Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10 PROBABILITA’ E VARIABILI ALEATORIE.

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10

PROBABILITA’ E VARIABILI ALEATORIE

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.1

SEGNALI DETERMINISTICI : NOTI IN OGNI ISTANTE TRASF. DI FOURIER

SEGNALI ALEATORI : NON NOTI IN OGNI t (ES.VOCE) PROBAB. (STATIST.)

PROBABILITA’ EVENTO= LIM. FREQUENZA RELATIVA =

DEF. ASSIOMATICA

USCITE ESPERIMENTO=S SPAZIO EVENTI

SPAZIO EVENTI ANCHE UNIONE, INTERSEZIONE, NEGAZIONI USCITE

ELEMENTARI.

ES. : DADO

lim

.N

n

N

nr. eventi favnr. prove

Zi

S Z F F F F F F Fi 1 2 6 1 2 1 2, ,...., , ,..., ,... etc spazio

PROBABILITA’


DEFINIZIONE ASSIOMATICA

ASSEGNO AD OGNI EVENTO UN NUMERO A T.C.

MUTUAMENTE ESCLUSIVI

ES : DADO

SPAZIO EVENTI PUO’ ESSERE CONTNUO ES. PTO. SU SEGMENTO 0-T

1 0

2 1

3 01 2 1 2 1 2

1 2

P Z A Z S

P S

P Z Z P Z P Z A B se Z Z

Z e Z

i i

Zi

0 1 2 t t T

P F P P Si 1

60 0 1 2 3

1

6

1

6 Pr oppure

(prob. tra e Funz.Dens.prob.)

t t t dt t t t tt

t

1 2 1 2

1

2

Pr

0= INSIEME VUOTO

P Z1

P Z2 =B

=A


RAPPRESENTAZIONE EVENTI

EVENTI NON MUTUAMENTE ESCLUSIVI :

ES. A= PERSONE CON AUTO

B= PERSONE CON BARCA

C= PERSONE CON BARCA E AUTO

DIM :

ES. P(FACCIA PARI FACCIA 4) DADO.

A B AB A B A B,

P A B P A B P A P B P AB

A B

C

A A C B B C

P A C P A P C

A A C B B C

' '' '

' '

P A B P A P B P C P A C P B C P C P A P B P C ' '

VENN DIAGRAMS


EVENTI CONDIZIONATI

DIM :

ES : PROBABILITA’ SU UN DADO DI AVERE 2 AVENDO IN USCITA UNA FACCIA PARI

MEGLIO

P A B A B

P A B

P B/

, prob. di avere dato

A B

P F

P F

P

P F2

2 2

12

1

62

1

3/ faccia pari

pari

pari

P F f. /disp 4

F F F F2 2 4 6

16

12

1 13 , ,

Evento favorevole3 Eventi possibili

P A B B

P AB

P B/ prob. che avendo cada nella zona tratteggiata =

Area eventi favorevoliArea eventi possibili


TEOREMA DI BAYES

ES. CANALE DI COMUNICAZIONE

P B AP B P A B

P AP B A

P AB

P A

P A B P A P B A

P A B P B P A B

//

dim: /

, /

, /

a P C A

b P C B

P A CP A P C A

P C

P B CP B P C B

P C

i i

i i

ii

i

ii

i

/

/

//

//

A

B

C1

C2

C3

a3

a2

a1

b1

b2

b3

CRITERIO MAP

: RICEVITORE (LATO CI ) DECIDE A O B SE :

P A CA

BP B Ci i/ /


TEOREMA PROBABILITA’ TOTALE

SIA S SPAZIO EVENTI,

EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI

B B B S B Bn i j1 2 0 ...

B1 B2

Bn

P A P A S P A B P AB P AB

P A B P B P A

ii

ii

ii

ii

i

/ TEOREMA PROBABILITA’ TOTALE

P B A

P B P A B

P B P A Bi ii

//

/ TEOREMA DI BAYES

(B1,….., Bn E’ UNA PARTIZIONE DI S)

A

S


ESEMPIO (1) :

3 SCATOLE 500-800-1000 COMPONENTI

(8%-10%-5% PROB. COMP. DIFETTOSO)

P P P

PP P

P

Ocomp.difettoso scat difettoso / 1 scat

prov.2 scatola / comp.difettoso2 scat dif./2 scat

difetto

O

OO O

1

1

30 08 01 0 05

0 23

31

3 01

0 23

3

0 43

. . ....

. . ..

. . .

..

PESCO UN COMPONENTE DA UNA DELLE 3 SCATOLE A CASO


ESEMPIO (2) : ROULETTE RUSSA

I) TAMBURO GIRATO DOPO OGNI COLPO (FINO 3 VOLTE A TESTA)

A secco A seccoA secco

B seccoB seccoB secco

A 1/6

1/61/61/6

1/6 1/65/65/65/65/6 5/6

P A

P B

P B P A

secco con 3 prove

secco con 3 prove

secco secco MEGLIO ESSERE SECONDI

1

6

5

6

5

6

1

6

5

6

1

60 363

5

6

1

6

5

6

1

6

5

6

1

60 323

4

3 5

.

.


II) ROTAZIONE TAMBURO NON

EVENTI INDIPENDENTI :

STARE ATTENTI : SPESSO EVENTI CHE SEMBRANO INDIPENDENTI NON LO SONO.

