli yang menempati posisi central dari bisnis asuransi. Namun saya tidak akan uraiakan karena menurut saya hal tersebut sudah banyak kita ketahui. Pada kesempatan ini, saya akan menguraikan keindahan matematika dalam aplikasinya dari sisi proses bisnis di perusahaan asuransi. Terdapat banyak sektor yang terlibat dalam proses bisnis di asuransi jiwa, akan tetapi saya akan uraikan dari sektor Pemasaran, Underwriting, dan Aktuaria dikarenakan tiga sektor tersebut adalah yang utama dalam alur new business process. Keindahan Matematika di Sektor Pemasaran. Kebanyakan orang berpendapat bahwa seorang ahli matematika kurang diperlukan atau kurang cocok dalam kegiatan operasional pemasaran. Namun pendapat tersebut tidak berlaku di bisnis asuransi. Dengan perkembangan pasar, regulasi dan persaingan mengharuskan perusahaan asuransi dapat melakukan penyesuaian dan perhitungan mengenai harga dan produk yang cocok untuk para customernya secara cepat dan terkadang dilakukan di tempat. Begitu juga dalam perencanaan pemasaran yang antara lain meliputi proses segmentasi, targeting, dan strategi pemasaran, membutuhkan perhitungan-perhitungan yang harus mengacu pada peningkatan bisnis yang menselaraskan antara produksi dan biaya. Kontribusi Ilmu Statistika sebagai cabang Matematika sangat diperlukan dalam analisis pada setiap proses tersebut. Metode yang sederhana seperti deskripsi statistik sampai pemodelan yang bersifat deterministik dan stokhastik memberikan kontribusi dalam memberikan informasi untuk pengambilan keputusan termasuk proyeksi atas dampak atau pengaruh yang bakal terjadi. Proses segmentasi Beberapa literatur yang mendefinisikan secara tersendiri mengenai arti dari segmentasi pasar, namun demikian semuanya tetap menekankan pada suatu proses atau kegiatan membagibagi pasar/market yang bersifat heterogen kedalam segmen-segmen pasar


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xviii

yang bersifat homogen dimana perusahaan akan memilih satu atau lebih segmen yang cocok sebagai target. Banyak perusahaan yang melakukan segmentasi pasar atas dasar pengelompokkan variabel tertentu. Biasanya tahapan pertama dari proses segmentasi adalah identifikasi segmen. Seorang Analisis memiliki banyak kriteria pemilihan dalam men-set karakteristik pasar dan pilihan variabel-variabel yang digunakan. Hasil dari proses segmentasi adalah penetapan kelompok segmen yang homogen dan heterogen dibandingkan kelompok segmen-segmen lainnya. Di samping itu perusahaan memiliki kemampuan dalam menjangkau segmen hingga memberikan nilai bagi segmen tersebut maupun perusahaan. Dengan kata lain Dengan menggolongkan atau mensegmentasikan pasar seperti itu, dapat dikatakan bahwa secara umum perusahaan mempunyai motivasi untuk mempertahankan dan meningkatkan tingkat penjualan. Tujuannya adalah agar operasi perusahaan dalam jangka panjang dapat berkelanjutan dan kompetitif. Teknik-teknik Segmentasi Setelah variabel-variabel yang diduga dipilih dan data-data terkumpul maka dilakukan identifikasi segmen melalui proses statistik. Teknik segmentasi yang digunakan tergantung pada seberapa besar data (metric atau non metric variable), jenis dependensi atau interdependensi yang diamati. Beberapa Teknik Segmentasi melalui proses statistik yang umum digunakan adalah factor analysis, cluster analysis, discriminant analysis, multiple regression. Dalam perkembangannya, discriminant analysis mulai kurang digunakan karena meningkatnya tingkat kritik atas kondisi empiris. Metode baru yang meningkat penggunaannya adalah chi-square automatic detection (CHAID), Logit dan Log Linear Modeling. CHAID misalnya menggunakan chi-square analysis tidak mengharuskan ordinal atau nominal data ke dalam variabel-variabel kontinu. Analisis melalui CHAID tidak hanya membantu dalam proses segmentasi tetapi juga melakukan estimasi atas rangking berdasarkan profitabilitas dan beberapa pengukuran lainnya. Dengan dinamika perubahan yang terjadi di pasar, Proses Segmentasi adalah proses relatif kompleks dan cenderung tetap memberikan penyimpangan. Untuk mengurangi penyimpangan tersebut, proses validasi dan keterpaduan data harus dilakukan baik pada tahapan proses segmentasi maupun hasilnya. Ulasan seputar proses segmentasi ini, jelas memposisikan betapa keberadaan ilmu statistika sebagai cabang matematika berperan strategis dalam bisnis. Evaluasi Segmen Tahap berikutnya dari proses segmentasi adalah evaluasi segmen. Hal yang pertama diperlukan adalah penetapan jenis kriteria yang digunakan dalam evaluasi. Dalam bisnis, biasanya hanya satu ukuran yaitu tingkat profitabilitas. Segmen Pasar dapat diranking menggunakan model tree analysis atau gains charts. Pendekatan lain dalam evaluasi segmen pasar adalah melalui spatial model dimana persamaan dan perbedaan dipetakan. Representasi ini digunakan untuk melihat


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xix

hubungan antara estimasi demand dan forcasting model dengan tujuan menentukan alternatif positioning yang cocok untuk produk. Analisis ini juga dapat dikembangkan menggunakan chi-square tree analysis dan analisis korespondensi untuk memberikan kita pemetaan yang dinamakan compositional perceptual mapping yang sangat vital dalam memahami posisi produk dari sisi customer. Targeting Berdasarkan analisis dan pengukuran pada proses segmentasi, maka perusahaan harus membuat strategi tertentu disesuaikan dengan karakteristik segmen-segmen yang dipilih. Targeting juga memperhitungkan seberapa potensial segmen yang dipilih dan kekuatan resource perusahaan dalam menjalankan strategi untuk menjangkau dan memenangkan persaingan. Di sini peran pemetaan secara kuantitatif mengenai karakteritik potensi bisnis pasar dan kekuatan pesaing dapat diukur sehingga tingkat risiko keberhasilan juga dapat diperkirakan. Formulasi nilai ekpektasi, pemodelan multiple regression bisa digunakan untuk mengukur potensi bisnis dari target. Positioning Banyak Ahli dalam business strategy sependapat bahwa setelah ditetapkan proses segmentasi dan targeting, perusahaan harus mengembangkan positioning objectives. Positioning memang benar harus dikaji karena merupakan bagian tak terpisahkan dalam penetapan Marketing Mix secara rinci. Positioning bukanlah apa yang dilakukan customer terhadap produk, tetapi adalah apa yang dipersepsikan customer. Hal ini penting untuk dalam penetapan strategi komunikasi yang efektif kepada customer atau target audience. Efektifitas komunikasi dapat diukur dengan menggunakan metode brand perceptual mapping. Melalui brand perceptual mapping kita bisa mengetahui apakah pesan perusahaan terhadap produk sama dengan yang ditangkap benak audience. Deskripsi statistik sederhana dan uji statistik dapat dilakukan untuk mengetahui perbedaan persepsi yang terjadi. Strategi Marketing Mix Strategi Marketing Mix merupakan langkah berikut setelah penetapan segmentasi, targeting dan positioning. Intinya strategi ini adalah bagaimana memaksimalkan resources yang mencapai sasaran bisnis bagi perusahaan dan kompetitif dalam jangka panjang. Sasaran bisnis tentunya berkorelasi erat dengan peningkatan kinerja penjualan. Dalam sektor peningkatan penjualan di perusahaan asuransi. Agen Asurannsi adalah faktor paling dominan terhadap keberhasilan penjualan. Program bonus kepada agen yang mencapai targetnya merupakan salah satu alat untuk memotivasi Agen dalam meningkatkan kinerjanya. Keterbatasan alokasi biaya untuk bonus penjualan dalam struktur biaya produk dapat kemas menjadi lebih menarik dengan memperhitungan probabilitas tingkat keberhasilan Agen mencapai target. Metode perhitungan nilai ekspektasi yang memperhatikan berapa biaya bonus serta probabilitas pencapaian target merupakan model sederhana dalam perancangan program bonus. Pada prakteknya keberhasilan pencapaian sasaran tidak bisa semata bertumpu pada satu program. Strategi Diferensiasi merupakan strategi yang paling banyak terbukti sukses dalam persaingan bisnis. Diferensiasi di sini tidak semata dalam konteks pemasaran saja


