Present as an Kompleks

Analisis Kompleks(Mata Kuliah Semester VII)

Yulianti Rusdiana

Universitas Pamulang

2014

BILANGAN KOMPLEKS

Outline

1 BILANGAN KOMPLEKSSistem Bilangan KompleksKonjugat Bilangan KompleksVektor dan ModulusBentuk kutub (Polar) Bilangan KompleksBentuk Eksponensial Bilangan KompleksAkar Bilangan KompleksArgumen dari Hasil Kali dan Hasil Bagi

2 FUNGSI KOMPLEKS

3 REFERENSI

Yulianti Rusdiana (Universitas Pamulang) Analisis Kompleks 2014 2 / 20

BILANGAN KOMPLEKS Sistem Bilangan Kompleks

Pengertian Bilangan kompleks

1 Himpunan bilangan kompleks merupakan himpunan terbesar di dalammatematika.

2 Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C.3 Bilangan kompleks terdiri dari 2 komponen :

Komponen bilangan nyata (real),Komponen bilangan khayal/imajiner (imaginary).

4 Bilangan imaginer adalah bilangan bertanda negatif di bawah tandaakar.

5 Satuan imajiner (imaginary unit) dinotasikan dengan i2 = −1.

Contoh Bilangan imajiner√(−1) = i ,√(−4) =

√4(−1) =

√4√−1 = 2i



Definisi

Definisi 1.1Bilangan kompleks z dapat dinotasikan sebagai pasangan bilangan real(x , y) dan ditulis z = (x , y) dengan x adalah bagian real dari z, dan yadalah bagian imajiner dari z, dinotasikan berturut-turut x = Re(z) dany = Im(z)

Dua bilangan kompleks z1 dan z2 dikatakan sama jika bagian real danbagian imajinernya sama.

Operasi Penjumlahan dan Perkalian Bilangan KompleksDiberikan z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) ∈ C, berlaku

(x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2) dan (1)(x1, y1)(x2, y2) := (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)



Bentuk Umum Bilangan Kompleks

Bentuk UmumUntuk x , y ∈ R maka bentuk umum bilangan kompleks adalah

z = x + iy

dengan i2 = −1, x = Re(z) dan y = Im(z).

Jika y = 0, maka z merupakan bilangan real.Jika x = 0 maka z bilangan imajiner murni (pure imaginary).



Geometri Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z dapat dinotasikan sebagai pasangan berurut (x , y),sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik (x , y) pada bidangkompleks (bidang xy), dengan sumbu x (sumbu real) dan sumbu y (sumbuimajiner).



Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Kompleks

Hukum komutatifz1 + z2 = z2 + z1, untuk semua z1, z2, z3 ∈ C dan z1z2 = z2z1, untuksemua z1, z2, z3 ∈ C.Hukum asosiatifz1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, untuk semua z1, z2, z3 ∈ C danz1(z2z3) = (z1z2)z3, untuk semua z1, z2, z3 ∈ C.Elemen-elemen identitasUntuk sebarang z ∈ C, terdapat elemen 0 ∈ C sehingga z + 0 = z danterdapat elemen 1 ∈ C sehingga z .1 = z .Elemen inversUntuk sebarang z = x + iy ∈ C, terdapat −z ∈ C sehinggaz + (−z) = 0 dan terdapat z−1 ∈ C sehingga zz−1 = 1.Hukum distributifUntuk semua z1, z2, z3 ∈ C berlaku z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.



Bukti. Elemen invers terhadap perkalianUntuk menemukan z−1 akan dicari bilangan real u dan v sehingga

(x + iy)(u + iv) = 1(xu − yv) + i(xv + yu) = 1.

Oleh karena itu, bilangan real u dan v harus memenuhi

xu − yv = 1 dan xv + yu = 0.

Dengan demikian, diperoleh

u =x

x2 + y2 dan v =−y

x2 + y2

sehingga invers perkalian dari z = x + iy ∈ C adalah

z−1 = u + iv =x

x2 + y2 + i(−y

x2 + y2

)dengan z 6= 0.

�



Contoh 1.21 Jika z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2, Buktikan bahwa

z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2)!2 Diketahui z1 = 2+ 3i dan z2 = 5− i . Tentukan z1 + z2, z1 − z2, z1z2,

dan z1z2!

Solusi1 z1 − z2 = (x1 + iy1)− (x2 + iy2) = (x1 + iy1) + (−x2 − iy2) =

x1 − x2) + i(y1 − y2).

2 z1 + z2 = (2+ 3i) + (5− i) = 7+ 2i danz1 − z2 = (2+ 3i)− (5− i) = −3+ 4ilanjutkan untuk z1z2 dan z1

z2.