A secco A seccoA secco

B seccoB seccoB secco

A 1

1/21/41/6

1/5 1/32/33/44/55/6 1/2

P A e lo stesso secco 1

6

5

6

4

5

1

4

5

6

4

5

3

4

2

3

1

2

1

2'

P AB P A P B


RIASSUNTO EVENTI

• EVENTI INDIPENDENTI :

• EVENTI CONDIZIONATI :

• MUTUAMENTE ESCLUSIVI :

ESEMPIO : 2 TRENI A E B IN ARRIVO

SPAZIO EVENTI

P AB P A P B

P A B P A

/

P A B P AB P B/ /

P A B P A P B

0

0

a T a

b T b

fermo perfermo per

t3

t2t1

t4

T

T

a

b


1)

2)

P t a t t b tt t

T

t t

T1 2 3 42 1 4 3

,

P A B =arrivi dopoarea triangoloarea quadrato

1

2T

Tb

a

P a b

P a b


3)

DUE CONDIZIONI :

(1)

(2)

a

b b b

a a a

b

a

b b b

a a a

b

bbab

:se incontro

P A e B incontro

(1) ARRIVA PRIMA B:

A DEVE ARRIVARE PRIMA CHE B RIPARTA

incontro se: a< b < a+a

(2) ARRIVA PRIMA A:

B DEVE ARRIVARE PRIMA CHE A RIPARTA


a

b

a

b

b a a +

a b b

T

T

a

22

=

222

bTaTT

P

tratt Area

quadrato. areatratt. area

incontro

b


PROVE RIPETUTE (BERNOULLI) INDIPENDENTI

ES. n=9, p=0.3

P K n P K nn

Kp p

n

K n Kp p

p q p

K n K

K n K

Evento si verifichi volte su prove su

prob. evento

1

1

1

!

! !

0 1 2 3 9 K

~0.3

P K n su

MAX PER K=INTERO MINIMO t.c. K np


APPROSSIMAZIONI n>>1

a) GAUSSIANA: INTORNO A np DELL’ ORDINE E

b) POISSON:

n

Kp q

npqeK n K

K npnpq

1

2

2

2

K npq npq 1

np n p 1 1 1,

n

Kp q e

np

KK n K np

K

!VALE PER (K PICCOLO)K np


GAUSSIANA NORMALIZZATA

E’ TABULATA

G X e

G X dX

erf X e d

norm

X

norm

X

1

2

1

1

2

2

2

2

0

2

erf X erf X funzione dispari

-1 +1

G Xn 1

21

2 eMAX0 6.

X

erf X 1/2

X

x

f Xx

v.a

densita' di probabilita'


GAUSSIANA QUALSIASI

G x eX x

,

2

22

1

2

2

2

EFFETTO DI E

CAMBIO DI VARIABILI :

x

YX x

edX

dYY

1

2 22

2

G x dX G dY erf Y erf YX

X

Y

Y

, , 22 1

1

2

1

2

0 1

YX x

YX x

11

22


APPROSSIMAZIONE GAUSSIANA :

CURVA DISCRETA CONTINUA.

P K K K nn

Kp q

n

npK K

KK n K

1 21

2 1

1

=

su prove se

1

2

2

1

2

22 1

npqe d erf erf

npnpq

K

K

22

11

K np

npq

K np

npq

SE K1 E K2 NELLA ZONA IN CUI L’ APPROX. E’ VALIDA!

G x G np npq

npq

, ,

2 =

np npq np npq

np K

ZONA VALIDA


1oFORMULAZIONE LEGGE GRANDI NUMERI

LEGA FREQUENZA E PROBABILITA’

DIM :

PK

np

n

1 ATTENZIONE ! : LIMITE PROBABILISTICO

NON MATEMATICO

K np n K np n

P K K K P np n K np n P pK

np

PK

np erf

n

pqerf

n

pqerf

n

pqse n

1 2

1 2

2 1


APPLICAZIONI :FISSO TROVO n0 TALE CHE n> n0 . LA FREQ. E LA PROBABILITA’ DI EVENTO SONO

MOLTO VICINE A MENO DI CON PROBABILITA’ MOLTO ELEVATE.

ES. ES. PK

np

= 0.9

= 0.01


POISSON

HYP :

n

Kn

K n K

n n n n K

K n K

n

K

K

!

! !

!

! ! !

1 2POICHE’ n GRANDE

q p e p 1 (SVILUPPO SERIE DI TAYLOR DELL’ ESPONENZIALE) p PICCOLO

n

Kp q

n

Kp e e

np

K

e n p pK

K n KK

K np pK np

K

pK

! !

1 0POICHE’ EVENTI RARI

np n p K 1 1 1 , PICCOLO. np K

P(K SU n)


ESEMPIO : PUNTO LANCIATO A CASO SU INTERVALLO 0-T

PROB. CADA IN T.

SI DIMOSTRA : (V. Papoulis) SE T E COSTANTE E INTERVALLI DISGIUNTI

CIOE’ GLI EVENTI DIVENTANO INDIPENDENTI .

pt

TP K n t

n

Kp q e

np

Ke

n tT

K

et

K

n

T

K n K np

Kn

t

T

K

tK

1 =

=

pti. su lanci in

! !

!

=DENSITA’ MEDIA PUNTI SU T.

P K t K t P K t P K t1 1 2 2 1 2 2 pti. in e pti. in in in1


VARIABILI ALEATORIEDATO L’ ESPERIMENTO E{S,P} DEFINISCO V.A. x UNA FUNZIONE CHE ASSOCIA A

OGNI USCITA E UN VALORE x . IN PRATICA SEMPRE UN LIMITE SUPERIORE

DELLA V.A.