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xx

tetapi juga keseluruhan organisasi dan proses bisnis perusahaan meliputi struktur, sistem, sumber daya manusia, dan budayanya. Dalam hal ini peran Ahli Matematika diperlukan dalam mengkomunikasikan hasil analisisnya secara tepat kepada manajemen atau eksekutif di perusahaan dalam pengambilan keputusan. Penggunaan metode statistik dalam setiap proses harus dapat di intepretasikan menjadi informasi yang berguna dan mudah dimengerti. Terkait dengan jenis proses segmentasi, targeting dan positioning, dalam prakteknya metode yang dipilih tentunya tergantung pada kebutuhan keputusan dilihat dari sisi kecepatan dan jangka waktu, dan kecepatan perubahan pasar, tingkat kompleksitas permasalahan yang dihadapi. Tidak mesti, metode yang sederhana semata untuk kebutuhan kecepatan pengambilan keputusan atau sebaliknya pemodelan yang rumit tidak mesti diperlukan untuk keputusan permasalahan yang kompleks. Semua faktor harus diperhatikan untuk menghasilkan keputusan yang tepat dan strategis hal ini karena karakteristik dari pemasaran adalah kondisi pasar yang cepat berubah dalam jangka pendek, di sisi lain keputusan yang pilih perusahaan dalam periode tertentu pengaruhnya tetap terasa dalam jangka panjang. Keindahan Matematika di Sektor Underwriting Proses bisnis underwriting lanjutan proses dari hasil aktivitas pemasaran. Underwriting merupakan proses yang terkait langsung dengan core business dari perusahaan asuransi yaitu risiko. Proses ini memerlukan akurasi dalam mengukur tingkat risiko, dan kemampuan prima menterjemahkan data menjadi model dan informasi yang bermanfaat. Semua proses ini membutuhkan Penerapan Matematika agar proses pelayanan menjadi cepat dan akurat. Tentunya untuk lebih meningkatkan kemampuan dalam melakukan tugas sebagai underwriting perlu pembelajaran, pengetahuan dan wawasan mengenai faktor-faktor yang menjadi ukuran suatu risiko. Dalam underwriting merupakan salah satu contoh bagaimana kompleksitas permasalahan secara kualitatif dapat dibantu pemodelan yang sangat sederhana dari matematika. Bagaimana keterkaitan penerapan matematika dengan fungsi kerja underwriting, saya menguraikan sekilas mengenai underwriting. Proses mengidentifikasikan dan mengelompokkan tingkat risiko yang dimiliki oleh seorang calon tertanggung disebut underwriting atau selection of risks (seleksi risiko) dan karyawan perusahaan asuransi yang bertanggung jawab untuk mengevaluasi calon tertanggung disebut underwriters. Underwriting terdiri dari dua tahapan utama : (1) mengidentifikasi risiko yang dimiliki oleh seorang calon tertanggung dan (2) mengelompokkan tingkat risiko yang dimiliki oleh seorang calon tertanggung. Untuk mengelompokkan calon tertanggung, para underwriter menerapkan aturan umum mengenai seleksi risiko, yang disebut underwriting guidelines, yang dibuat oleh perusahaan asuransi. Dalam keputusan underwriting, faktor-faktor medis merupakan hal yang penting. Agar konsisten dalam mengevaluasi risiko yang diwakili oleh faktor-faktor medis, perusahaan asuransi bergantung pada informasi statistik yang dibuat selama kajian berskala besar mengenai gangguan kesehatan. Kajian tersebut umumnya membandingkan pengalaman


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxi

mortalitas relatif orang-orang yang memiliki gangguan kesehatan dengan pengalaman mortalitas relatif orang-orang yang tidak memiliki gangguan kesehatan dan mengungkapkan pola-pola mortalitas berdasarkan usia, jenis kelamin dan faktor-faktor lainnya. Kajian gangguan kesehatan tersebut memandu para aktuaris dalam menetapkan kelas-kelas risiko asuransi. Para underwriter menilai risiko medis yang dimiliki oleh seorang calon tertanggung dengan menggunakan numerical rating system, table rating method, flat extra premium method, atau beberapa kombinasi dari pendekatan-pendekatan tersebut. Metode-metode ini pada prinsipnya merupakan bentuk sederhana peran Matematika dalam memberikan model yang sangat praktis sehingga mentranformasi data-data kualitatif terkait dengan menjadi informasi kuantitatif yang amat sangat berguna untuk suatu keputusan. Dalam prakteknya efektifitas dari model yang dibentuk dalam proses underwriting ini ditinjau dalam bentuk evaluasi untuk mengukur apakah model masih relevan dengan kondisi empiris. Tentu banyak metode pengkajian dan pemodelan dalam ilmu statistika yang dapat digunakan untuk mengujinya. Keindahan Matematika di Sektor Aktuaria filosofi dari bisnis asuransi, yaitu bahwa asuransi memberikan solusi atas terjadinya satu atau beberapa risiko terhadap tertanggung atau aset, atau bisnis yang nantinya dikhawatirkan akan berpengaruh pada kondisi finansial tertanggung atau ahli waris tertanggung. Kemudian, muncullah beberapa pertanyaan, yaitu: Bagaimana menjawab kebutuhan tersebut ? Bagaimana kita mampu untuk melakukan proteksi risiko ini ? Alat-alat apa yang harus kita persiapkan ? Bagaimana menghitung kebutuhan dana untuk proteksi tersebut ? Pertanyaan-pertanyaan mendasar ini dengan sangat baik ternyata dapat dijawab, dimodelkan, dan dihitung dengan suatu disiplin ilmu yang luar biasa yang bernama Aktuaria sebagai cabang ilmu matematika. Time value of money. Mengulas tentang proteksi finansial, membuat kita mau tidak mau harus mengetahui nature dari pada uang itu sendiri. Hal ini dikarenakan klaim-klaim asuransi bukan terjadi di saat ditandatanganinya kontrak asuransi, tapi terjadi dalam sebulan ke depan, setahun ke depan, sepuluh tahun ke depan, atau suatu saat yang lain di masa depan. Sedangkan premi, dana yang dibutuhkan untuk mem-back up klaim-klaim di masa depan tersebut, diterima oleh perusahaan asuransi pada saat ini. Di industri keuangan, nilai uang berbeda-beda dari waktu ke waktu. Nilai uang yang saat ini kita miliki, mungkin akan menurun atau meningkat dalam sepuluh tahun ke depan. Uang sejumlah dua puluh juta rupiah bila akan dibelikan sebuah kendaraan, saat ini hanya cukup untuk membeli kendaraan roda dua. Akan tetapi, uang dengan jumlah yang sama, pada tahun 80-an bisa digunakan untuk membeli sebuah mobil baru. Perbedaan nilai uang tersebut diakibatkan oleh adanya faktor inflasi dan deflasi mata uang.


