OM SWASTIASTU

Operasi-Operasi Aljabar pada

MatriksOleh :

Agus Hendra Jaya (01)Tubagus Singgih (33)

Kelas XII IPA 1

MATERI-MATERI YANG AKAN DIBAHAS

Penjumlahan dan

Pengurangan

Matriks

PerkalianMatriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Definisi :Jika matriks A = [aij] dan B = [bij] merupakan dua buah matriks yang berordo m × n, maka jumlah kedua matriks tersebut yang dinotasikan dengan A + B adalah suatu matriks baru C = [cij] yang berordo m × n dengan cij = aij + bij untuk setiap i dan j.

2. Lawan Suatu Matriks

Definisi :Jika matriks A = [aij] dan B = [bij] adalah dua matriks yang berordo sama, sedemikian sehingga berlaku A + B = O = B + A, dengan O matriks nol, maka A disebut lawan dari B yang dinotasikan dengan A = -B, matriks B disebut juga lawan dari matriks A yang juga dapat dinotasikan sebagai B = -A. Matriks A dan B yang memenuhi definisi di atas dinamakan matriks yang saling berlawanan.

3. Pengurangan Matriks

Definisi :Jika matriks A = [aij] dan B = [bij] merupakan dua buah matriks berordo m × n, maka matriks A dikurangi matriks B dinotasikan dengan A – B didefinisikan sebagai jumlah matriks A dengan lawan dari matriks B dan ditulis A + (-B) sehingga A – B = A + (-B). Hasil dari pengurangannya merupakan matriks C = [cij] yang juga berordo m × n dengan [cij] = [aij] + [-bij].

Contoh Soal

1. Jika diketahui dan , tentukanlah :a. A + Cb. B + Cc. B + Ct

Jawab :a.

b. B + C = tidak terdefinisi sebab ordo matriks B ≠ ordo matriks C, sehingga B + C tidak ada.c.

01

22

30

,124

752BA

531

230C

453

582

5132)1(4

)2(7)3(502

531

230

124

752CA

53

51

20

50)2(1

32)3(2

)1(300

52

33

10

01

22

30tCB

2. Tunjukkan bahwa matriks dan matriks adalah dua buah matriks yang saling berlawanan ! Jawab :

Karena A + B = B + A = O, maka A dan B dua buah matriks yang saling berlawanan.

109

73A

109

73B

00

00

1010)9(9

)7(733

109

73

109

73BA

00

00

101099

77)3(3

109

73

109

73AB

3. Diketahui dan . Tentukan A - B dan B – A ! Jawab : a.

b.

1112

104A

24

52B

98

52

24

52

1112

104)( BABA

98

52

1112

104

24

52)( ABAB

Pada operasi bilangan berlaku sifat-sifat komutatif, asosiatif, memiliki elemen identitas terhadap penjumlahan. Pada matriks sifat-sifat itu berlaku di mana sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut :Jika matriks A = [aij], B = [bij] dan C = [cij], dan O (matriks nol) adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan dan pengurangan matriks berlaku :a. Sifat komutatif

artinya A + B = B + A b. Sifat asosiatif

artinya (A + B) + C = A + (B + C)c. Mempunyai elemen identitas terhadap operasi

penjumlahan, yaitu O sehingga untuk setiap A = [aij] berlaku A + O = A = O + A

d. Mempunyai invers terhadap penjumlahan, yaitu A + (-A) = (-A) + A = O

Perkalian Matriks

Definisi :Misalnya k € R dan A = [aij] adalah suatu matriks yang berordo m × n. Perkalian bilangan real k dengan matriks A adalah suatu matriks baru yang juga berordo m × n yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen pada A dengan bilangan real k dan diberi notasi kA sedemikian sehingga kA = [kaij].

1. Perkalian Skalar dengan Suatu Matriks

Contoh Soal :

1. Jika , tentukan matriks yang diwakili oleh 2A.

Jawab :

2.Diketahui matriks-matriks dan f(x,y) = 3x – 2y. Tentukan f(B,A)!Jawab :

401

253A

802

4106

)4(2)0(2)1(2

)2(2)5(2)3(2

401

25322A

15

30,

40

32BA

1115

154

80

64

315

90

40

322

15

30323),( ABABf

Berdasarkan definisi perkalian matriks dengan skalar, maka sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar diberikan sebagai berikut :

Jika k,l € R, matriks-matriks A = [aij] dan B = [bij] berordo m × n, maka dalam perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut :1. (k + l)A = kA + lA dan (k – l)A = kA- lA 2. k(BA) = (kB)A3. k(lA) = (kl)A

2. Perkalian Matriks dengan Matriks

Definisi :Apabila matriks A = [aij] adalah matriks yang berordo (m x p) dan matriks B = [bij] adalah matriks yang berordo (q x n), maka perkalian matriks A dan B yang dinotasikan dengan AB dapat dilakukan apabila p x q. Hasil kali matriks AB didefinisikan sebagai matriks C = [cij] yang berordo m x n dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah :cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ...... + aipbqj

Dengan i = 1, 2, 3, ....., m j = 1, 2, 3, ....., n

Dari definisi diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut :

Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua.

Contoh Soal

1. Diketahui dan . a. Tentukan AB dan BA. b. Apakah A.B = B.A? Jawab : a.

Berdasarkan definisi perkalian matriks dengan matriks, perkalian B.A tidak

dapat diselesaikan. b. Dari jawaban a diperoleh kesimpulan bahwa A.B ≠ B.A

01

32A

3

2B

2

13

02

94

)3(0)2)(1(

)3(3)2(2

3

2

01

32AB

2. Diketahui matriks-matriks dan Carilah P.Q. Jawab :

420

132P

52

03

12

Q

2014

33

2000860

502294

5.40.2)1.(02.43.22.0

5.10).3()1.(22.13).3(2.2

52

03

12

420

132PQ

Sama dengan operasi pada bilangan, pada matriks pun juga berlaku sifat-sifat yang berhubungan dengan perkalian matriks. Sifat-sifat dari perkalian matriks adalah sebagai berikut :

1. AB ≠ BA, yaitu tidak berlaku sistem komutatif2. Untuk sembarang k € R, A = [aij] dan B = [bij], maka:

a. (kA)B = k(AB)b. (Ak)B = A(kB)c. (AB)k = A(Bk)

3. Untuk A = [aij], B = [bij] dan C = [cij], maka :

a. A(BC) = (AB)C, jika AB dan BC terdefinisikan atau memenuhi sifat asosiatif.b. A(B + C) = AB + AC, jika AB, AC dan B + C terdefinisikan. Sifat ini disebut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan, danc. (A + B)C = AC + BC, jika AC, BC dan A + B terdefinisikan. Sifat ini disebut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan

Contoh Soal :

1. Jika dan , tunjukkan

bahwa A(BC) = (AB)C! Jawab :

Jadi, A(BC) = (AB)C.

53

02,

03

21BA

14

20C

120

2640

14

20

06

108

14

20

53

02

03

21)(

120

2640

1120

40

03

21

14

20

53

02

03

21)(

CAB

BCA

2. Diketahui dan .

Tunjukkan bahwa A(B + C) = AB + AC. Jawab :

Jadi, A(B + C) = AB + AC.

31

10

01

,523

102BA

17

60

53

C

1934

1412

226

1113

178

31

17

60

53

523

102

31

10

01

523

102

1934

1412

48

70

52

523

102

17

60

53

31

10

01

523

102)(

ACAB

CBA

OM SANTIH, SANTIH, SANTIH OM