ES. : DADO ASSOCIO VALORE 1,2,…,6

SE X=7 ; X=4.5

FUNZIONE DISTRIBUZIONE

Z F F Fi 1 2 6, , ...,

P x X 1 P x X 4

6

F X P x Xx

NOTO NOTA V.A. F Xx

1

F Xx

X6

DADO

x E’ LA v.a

X SONO I VALORI RELATIVI

1/6

2


PROPRIETA’ F Xx

5

1

2 1

3 0

4 2 1 1 2

2 1 2 1

F X F X

F

F

F X F X P X x X

X X F X F X

x x

x

x

x x

x x

se

F X x Xx

Pr

F Xx MONOTONA CRESCENTE


FUNZIONE DENSITA’ PROBABILITA’ (d.d.p.)

ES. : DADO PROPRIETA’ :

f XdF X

dXF X f d

P X x X F X F X f X dX

xx

x x

X

x x xX

X

1 2 2 1

1

2

f Xx

X1 2 6

1/6

1 0

2 1

f X

f X dX

x

x


d.d.p. TIPICHE

1) UNIFORME

2) GAUSSIANA

f Xx

XX1 X 2

1

2 1X X

F Xx

XX1 X 2

1

f X ex

x x

1

2 22

2

2

f Xx F Xx

x x x

1

emax

max1/2

1

X X


3) POISSON P x K ea

Ka

K

!

f Xx

X

F Xx

X0 1 2

1

K=1 2 3

d.d.p. E’ 0 SOLO PER X=K DISCRETA (ASIMMETRICA)

x K v.a. discreta 0


V.A. CONDIZIONATE

P A B P A B P B P x X M

P x X M

P MF X Mx/ , / /

,/

f X MdF X M

dXMx

x//

X = EVENTO CONDIZIONATO

EVENTO CONDIZIONANTE


ES. 1)

F X MP x X x a

P x a

X a

F X

F aX a

xx

x

/,

1

se

se

f X MX a

f XF a X a

x x

x

/

0

M x a

f Xx

F Xx

1

XXa a

f X Mx /

F X Mx /


ES. 2)

F X M

P x X a x b

F b F a

X bF X F a

F b F aa X b

X a

xx x

x x

x x

/,

1

0

M a x b

f X Mf X

F b F a a X bx

x

x x/

0 altrove

a b


ES. : TROVARE Pr CHE UN COMPONENTE SI ROMPA TRA t0 E t1 DATO CHE FINO

A t0 NON SI E’ ROTTO.

f X d d p xe

P t x tP t x t

f X dX

F t F t

F t

xx

xx

t

x x

x

. .

/

rottura

rottura

1 0

0 1 1 0

0

0

1

X=PARTICOLARE VALORE V.A. x =INSIEME VALORI POSSIBILI

P X t P X t F t P t x t f X dXx xt

t

0 0 0 0 11 10

1


F X x t

F X F t

F tX tx

x x

x

/

0

0

001

f Xx

X

f X x tf X

F tx

x

x

/ 0

01

t0

AREA TRATTEGGIATA=DENOMINATORE<1

EFFETTO ” LIEVITATORE”

AREA UNITARIA

Xt0

1 F X x tx / 0

F Xx


FUNZIONE DI UNA V.A.

DATA UNA V.A. x NOTO O , ASSEGNATA

( y E’ UN’ ALTRA V.A.) ? O ?

APPROCCIO GRAFICO

SE GRAFICA O DISCONTINUA

ES. :

F X f Xx x y g x

g x

y g x

x

f Xx

X

f Yy

Y

-1

+1

-1 +1

a

b

F Y f Yy y

a+b=1

b f X dX Fx x

00


P y P x f X dX

P y P x f X dX

x

x

1 0

1 0

0

0

a

b

(AREA 1O DELTA A +1)

(AREA 2O DELTA A -1)


ES. :

Y

X

X Y0 0

Y X0 0

X 0

X 0

X Y0 0

X 0 X 0 Y X

f Xx

f Yy

g x

Y Y0 0


APPROCCIO ANALITICO

NON ESISTONO DISCONTINUITA’ E DELTA SULLA g(x).

dx3X

g X Y

Y dYY

P Y y Y dY f Y dY

g X Y

X

X

X

y

1

2

3

(VEDI FIGURA)

Y y Y dY X X dXi i i

P Y y Y dY f X dX f X dX f X dXx x xi i i 1 1 2 2 ...

EVENTO E’ L’ UNIONE DI 3 INTERVALLINI

dY E’ SEMPRE UGUALE; I dXi SONO DIVERSI E DIPENDONO DALLA PENDENZA IN Xi


APPROCCIO ANALITICO (CONT.)

IN MODULO PERCHE’ OVE DERIVATA E’ NEGATIVA SAREBBE NEGATIVO.dX i

y g x dy g x dx dXdY

g X

f Y dY f XdY

g Xf Y

f X

g Xy x y

x i

ii

''

' '...1

1

X y g xi SOLUZIONI EQUAZIONE


ES. : 1)

2)

y ax b Y aX b XY b

ag x a

f Ya

fY b

ay x

'

1

y x Y X X Y Y g x x

f Yf Y

Y

f Y

Yf Y Yy

x x

y

2 2 0 2

2 20 0

'

per


ASSEGNATA

1)

f XX X

X X Xx

1

2 11 2

f Ya X Xy

1 1

2 1

f Yy

Y Y1 2

1 1

2 1a X X

Y aX b

Y aX b1 1

2 2

Y1

Y2

X 2X1

/////////////

/////////////////

Y

X

y g x


2) f XX Xx 1

2 1

f Y

X X X X

Y X X YY Y X

X X YX Y Xy

1 1

2

10

2

2 1 2 1

2 1

1 12

2 1

12

22

1

0

per dove ho 2 rami

altrove

f Yy E’ ORA DISCONTINUA.