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxii

Selain itu, perbedaan nilai uang ini juga disebabkan oleh adanya suatu tingkat pengembangan atau tingkat investasi. Tuntutan agar besar premi bisa ditekan serendah-rendahnya sedangkan manfaat asuransi bisa dibuat setinggi-tingginya, mengharuskan perusahaan asuransi untuk juga memposisikan diri sebagai perusahaan pengembangan dana yang mencari celah-celah investasi jangka panjang yang menguntungkan. Perbedaan nilai uang, baik oleh adanya faktor inflasi, deflasi, dan pengembangan dana ini ditangani dengan cantik oleh matematika oleh formulasi sederhana future value : Fn = F0 ( 1+ i ) n

, di mana : F0 : nilai dana saat ini Fn : nilai dana n waktu ke depan i : inflasi, deflasi, atau tingkat pengembangan n : periode evaluasi dana

Sedangkan formulasi present value yang menyatakan kebutuhan dana untuk mendapatkan suatu suatu target nilai di masa depan dirumuskan oleh : F0 = Fn ( 1+ i ) n = Fn v n

, di mana F0 : present value Fn : target nilai dana n waktu ke depan v : tingkat diskonto, dimana v = ( 1+ i ) 1

Tidak hanya di Industri Asuransi, Formulasi matematika present value dan future value yang sederhana, saat ini penggunaannya berkembang dan sangat strategis bagi banyak perusahaan bisnis. Asumsi Tingkat Kematian, Tingkat Morbidita, dan Tingkat Kecelakaan. Oleh karena berurusan dengan risiko dan ketidakpastian di masa depan, tidak lalu membuat Industri Asuransi menjadi sebuah industri yang tidak mungkin untuk dikelola atau dijalankan. Pada dasarnya semua industri itu berisiko, tetapi karena adanya : - kebutuhan (demand) atas produk atau jasa yang disediakan oleh industri tersebut

dan adanya, - suatu landasan atau acuan pengelolaan, membuat suatu industri akan tetap eksis dan layak untuk dijalankan. Demikian juga dengan Industri Asuransi yang menyediakan jasa keuangan. Kebutuhan atau demand atas jasa asuransi semakin meningkat beberapa waktu terakhir ini seiring dengan semakin meningkatnya pemahaman masyarakat Indonesia atas kebutuhan asuransi (insurance minded). Lalu, bagaimana dengan pengelolaan risiko yang menjadi core business dari perusahaan asuransi ? Apa yang bisa dijadikan landasan bagi industri ini untuk mengelola risiko dari para pemegang polis / tertanggung, yang meliputi risiko kematian, risiko kecelakaan, risiko sakit, dan lain-lain ? Risiko memang mengindikasikan ketidakpastian di masa depan. Akan tetapi, matematika menyediakan banyak sekali alat untuk menganalisis serangkaian kejadian


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxiii

yang di masa depan sifatnya tidak pasti untuk kemudian darinya diambil suatu aturan dengan pola yang apik. Dalam hal ini matematika mempunyai suatu cabang keilmuan sendiri yang disebut dengan statistika. Masa depan memang penuh ketidakpastian sehingga tidak dapat diprediksi dengan tepat. Akan tetapi, masa lalu dapat dicatat dengan cermat dan mempunyai sifat yang pasti karena memang sudah terjadi. Dari pengalaman masa lalu, kita dapat mengambil suatu pelajaran. Dari kejadian-kejadian yang sudah terjadi, dengan menggunakan matematika kita dapat memperoleh suatu pola. Pengalaman-pengalaman dan pola-pola ini lebih jauh dapat diaplikasikan dan dijadikan landasan untuk memprediksi dan mengelola ketidakpastian di masa depan. Kita ambil contoh bagaimana perusahaan asuransi memprediksi dan mengelola risiko kematian dari sejumlah pemegang polis di portofolionya. Dari keseluruhan portofolio tertanggung yang dimilikinya, sejumlah tertanggung akan menemui kematian dalam suatu jangka waktu ke depan. Setiap klaim kematian akan membutuhkan sejumlah dana sebagai manfaat kematian para tertanggung tersebut. Berapa jumlah kematian yang terjadi dalam suatu jangka waktu di masa depan ? Lebih jauh lagi, berapa jumlah dana yang harus disiapkan ? Untuk menjawab berbagai pertanyaan ini, pengalaman masa lalu atas jumlah kematian tertanggung bisa dijadikan landasan. Dari pengalaman masa lalu, bisa diambil suatu pola tentang jumlah kematian sejumlah tertanggung dari berbagai macam kelompok usia dalam suatu jangka waktu tertentu, sebut saja n tahun. Melalui pengalaman ini, disusunlah sejumlah acuan untuk perhitungan klaim kematian yang biasa disebut sebagai tabel mortalita. Beberapa contoh tabel mortalita :

Tabel Mortalita Indonesia ( TMI I dan TMI II ) CSO ( Commissioners Standard Ordinary ) GBM ( Gehele Bevolking Mannen ) GAM ( Group Annuity Mortality )

Tabel ini menyajikan perubahan jumlah populasi penduduk berbagai kelompok usia. Kelompok usia ini biasa disimbolkan sebagai x. Tinjauan usia pada umumnya dimulai dengan x = 0 tahun hingga x = , di mana didefinisikan sebagai usia di mana orang sudah tidak mungkin hidup lagi. Dari tabel, bisa dilihat jumlah populasi penduduk untuk suatu kelompok usia x, disimbolkan lx . Berdasarkan nilai lx dapat dihitung probabilita kematian dari suatu kelompok usia x untuk satu tahun ke depan, disimbolkan qx , di mana

1x xx

x

l lql

+= ; 0 < qx < 1 Selanjutnya, secara umum, bisa dihitung probabilita kematian dari suatu kelompok usia x untuk n tahun ke depan, disimbolkan nqx , di mana

x x nn x

x

l lql

+= ; 0 < nqx < 1 Nilai-nilai probabilita kematian ini dapat dijadikan pendekatan yang cukup baik atas terjadinya klaim kematian 1 atau n tahun ke depan. Selanjutnya, berdasarkan formulasi tersebut, perusahaan asuransi sudah bisa memperkirakan sejumlah hal penting dari sekelompok portofolio pemegang polis yang dimilikinya, yaitu:


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxiv

Jumlah klaim kematian 1 atau n tahun ke depan, Besar nominal klaim-klaim kematian, Perkiraan besar premi yang harus dibayarkan pemegang polis, dan Kebutuhan dana guna memenuhi klaim asuransi di masa depan (Cadangan

Premi) Pembentukan premi Baiklah, saat ini mari kita lihat satu hal penting dalam Industri Asuransi, yaitu menentukan besar harga dari suatu produk asuransi atau biasa disebut sebagai premi / premium. Hal ini menjadi penting karena menjadi salah satu faktor besar yang mempengaruhi kesehatan sebuah perusahaan asuransi. Dalam polis, perusahaan asuransi menjanjikan pembayaran sejumlah manfaat asuransi kepada pemegang polis atas terjadinya suatu risiko. Menjadi suatu hal yang penting bila premi yang dibayarkan para pemegang polis akan bisa menutupi klaim-klaim atas manfaat asuransi di masa depan untuk mereka. Dengan satu kalimat sederhana bisa diringkas : harga sesuai dengan barang. Tarif premi tidak boleh terlalu tinggi atau terlalu rendah. Bila premi terlalu tinggi, hal itu akan menyebabkan premi tidak kompetitif di pasaran hingga sulit bersaing dengan kompetitor. Bila premi terlalu rendah, konsekuensinya adalah dana yang masuk ke perusahaan tidak sebanding dengan biaya dan manfaat asuransi yang akan dibayarkan pada pemegang polis. Lebih jauh hal ini akan membuat perusahaan menjadi tidak sehat secara finansial atau insolvent. Prinsip pembentukan premi : Adequate, premi harus menghasilkan cukup dana untuk membayar klaim asuransi

yang mungkin terjadi Note Cessive, tarif tidak berlebihan hingga menjadi terlalu mahal Equity, bila besar risikonya sama, maka tarif harus sama Flexible, tarif harus disesuaikan dengan keadaan

Premi harus mampu menutupi : Pembayaran manfaat asuransi di masa depan atas terjadinya risiko Biaya-biaya terkait dengan proses penutupan, pemeliharaan, dan klaim polis.