BILANGAN KOMPLEKS Konjugat Bilangan Kompleks

Konjugat Kompleks

Definisi 1.3Konjugat kompleks/sekawan kompleks (complex conjugate), atau biasadisebut konjugat (conjugate) dari bilangan kompleks z = x + iydidefinisikan sebagai bilangan kompleks x − iy dan dinotasikan dengan zatau z∗ sehingga

z = x − iy .

Bilangan z direpresentasikan oleh titik (x ,−y) pada bidang kompleks yangmerupakan refleksi pada sumbu real dari titik (x , y) yang merepresentasikanbilangan z .


BILANGAN KOMPLEKS Konjugat Bilangan Kompleks

Sifat konjugat Kompleks

Jelas dari definisi bahwa z = z , |z | = |z | dan zz = x2 + y2 = |z |2 untuksebarang z = x + iy ∈ C.

Proposisi 1.4Untuk sebarang bilangan kompleks z1, z2 ∈ C, berlaku

1 z1 + z2 = z1 + z22 (z1z2) = z1 z2

3

(z1z2

)=

z1z2

Diperhatikan bahwa z + z = 2x dan z − z = 2iy , sehingga

Re(z) =z + z2

dan Im(z) =z − z2i

.


BILANGAN KOMPLEKS Vektor dan Modulus

Vektor

Bilangan kompleks z = x + iy dapat disajikan sebagai vektor berarah padabidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektormerupakan titik (x , y). Berikut ini bilangan z = x + iy dan −2+ idisajikan sebagai titik dan vektor.



Diberikan z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2, penjumlahannya berupaz1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) yang dapat dinotasikan sebagai pasanganberurut (x1 + x2, y1 + y2). Hal ini berarti, titik tersebut dapat disajikansebagai vektor dengan pasangan berurut (x1 + x2, y1 + y2) sebagaikoordinat ujung vektornya.



Modulus

Definisi 1.5Modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks z = x + iy , dinotasikandengan z, didefinisikan sebagai

|z | =√

x2 + y2

Secara Geometri, bilangan |z | adalah jarak antara titik (x , y) dengan titikasal, atau radius dari vektor yang merepresentasikan bilangan z .

SifatJika diberikan z1, z2 ∈ C, maka berlaku

1 |z1z2| = |z1||z2|

2

∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ = |z1||z2|

3 |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|4 ||z1| − |z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1|+ |z2|


BILANGAN KOMPLEKS Bentuk kutub (Polar) Bilangan Kompleks

Bentuk kutub (Polar) Bilangan Kompleks

Selain dinyatakan dalam bentuk z = x + iy = (x , y), bilangan kompleks zdapat dinyatakan dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaituz = (r , θ) dengan r merupakan modulus dari z dan θ adalah sudut antarasumbu x positif dengan 0z , dinamakan argumen dari z , ditulis arg z

x = r cos θ dan y = r sin θsehingga θ = arctan

( yx

)Berdasarkan

teorema Pythagoras, diperolehr =

√x2 + y2 = |z |, untuk z 6= 0

Bentuk kutub bilangan kompleksadalah z = x+iy = r cos θ+ir sin θ =r(cos θ + i sin θ) dan konjugatnyaz = r(cos θ − i sin θ).


BILANGAN KOMPLEKS Bentuk kutub (Polar) Bilangan Kompleks

Latihan

1. Hitunglah setiap bentuk berikut jika diketahui z1 = 1− i , z2 = −2+ 4ia. |2z2 − 3z1|2b. |z1z2 + z2z1|

2. Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleks berikut dan gambarkangrafiknya pada bidang kompleksa. 2 + 2i

√3

b. −5 + 5i3. Diketahui z1 = 1+ i , z2 =

√3+ i . Tentukan

a. mod (z1, z2) dan arg z1z2

b. mod(

z1z2

)dan arg

(z1z2

).


BILANGAN KOMPLEKS Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks

Selain penulisan bilangan kompleks z = (r , θ) = r(cos θ + i sin θ), bilangankompleks z dapat ditulis dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = re iθ,dan sekawannya adalah z = re−iθ.

Deret MacLaurin

f (x) =∞∑

n=0

an(x − x0)n, dengan an =

f (n)(x0)

n!


FUNGSI KOMPLEKS

Outline

1 BILANGAN KOMPLEKS

2 FUNGSI KOMPLEKS

3 REFERENSI


REFERENSI

Outline

1 BILANGAN KOMPLEKS

2 FUNGSI KOMPLEKS

3 REFERENSI


REFERENSI

Referensi

Churchill, R. V. and Brown, J. W., 2009, Complex Variables andApplications Eighth Edition, New York, Mc. Graw-Hill HigherEducation.


Present as an Kompleks

Documents

Transcript of Present as an Kompleks