PPS 503PPS 503TEKNIK ANALISA DATATEKNIK ANALISA DATAPERTEMUAN KE DUAPERTEMUAN KE DUA

5. RATA-RATA HARMONIS5. RATA-RATA HARMONISBiasanya digunakan apabila data dalam Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk pecahan atau desimal.bentuk pecahan atau desimal.

Untuk data tidak berkelompokUntuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompokUntuk data berkelompok

X1

n RH

Xf

f RH

BERIKUTDATA

HARMONISRATA -RATAHITUNG : CONTOH

112, 100, 88, 76, 64, 52, 40,

X1

n RH

ANPENYELESAI

EXCEL DENGAN

ATAU RUMUS PAKAI MAUAPA

67.76RH

DIPEROLEH EXCEL DENGAN

RATA-RATA HARMONIS RATA-RATA HARMONIS (lanjutan)(lanjutan)

Contoh :Contoh :Interval Kelas Nilai Tengah (X) Frekuensi f / X

9-21

22-34

35-47

48-60

61-73

74-86

87-99

15

28

41

54

67

80

93

3

4

4

8

12

23

6

0,2

0,143

0,098

0,148

0,179

0,288

0,065

Σf = 60 Σf / X = 1,12

53,59 121,1

60 RH

RATA-RATA UKUR :

Rata-rata ukur baik digunakan bila perbandingan tiap dua data berukuran tetap atau hampir tetap

nnx.x.xU 21

842 321 x ,x ,x

data dari ukurrata -rata tentukan : Contoh

464842 33 U

728 240, 80, 39, 8, 3, DARI

RATA UKUR-RATA BERAPAKAH

728240802983

HITUNG BAPAK/IBU MAUAPA 6

EXCELL DENGAN KERJAKAN

DIRIMENYIKSA JANGAN

2033687.75 UDIPEROLEH EXCEL DENGAN

nnx.x.xU ini berikut

ukurrata -rata rumu kembali perhatikan

21

????? besaryang data

untuk digunakan ini rumus layak apakah

400020001000500 4321 x ,x ,x ,x

kalauBagaimana

4

4

000000000400

400020001000500

...U

U

ganti,

menyiksa ini

logaritma gunakan tetap, selalu

berdekatandata dua tiap nperbadinga

tapi besar,yang data untukMaka

n

xlog Ulog i

diperoleh atas didata untukMaka

02026

698972

.4000log 3.30103,log 2000

31000log ,.500log

1505153

4

6020633010333698972

.4

12.60206

...

4

xlog Ulog i

91414.21356 U

SAMAHASILNYA PASTI

EXCEL DENGAN KERJAKANCOBA

dll bakteri penduduk, npertumbuha seperti

tertentu syarat dengan tumbuh bersifat

yang penomena denganBagaimana

sbb rumus gunakan itu seperti

kondisirata -rata menghitung Untuk

t

t

xPP

10010

digunakanyang waktusatuan t

npertumbuharata -rata x

awal Keadaan P

akhir keadaanP

0

t

tahunnya setiapIndonesia penduduk

npertumbuha LAJUrata -rataBerapa

00. 230,000,0menjacapai 2009

tahun akhir sedangkan 0,000.ada 208,00

2005tahunpada Indonesia Penduduk

: Contoh

.000,000,230P .000,000,208P 4,t t0

4

0

1001000000208000000230

1001

X,,,,

XPP

t

t

4

1001000000208000000230

Xlog,,log,,log

10014000000208000000230

Xlog,,log,,log

100143181836178

Xlog..

3181836178100

14 ..X

log

43181336173100

1 /..X

log

01090100

1 .X

log

02541100

1 .X

02540

100.