Pembentukan premi dapat diformulasikan dengan cukup baik dengan bantuan matematika. Pada prinsipnya, premi adalah present value dari segala kewajiban perusahaan di masa depan, meliputi manfaat asuransi untuk pemegang polis dan biaya-biaya operasional perusahaan. Nilai-nilai yang terjadi di masa depan itu ditunaikan ke titik waktu saat ini dengan memperhatikan time value of money, tingkat pengembangan dana, peluang kematian, dan peluang sakit. Sebagai contoh, pada pembentukan premi sebuah produk dengan manfaat asuransi berupa pembayaran sejumlah Uang Asuransi bila tertanggung berusia x meninggal dalam satu tahun ke depan. Produk ini merupakan salah satu produk dasar asuransi yang dikenal sebagai term insurance dengan jangka waktu / termin 1 tahun saja. Formulasi sederhana bagi premi produk ini adalah : Premi One Year Term Insurance = Uang Asuransi . qx . v + Biaya Formulasi di atas merupakan formulasi sederhana yang menggunakan pendekatan discrete. Diasumsikan, setiap pembayaran klaim asuransi dilakukan di akhir tahun sedangkan seluruh biaya operasional dikeluarkan di awal tahun.


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxv

Formulasi ini dapat dijabarkan sebagai berikut : Dana yang harus disiapkan oleh perusahaan asuransi dengan memperhitungkan peluang kematian orang berusia x adalah sebesar : Uang Asuransi . qx Bila di akhir termin, dari sekumpulan besar pemegang polis tiap-tiap orang membayarkan dana sejumlah itu, maka akan dapat dikumpulkan sejumlah besar dana. Total dana yang terkumpul akan cukup untuk membayarkan klaim asuransi kepada siapapun tertanggung yang meninggal dalam kelompok tersebut sebesar Uang Asuransi di akhir termin satu tahun. Oleh karena dana tersebut terkumpul di akhir tahun, sementara premi harus dibayarkan di awal tahun, maka harus dihitung present value dari dana tersebut di awal tahun. Sehingga, dana yang dibutuhkan di awal tahun menjadi Uang Asuransi . qx . v Dana ini dinamakan dengan nett premium yang cukup untuk menutupi klaim asuransi sebesar Uang Asuranasi. Selanjutnya, dengan mengambil asumsi bahwa seluruh biaya operasional perusahaan yang terkait dengan polis tersebut dikeluarkan di awal tahun, maka pada nett premium di atas ditambahkan suatu loading biaya. Sehingga Premi untuk One Year Term Insurance tersebut menjadi Premi One Year Term Insurance = Uang Asuransi . qx . v + Biaya Dalam praktek pembentukan premi di Industri Asuransi Indonesia, terdapat beberapa penyederhanaan asumsi-asumsi yang digunakan. Penyederhanaan ini seringkali memang dirasa tidak sesuai dengan realita. Sebagai contoh : 1. Semua klaim asuransi diasumsikan dibayarkan di akhir tahun kematian, pada

kenyataannya klaim asuransi dibayarkan kapanpun terjadi kematian dari tertanggung.

2. Tingkat bunga diasumsikan konstan sepanjang termin n tahun, sedangkan pada kenyataannya invesment return tidaklah konstan dan berubah dari waktu ke waktu.

dan beberapa asumsi lain. Adanya ketidaksesuaian tersebut, memang perlu banyak pembenahan yang harus dilakukan terutama dalam konsep pendekatan yang selama ini dilakukan secara discrete, tampaknya harus mulai dilakukan secara continue atau stochastic. Dengan pendekatan yang baru tersebut, pemodelan untuk pembentukan premi, cash value, dan lain-lain bisa menjadi lebih realistis. Dengan pendekatan continu dan stochastic nantinya, sebagai contoh, pemodelan premi dan cash value bisa mendanai asuransi di masa depan di mana :

1. Pembayaran klaim kematian dilakukan sesaat setelah terjadinya kematian tertanggung,

2. Dana dari premi dikembangkan dengan asumsi tingkat bunga yang tidak konstan dan bergerak sesuai pola pergerakan tingkat bunga yang terjadi di masa lalu

3. Asumsi biaya bisa mengalami penyesuaian sepanjang periode asuransi mengikuti suatu index atau tingkat inflasi, dan lain-lain.


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxvi

Dengan adanya penyesuaian pendekatan ini, diharapkan pemodelan menjadi lebih realistis dan menghindari kemungkinan adanya loss akibat asumsi pendekatan discrete. Dynamic Solvency Testing (DST) Selanjutnya, marilah kita melihat bagaimana matematika diaplikasikan dalam praktek tata kelola perusahaan yang baik. Industri asuransi merupakan salah satu industri yang mengharuskan penghimpunan suatu dana yang sangat besar dari masyarakat, yaitu penghimpunan dana premi dari pemegang polis. Hal ini sangat terkait dengan prinsip yang harus dipegang oleh perusahaan asuransi, yaitu the law of the large number. Untuk menjaga kestabilan segala asumsi risiko yang digunakan oleh perusahaan, diperlukan suatu angka jumlah pemegang polis yang sangat besar. Hal ini karena dari suatu kumpulan kecil pemegang polis, segala asumsi risiko kematian, cacat, sakit, dan lain-lain menjadi tidak dapat diprediksi dengan memuaskan hingga tidak dapat dijadikan acuan. Mengingat besarnya jumlah dana yang dihimpun serta banyaknya jumlah tertanggung yang menjadi tanggung jawab perusahaan asuransi, maka diperlukan suatu kehati-hatian extra dalam mengelola dana dan risiko (exposure) dari para tertanggung. Lebih jauh tentunya ini menuntut perusahaan asuransi untuk mengembangkan suatu alat canggih yang mampu menyediakan serangkaian rambu-rambu dan menjadi early warning system yang memandu perusahaan dalam menjalani setiap langkahnya. Sekali lagi, kebutuhan akan alat canggih ini ternyata mampu dijawab oleh matematika. Alat ini bernama Dynamic Solvency Testing atau biasa disebut sebagai DST. Saat ini DST memang belumlah diaplikasikan di Indonesia dan baru berupa wacana, akan tetapi sudah cukup marak diterapkan di negara-negara yang sudah mempunyai industri asuransi yang maju. DST pada umumnya digunakan sebagai alat untuk menguji dampak dari satu paket kebijakan manajemen. Sebelum suatu paket kebijakan perusahaan diterapkan, kebijakan-kebijakan tersebut dapat diuji terlebih dahulu dengan menggunakan DST. Dynamic Solvency Testing mampu memberikan analisis dan gambaran atas dampak dari kebijakan tersebut terhadap kondisi kesehatan finansial perusahaan di masa depan. DST memberikan analisis terhadap kondisi di masa depan dengan membuat banyak simulasi kejadian, atau biasa disebut dengan skenario. Skenario-skenario ini memberikan gambaran kejadian yang mungkin terjadi di masa depan. Simulasi dapat dilakukan sepanjang lima, sepuluh, atau bahkan dua puluh tahun ke depan. Agar hasil analisisnya memadai, diperlukan banyak sekali skenario. Jumlah skenario yang diperlukan untuk suatu analisis DST bisa mencapai ribuan buah skenario. Skenario-skenario kejadian ini dapat di-generate dengan menggunakan model-model statistik discrete, continue, ataupun stochastic. Model yang sangat umum diaplikasikan adalah Simulasi Monte Carlo. Metode Monte Carlo sendiri secara umum adalah sebuah teknik yang melibatkan penggunaan bilangan acak dan probabilitas untuk memecahkan suatu permasalahan. Karena melibatkan proyeksi di masa depan dan karena kompleksitas permasalahan yang akan ditinjau, maka DST melibatkan banyak cabang keilmuan matematika terutama


