11

ProbabilitaProbabilita

Tujuan pembelajaran :1. Memahami makna dan terapan probabilita2. Memahami konsep dasar probabilita3. Memahami hukum-hukum probabilita4. Memahami peristiwa saling lepas dan peristiwa

tidak saling lepas.5. Memahami tentang prob bebas dan prob

bersyarat.6. Memahami tentang diagram tabel dan diagram

pohon.

22

ProbabilitasProbabilitas

• Probabilitas adalah kemungkinan terjadinya peristiwa pada masa mendatang,

• Probabilitas mempunyai nilai antara 0 sampai dengan 1

33

Bagan Pendekatan probabilitaBagan Pendekatan probabilita

Pendekatan Probabilita

Obyektif Subyektif

Informasi yg adaKlasik Empiris

Equally likely Frekuensi relatif

44

Pendekatan klasikPendekatan klasik

Didasarkan pada asumsi bahwa suatu peristiwa kemungkinan besar akan terjadi (equally likely)

Contoh: pelemparan dadu sisi 6 yg setimbang.

Berapa probabilita timbul sisi genap?

55

Pendekatan RelativePendekatan Relative• Pada sebuah showroom motor, diambil 100

hari secara acak, dan dicatat penjualan motor per hari sbb :

Motor terjual /hari (X) Jumlah hari (f) Prob (X )

0

1

2

3

4

5

10

13

17

25

20

15

0,1

0,13

0,17

0,25

0,2

0,15

100 1

Probabilitas 3 motor terjual per hari adalah 0,25

66

Pendekatan subyektifPendekatan subyektif

Jika kekurangan informasi atau ketiadaan data angka yang lengkap, penetapan probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian individual yg didasarkan pada analisis atas informasi yg diperoleh

77

Konsep Dasar Konsep Dasar ProbabilitasProbabilitas

I. Percobaan (Experiment) : contoh :

- pelemparan 1 uang logam- pelemparan 2 uang logam- pelemparan 1 dadu

II. Hasil percobaan (out come) : Adalah kemungkinan-kemungkinan yang dihasilkan dari

suatu percobaan. contoh :

- Hasil dari pelemparan 1 coin : G, A.- Hasil dari pelemparan 2 coin : GG, GA, AG, AA- Hasil dari pelemparan 1 dadu : 1 2 3 4 5 6

Bagaimana hasil dari pelemparan 2 dadu ?

88

Konsep Dasar Konsep Dasar ProbabilitasProbabilitas

III. Peristiwa (Event) :

Kumpulan dari satu atau lebih hasil (out come).

contoh dari pelemparan 2 coin : - Peristiwa munculnya 2 muka yang sama : (GG dan AA).

- Peristiwa tidak ada muka G yang muncul : (AA)

Sebutkan hasil-hasil yang merupakan peristiwa jumlah dua dadu = 5 dari percobaan pelemparan 2 dadu ?

99

Konsep Dasar Konsep Dasar ProbabilitasProbabilitas

IV. Ruang Sampel (Sample Space) :

Adalah kumpulan seluruh hasil dari sebuah

percobaan.

contoh : - Ruang sampel dari pelemparan 1 coin : { G , A }

- Ruang sampel dari pelemparan 2 coin : { GG, AG, GA,

AA }

1010

Konsep Dasar Konsep Dasar ProbabilitasProbabilitas

V. Probabilitas suatu Peristiwa Adalah persentase antara jumlah hasil dari suatu

peristiwa dengan jumlah seluruh hasil (ruang sampel)

n (A) P (A) = ----------------------- N (ruang sampel)

Contoh : pada pelemparan 2 coin • Probabilitas peristiwa munculnya 2 muka sama adalah 2/4 = 0,5 • Probabilitas peristiwa tidak ada muka G yang muncul adalah ¼ =

0,25

1111

Teknik Menghitung Jumlah KemungkinanTeknik Menghitung Jumlah Kemungkinan

1. Faktorial Jumlah susunan n obyek (pada n ruang) contoh : Berapa jumlah susunan yang berbeda dari 3 buah buku A, B dan C ? n! = 3! = 6 Bukti : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

n!

