BAB VII MATCHINGMatching pada graf G merupakan himpunan semua rusuk-rusuk G yang tidak memiliki simpul persekutuan. Dapat juga didefinisikan matching adalah himpunan rusuk-rusuk graf G yang saling asing. Matching pada graf G adalah himpunan rusuk pada graf G yang tidak hadir pada simpul yang sama. Sebagai contoh perhatikan gambar berikut:V1 V2

V3

V4

Pada gambar diatas, m1 = {v1 v2 } dan m2 = {v1 v3, v2 v4 } adalah contoh matching di graf G. Metching tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut: m1 : v1 v2 rusuk) m1 : v1 v3 v2v4 rusuk) Perfect Matching (Faktor-1) Jika rusuk-rusuk dalam suatu matching memuat semua simpul graf G, maka matching semacam ini disebut perfect matching atau faktor-1. Berikut ini adalah contoh perfect matching (faktor-1) pada graf G pada gambar di atas: F1 : v1 v3 v2 v4 atau F1 : v1 v2 v3 v4 atau F1 : v1 v4 v3 v2 Menurut Mardiyono (1997 : 6) faktor-1 dari graf G adalah graf bagian teratur dan berderajat satu yang memuat semua simpul G. Dengan demikian jika suatu graf memiliki faktor-1 atau perfect matching, maka banyaknya simpul harus (matching pada graf G yang terdiri dari dua (matching pada graf G yang terdiri dari satu

genap. Tetapi hal ini tidak menjamin berlaku sebaliknya. Suatu graf G yang banyaknya simpul genap tidak menjamin adanya faktor-1. Berikut ilustrasi dari tidak adanya faktor-1 pada graf G meskipun memiliki jumlah simpul n(G) genap.

Tampak pada gambar diatas, graf G tidak memiliki faktor-1 meskipun n(G) genap. Faktorisasi-1 Himpunan rusuk pada dua faktor-1 graf G dikatakan saling asing jika rusuk-rusuk pada kedua himpunan faktor-1 tersebut tidak memiliki rusuk persekutuan. Suatu graf G yang semua rusuknya dapat dibentuk dalam sejumlah faktor-1 yang saling asing, maka G dikatakan sebagai faktorisasi-1. Dari definisi faktorisasi-1 dapat dikatakan bahwa suatu graf yang memiliki faktorisasi-1 pasti merupakan graf teratur yang banyak simpulnya genap, akan tetapi tidak setiap graf teratur dengan banyaknya simpul genap selalu memiliki faktorisasi-1. Berikut contoh mengenai mengenai hal tersebut.

Misalkan dari graf G di atas diambil faktor-1 yaitu F1 : ab cd ef gh ij

Sisa rusuk dari graf G setelah pengambilan F1 sudah tidak bisa dibuat faktor-1, hal ini mengakibatkan bahwa graf G tidak memiliki faktorisasi-1

Teorema Graf K2n mempunyai faktorisasi-1 Bukti: Misalkan K2n mempunyai himpunan simpul {1, 2, 3, ...................,2n-1, 2n}. Misla dibuat bagian konstruksi dengan simpul 2n sebagi pusat, seperti terlihat pada gambar dibawah. Selnajutnya dibuat faktor yang terdiri atas n rusuk sedemikian hingga posisi salah satu rusuk tegak lurus dengna (2n 1) rusuk lainnya.

Selanjutnya dibentuk faktorisasi-1 pada K2n dengan membentuk 2n 1 faktor-1 yang slaing asing. Misal faktorisasi-1 pertama adalah: F1 : 1(2n) 2(2n-1) 3(2n-2) n(n+1)

Kemudian untuk mendapatkan faktor-1 yang lain, diperoleh dengan cara memutar bagan di atas dengan sudut putar dengan simpul 2n

sebagai sudut putarnya. Untuk putaran yang pertama misal diperoleh faktorisasi-1 sebagai berikut: F2 : (2n-1)(2n) (2n-2)1 (2n-3)2 n(n-1)

Langkah ini diteruskan hingga diperoleh (2n 1) faktor-1 pada K2n. Dengan metode ini secara umum akan diperoleh faktor-1 sebagai berikut: Fi : ni(i + 1)(i 1) (i + 2)(i 2) (i + 3)(i 3)......................... (i + (2n - 1))(i (2n 1)) Perhatikan bahwa simpul ujung Fi merupakan bilangan bulat positif yang kongruen dengan modulo 2n 1. Hal ini menunjukan bahwa tidak ada dua

faktor-1 yang mempunyai rusuk persekutuan. Untuk i = 1,2,3,...........,2n -1 maka Fi merupakan faktorisasi pada K2n. Dengan demikian terbukti bahwa K2n mempunyai faktorisasi-1. Untuk memperoleh faktorisasi-1 pada K2n dapat dilakukan dengan cara pemilihan faktor-1-faktor-1 pada K2n secara random sehingga diperoleh himpunan faktor-1 pada K2n, maka ada dua kemungkinan hasil yang diperoleh yaitu: y y Diperoleh faktorisasi-1 pada K2n Tidak diperoleh faktorisasi-1 pada K2n (gagal) Untuk hasil faktorisasi-1 yang gagal, ada dua kemungkinan yang diperoleh yaitu : 1. Komplemen dari himpunan faktor-1 yang diperoleh dengan pemilihan secara random masih dapat memuat faktor-1,tetapi tidak memiliki faktorisasi-1. Himpunan faktor-1 semacam ini dinamakan dengan Himpunan Prematur Faktor-1 2. Komplemen dari himpunan faktor-1 yang diperoleh secara random sudah tidak memuat faktor-1 dan bukan merupakan graf nol. Himpunan faktor1 semacam ini dinamakan dengan Himpunan Maksimal Faktor-1 Himpunan faktor-1 S di graf G disebut maksimal jika: a. faktor1-faktor-1 di S saling asing b. tidak ada faktor-1 dari G yang saling asing dengan semua anggota S c. gabungan semua anggota S tidak sama dengan G Berikut ini diberikan ilustrasi mengenai himpunan maksimal faktor-1 pada K6 dengan himpunan simpul {A,B,C,D,E,F}. Andaikan setelah dilakukan pemilihan faktor-1 secara acak diperoleh himpunan faktor-1 sebagai berikut: F1 : AB CD EF F2 : AD BE CF F3 : AF BC DE

Komplemen himpunan maksimal faktor-1 di atas adalah Gc :

Setelah

dilakukan

pengecekan

pada

Gc,

ternyata

sudah

tidak

memuat faktor-1 lagi. Karena sudah tidak memuat faktor-1, maka himpunan F={Fi , i=1, 2, 3} di atas merupakan himpunan maksimal faktor-1.