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxvii

probabilita, statistik, modelling, dan bahkan programming / komputasi. Analisis dengan menggunakan DST merupakan analisis yang sangat kompleks. Sehingga, agar didapat suatu hasil analisis yang memuaskan, sebuah program komputer berskala besar dan kompleks harus dibuat untuk itu. Berikut ini akan digambarkan proses DST Analysis. Pertama-tama, hal yang paling penting dalam DST adalah bagaimana kita membuat suatu model yang baik dan comprehensive atas kondisi internal perusahaan, disebut faktor internal, serta kondisi linkungan di luar perusahaan, disebut faktor eksternal. Faktor internal dan faktor eksternal ini adalah semua faktor yang melingkupi perusahaan yang diperkirakan akan bisa mempengaruhi kesehatan finansial perusahaan. Faktor-faktor ini harus didefinisikan dengan baik dan cermat. Faktor internal perusahaan antara lain meliputi :

1. Kepegawaian : jumlah karyawan, sebaran usia, dan struktur gaji, 2. Keuangan : biaya produksi, biaya over head, dan biaya administrasi

pemeliharaan, 3. Investasi : struktur aset dan asumsi tingkat investasi, 4. Pertanggungan / teknik : underwriting, pembuatan produk baru, asumsi tingkat

bunga aktuaria, tingkat mortalita, tingkat lapse, tingkat morbidita, dan asumsi biaya,

5. Pemasaran : target premi new business, jumlah agen, pola remunerasi agen, jumlah branch office, dan lain-lain.

Faktor eksternal perusahaan antara lain meliputi :

1. Ekonomi : inflasi, tingkat investasi, kurs, dan GDP, 2. Klaim : catastrophic losses, 3. Investasi : harga instrumen investasi, peraturan perbankan dan keuangan, 4. Bisnis : reinsurrance cycle dan operational risk, dan lain-lain.

Selanjutnya kita definisikan suatu parameter yang nantinya digunakan sebagai acuan bagi penilaian kesehatan finansial perusahaan. Parameter yang bisa digunakan antara lain adalah : Risk Based Capital ( RBC ) dan jumlah laba perusahaan. Manajemen menentukan target RBC dan jumlah laba satu, lima, sepuluh, atau beberapa tahun ke depan sesuai dengan rencana jangka panjang perusahaan. Setelah menetapkan model internal dan eksternal perusahaan serta parameter kesehatan finansial perusahaan, barulah kita menginjak pada tahap penetapan kebijakan perusahaan. Kebijakan perusahaan ini adalah segala perubahan, penambahan, atau pengurangan yang direncanakan akan diterapkan pada perusahaan di masa depan. Berbagai parameter kesehatan perusahaan di masa depan akan berubah bila kebijakan ini diaplikasikan pada perusahaan. DST dimaksudkan untuk melakukan pengujian apakah kebijakan tersebut memberikan dampak positif atau negatif pada parameter kesehatan perusahaan.


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxviii

Kebijakan perusahaan mungkin meliputi beberapa bidang sekaligus yang terkait dengan faktor internal perusahaan seperti yang telah disebutkan sebelumnya. Satu paket kebijakan masa depan yang akan diuji mungkin meliputi kebijakan di sektor kepegawaian, keuangan, investasi, pertanggungan, dan pemasaran. Misalnya satu paket kebijakan yang meliputi jumlah karyawan, struktur biaya over head, struktur aset investasi, asumsi tingkat bunga aktuaria, dan jumlah branch office di masa depan. Pemodelan faktor internal dan eksternal perusahaan. Pemodelan faktor internal dan faktor eksternal perusahaan menduduki tempat yang sangat penting. Hal ini karena nantinya kebijakan perusahaan akan diuji terhadap model ini. Hasil analisis DST sangat tergantung dari seberapa tepat dan seberapa lengkap pemodelan faktor internal dan eksternal ini. Setelah mengkaji berbagai faktor internal dan faktor eksternal perusahaan, dibuatlah suatu model yang meliputi faktor-faktor tersebut. Model yang dibuat, nantinya adalah merupakan penterjemahan kondisi internal dan eksternal perusahaan yang sesungguhnya ke dalam bahasa matematika dan bahasa pemrograman. Model ini bisa disimbolkan sebagai sebuah fungsi f(x), di mana f(x) = fINT(x) + fEKS(x) , di mana

fINT(x) = model internal perusahaan fEKS(x) = model eksternal perusahaan x = kebijakan perusahaan

Variabel x yang menjadi input bagi model adalah paket kebijakan perusahaan. Fungsi f(x) memetakan x kepada suatu nilai yang menggambarkan kondisi kesehatan perusahaan misalnya RBC dan laba. Artinya, dengan model tersebut, pengaruh dari suatu paket kebijakan x terhadap kesehatan keuangan perusahaan di masa depan dapat dihitung. Scenario Generator Selanjutnya kita masuk ke tahap pembuatan skenario-skenario kejadian masa depan. Pada bagian ini kita lihat bagaimana perubahan faktor-faktor eksternal perusahaan bisa disimulasikan atau dibuat skenarionya. Sebagai scenario generator, pada umumnya digunakan Simulasi Monte Carlo. Dengan metode simulasi ini dapat dibuat banyak sekali skenario kejadian di masa depan. Mengapa diperlukan sejumlah besar skenario untuk bisa memproyeksikan masa depan ? Katakanlah kita tinjau satu faktor eksternal perusahaan misalnya tingkat bunga deposito. Tingkat bunga deposito hari ini dengan mudah bisa dihitung karena sudah tersedia data-datanya. Akan tetapi, di masa depan tingkat bunga deposito akan terus berubah. Bisa menjadi lebih rendah atau menjadi lebih tinggi. Bila ditelaah, akan terdapat tak hingga banyak kemungkinan kejadian masa depan untuk pergerakan tingkat bunga deposito. Memang tidak mungkin untuk membuat semua kemungkinan kejadian masa depan. Sebagai pendekatan, maka ribuan skenario harus di-generate dalam rangka merepresentasikan sebagian kemungkinan kejadian tersebut. Kembali kepada contoh di atas. Untuk dapat memproyeksikan pergerakan tingkat bunga deposito, terlebih dahulu kita harus melakukan riset tentang pergerakan tingkat bunga di masa lalu. Berdasarkan riset ini bisa didapat beberapa statistik seperti mean, volatility, dan drift dari pergerakan tingkat bunga deposito.