Y1

X1

X 2

Y2

X


yx

YX

XY

g xx

f Yf Y

Yf X

Xy

x

x

1 1 1 1

1

2

2 2 2

'

Cauchy

f Y

YY Yy

2

22 2 21

1 1 ancora Cauchy

f Xx

12 max

1

max

X

3)


4)

ES. :

f x

f y

X Y

Y X

i

r (v.a)+

E0

f Rr

R

1050950

1/100i

E

rI

E

R

RE

I

0 0

0

f Ii

I1

I2

I PIU’ PROBABILI VALORI BASSI DI CORRENTE

g RE

Rf I

ER

E

E I

E

II

EI

Ei

' 02

02

02

0 02

02 1

02

0

1

100 1

100 100 1050 950

RE

I 0


SINTESI DI UNA V.A.

HYP : MONOTONA CRESCENTE

APPROCCIO GRAFICO :

f X o F X e f Y o F Y y g xx x y y ?

g x

P y Y F Y F g X P g x g X P x X F X

F g X F X g X F F X

y y x

y x y x

1

F X Yx f Xx

1

1

f X X F X X

g X F x F g x F X X

x x

y y x

1 0 11

X

X Y g x

g X

F Yy

X

X

X

POICHE’


APPROCCIO GRAFICO CON

APPROCCIO ANALITICO : x V.A. TRA 1 UNIFORME

DEVO RICAVARE , QUINDI, PER OGNI USCITA DI x ,CALCOLARE:

X = USCITA

F Xx

F Xx

F Yy

Y g X XX Y,

1

f Y e per YyY 2 02

g x ? Fy 1

Y F F xy x 1


DESCRIZIONE SINTETICA

DESCRIZIONE SINTATICA VALORE MEDIO :

VARIANZA :

f X F Xx x

x E x Xf X dX

x X P

x x x

i ii

x xE x x x x f X dX

E x xx x x x

E x xE x x

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 0

2

DESCRIZ. ESAUSTIVA O


ESEMPI ,

1) GAUSSIANA

x2 x

f X ex

x

x x

x 1

2 2

2

2

2

E x x E x x xx 2 2 misura spread attorno

E g x g X f X dXx

PROPRIETA’ GENERALE


POISSON

QUI VALORE PIU’ PROBABILE

P x K ea

Ka

K

!

E x Kea

Ka xa

K

K

0 ! max

SI DIMOSTRA

x xmax media

x a2

(K INTERO 0)


ES. : DADO

E x x P

E x x x P x x

x

i ii

x i ii

i

x x

1

6

2 2 2 2

2

2 2

11

62

1

635

1

61 2

91

6

91

6

7

2

35

12

3

.... .

...

E’ MOLTO DISPERSA E’ CIRCA IN TUTTO IL CAMPO

DEVIAZIONE STANDARD = varianza


DISEGUAGLIANZA CHEBYCEFF

(II LEGGE DEI GRANDI NUMERI)

DIM. :

1 1

2 1

0

02

2

legge frequenza relativa

legge

PK

np

K

n

P x x

n

x

x x xx x

xx x

x x f x dx x x f X dX f X dX2 2 2 2


DIVIDO PER :

SE AGISCO SU (ES. ) ALLORA LA PROBABILITA’ DI CADERE VICINO A

E’ MOLTO ELEVATA (V. PROVE RIPETUTE).

2

f X dXxx

x x

2

2 MA L’ INTEGRALE E’ LA PROBABILITA’ DI STARE FUORI

P x x x

12

2

x2

x x

2 0

PROB. DI STARE DENTRO INTORNO

DI =1-PROB DI STARE FUORIx

ES: INTORNO DI

2 2 2

14

3

475%

2

2

x x x

x

x

x x x

P

,

VALE PE R QUALSIASI v.a x

DI STARE NELL’INTORNO DI x


DISTRIBUZIONE CONGIUNTA (2 V.A.)

x y F X Y P x X y Y Pxy e v.a. quadrante, ,

F X P x X P x X y F X

F Y F Y F X Y F X F Y

x xy

y xy xy x y

, ,

, , .

;

; se INDIPEND

Y

X

y

x


f X YF X Y

X Yf X

F X Y

X YdY f X Y dY

F X d f d

xy

xy

x

xy

xy

x xy

X

,, ,

,

,

2 2

P x y R X Y f X Y dXdYxyR X Y

, , ,,

Y

X

R X Y,

DENSITA’ MARGINALE


GAUSSIANA BIDIMENSIONALE

z f X Yr r

X xr

X x Y y Y yxy

x y x x y y

, exp1

2 1

1

2 12

2 2

2

2

2

2

r =COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 1 1r

SE =0 (SCORRELAZIONE) (CIOE’ INDIP. )

r f X Y f X f yxy x y,

r zx y 0 cost. curve livello cerchi

r rx y 0 0

y

x

CAMPANA A SIMM. CIRCOLARE x y,

x y,


r r r 0 1 1

r 0.8 FORTE CORRELAZIONE NOTO x SEGUE ~ xy.


SIGNIFICATO

PROBABILITA’ DI STARE IN UN RETTANGOLO E’ FACILE.

SE INSIEME HA FORMA MEGLIO LA d.d.p.

F X Yxy ,

F X Y P x X y Yxy , ,

P X x X Y y Y

F X Y F X Y F X Y F X Yxy xy xy xy

1 2 1 2

2 2 1 2 2 1 1 1

,

, , , ,

P xy R f X Y dXdYxyR

,

X1 X 2

Y1

Y2

Y

X


AGO DI BUFFON

a<b PROBABILITA’ AGO INCROCI BARRETTA.

