Pert. III MK. Probabilitas dan Statistik

FAKULTAS TEKNIK

UNPAB

Dasar Teori Peluang• Ruang Sampel• Kejadian dan Operasinya• Menghitung Titik Sampel : – Permutasi – Kombinasi

Oleh: Agus Junaidi, ST., MT

DEFENISI

Ruang SampleDalam statistik dikenal istilah eksperimen untuk menjelaskan proses membangkitkan sekumpulan data. Contoh dari eksperimen statistik adalah melempar coin. Dalam eksperimen ini ada dua kemungkinan kejadian (outcomes),muka atau belakang.

Ruang sampel• Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S• Contoh : Percobaan pelemparan mata uang

Ruang sample dari eksperimen melempar mata uang adalah: S = (H; T)dimana H dan T bersesuaian dengan muka(head) dan belakang(tail )

Contoh:Tiga item diambil dari suatu process manufacturing, dimana item tersebut diklasifikasikan manjadi dua, defectif (D) dan non-defektif (N). Maka ruang sample S adalah sbb:S = (DDD;DDN;DND;DNN;NDD;NDN;NND;NNN)

Ruang sample yang mempunyai titik sample besar, lebih baik diterangkandengan aturan, misalkan:

S = { x I x suatu kota dengan populasi besar dari 1 juta}

Even (Kejadian)• Dari setiap percobaan kita mungkin inginmengetahui munculnya elemen-elemen dari ruang sampel yang mempunyai ciri tertentu.Sekelompok titik sampel itu membentukhimpunan bagian dari S• Contoh : Percobaan pelemparan 3 koin

Event adalah subset dari ruang sample, yaitu suatu kejadian dengan kondisi tertentu.Contoh:Diberikan suatu ruang sample:

dimana t adalah umur dalam satuan tahun suatu komponen elektronik.

Suatu Event A adalah umur komponenyang kurang dari lima tahun, atau dituliskan }50{ ttA

}0{ ttS

KomplemenDefenisi:Komplemen dari event A terhadap S adalah subset dari semua elemen S yang bukan elemen dari A. Komplemen dari A dituliskan dengan A’

Contoh:Misalkan R adalah event dimana kartu warna merah diambil dari 52 kartubridge. Komplemen dari R adalah R’ yaitu kartu dengan warna hitam.

Irisan/Interaksi

BA

Defenisi:Interseksi/irisan dari dua event A dan B adalah suatu event yang memuat elemen yang ada di A dan B, dinotasikan dengan

Dua event A dan B dikatakan mutually exclusive atau disjoint jika BA

Union

Union dari dua event A dan B dinotasikan dengan A U B adalah suatu eventdengan element dari A atau B atau keduanya.

A ∩ B = Region 1 dan 2

B ∩ C = Region 1 dan 3

B U C = Region 1,2,3,4,5,6

Region 4 dan 7 B’ ∩ A = A ∩ B ∩ C = Region 1

(A U B) ∩ C’ = Region 2,6,7

Perhitungan Titik sampelBila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila setiap operasi tersebut dapat dilakukan dengan n2 cara, maka kedua operasi tersebut dapat dilakukan dengan n1 n2 cara

Contoh: Berapa banyak titik contoh terdapat didalam ruang contoh pada saat dua buah dadu dilambungkan satu kali?Solusi: Dadu Pertama dengan n1 = 6 Cara Dadu Kedua dengan n2 = 6 Cara Pasangan Dadu dapat jatuh dengan n1*n2=36 Cara

PERMUTASI

PERMUTASI ADALAH PENYUSUNAN SEMUA ATAU BAGIAN DARI SUATU HIMPUNAN OBJEK yang berbeda

Teorema 1Contoh: Ambil 3 huruf a,b,c. Permutasi yang mungkin adalah:abc,acb,bac,bca dan cba, cab . Ada 6 susunan yang berbeda

Atau..

JUMLAH PERMUTASI n OBJEK YANG BERBEDA ADALAH n! baca: n factorial

a,b,c ; a,c,b ; b,a,c Pilihan Untuk Posisi Pertamab,c,a ; c,a,b Pilihan Untuk Posisi Keduac,b,a Pilihan Untuk Posisi Ketiga

n1 n2 n3 = (3)(2)(1) =3! = 6 Permutasi

UNTUK CONTOH SEBELUMNYA: TIGA HURUF a,b,c ADA ENAM SUSUNAN YANG BERBEDA,

Teorema 2 .Jumlah Permutasi n objek yang diambil r sekaligus adalah:

)!(

!

rn

nPrn

Contoh:Dua tiket Lotere di tarik dari 20 Tiket untuk hadiah pertama dan kedua, Carilah jumlah titik contoh didalam ruang S ?Jawab 20P2 = (20!)/(20!-2!)= 20*19 = 380

Teorema 3. Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda disusun melingkar adalah (n-1)!, dimana satu objek dianggap mempunyai posisi tetap sehingga ada (n-1) yang disusun.

Bila objek-objek tersebut ada yang sama, maka akan terdapat susunan yang berulang. Misalkan dari tiga huruf a,b,c dengan b=c=x, maka kemungkinan susunan adalah axx; axx; xax; xax; xxa; xxa sebenarnya hanya ada 3 susunan yang berbeda. Susunan tersebut dihitung dengan cara 3!/2! = 3.

Contoh Teorema 3• Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!• Contoh : Dalam suatu permainan bridge ada empat pemain duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam permainan tersebut?

Jumlah permutasi yang berbeda dari n objek yang terdiri dari n1 jenis 1, n2jenis 2, ... ,nk jenis ke-k adalah: n! n1! n2! :::nk!

Contoh:Terdapat lampu merah 3, lampu kuning 4, dan lampu biru 2 akan dipasangdengan tiga sinar pada 9 socket. Berapa kemungkinan yang dapak disusun.Jawab: 9!3! 4! 2!

Terima Kasih

Soal Pratest

1. Jelaskan pengertian dari ruang sampel dan Irisan… waktu 2 menit

2. Tuliskan dalam bentuk tabulasi S=(xIx2, 0<x<4, x bil bulat)

3. Jika dalam suatu kotak terdapat 25 bola merah dengan nomor 1 sd 25, berapa titik sampel di peroleh bola 1 2 dan 3

No.4. berapa susunan objek yang berbeda dari sekumpulan data dengan 5 objek data yang berbeda