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxix

Tingkat bunga deposito bisa diasumsikan memenuhi Geometric Brownian Motion atau GBM. GBM secara luas sudah dipakai dalam penentuan pergerakan harga instrumen investasi. Dengan model GBM ini, kita bisa membuat model perubahan tingkat bunga deposito. Selanjutnya kita bisa menggunakan Linier Congruential Generators dan Invers Transformation Method untuk men-generate sejumlah variabel acak berdistribusi Normal (0,1) sebagai input bagi model GBM untuk membuat simulasi perubahan tingkat bunga deposito. Dengan men-generate ribuan set variabel acak berdistribusi Normal (0,1) akan bisa dihasilkan ribuan skenario pergerakan tingkat bunga deposito sepanjang suatu periode proyeksi. Lamanya periode proyeksi bisa dibuat sesuai kebutuhan. Akan tetapi, sebagai catatan : semakin panjang periode proyeksi maka hasil proyeksi cenderung menjadi semakin bias. Diperlukan metode-metode statistika tertentu untuk menjaga konvergensi dari skenario yang dihasilkan. Demikian tadi gambaran bagaimana Simulasi Monte Carlo digunakan sebagai scenario generator untuk menghasilkan ribuan skenario pergerakan tingkat bunga deposito di masa depan. Metode yang sama juga bisa digunakan untuk menghasilkan ribuan skenario pergerakan faktor eksternal perusahaan yang lain. Simulasi Monte Carlo bisa digunakan untuk membuat skenario :

1. Rate of return dari instrumen investasi lain, 2. Tingkat inflasi dari waktu ke waktu, 3. Demografi penduduk, 4. GDP, dan lain-lain.

Pengujian kebijakan perusahaan Selanjutnya kita lihat bagaimana proses pengujian kebijakan perusahaan dan dampaknya pada kesehatan keuangan perusahaan di masa depan. Bila faktor eksternal perusahaan adalah faktor yang diasumsikan tidak dapat dikendalikan oleh perusahaan dan karenanya faktor tersebut harus diproyeksikan dengan menggunakan model GBM, maka faktor internal adalah faktor yang masih dapat dikendalikan oleh perusahaan. Manajemen bisa memutuskan berapa jumlah karyawan pada suatu saat tertentu di masa depan, struktur biaya over head, struktur aset, pricing, jumlah agen, pola remunerasi, jumlah branch office, dan lain-lain. Satu set kebijakan perusahaan yang meliputi satu atau beberapa faktor internal di atas bisa diprediksi pengaruhnya bagi perusahaan di masa depan. Kita kembali ke fungsi f(x) = fINT(x)+ fEKS(x) dengan f(x) memetakan x, yaitu kebijakan perusahaan, ke suatu prediksi nilai kesehatan perusahaan, misalnya RBC atau laba. Fungsi f(x) adalah model Simulasi Monte Carlo yang sudah melibatkan segala faktor internal dan proyeksi faktor eksternal dengan menggunakan Geometric Brownian Motion di atas. Misalkan kita akan menguji satu kebijakan perusahaan tentang repricing sejumlah produk yang dijual. Kebijakan repricing biasanya dilakukan apabila produk-produk yang sedang dijual ternyata menimbulkan kerugian bagi perusahaan, misalnya karena adanya selisih tingkat bunga yang dijanjikan pada pemegang polis terhadap tingkat investasi yang sesungguhnya diperoleh perusahaan atau disebut sebagai negative spread. Produk-produk yang merugi dihentikan penjualannya dan diganti dengan produk yang menawarkan manfaat asuransi sejenis tetapi dengan garansi tingkat bunga yang lebih rendah pada pemegang polis.


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxx

Karena adanya kebijakan ini, fungsi fINT(x), biasanya disebut company model, harus dilakukan perubahan pada beberapa poin, yaitu :

1. Produk-produk yang merugi harus dihentikan penjualannya, sehingga perusahaan tidak lagi memperoleh premi new business dari produk-produk itu.

2. Menambahkan produk-produk baru hasil repricing yang mempunyai manfaat asuransi yang sama tapi dengan tarif premi dan cash value yang berbeda dibandingkan dengan produk sebelumnya.

Jadi, kebijakan repricing tersebut akan merubah company model. Perlu diingat bahwa fungsi fINT(x) atau company model ini adalah model matematika yang sudah diterjemahkan dalam bahasa pemrograman komputer. Akibat perubahan ini tentunya akan menimbulkan dampak antara lain pada :

1. Besar perolehan premi produk lama, karena adanya produk-produk yang dihentikan penjualannya, akan tetapi juga ada pemasukan premi dari penjualan produk baru hasil repricing. Perubahan ini harus dimodelkan dengan baik pada fungsi fINT(x),

2. Pembentukan cash value, hal ini karena produk lama dan produk baru mempunyai tarif cash value yang berbeda. Produk lama yang sebelumnya menjanjikan cash value yang lebih tinggi dan diganti oleh produk baru yang menjanjikan cash value lebih rendah. Hal ini tentunya berpengaruh pada besar pencadangan kewajiban pada pemegang polis di masa depan.

Bagaimana dengan faktor eksternal ? Faktor eksternal sudah ditangani oleh fungsi fEKS(x) dengan menggunakan model GBM. Seperti telah disebutkan sebelumnya bahwa dengan model GBM, bisa di-generate skenario pergerakan nilai faktor eksternal di masa depan. Selanjutnya, perubahan pada fINT(x), yang menimbulkan suatu dampak ke depan, serta faktor-faktor eksternal bisa disimulasikan secara paralel. Interaksi antara faktor-faktor internal dan eksternal juga harus dimodelkan. Secara langsung atau tidak langsung, faktor eksternal tentu akan berpengaruh pada faktor internal. Model Dynamic Solvency Testing yang baik harus memperhitungkan pengaruh ini. Bisa diambil contoh misalnya tingkat inflasi yang memberikan pengaruh pada biaya over head perusahaan. Kenaikan harga barang berpengaruh pada keharusan untuk menaikkan gaji karyawan dan biaya pemeliharaan kantor-kantor. Jadi, sudah bisa kita lihat bahwa kebijakan perusahaan memberikan dampak pada beberapa faktor internal, bagaimana pergerakan nilai faktor-faktor eksternal telah disimulasikan, serta dampaknya pada faktor internal perusahaan. Lebih jauh, akibat adanya semua perubahan tersebut kita dapat menghitung bagaimana pengaruhnya pada RBC dan laba perusahaan. Perlu diingat bahwa faktor-faktor eksternal, yang disimulasikan dengan menggunakan GBM, secara paralel diproyeksikan ke depan dan digambarkan sebagai sejumlah besar skenario. Satu skenario pergerakan faktor eksternal akan memberikan suatu dampak pada perubahan nilai faktor-faktor internal. Pada akhirnya, di ujung periode proyeksi, akan didapat suatu nilai RBC atau laba perusahaan. Bila faktor-faktor eksternal tersebut di-generate hingga ribuan skenario, maka akan diperoleh pula ribuan prakiraan dampak kebijakan pada nilai RBC atau laba perusahaan. Ribuan nilai RBC atau laba perusahaan bisa ditinjau per sub periode, misalkan tiap-tiap sub periode tahunan atau semesteran. Pada tiap-tiap sub periode bisa dihitung beberapa statistik untuk RBC atau laba, misalkan mean dan variance. Jadi, sepanjang periode proyeksi kita bisa peroleh nilai mean dan variance RBC atau laba perusahaan yang diakibatkan oleh adanya kebijakan repricing tersebut.