2 v.a. x = DISTANZA CENTRO AGO-SBARRETTA (d.d.p. UNIFORME)

= ANGOLO CON LA VERTICALE (d.d.p. UNIFORME)

x

2b

2a

P P x a xincrocio indip. cos

f X f X fbx x, ,

2 1

f

f x

X

2/

/2

1/b

b


DEVO CERCARE DOVE VALE IN R

CERCO E TROVO REGIONE L

R POTEVA ESSERE ESTESO TRA b E /2 AVREI AVUTO UN’ AREA 4L.

x a cosa xcos

X

2

R

L

a

b

P f X dXd db

dXa

bd

a

bxL

a

incrocio

, coscos

0

2

0 0

22 2 2


SE CONSIDERO x CON CAMPO DA -b A +b E /2.

f Xx

12b

b b

1

2 2

f

X

f Xb

P P x a

x , ,

cos

1

2

incrocio


X

2 2

b

b

-a

+a a xcos

x a cos

a x acos cos

P P X db

dXa

ba

a

incrocio zona tratteggiata

,cos

cos

1

2

2

2

2


DISTRIBUZIONE DELLA FUNZIONE DI 2 V.A.

z g x y F X Y o f X Y F Zxy xy z , , , ? noto

F Z P z Z x y g x y Z L Zz pti. piano dove , ,

F Z f X Y dXdYz xyL Z

,

SE L(z) RETTANGOLARE SI PUO’ USARE DIRATTAMENTE INVECE F X Y fxy xy,


ES. : z x y L Z max , ? TRACCIO RETTE Z=X E Z=Y E X=Y

SE x>y SIAMO SOTTO RETTA X=Y (TRATTEGGIO VERTICALE)

SE y>x TRATTEGGIO ORIZZONTALE

L(Z) TUTTO QUADRANTE

F Z f X Y dXdY F Z Zz xy

ZZ

xy

, ,

Z=YX=Y

Z

Y

X

FISSO Z

F Z P a Z P x y Zz max ,

Max{X,Y}=Y

Max{X,Y}=X


d.d.p. DELLA FUNZIONE 2 V.A.

1) METODO

2) METODO

PROBLEMA : TROVARE PUNTI TALI CHE :

f Zz

F Z f X Y dXdY f ZdF Z

dZxyL Z

zz ,

P Z z Z dZ f Z dZz

LZ Z g x y Z dZ ,


ES. : z=x+y

1) X+YZ L(Z) E’ ZONA SOTTO RETTE X+Y=Z TRATTEGGIATO.

RICORDO CHE :

F Z dX f X Y dY

f zdF

dZf X Z X dX

f X f Z X dX f X f Y

xy

Z X

zz

xy

x y x y

,

, se indipendenti

Y

X

Z

X+YZ d

dtf d f g t

dg t

dt

g t

0

z=x+y Z

Z=X+Y


2) Z<zZ+dZ E’ LA STRISCIALz

f Z dZ f X Y dXdY f X Y dYdX

dZ

f X Z X dZdX f Z dZ

z xyL

xyY Z X

Y Z dZ X

Z X

Z X dZ

xy z

z

, , (*)

(*) ,

valore funzione LzdX

Z dZX

Y

X Y Z

X Y Z dZ

dZ

Z Z dZZ

Area Rettangolo Integrale

Z


ESEMPIO : 2 RESISTENZE IN SERIE d.d.p. INDIP. UNIFORMI

r K r K d d p r r1 2 1 25 5% 1 10% . . ?

* =f1

r1 r2

1/500

4750 5250 900 1100 5650 5850

3001/500

6350=1100+5250

1/200

6150


ESEMPIO :

zx

y

X

YZ P z Z P

x

yZ

F Z dY f X Y dX dY f X Y dX

f ZdF Z

dZY f ZY Y dY

z xy

ZY

xyZY

zz

xy

0

0

, ,

,Y

X

X ZY


2) METODO X ZY

f Z dZ f X Y dXdY dYf YZ Y YdZ dYf YZ Y Y dZz xyL

xy xy

z

, , ,0

0

dX Y Z dZ YZ YdZ

Z z Z dZ Zx

yZ dZ

f X Y dX f ZY Y YdZxy xyZY

ZY YdZ

, ,

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.67.1

f X Y x y f Z Cauchy

z r a r

xy z

x

y

x

y

,

0

1 2

Y

XLz dX

X Y Z dZ

f Zz

Z

max

1/2 max

z a

SE E’ GAUSSIANA

X=ZY


ESEMPIO :

1)

2)

z x y X Y Z Z 2 2 2 2 0

Lz

Y

X

F Z f X Y dXdYz xyC Lz

,

Z z Z dZ Lz

Y

X

Z Z+dZ


ES. (METODO (1))

a)

CON :

f X Y e

X Yxy ,

1

2 22

2 2

2

F Z d e d e dz

Z Z

1

2

2

2200

2

22

0

2

2

2

2

2

f ZdF

dZZe Zz

zZ

1

022

22

d.d.p. RAYLEIGH

X

YdXdY d d

cos

sen

f Zz

Zd

d

d

X Y2 2 2

x y r x yx y 0 0 ( , )indip. Y

X

isolivello della f X Yxy ,


ES. (METODO (2))

b) GAUSS. CON MEDIA 0 f X Y exy

x y,

/ 1

2 2

22 2 2

f Z e d d

e d d

zZ

Z dZ

Z

Z dZ

1

2

1

2

2

2

0

2

22

0

2

2 2 2 2

2 2 2 2

cos sen /

sen /

dZf ZZ

e e d dZzZ Z

2 22

0

22 2 2 2

/ cos /

dZ

1

2 22 2

0

22 2 2

e d dZ

Z dZ

cos /

2 2 2

2cos cos

Y

X

x y r 0

isolivello


I x e dx0

0

21

2

cos

f ZZ

IZ

ezZ

2 0 2

22 2 2/

= FUNZIONE DI BESSEL MODIFICATA ORDINE ZERO

(RICE)

