POL/NOM/AL

D/ ATAS F/ELD

Bab ini membahas Ring K[t] dari Polinomial atas suatu Field K dan akanditunjUkkimbahwa K[t] mempunyaibanyak sifat yang analog dengan sifat Ring Zdari integer.

DERN/S/ POL/NOM/AL

Sekarang kita definisikan suatu Polinomial di atas suatu Field K dan derajatnya.

Definisi 7.1 (Po/inomia/jMisalkan K adalah suatu Field. Secara formal, suatu Polinomial f di atas K

adalah suatu barisan talc hingga elemen K pada yang semua kecuali sejumlahhingga dari mereka adalah 0: yakni

f = ( ..., 0, ~, ..., ai' ao>

atau,

di sini simbol t digunakan untuk menyatakan sesuatu yang tidak tertentu.

Elemen ak disebut koefis;en ke k dari f.

Jika n adalah integer terbesar, dengan an * 0, maka kita katakan bahwa derajatdari f adalah n, ditulis der(f) =n.

Kita juga menyebut an adalah koefisien terdepan dari f, dan, jika an = 1, kitamenyebut f suatu Polinomial Monik.

Pada lain pihak, jika setiap koefisien dari f adalah 0 maka f disebut PolinomialNol, dituliskan f == O.Derajat dari Polinomial Nol tidak terdefinisi.

Sekarang kita definisikan Ring dari Polinomial atas Field K.

94

Def;n;s; 7.2

Misalkan K[t] koleksi semua Polinomial f(t). Penjumlahan dan perkaliandidetinisikan dalam K[t] sebagai berikut.

Pandang

f(t) =antn + ...+ alt + 30 dan

g(t) =bmtm + ... + bit + bo

Jumlah f+g adalah Polinomial yang didapatkan dengan menambahkan koetisienyang berkorespondensi, yakni jika m s:;n, maka

Selanjutnya, perkalian dari f dan g adalah Polinomial

Yang adalah,

k

ck = L ajbk_1 =30bk + albk_1 + ...+ ~boi=O

Teorema 7.1 digunakan:

Teorema 7.1

K[t] di bawah operasi penjumlahan dan perkalian pada Defmisi 7.2 di atasadalah suatu Ring Komutatif Berunitas, dan tanpa Pembagi Not. (Yakni, K[t] adalahsuatu Daerah Integral.)

Kita akan menunjukkan bagaimana skalar atau konstanta K dapat dipandang .

sebagai suatu himpunan bagian dari K[t].

Kita identitikasikan skalar 30 e K sebagai Polinomial

95

f(t) =ao atau

ao =(...,cf.ao>

Karenanya operasi penjumlahan dan perkaIian dari elemen K adaIah terpenuhidi bawah identiflkasi ini,

(..., 0, ao) + (..., 0, bo) =(..., 0, ao + bo) dan

(..., 0, ao) · (..., 0, bo) = (..., 0, aobO>

Teorema 7.2

Pandang f dan g adaIah PolinomiaI pada K[t]. Berlaku

der(fg) = der(t) + der(g)

Bulcti

Pandang f(t) = ~tn + ... + aOdan g(t) = bmtm + ... + bo dan an * ° danbm*0.

Karenanya

f(t)g(t) =~bmtn+m + suku dari derajat yang lebih rendah.

Berarti Field K tidak mempunyai Pembagi Nol,

Karena itu

der(fg) =n+m

= der(t) + der(g)

96

SIFAT POLINOMIAL

Sitat 7.1

Eelemen ak Nol dari K adaIah Unit dari K[t].

Buldi

Pandang f(t)g(t) = I. Karenanya

o =der(l)

=der(fg)

= der(t) + der(g)

Karenanya der(t) =0 dan der(g) = 0, dan f serta g adalah skalar pada K.

Pada lain pihak, jika a E K dan a ~ 0, maka

a ·a-I = 1

dan a adalah suatu Unit dari K[t].

Sebagai catatan, suatu Polinomial g disebut membagi suatu Polinomial f jikaterdapat suatu Polinomial h sedemikian sehingga

f(t) =g(t)h(t)

Sitat 7.2

Pandang g(t) membagi f(t). Berlaku bahwa

der(g) <= der(f

Buldi

Jika g membagi f, maka terdapat h sedemikian sehingga

f(t) =g(t)h(t)

97

Karenanya, dari Teorema 7.2,

der(f) = der(g) + der(h)

~ der(g)

Sifat 7.3

Pandang f dan g adalah Polinomial, sedemikian sehingga f membagi g dan gmembagi f. Berlaku bahwa

der(f) =der(g) dan

f dan g adalah asosiasi, yakni

f(t) =kg(t)

di sini k E K.