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxxi

Selanjutnya, manajemen dapat mengamati apakah nilai-nilai parameter kesehatan perusahaan tersebut merupakan nilai yang cukup memadai atau tidak. Apabila dirasa cukup memadai, maka kebijakan perusahaan tersebut bisa diterapkan. Secara berkala, tentunya perlu dilakukan review sebagai feed back bagi scenario generator. Feed back ini perlu untuk lebih memperbaiki model dari scenario generator. Berdasarkan ulasan di atas, mungkin ada pertanyaan lagi, yaitu: bagaimana peran Ahli Matematika dalam bisnis asuransi secara keseluruhan? Sebelum menjawab pertanyaan ini, saya ingin sampaikan kembali mengenai pendapat pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Di Industri Asuransi, ilmu matematika adalah raja karena keputusan bisnis dari semua proses bisnis baik hulu sampai ke hilir harus melalui perhitungan matematika. Para Hadirin yang saya hormati. Demikian banyak hal dalam industri asuransi dimana matematika dapat diaplikasikan. Harus diakui bahwa masih banyak pembenahan yang harus dilakukan. Meski demikian, sesuai dengan yang sudah diuraikan sebelumnya, bahwa peranan matematika adalah tonggak awal sejarah industri asuransi. Di industri asuransi sudah dapat dilihat dan dieksplorasi keindahan dan keunggulan matematika. Bagaimana alat-alat hitung dan pemodelan matematika ternyata mampu memberikan suatu acuan dan solusi sederhana yang applicable untuk suatu hal yang bersifat tidak pasti, berisiko, kompleks dan strategis di masa depan, seperti halnya industri asuransi. Melalui kesempatan ini saya mengucapkan terima kasih atas kesempatan yang diberikan. Sebagai praktisi saya berharap kiranya Seminar Nasional Matematika ini dapat menjadi ajang pertemuan kontruktif dan memberikan kemajuan nyata bagi perkembangan dunia matematika. Institusi Pendidikan kiranya secara konsisten tetap terus melakukan kerja sama dengan industri, lembaga profesi atau lembaga lain terkait. Karena melalui pertemuan kita bisa saling terbuka mengenai kebutuhan dari para pihak yang berkepentingan akan perkembangan matematika. Dan bila dikaitkan dengan posisi sebagai penyedia Sumber Daya Manusia, Institusi Pendidikan tentunya diharapkan dapat melahirkan lulusan (Sarjana Matematika) yang tidak semata handal dalam pengembangan keilmuan matematika, namun siap memberikan kontribusi dan karyanya baik dalam dunia bisnis, atau karya nyata lainnya.

Harapan tersebut tentunya tidak mengesampingkan peran para Ahli matematika yang bergulat dalam matematika murni untuk terus menggali kedalaman aksioma dan filosofinya. Hal ini karena mungkin saja penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Demikian saya sampaikan. Wassalam Wr. Wb

Pembicara Utama Atje Setiawan Abdullah

Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxxiii

SPASIAL DATA MINING MENGGUNAKAN MODEL SAR-KRIGING

(SPATIAL AUTOREGRESSIVE-KRIGING) UNTUK PEMETAAN MUTU PENDIDIKAN DI INDONESIA

Atje Setiawan Abdullah

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran

Jl. Raya Bandung-Sumedang Km. 21 Jatinangor, Sumedang, 45363

[email protected]

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji dan menerapkan spasial data mining untuk klasifikasi pemetaan mutu pendidikan di Indonesia menggunakan model Spatial Autoregressive-Kriging (SAR-Kriging) merupakan gabungan model ekspansi SAR (Spatial AutoRegressive Expansion) dan metode Kriging. Melalui model SAR-Kriging dapat dilakukan prediksi mutu pendidikan pada lokasi yang tidak tersampel baik tingkat kabupaten/kota maupun provinsi di Indonesia.

Metodologi yang digunakan pada penelitian ini mengikuti proses data mining dan knowledge discovery in database (KDD) melalui tiga tahap. Tahap pertama adalah data preprocessing, meliputi penyiapan database hasil SDPN 2003, pembersihan data, transformasi data, seleksi variabel menggunakan analisis faktor dan untuk melihat model sesuai dengan data input output pendidikan digunakan Structural Equation Model (SEM), serta penggabungan data spasial dan data non spasial. Tahap kedua data mining, meliputi penggunaan model SAR, indeks Moran, model ekspansi SAR serta model SAR-Kriging untuk deskripsi dan prediksi mutu pendidikan. Tahap ketiga, post processing, meliputi interpretasi, evaluasi dan visualisasi untuk mendapatkan knowledge. Hasil pengolahan menggunakan model SAR-Kriging, menunjukkan prediksi mutu pendidikan untuk dua belas kabupaten/kota di Jawa Barat model sesuai digunakan pada jenjang SD. Hasil pengolahan SAR-Kriging di lokasi tidak tersampel yaitu provinsi Aceh menunjukkan model sesuai digunakan untuk jenjang SD. Sedangkan hasil pengolahan SAR-Kriging untuk lima belas provinsi di Indonesia menunjukkan model sesuai digunakan untuk jenjang SD dan SMP. Untuk memudahkan pengolahan data, dibangun aplikasi Spasial Data Mining menggunakan model SAR, Ekspansi SAR dan SAR-Kriging. Software aplikasi tersebut dapat digunakan untuk deskripsi dan prediksi mutu pendidikan baik di tingkat kabupaten/kota maupun tingkat provinsi di Indonesia.

Kata Kunci: Spasial Data Mining, SAR, ekspansi SAR, SAR-Kriging PENDAHULUAN Spasial data mining adalah proses mengekstrak pengetahuan yang diinginkan dari relasi spasial atau berbagai pola yang secara eksplisit tidak ditemukan dalam database spasial. Spasial data mining dapat diterapkan pada database hasil Survei Dasar Pendidikan Nasional tahun 2003 (SDPN 2003) mengingat Indonesia memiliki sebaran lokasi luas, terdiri dari: provinsi, kabupaten/kota, kecamatan, dan desa.

Model spasial data mining untuk deskripsi dan prediksi secara kausal melihat pengaruh variabel independen terhadap variabel dependen adalah model Spatial AutoRegressive (SAR) dan model ekspansi SAR. Model SAR dan model ekspansi SAR adalah teknik penemuan knowledge yang digunakan untuk penambangan data spasial yang besar dalam berbagai aplikasi (Celik et al., 2000).

Akan tetapi model SAR dan ekspansi SAR terbatas untuk prediksi observasi di lokasi-lokasi tersampel.

Metode Kriging merupakan metode spasial untuk prediksi observasi di lokasi tidak tersampel. Metode Kriging merupakan interpolasi eksak, artinya prediksi output berdasarkan kombinasi input di sekelilingnya yang telah ada sama dengan nilai output yang disimulasikan. Dalam menentukan bobot Kriging digunakan asumsi stasioner dan penaksir Kriging merupakan penaksir tak bias dengan variansi minimum (Armstrong, 1998). Metode Kriging memiliki kelemahan, yaitu tidak dapat menggambarkan hubungan kausal antara variabel independen dan variabel dependen.

Berdasarkan kekurangan dan kelebihan model SAR, ekspansi SAR dan metode Kriging, maka dalam penelitian ini dikaji model SAR-Kriging


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika UI xxxiv

sebagai suatu pengembangan metode yang dapat digunakan dalam spasial data mining. Model SAR-Kriging merupakan gabungan dari model ekspansi SAR dan metode Kriging untuk pemetaan mutu pendidikan.

Tujuan penelitian ini adalah:

1). Mengkaji dan menerapkan spasial data mining untuk klasifikasi pemetaan mutu pendidikan di Indonesia menggunakan model SAR dan indeks Moran.

2). Mengkaji dan menerapkan spasial data mining untuk memetakan mutu pendidikan di Indonesia menggunakan model ekspansi SAR yang melibatkan unsur jarak untuk deskripsi dan prediksi observasi di lokasi-lokasi tersampel.