=0 RITROVO RAYLEIGH

f Zz

Z

0

2 12


IN UN CANALE AWGN (V.POI) (RICE)LA d.d.p. RAYLEIGH CARATTERIZZA INVILUPPO RUMORE

LA d.d.p. RICE CARATTERIZZA INVILUPPO SEGNALE

ES. : Z min(X,Y)

LE RELAZIONI Z=min(X,Y) , Z=max(X,Y) E Z=(X+Y) POSSONO ESSERE VISTE

COME TEMPO DI VITA GLOBALE Z DEI SISTEMI (Es. 2 LAMPADINE)

Y

X

Z

Z

Lz = PIANO (X,Y) -

max min Z=X+Y

A B A B BAS1S2

S2

S2S1S1

Z=min(x,y) X<Z

X<ZY<Z

Y<Z

X>ZY>Z

Se uno dei 2 funziona il tutto funziona

Devono funzionare entrambi

Mettono in funzione quando si guasta

S1

S2


MOMENTI

SE HO “TUTTI” MOMENTI

MOMENTO ASSOLUTO ORDINE k+n

MOMENTO CENTRALE

f X Yxy ,

x E x E x x x xx

2 2 2 2

m E x y X Y f X Y dXdYk nk n k n

xy, ,

k n

k n

x yE x x y y. 202

022

11

xy

E x x y y E xy x y covarianza = PUO’ ESSERE <0

(MOMENTI DI ORDINE)

E g x y g X Y f X Y dXdYxy, , ,


SE V.A. ORTOGONALI (OLTRE DI SOLITO NON SI VA)

SE SONO INDIPENDENTI SCORRELATE

COEFFICIENTE CORRELAZIONE

DIM. :

EQUAZIONE IN a SEMPRE >0 . DISCRIMINANTE <0

m mxy11 0 xy

E xy x y xy ; 0

r rxy

x y

1

E a x x y y a ax y xy 2 2 2 20 2 0

xy y x2 2 2 0 c.v.d.

E xy


d.d.p. CONDIZIONATE : SEVONO PER CAPIRE IL LEGAME TRA 2 V.A.

ES. : M LEGATO ALLE V.A. X E Y.

ES. M

NUM. DIPENDE DA X CHE DIPENDE DA DOVE SI COLLOCA RISPETTO

SE PER ES. ALLORA

f Y X

F X Y M P x X y Y MP x X y Y M

P M

yx

xy M

/

, / , /, ,

/

X x X P M F X F Xx x1 2 2 1

X X1 2 x X 2

P x X y Y X x X

P X x X y Y F X Y F X Yxy xy

, ,

, , ,

1 2

1 2 2 1

Y

XX1 X 2

Y


f Y X

f X Y

f Xy x

xy

x/ /

,

f xy CONTIENE LE INFORMAZIONI DELLA d.d.p. CONDIZIONATE

E y x X Yf Y X dYy x/ //

CURVA DI AL VARIARE DI x CURVA DI REGRESSIONEy

( )f f fxy x xy

Y

XX

X

E y X/


ES. : x,y v.a. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE.

TROVO CHE :

f X Yr

exy

x y

r

xr

xy y

x x y y,

1

2 1 2

1

2 1 2

2

2

2

2

f X e

f Y X G r X r

E y X r X

x

x

x

y xx

yy

x

y

x

1

2

1

2

2

2 2

22

/ / ,

/

RETTA DI REGRESSIONE

SVILUPPO I CALCOLI E TROVO CHE E’ GAUSSIANA

x y 0

X

E y X/


STIMA MEQM

STIMA A MINIMO ERRORE QUADRATICO MEDIO

E y y y x v a . .min

2 VALORE STIMATO OSSERVABILE

ES. X= PESO Y= ALTEZZA

1 0 0

2

2

miny c E y c

E

cE y c c E y y

y ax b

faccio

STIMA CON UNA COSTANTE

STIMA LINEARE STIMA DI Y

X


E y ax b b y ax b y ax 2

min EQUIVALE A STIMARE CON

E y y a x xE

aE y y a x x x x

a a r a

y y r x x y y r x x

xy x

xy

x

xy

x y

x

y

y

x

y

x

2

22

0

0

min

RICORDO


3

2 2

2

,

/

minmin

/

min

y g x

E y g x Y g x f X Y dXdY

f X dX Y g X f Y X dY

xy

x y x

POICHE’ , MIN SI HA CON LA g(x) CHE

RENDE MINIMO IL SECONDO INTEGRALE : DERIVO RISPETTO g(x)

Y g X f Y X dY

Yf Y X dY g x E y x X

y x

y x

/

/

/

/ /

0

STIMA CON UNA FUNZIONE QUALSIASI (OTTIMA MEQM)

f X Xx E' 0

Yf Y X dY g X f Y X dYyx

yx

/ /

1

CURVA DI REGRESSIONE (v. 10.76)


PER V.A. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE STIMA OTTIMA E’ STIMA LINEARE.

CIOE’ CURVA REGRESSIONE RETTA REGRESSIONE v.pag. 10.77

E Y X/ Y

X

CASO NON GAUSSIANO

E Y X/

Y

X

CASO GAUSSIANO


STIMA LINEARE (MEQM)

SE X Y E y ax E y ax xE

a 0 0

2

min

STIMA LINEARE SODDISFA IL PRINCIPIO DI ORTOGONALITA’ TRA ERRORE STIMA

E OSSERVAZIONE x y ax

y ax

ax

y

x OSSERVAZIONE

E{x,y}=0 x,y SONO ORTOGONALI (v. MOMENTI).