1212

Teknik Menghitung Jumlah KemungkinanTeknik Menghitung Jumlah Kemungkinan

2. Permutasi Jumlah susunan n obyek pada r ruang

Berapa jumlah susunan yang berbeda dari 3 buah buku A, B dan C pada 2 ruang ? 3P2 = 3! / (3-2)! = 6

Bukti : AB, AC, BA, BC, CA, CB

nPr = n! / (n-r)!

1313

Teknik Menghitung Jumlah KemungkinanTeknik Menghitung Jumlah Kemungkinan

3. Kombinasi

Jumlah kumpulan n obyek pada r ruang,

Kombinasi Permutasi

AB

AC

BC

AB, BA

AC, CA

BC, CB

nCr = n! / (n-r)! r!

Berapa jumlah kemungkinan dari 3 orang pelamar (A,B,C,) akan diterima 2 orang ?

3C2 = 3! / (3-2)! 2! = 3

1414

Hukum ProbabilitasHukum Probabilitas

Nilai Probabilitas suatu peristiwa A : 0 < P(A) < 1

Prob Complementer : P(A) + P(A’) = 1 Prob (Wanita) + Prob (bukan wanita) = 1

Hukum Penjumlahan• Jika A dan B merupakan peristiwa saling lepas (mutually

exclusive) , maka : • P(A U B) = P(A) + P(B) A B contoh : A = Jual B = Beli

1515

contohcontoh

Perusahaan pembungkusan makanan beku, menjual 3 jenis makanan setengah matang beku yg dibungkus, yi chicken nugget, ayam goreng tepung, dan kentang goreng. Sebagian besar berat setiap kantong adalah tepat, namun karena ukuran ketiga jenis makan tersebut berbeda, terdapat bungkus yang kurang atau lebih dari yang seharusnya. 100 bungkus mempunyai berat yang kurang, 3000 bungkus mempunyai berat yang tepat dan 300 bungkus mempunyai berat yang lebih.

Jika diambil sebuah bungkus, berapa probabilita bungkusan tsb. akan mempunyai berat yg kurang atau lebih?

1616

PeristiwaPeristiwaBersamaBersama

• Jika A dan B merupakan peristiwa yang tidak saling lepas (ada peristiwa bersama atau Joint Event)

• A AB B

P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

• Contoh : A = mhs putri B = mhs penerima beasiswa

1717

Contoh soal 1Contoh soal 1

Dari 200 orang yang menghadiri acara Launching product diketahui 125 orang adalah wanita (W), 75 orang adalah sarjana (S), dan 25 orang adalah wanita dan sarjana. Jika seorang yang hadir akan terpilih mendapat hadiah, berapa probabilitas bahwa orang yang terpilih tersebut adalah :

a. Wanitab. Sarjanac. Wanita atau sarjanad. Wanita dan bukan sarjana

e. Bukan wanita dan bukan sarjana

1818

Jawaban soal 1Jawaban soal 1

a. P (W) = 125/200 = 0,625

b. P (S) = 75/200 = 0,375

c. P (W U S) = 125/200 + 75/200 – 25/200 = 0,875

d. P (W ∩ S) = 100/200

e. P(W ∩ S) = 25/200

WS 25

W 100

S 50

200

25

1919

PeristiwaPeristiwaBersamaBersama

P(A U B U C) =

P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩C)-P(C ∩ B)-P(A ∩B)+

P(A ∩ B ∩ C)

A

B C

AB AC

BC

ABC

2020

contohcontohPembaca berita ttg ekbis, menjadi pelanggan lebih dari

satu majalah. Dari seluruh pembaca yang membaca majalah ttg ekbis, 9,8% adl pembaca majalah TAIPAN (T), 22,9% SUA (S), dan 12,1% BISNIS (B). Namun ada juga yang membaca 2 atau 3 dari ketiga jenis majalah diatas, yi 5,1% baca T&S, 3,7% baca T&B, 6% baca S&B, serta 2,4% baca ketiga-tiganya

Hitung Probabilita:

a. Paling sedikit membaca 1 majalah

b. Pembaca majalah TAIPAN atau SUA

2121

Hukum PerkalianHukum Perkalian

Probabilitas Peristiwa Bebas (Independent Probability)

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)Contoh :Pada pelemparan 2 kali sebuah dadu :Berapa Probabilitas munculnya muka 6 pada lemparan I

dan ke II ?