X

542.X

%.X adalah

Indonesia penduduk npertumbuha laju

maka atas, didata nberdasarka Jadi

542

frekuensi distribusi tabel dalam disusun

telahyang data untuk ukurrata -Rata

i

ii

f

xlogf ULog

sederhanayang

data ambilkita contoh sebagai

mahasiswaorang 80 dari ujian nilaidata Misalkan

NILAI UJIAN fi xi Log xi fi Log xi

(1) (2) (3) (4) (5)

31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 8081 – 90 91 – 100

125

15252012

35.545.555.565.575.585.595.5

1.55021.65801.74431.81621.87791.93201.9800

1.55013.31608.7215

27.243046.947538.640023.7600

Jumlah 80 - - 150.1782

??? excel M. dengan atas di

tabel membuatcara dibahas perluApa

NILAI UJIAN fi Xi log xi fi log xi1 2 3 4 5

31 - 40 1 35.5 1.55022835 1.55022835341 - 50 2 45.5 1.6580114 3.31602279351 - 60 5 55.5 1.74429298 8.72146491661 - 70 15 65.5 1.8162413 27.243619571 - 80 25 75.5 1.87794695 46.9486737981 - 90 20 85.5 1.93196611 38.6393222991 - 100 12 95.5 1.98000337 23.76004046Jumlah 80 150.1793721

i

ii

f

xlogf ULog

877242.180

179372.150 ULog

78.75U

MedianMedian

Nilai yang terdapat persis di tengah-tengah Nilai yang terdapat persis di tengah-tengah jika nilai semua pengamatan diurutkan dari jika nilai semua pengamatan diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar.yang terkecil sampai terbesar.

15,15,15,20,20,21,25,3615,15,15,20,20,21,25,36 Ada 8 nilai pengamatan dan nilai Ada 8 nilai pengamatan dan nilai

pengamatan 4 dan pengamatan 5 berada di pengamatan 4 dan pengamatan 5 berada di tengah-tengah, karena nilainya sama-sama tengah-tengah, karena nilainya sama-sama 20 maka mediannya adalah 20. Jika kedua 20 maka mediannya adalah 20. Jika kedua pengamatan tsb berbeda nilainya maka pengamatan tsb berbeda nilainya maka median harus dihitung dengan cara median harus dihitung dengan cara interpolasi.interpolasi.

UKURAN LETAKUKURAN LETAK(UKURAN (UKURAN

PEMUSATAN)PEMUSATAN) Rata-rata (purata)Rata-rata (purata)Median, Median, ModusModusKuartilKuartil DesilDesil PersentilPersentil

ModusModus

Adalah nilai yang paling tinggi Adalah nilai yang paling tinggi frekuensi kemunculannya.frekuensi kemunculannya.

Suatu variabel dapat memiliki lebih Suatu variabel dapat memiliki lebih dari satu modus, misalnya bimodal= dari satu modus, misalnya bimodal= dua nilai modus; multimodal= lebih dua nilai modus; multimodal= lebih dari 2 nilai modus dari 2 nilai modus

Perhatikan !Perhatikan !

Jika distribusinya betul-betul normal Jika distribusinya betul-betul normal ((bell shapebell shape/berbentuk lonceng) maka /berbentuk lonceng) maka ketiga ukuran central tendency ketiga ukuran central tendency tersebut nilainya sama.tersebut nilainya sama.

Artinya distribusi nilai variabel Artinya distribusi nilai variabel contoh tsb tidak betul-betul normal.contoh tsb tidak betul-betul normal.

2. Median2. Median

a. Data Tidak Berkelompoka. Data Tidak Berkelompok

b. Data Berkelompokb. Data Berkelompok

2

1

NMed

xCiFKM

FHTTKMed

TK = tepi kelas dari kelas median yg diatasnyaFHT = frekuensi yang harus ditambahkan utk mencapai medFKM = frekuensi pada kelas medianCi = interval kelasMed = nilai median

2

NMed

Distribusi F Tepi Kelas F Relatif

30 - 39

40 - 49

50 - 59

60 - 69

70 - 79

80 - 89

90 - 99

4

6

8

12

9

7

4

29.5

39.5

49.5

59.5

69.5

79.5

89.5

99.5

0

4

10

18

30

39

46

50

601 50 601 1

Letak median = N/2 = 50/2 = 25

Md=25

Contoh Median

xCiFKM

FHTTKMed

1012

75,59 xMed

3. Modus3. Modusa. Data tidak berkelompok dan Jenis Modusa. Data tidak berkelompok dan Jenis Modus

a. no modusa. no modus

b. mono modusb. mono modus

c. bi modusc. bi modus

b. Data Berkelompokb. Data Berkelompok

xCidd

dLiMo

21

1

Li = tepi kelas bawah dari kelas yang memuat modus d1 = selisih frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya d2 = selisih frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya

Ci = interval kelasMo = nilai modus

Distribusi F Tepi Kelas

30 - 39

40 - 49

50 - 59

60 - 69

70 - 79

80 - 89

90 - 99

4

6

8

12

9

7

4

29.5

39.5

49.5

59.5

69.5

79.5

89.5

99.5

50

Contoh ModusContoh Modus

Frekuensi Modusd1

d2

xCidd

dLiMo

21

1

1034

4559 x.Mo

6521657155597

40559 ....Mo

DISTRIBUSI SIMETRIS

Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai rata-rata sama dengan luas kurva disebelah kanan nilairata-rata.

Curve B :Skewed Left

Curve A :Skewed Right

KEMENCENGAN

Distribusi menceng ke kanan (Curve A): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebanyakan berada disebelah kanan nilai rata-rata.

Distribusi menceng ke kiri (Curve B): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari rata-rata (ekornya menjulur ke kiri)

METODA PENGUKURAN KEMENCENGAN

Koefisien Karl Pearson:

Sk = ( x – mo)/s

Catatan:Jika Sk positif artinya distribusi frekwensi menceng ke kanan.Jika Sk negatif artinya distribusi frekwensi menceng ke kiri.Jika Sk = 0 artinya distribusi frekwensi simetris.

Sk = Kemencenganx = Rata-rataMo = Moduss = deviasi standar

Yang ini hanya bagi peminat statistik lebih detil

Hubungan Rata-rata Hitung, Median dan Modus

X - Mo = 3(X - Md)

Mo = X – 3 (X – Md)

Sk = (X – Mo)/s

X – {X – 3 (X – Md)}

sSk =

3 (X – Md)}s

Sk =

Yang ini hanya bagi peminat statistik lebih detil

X > Md > Mo X < Md < Mo

X = Md = Mo

Sk = ( x – mo)/s

I. KUARTILI. KUARTILII. DESILII. DESIL

III. PERSENTILIII. PERSENTIL

BISAKAH DIPELAJARI BISAKAH DIPELAJARI SENDIRISENDIRI

I. KUARTILI. KUARTILUkuran yang membagi distribusi menjadi 4 bagian Ukuran yang membagi distribusi menjadi 4 bagian

sama besarsama besar

kuartil nilai tentukan 3.

kuartil letak tentukan 2.

nilainya urutan menurutdata Susun 1.

kuartil menentukan untuk langkah

1,2,3 i ,

niK letak

rumus dengan ditentukan kuartil Letak

i

4

1

70, 60, 52, 86, 94, 92, 56, 64, 57, 66, 82, 75,

berikutdata dari ke 3 kuartil Tentukan

94 92, 86, 82, 75, 70, 66, 64, 60, 57, 56, 52,

besaryang ke kecilyang

dari disusun dahulu terlebihMaka

anPenyelesai

9ke data 10 -ke data 9ke dataK

adalah K nilaiMaka

9ke data4

1123ke dataK Letak

43

3

3

43

3

85 82 -86 82K 43

3

berikut rumus dengandihitung

kuatilmaka frekuensi, distribusi

tabel dalam disusun sudahdata Kalau

f

Fin

pbK i4

i

i

i

i

K kelas frekuensi f

K kelas

sebelum frekuensisemua jumlahF

K kelaspanjang p

berada K bawah batas b

Contoh

NILAI UJIAN Fi

31 – 4041 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

12515252012

Jumlah 80

ke 3 kuartil Tentukan

f

Fin

pbK i4

58620

484803

10580 ..K 3

DESILDESILUkuran yang membagi distribusi menjadi 10 bagian Ukuran yang membagi distribusi menjadi 10 bagian

sama besarsama besar

Desil nilai tentukan 3.

Desil letak tentukan 2.

nilainya urutan menurutdata Susun 1.