N. V.A. STIMA LINEARE OTTIMA (MEQM)

DEVO CONOSCERE I LEGAMI (COVARIANZE) TRA LE V.A. OSSSERVABILI E

E LA COVARIANZA TRA LA V.A. INCOGNITA E LE OSSERVABILI.

x y y a x E y a x

E

aE y a x x j N

i i ii

N

i i

ji i j

0

0 1

1

2

,2,...,

min

xi x j yx j

E x x

E yx

i j x x

j yx

i j

j


TEOREMA LIMITE CENTRALE

V.A. INDIPENDENTI

SE IN GENERALE

y xii

N

1

y x x f Y f X f Xy 1 2 1 2

f Y f X f X f X f Xy N 1 2 3 ....

SIANO LE , PER N SUFFICIENTEMENTE GRANDE (CRESCENTE) LA

CONVOLUZIONE FINALE PORTA AD AVERE UNA CHE TENDE A DIVENTARE

GAUSSIANA (TEOREMA LIMITE CENTRALE).

(ES. VEDI CON DI TIPO UNIFORME TGR PARABOLICA).

FENOMENI CON TANTE CAUSE FRA LORO INDIPENDENTI TENDONO AD ESSERE

GAUSSIANI.

f X i

f Yy

f X i

N x i Ni , ,...., ;1


STIMA V.A. y DA N MISURE INDIPENDENTI xi

(o anche solo scorrelate)

yx

Ny

Nx E y

Nx

Ex x

N NE x x x x

N

ii y i

i

N

i ii

i i j jji

ijji

1 1

1 1

22

1

2

2 2

SE E V.A. SCORRELATEx x i i ji i x ij

ij x xi j

2 2 0


y x

Nyx

2

2NUOVA V.A. STESSO VALOR MEDIO MA N VOLTE PIU’ PICCOLA

y2

DIS. CEBYCHEFF : INVECE DI x OSSERVO y

ESEGUENDO GRUPPI DI N MISURE DIVERSE.

P x x x

12

2

P y xN

x

12

2

ARRIVO, CON N >>, VICINO AL VALORE MEDIO QUANTO VOGLIO.

ES. APPLICAZIONE AD UNA MISURA CHE MI DA’ RISULTATO ALEATORIO: Y MI CONSENTE DI AVVICINARMI AD QUANTO VOGLIO, IN PROBABILITA’.x


STIMA DELLA MEDIA DI UNA V.A. CON LA

“MEDIA CAMPIONE

xx

n

ii

n

1 = MEDIA CAMPIONE

NON VOGLIO STIMARE LA V.A. x MA LA SUA MEDIA . OGNI VOLTA CHE RIPETO

L’ ESPERIMENTO USANDO SEMPRE n CAMPIONI . CIOE’ OTTENGO L’ USCITA

DELLA v.a.

E x x

n x

lim

2 0

STIMA NON POLARIZZATA

STIMA ASINTOTICAMENTE STABILE

AL CRESCERE DI n LA STIMA SI STRINGE SEMPRE PIU’ ATTORNO AL VALOR MEDIO VERO.

x

x


VARIANZA CAMPIONE

VOGLIO STIAMARE VARIANZA CAMPIONE

DOVRO’ AVERE :

x

ii

n

x x

n2

2

1

1

LA VARIANZA DI UNA V.A.

E

E

x x

x xn

2 2

2 2 20

NON POLARIZZATA (OCCORRE n-1)

STABILITA’ ASINTOTICA

x2

(SE CONOSCESSI DI UN v.a. x E DOVESSI STIMARE ) x

x xix x

n2 2

2


COSTRUZIONE d.d.p.

SI CREA UN ISTOGRAMMA CON PASSO E Nr. LETTURA DELLA V.A. MOLTO

ELEVATO. SE 0 L’ ISTOGRAMMA NORMALIZZATO (AREA=1) TENDE A DIVENTARE d.d.p.

ORDINATA ISTOGRAMMA AL Nr. VOLTE CHE x CADE NELL’ INTERVALLO . Frequenza relativa

xn (n+1)

K

Ni N=NUM. OSSERVAZIONI DI x

Ki=NUM. DI VOLTE CHE TROVO i<x (i+1) .

Pr n x n pK

Npi

N

1 (1 FORMULAZIONE LEGGE DEI GRANDI NUMERI)a


STIMA DEL PARAMETRO

• TEORIA DECISIONE : SCELTA TRA N STATI POSSIBILI (N FINITO).• TEORIA STIMA : SCELTA TRA N POSSIBILI.

a) STIMA MAX PROB. A POSTERIORI (MAP)

b) MEQM

P R /max

RP R dR P R P / /

max max

SE =COST. P P R MV /max

E E R P R E R d R 2 2 2 2

/ /


2

2 0

E R E R P R d / / /

P R /

''

'

MEQM (V.MEDIO)

MAP

'' '


CANALE AWGN

ES. : PARAMETRO CONTINUO

a) MV

s t f t r t s t n t, ,

P R P R e e

e

e

R s

ni i n

i

M

T

n

T

r s

r t s t dt

hr t s t dt

/ //

,

,

max

2

2

2 2

1

2

02

2

0

2

2

2

2

1

SE Rh h

n n 2 2

2


P R

hr t s t

s tdt MV

T

/,

,

20

0

b) MAP

P e P e

R S

n n

2

22

22 21

2 SE HO :

2

0

20

hr t s t

s tdt MAP

T

,,


(a) PAM CONTINUA

(a1)