Bukti

Dengan Sifat 7.2 (atau Teorema 7.2),

der( f) E der(g) dan

der(g) E der( f)

Karenanya der(f) = der(g)

Selanjutnya karena g membagi f, maka ada h sedemikian sehingga

f(t) =h(t)g(t)

karena der(f) =der(g), kita dapatkan

der(h) =0

Dengan perkataan lain, h(t) = k, suatu elemen dari K.

98

Sifat 7.4

Pandang d dan d' adalah Polinomial Monik sedemikian sehingga d membagid' dan d' membagi d. Berlaku d =d'

Bukti

Di sini

d(t) =kd'(t)

di sini k E K.

Koefisien terdepan dari d adalah 1, karena Monik, dan koefisien terdepan darikd' adalah k karena d' adalah Monik. Karenanya k = 1 dan d =d'.

ALGORITMA EUCUDEAN, AKAR POUNOMIAL

Berikut ini diberikan tiga teorema tentang Polinomial. Bukti ketiga teorematersebut diberikan kemudian.

Teorema 7.3 (Algoritma Pembagian Euclidean)

Misalkan f(t) dan g(t) adalah Polinomial di atas suatu Field K dengan g(t) :I:O. Karenanya ada Polinomial q(t) dan r(t) sedemikian sehingga

f(t) =q(t)g(t) + r(t)

di sini r(t) =0 atau der(r) < der(g)

Teorema 7.3 di atas secara formal dikenal sebagai proses long division.

99

Teorema 7.4

Pandang a e K adalah akar suatu Polinomial f(t) atas K dengan der(t) =n.Maka terdapat suatu Polinomial q(t) dengan der(q) =n - 1, sedemikian sehingga

f(t) = (t -a)g(t)

Yakni bahwa t-a membagi f(t).

Teorema 7.5

Pandang suatu bilangan rasional p/q (direduksi sebagai suku terendah) adalahsuatu akar dari Polinomial

di sini "n, ..., 80 E Z

Maka p membagi suku konstanta aO,dan q membagi koefisien terdepan an'[Secara khusus, jika c =p/q adalah suatu integer, maka c membagi 80,]

CONTOH AKAR POL/NOM/AL

Contoh berikut ini menggunakan teorema 7.3, 7.4, dan 7.5 yang lalu.

Contoh 7.1

Pandang f(t) =t3 + t2 - 8t + 4. Asumsikan f(t) mempunyai suatu akar rasional.Kita akan mencari semua akar dari f(t).

Karena koefisien terdepan adalah 1, akar rasional dari f(t) hams integer antara:tl, :1:2,:f:4.

Dapat dicatat f(1) *- 0 dan f(-1) *- O.

Dengan menggunakan pembagian oleh t-2, kita dapatkan

100

2 11+1-8+42+6-4

1+3-2+0

Karenanya t = 2 adalah suatu akar, dan

f(t) =(t-2)(~ + 3t -2).

Selanjutnya dengan menggunakan rumus kuadratik untuk t2 + 3t 2 = 0, kitadapatkan akar berikutnya dari f(t). Jadi diperoleh t =2, t =(-3 + .../17)12,t =(3 -.../17)12.

Contoh 7.2

Pandang g(t) = t3 - 2t2 - 6t - 3.Kita akan mencari akar dari g(t), asumsikang(t) mempunyai suatu akar integer.

Akar integer dari g(t) harns antara :1:1,:1:3.Di sini g(1) :#: O. Kita gunakanpembagian sintetik (synthetic division) dengan membagi gi) dtmgan t + 1. Kitadapatkan

1 1 1 -"2 - 6 - 3-1 + 3 + 3

1-3-3+0

Karenanya t = -1 adalah suatu akar, dan

g(t) = (t + 1) (t2 - 3t - 3)

Sekarang kita dapat menggunakan rumus kuadratik pada t2 - 3t 3, untukmendapatkan akar berikutnya. Jadi didapatkan dari g(t) adalah t =-1, t =(3 +.../21)/2, t = (3 - .../21)12.

101

Contoh 7.3

Pandang h(t) =rJ - 2t3 + 11t - 10. Kita akan mencari semua akar Riil.

Akar integer harus antara :tl, :1:2,:1:5,:t1O.

Dengan synthetic division [menibagi dengan t-l dan kemudian dengan t+2]kita dapatkan

1 I 1-2+0+11-101-1-1"+10

2 I 1 - 1 - 1 + 10 + 0-2 + 6 - 10

1-3+5+ 0

Karena itu t = 1 dan t = -2 adalahakar,dan

h(t) =( t- 1) (t + 2) (~ - 3t + 5)

Rumus kuadratik kita gunakan pada ~ -3t + 5 , temyata tidak terdapat akarRiil. Jadi hanya t = 1 dan t = -2 merupakanakarRiil dari h(t).

Contoh 7.4

Pandang f(t) =2t3 - 3t2 - 6t - 2. Kita akan mencarisemua akar dari f(t),diketahui bahwa terdapat suatu akar rasional.

Akar Rasional harus antara :t1, :1:2,:t1l2.