Desi menentukan untuk langkah

9 ., . . 1,2,3, i ,

niD letak

rumus dengan ditentukan kuartil Letak

i

10

1

70, 60, 52, 86, 94, 92, 56, 64, 57, 66, 82, 75,

berikutdata dari ke 3 kuartil Tentukan

94 92, 86, 82, 75, 70, 66, 64, 60, 57, 56, 52,

besaryang ke kecilyang

dari disusun dahulu terlebihMaka

anPenyelesai

9ke data 10 -ke data0.1 9ke dataD

adalah D nilaiMaka

9,1ke data10

1127ke dataD Letak

7

7

7

482.82 -860.1 82K 3

berikut rumus dengandihitung

Desilmaka frekuensi, distribusi

tabel dalam disusun sudahdata Kalau

f

Fin

pbD i10

i

i

i

i

D kelas frekuensi f

D kelas

sebelum frekuensisemua jumlahF

D kelaspanjang p

berada D bawah batas b

Contoh

NILAI UJIAN Fi

31 – 4041 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

12515252012

Jumlah 80

ke 3 Desil Tentukan

f

Fn

pbD3103

27115

810

803

10560 ..K 3

100 dibagicuma Desil, dan Kuartil

dengansama caranya sama,yang bagian

100 menjadi dibagidata jika Persentil,

berlaku akan dengansama tanda bilakah modus,

median, rata,-Rataantara hubunganBagaimana c.

Mediandaripada stabil lebihrata -ratamengapa b.

persentil Desil,

modus, median, ukuran, dari kegunaan Apakah a.

tentanganta komentar berikan 1.

I TUGAS

lansungn perhitungadengan hasilnya bandingkan

60, ke persentildan 4 ke Desil pertama, kuartil

modul, median, rata,-ratahitunglah Kemudian

frekuensi distribusi tabeldalamsusun kemudian

datum 140sebanyak data sebarangBuatlah 2.

baik lebihyang sebaliknya kah

bila dan kekanan kemiringan dari baik lebih kiri

ke Kemiringan tersebutdata sebaiknya bilakah

pendidikanbidang dalamnyata contoh Berikan b.

biasa.rata -rata dengan andibandingk ukur

rata-rata nmenggunakakita baik lebih bilakah

pendidikanbidang dalamnyata contoh a.Berikan 3.

peroleh anda yang hasil terhadappenafsiran Beri

spss,gunakan

mengdengan deviasinyastandart dan variansi

hitunglahdan yafrekuensin distribusi tabel

buatlahkedian buah. 110sebanyak datajumlah

dengan penelitian hasil dataolah -seolahBuatlah

4 no 1 Tugas

4. Susunlah data pada soal no 2 4. Susunlah data pada soal no 2 dalam bentuk tabel distribusi dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, kemudiann hitunglah frekuensi, kemudiann hitunglah variansi dan dan standart deviasinya. variansi dan dan standart deviasinya. Lakukan juga perhitungan dengan Lakukan juga perhitungan dengan menggunakan M.Exel dan menggunakan M.Exel dan bandingkan hasilnya dan beri bandingkan hasilnya dan beri komentar.komentar.

Ukuran Penyebaran • Suatu ukuran baik parameter atau

statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya.

• Ukuran penyebaran membantu mengetahui sejauh mana suatu nilai menyebar dari nilai tengahnya, semakin kecil semakin besar.

PENGANTAR

PENGGUNAAN UKURAN PENGGUNAAN UKURAN PENYEBARANPENYEBARAN

• Rata-rata bunga bank 11,43% per tahun, namun kisaran bunga antar bank dari 7,5% - 12,75%

• Rata-rata inflasi Indonesia 1995-2001 sebesar 18,2% dengan kisaran antara 6% - 78%

• Harga rata-rata saham Rp 470 per lembar, namun kisaran saham sangat besar dari Rp 50 - Rp 62.500 per lembar

Penyebaran nilai data-data numerik Penyebaran nilai data-data numerik dari nilai rata-rata dinamakan dari nilai rata-rata dinamakan dengan variasi atau penyebaran dengan variasi atau penyebaran data.data.

Salah satu cara untuk melakukan Salah satu cara untuk melakukan pengukuran variasi atau penyebaran pengukuran variasi atau penyebaran data adalah standar deviasi. data adalah standar deviasi.