(a2)

s t f t,

r t f t f t dt r t f t dt f t dt f t dtTT T T

0 100

2

0

2

0

SE

' r t f t dt MVT

0

P gaussiana G P R P

0 2, /max

''

2

2

2

20 0h

r t f t dt r t f t dtT T


CIRCUITO :

OPPURE CON FILTRO ADATTATO :

''

r t

f t

0

T

'

'

''

r t h t f T t

t T


STIMA PIU’ PARAMETRI

1 2, , .., M

( ES. FREQUENZE, AMPIEZZE DI UN IMPULSO :

CANALE AWGN :

s t t, sen 1 0 2

P e P e

Ph

r t s t dt

R s

h h

T

i

r t s t dtT

22

0

1 2

0

,

ln

ln , HO M EQUAZIONI


SE

SI OTTENGONO EQUAZIONI DEL TIPO :

P P P P M 1 2 ....

iT

iih

r t s ts

dt i M20

20 1

, , ...,


RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA

NELLO SPAZIO DELLE FUNZIONI BASE, LUOGO DEI PUNTI AL VARIARE DI (LA

COSTELLAZIONE DIVENTA UNA CURVA ).

HYP : 1) RUMORE DEBOLE

2) CRITERIO MV :

O’R = MIN DISTANZA

PER EFFETTO DEL RUMORE OO’ CONFONDO CURVA CON TANGENTE

R s

min

2

1

s

s

s

R

O '

tg

n


ds

d

s ss s

ds

d

SEGMENTO OO’ = PROIEZIONE DI

SU tg =V.A. GAUSSIANA n n

hn

0

22,

s s

ds

d

rumore

segnale


2 2

2 2

0

2

2

E

h

Eds

d

h

s tdt

T

,

ERRORE MEDIO SULLA STIMA

SE VARIA DA IL PUNTO SI SPOSTA DA A1 2 s 1 s 2

l lunghezza curva

ds

dd

h

l

1

2

222

ALLORA

SE PER CASO = COSTANTE E SE ds

d

1 20 1

L = LUNGHEZZA TOTALE CURVA s sh

L 1 2

222


NELLA PAM SONO SU UN ASSE

IN TEORIA PER AVERE PICCOLO CURVA MOLTO DILATATA O LUNGHE.

a) BANDA DEL CANALE LIMITATA IMPONE MAX. FUNZIONI BASE

b) Ep = ENERGIA IN Tx E’ FINITA E’ UNA IPERSFERA.

ds

dL

cost . 1 2

2

h

2


ES. : PERCORSI A LABIRINTO

L = GRANDE . HO PUNTI PERO’ MOLTO VICINI CON

DIVERSI FORTE ERRORE ANCHE PER PICCOLO NOISE.

STIMA BUONA SE AUMENTO L CIOE’ SPAZIO SEGNALI (A PARI S/N ) AUMENTO DI

BANDA OCCUPATA DAL SEGNALE.

= ERRORE DI STIMA

0

1

1

2


MOD. FASE + AWGN

s t A t t T

r t s t n t P e e

hr t r t s t s t dt r t s t s t dt

s t dt A t dt AT

T

R sh

r t s t dT

h

T T T

T T

, cos

,

, , , ,

, cos

,max

max

0

2 2

0 0

2

0

2

0

2 2

00

20

0

1

2

12 2

2

1

21 2

0

SE

UNIFORME TRA


r t s t dt A r t t dt

r t t dt r t tc dt tg

r t tdt

r t tdt

T T

T T

T

T

, sen

sen cos cos sen sen

cos

max00

0

00

00

00

00

0


CIRCUITALMENTE :

0

T

0

T

r t sen0t

cos0t

arctg -1

22

0

2 20

0

2

22

1

2

h

s tdt

h

A t dt

h

A T

h

ET Ts, sen

= ENERGIA SEGNALE =EsA T2

2


MODULAZIONE FREQUENZA

s t A tT

tT

Ar t t tdt A r t t tdtT

T

T

T

, sen

sen cosmax

0

2

2

0

2

2

0

2 2

0

NON E’ SVILUPPABILE ANALITICAMENTE. HO BANCO DI FILTRI ADATTATI CHE

REALIZZANO

h t A T ti i sen 0


22

0

2

0

2

2

2

2 2

2 2 2 20

2

22 3

2 2

21

2

2

12

h

s tdt

Eh

At t t dt

h

A t dt

h

A t dt A t t

h

A T

T

T

T

T

T

,

cos

cos cos

cos

diff somma

0 SE 0

1

T


STIMA RITARDO

r t s t dtT

0 max

= DURATA SEGNALE

REALIZZO CON UN FILTRO ADATTATO AL SEGNALE h t s t

r t h t u t

u t r h t d r s t d

s n s t d s s t d

T

T T

0

0 0

0

Correlazione incrociata segnale rumore


u(t) E’ MAX PER -=-t+ tmax= +

CIOE’ PRENDO u(t) ALLA ASCISSA PER LA QUALE HO IL MAX, SOTTRAGGO HO

COSI’

max t

Eh

sdt

h

s

tdt

h

S d

h

f S f df

T T

22

0

2

0

2 2

2 2

2 2 21

2

2


INFATTI POICHE’

s s

ts t

d

dtf t dt j F d f F f F f df

T

0

22 21

2 *

D durata equivalentet s t dt

s t dt

B banda equivalentef S f df

S f df

f S f df

E

Eh

E B

s

s

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

222

PRECISIONE CRESCE CON ENERGIA E BANDA


USO CON PICCOLO (TIPO RUMORE BIANCO).

NON CONVIENE RIDURRE PERCHE’ SI RIDUCE ANCHE

s t R Es

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10 PROBABILITA’ E VARIABILI ALEATORIE.

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