3). Mengembangkan dan menerapkan model spasial data mining melalui penggabungan model SAR dengan metode Kriging, dinamakan model SAR-Kriging untuk prediksi mutu pendidikan pada lokasi yang tidak tersampel.

4). Mengembangkan perangkat lunak spasial data mining meliputi model SAR, indeks Moran, model ekspansi SAR dan model SAR-Kriging untuk deskripsi dan prediksi mutu pendidikan di lokasi kabupaten/kota dan provinsi di Indonesia.

BAHAN DAN METODE Pada penelitian ini metodologi yang digunakan mengikuti proses data mining dan knowledge discovery in database (KDD) dari Han dan Kamber (2006). Secara rinci dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar 1. Metodologi Proses Spasial Data

Mining (SAR-Kriging)

Database Hasil Survei Dasar Pendidikan Nasional 2003

Hasil SDPN 2003, khususnya untuk persekolahan secara nasional terjaring 203.590 record dan 569 variabel, meliputi: SD 158.590 record dan 122 variabel, SMP 28.949 record dan 138 variabel, SMA 10.810 record dan 142 variabel, serta SMK 5.156 record dan 167 variabel. Ukuran besarnya data SDPN 2003 meliputi 3,89 GB (4.178.499.369 bytes) dan 2.395 files. Database SDPN 2003 memenuhi kriteria data mining yaitu, variabel-variabelnya terukur, memiliki dimensi tinggi dengan ratusan atribut heterogen, melibatkan data spasial, tersebar secara geografis di seluruh wilayah Indonesia dan diolah dengan analisis spasial.

Tahap Data Preparation a. Select Data, data yang diambil sesuai tabel pada Gambar 2. b.Clean Data, data dibersihkan dari error,missing value, duplikat record dengan perintah sql dan relasi antar tabel. c. Transformasi Data, pembuatan indikator agregat atau rasio menggunakan query. d. Integrasi data spasial dan non spasial, e. Seleksi Variabel Mutu menggunakan analisis faktor dan analisis SEM. Selanjutnya data hasil preparation diolah oleh aplikasi SAR-Kriging menggunakan model SAR, indeks Moran, model ekspansi SAR dan model SAR-Kriging.

Model Spatial AutoRegressive (SAR) Orde Pertama Model SAR orde pertama dinyatakan:

(1)

dengan asumsi . Koefisien Moran (MC) atau indeks Moran dirumuskan (Sage dan Pace, 2004) sebagai berikut:

(2)

Interpretasi dari autokorelasi spasial merupakan trend atau pola umum dalam suatu peta. Nilai MC mendekati nilai +1 jika nilai-nilai observasi mirip (similar) cenderung mengelompok dalam suatu peta, sehingga diperoleh autokorelasi spasial positif. Model Ekspansi SAR Implementasikan model ekspansi SAR didasarkan kepada vektor jarak. Jarak dari koordinat observasi dirumuskan sebagai :

(3)


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika FMIPA UI xxxv

dengan, yixi Z,Z menyatakan koordinat observasi

ke-i dalam posisi latitude dan longitude dari pusat lokasi serta ycxc Z,Z merupakan koordinat latitude dan longitude untuk observasi lokasi i dari data sampel. Anselin (1988) menyatakan Persamaan Ekspansi SAR dapat diimplementasikan pada MATLAB dengan fungsi casetti, secara matematis ditulis sebagai berikut:

XXXy ++++= yyxx ZZ (4) Dengan matriks jarak D model dinyatakan:

XDXy 0 +++= (5) Taksiran parameter dan 0 untuk mendes-kripsikan analisis pengaruh marjinal yang didekomposisikan ke dalam non spasial dan pengaruh spasial. Untuk menggambarkan pengaruh variabel independen terhadap variabel dependen secara individu dapat digunakan grafik melalui persamaan berikut:

iidi

yiyiyi

xixixi

DZZ

0+=

+=

+= (6)

Persamaan (6) menunjukkan koefisien dari variabel individual, yang menggambarkan pengaruh total terhadap variabel dependen. x dan y di-plot untuk ekspansi x-y, dan d diplot untuk perluasan jarak. Grafik memberikan informasi pengaruh total variabel independen ke-i terhadap variabel dependen. Jika grafik kecenderungan turun, maka dapat diinterpretasikan semakin jauh dari koordinat pusat, semakin kecil pengaruh suatu variabel independen terhadap variabel dependen. Model SAR-Kriging Diantara Lokasi Pengembangan model SAR-Kriging didasari dengan model ekspansi SAR. Misalkan posisi lokasi digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2. Posisi lokasi tidak tersampel s0 Dalam model SAR-Kriging, taksiran parameter model ekspansi SAR menjadi input pada metode OK antara dua lokasi: Taksiran parameter non spasial:

's,s )]()([ 21 = , ', )( 21 = (7) dan taksiran parameter spasial :

's,s )]()([ 2010 =0 (8)

merupakan input pada metode Kriging. Untuk memperoleh bobot OK antara dua lokasi dengan memilih semivariogram linier, yaitu:

>

=)()()(

)()()()()(

)(

21021

210021

21

0

s,sds,sd,s,s

s,sds,sd,s,sds,sds,s

s,s

i

iii

(9)

Diperoleh taksiran parameter ekspansi SAR untuk lokasi tidak tersampel s0 diberi indeks K untuk menunjukkan taksiran parameter diperoleh berdasarkan metode OK. Untuk 2 lokasi tidak tersampel, melalui metode OK diperoleh taksiran parameter non spasial di lokasi tidak tersampel s01, s02:

)]'s(),s([ KKK 0201 =

)',,,( 21 kKKKK = (10) dan taksiran parameter spasial di lokasi tidak tersampel s01, s02:

)]'s(),s([ KKK 020010 =0 (11) Taksiran parameter model ekspansi SAR di lokasi tidak tersampel s01, s02 digunakan untuk prediksi mutu pendidikan di lokasi tidak tersampel s01, s02 mengikuti persamaan :

)()()()()()()( 010100101220110101 sdssxsxsxssy kkKKKK +++++=

)()()()()()()( 020200202220210202 sdssxsxsxssy kkKKKK +++++= Error prediksi model SAR-Kriging diperoleh dengan mengurangkan data aktual di lokasi tidak tersampel s01, s02 dan prediksi SAR-Kriging.

)s(y)s(y)s( K 010101 = )s(y)s(y)s( K 020202 =

MAPE prediksi SAR-Kriging pada lokasi tidak tersampel s01, s02 dihitung dengan:

=

2

1 0

0

21

i i

i

y)s(

Langkah-langkah di atas diulangi untuk lokasi tidak tersampel lainnya, misal s01, s02, s03, ..., untuk memeriksa kesesuaian asumsi model ekspansi SAR, error dari lokasi-lokasi yang tidak tersampel berdasarkan model SAR-Kriging diplot distribusinya melalui diagram batang daun, histogram atau plot kuantil-kuantil untuk melihat apakah mendekati distribusi normal

Desain Sistem Aplikasi Spasial Data Mining

Salah satu persyaratan data mining adalah kemampuan untuk mencari secara cepat dan semiotomatis atau otomatis menggunakan algoritma komputer. Aplikasi spasial data mining menggunakan SAR-Kriging, secara umum mengikuti pengembangan aplikasi, diawali dari proses desain dan implementasi. Desain yang digunakan meliputi diagram konteks, DFD dan

s0


Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010 Departemen Matematika UI xxxvi

dessain user interface. Desain user interfase aplikasi SAR-Kriging meliputi menu utama, terdiri dari menu penyiapan data, pemilihan model dan perbandingan

Prosiding SNM 2010_Matematika UI

Documents

Transcript of Prosiding SNM 2010_Matematika UI