Standar DeviasiStandar Deviasi

Pangkat dua dari standar deviasi Pangkat dua dari standar deviasi dinamakan Varians.dinamakan Varians.Untuk sampel , simpangan baku diberi simbol sUntuk sampel , simpangan baku diberi simbol s

Untuk populasi, simpangan baku diberi simbol Untuk populasi, simpangan baku diberi simbol σσ

VARIANSVARIANSVARIANS

1n

)x(x)x(x)x(xS

2

n

2

i

2

i2

SampelVar ;n

)x(xS

1

n

1i

2

i2

PopulasiVar ;

N

i)x(x

N

1

2

i2

xσ

Untuk tingkat ketelitian lebih tinggi digunakan

)1(

222

nn

xxnS ii Lebih efektif digunakan

Apabila data dari sampel telah disusun Apabila data dari sampel telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka dalam daftar distribusi frekuensi, maka untuk menentukan varians dipakai rumus untuk menentukan varians dipakai rumus ::

)1(

222

nn

xfxfnS iiii

n = banyak data

fi = frekuensi

xi = nilai tengah kelas

contohcontoh Data produksi suatu Data produksi suatu

pabrik selama 80 bulan pabrik selama 80 bulan setelah dibentuk dalam setelah dibentuk dalam tabel distribusi frekuensi tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :adalah sebagai berikut :

Jumlah Produksi

(dalam ton)

Frekuensi(dalam bulan)

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 25

81 – 90 20

91 – 100 12

Jumlah 80

Pertanyaan :

tentukanlah standar deviasi data tersebut !!

solusisolusi

Rumus varians untuk data berkelompok atau Rumus varians untuk data berkelompok atau setelah disusun dalam distribusi frekuensi setelah disusun dalam distribusi frekuensi adalah adalah

)1(

222

nn

xfxfnS iiii

Dan standar deviasi adalah akar kuadrat dari Dan standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians, maka data yang diperoleh disusun varians, maka data yang diperoleh disusun menjadi: menjadi:

Jumlah Produksi (dalam ton)

fi xi xi2 fixi fixi

2

31 – 40 1 35,5 1260,25 35,5 1260,25

41 – 50 2 45,5 2070,25 91,0 4140,50

51 – 60 5 55,5 3080,25 277,5 15401,25

61 – 70 15 65,5 4290,25 982,5 64353,75

71 – 80 25 75,5 5700,25 1887,5 142506,25

81 – 90 20 85,5 7310,25 1710,0 146205,00

91 – 100 12 95,5 9120,25 1146,0 109443,00

Jumlah 80 -- -- 6130,0 483310,00

Frekuen

si dataNilai

Tengah

Kelas

Nilai

Tengah

pangkat

2

Frekuensi

x

Nilai

tengah

Frekuensi

x

Nilai

tengah

pangkat

dua

Banyak Data

Jumlah fi.xiJu

mla

h fi.

xi2

……

Selanjutnya :Selanjutnya :

)1(

222

nn

xfxfnS iiii

)180(80

)6130.(6130)00,483310(.802

S

10,1722 S

10,1722 S varians

12,13S Standar deviasi

APA PERLU KITA APA PERLU KITA BAHAS CARA BAHAS CARA MEMBUAT TABEL DI MEMBUAT TABEL DI ATAS DENGAN ATAS DENGAN MENGGUNAKAN MENGGUNAKAN EXCELEXCEL

TUGASTUGASDilakukan pengukuran suhu (dalam derajat Celcius) 40 Dilakukan pengukuran suhu (dalam derajat Celcius) 40

jenis pipa yang mengalirkan gas pada pengeboran jenis pipa yang mengalirkan gas pada pengeboran lepas pantai dengan data sebagai berikut :lepas pantai dengan data sebagai berikut :

68 84 75 82 68 90 62 88 76 9368 84 75 82 68 90 62 88 76 93

73 79 88 73 60 93 71 59 85 7573 79 88 73 60 93 71 59 85 75

61 65 75 87 74 62 95 78 63 7261 65 75 87 74 62 95 78 63 72

66 78 82 75 94 77 69 74 68 6066 78 82 75 94 77 69 74 68 60

a.a. Buatlah tabel distribusi frekuensi data Buatlah tabel distribusi frekuensi data tersebut !tersebut !

b.b. Hitunglah standar deviasi dari data tersebut !Hitunglah standar deviasi dari data tersebut !

mashadi_l@yahoo.commashadi_l@yahoo.com

mash-mat@unri.ac.idmash-mat@unri.ac.id