A = peristiwa munculnya muka 6 pada lemparan IB = peristiwa munculnya muka 6 pada lemparan II

P(A ∩ B) = 1/6 x 1/6 = 1/36

2222

Peristiwa BersyaratPeristiwa Bersyarat

• Probabilitas Peristiwa Bersyarat (Conditional Probability)

P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) = P(A/B) x P(B)

A/B = peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dulu

Contoh :Pada permainan kartu remi (tanpa pemulihan)Berapa probabilita kartu As muncul pada pengambilan I dan IIA = peristiwa munculnya kartu As pada pengambilan IB = peristiwa munculnya kartu As pada pengambilan IIP(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) = 4/52 x 3/51 = 0,0045

2323

Contoh soal 2Contoh soal 2

• Sebuah himpunan terdiri dari mahasiswa FEUI. Diketahui 50% adalah perempuan. 20% dari mahasiswa putri adalah penerima beasiswa dan 60% dari mahasiswa putra penerima beasiswa. Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak untuk diwawancara, berapa probabilitas yang terpilih adalah :a. Mahasiswa penerima beasiswab. Mahasiswa putri dan penerima beasiswac. Mahasiswa putri atau penerima beasiswad. Mahasiswa putri dari penerima beasiswa

2424

Jawaban soal 2 Diagram TabelJawaban soal 2 Diagram Tabel

A A’

B 10 30 40

B’ 40 20 60

50 50 100

Anggap jumlah seluruh mahasiswa ada 100 orang, kemudian isilah sel-sel berdasarkan informasi yang ada di dalam soal.Misalkan A: putri, A‘ bkn putri, B penerima beasiswa, B’ bukan penerima beasiswaa. Prob mahasiswa penerima beasiswa, P(B) = 40/100

b. Prob mahasiswa putri dan penerima beasiswa, P(AB) = 10/100c. Prob mahasiswa putri atau penerima beasiswa, P (A U B) =

P(A) + P(B) – P(A B) = 50/100 + 40/100 – 10/100 = 80/100d. Prob mahasiswa putri dari penerima beasiswa, P(A/B) = 10/40 = 0,25

2525

• Dengan menggunakan rumus :

P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

atau P(B ∩ A) = P(A/B) x P(B)

Catatan P(A ∩ B) = P(B ∩ A)

Hitunglah : P (A/B)

Ingat P (A/B) = P(A ∩ B)/P(B)

P (A/B) = 0,1 / 0,4 = 0,25

2626

Diagram pohonDiagram pohon

• P(B/A) B P(AB)=P(A)xP(B/A) = 0,5x0,2 = 0,1

• 0,2

• A 0,8

• P(A) P(B’/A) B’ P(AB’)=P(A)xP(B‘/A) = 0,5x0,8 = 0,4

• 0,5

• P(B/A’) B P(A’B)=P(A’)xP(B/A’) = 0,5x0,6 = 0,3

• P(A’) 0,6

• 0,5 A’ 0,4

• P(B’/A’) B’ P(A’B’)=P(A’)xP(B’/A’) = 0,5x0,4 = 0,2

• Jumlah probabilitas = 1

P(B)

P(B’)

2727

Latihan soalLatihan soal

• Dari diagram tabel berikut tentukan : • A A’

B 10 30 40

B’ 40 20 60

50 50 100

a. P(A/B) = b. P(B’) = c. P(B’/A) = d. P(A’B’)=