Periksa apakah akar yang mungkin kita dapatkan melalui synthetic division(atau pembagian oleh 2t + 1),

-112 I 2 -3 - 6 - 2-1 + 2 + 2

2-4-4+0

102

------------

Karena itu t =-1/2 adalah suatu akar, dan

f(t) = (t + 1/2) (2t2 - 4t -4) =(2t + 1).(t2 - 2t - 2).

Kita sekarang dapat O1enggunakanformula kuadratik pada ~ - 2t - 2, dandidapatkan tiga akar dari f(t), yakni t = -1/2,t = I + ..J3,t = 1 - ~3.

BEBERAPA TEOREMA POUNOMIAL

Bukti Teorema 7.3

Jika f(t) == 0 atau jika derajat f < derajat g, rnaka kita terpenuhi bahwa

f(t) =Og(t) + f(t)

Sekarang pandang derajat f ~ derajat g, katakan

di sini ~, bm "#0 dan n ~ 01.

Kita bentuk Polinornial

~ft(t) = f(t) - - t"-mg(t)

bm

[Ini adalah tahap pengurangan pertarna pada "pernbagian panjang."] Karenanyaderajat fl < derajat f. Melalui induksi, terdapat Polinornial ql(t) dan r(t) sedernikiansehingga

di sini berlaku baik untuk r(t) == 0 atau derajat r < derajat g. Substituslkan ini kedalam (1) dan selesaikan untuk f(t), kita dapatkan

103

yang adalah penyajian yang dimaksud.

Bulcti Teorema 7.4

Dari Teorema 7.3 terdapat q(t) dan r(t) sedemikian sehingga

f(t) =(t-a)g(t) + r(t) (*)

dengan r(t) ==0 atau derajat r < derajat (t-a) = 1.

Karena itu r(t) =k, suatu konstanta. Substitusikan t =a dan r(t) =k ke dalam(*) menghasilkan

f(a) = (a-a)q(a) + k

Karena f(a) =0 dan a-a =0, kita dapatkan k = r(t) = O.

Karena itu f(t) = (t-a)q(t). juga n = derajat f =derajat (t-a) + derajat q = 1 +derajat q. Karenanya derajat q = n-1.

Bulcti Teorema 7.5

Substitusikan t =p/q ke dalam f(t) =0 untuk mendapatkan

~(p/q)n +... + a)(p/q) + 30=0

Kalikan kedua mas persamaan dengan qn' didapatkan

~pn + ~_)pn-)a + ~_2pn-2q2+ ... + a)pgn-) + aoqn = 0

karena p membagi semua n suku pertama dari (*), p hams membagi suku terakhiraoqn.Asumsikan p d~ q adalah prima relatif, p membagi 30. Dengan eara yangsarna, q membagi n suku terakhir dari (1), karenanya q membagi suku pertama~. karena p dan q adalah prima relatif, q membagi ~.

104

Teorema 7.6

Pandang f(t) suatu Polinomial atas suatu Field K dan derajat f = n. Makaf(t)mempunyai paling banyak n akar pada K.

Bulct;

Pembuktian adalahmelaluiinduksipadan.

Jika n = I, maka f(t) =at + b dan f(t) mempunyai akar t yang unik =-b/a.

Pandang n > 1. Jika f(t) tidak mempunyai akar, teorema adalah benar. Pandanga E K suatu akar dari f(t). Karenanya

f(t) =(t-a)g(t)

di sini derajat g =n-l.

Kita tuntut bahwa sembarangakar lain dari f(t) harns juga adalah suatu akardari g(t). Pandang b * a adalah akar lain dari f(t). Subsitusi t =b pada (*)menghasilkan0 =f(b). =(b-a)g(b).Karena K tidak mempunyaiPembagi Nol, danb-a * 0, kita harns mempunyai g(b) =O. .

Secara induksi, g(t) mempunyai paling banyak n-l akar. Karena itu f(t)mempunyai paling banyak n-l akar selain a. Karena itu f(t) mempunyai palingban}'ak n akar.

Teorema 7.7

Pandang f(t) suatu Polinomial atas Himpunan Bilangan Riil R, dan pandangbilangan kompleks z =a + bi, adalah suatu akar dari f(t). Berlaku bahwa kompleks

sekawan (conjugate) Zs=a - bi adalah juga suatu akar dari f(t) dan karenanya

c(t) =(t - z)(t - zs)=t2-2at+a2+b2

adalah suatu faktor dari f(t).

105

Bukti

Karena derajat c =2, maka terdapat q(t) dan M, N e R sedemikian sehingga

f(t) =c(t)q(t) + Mt + N

Karena z =a + bi adalah suatu akar dari f(t) dan c(t), kita mempunyai melaluisubstitusi t =a + bi pada(*)

f(z) = c(z)q(z) + M(z) + N

o =Oq(z) + M(z) + N

M(a+bi) + N =0

Karena itu Ma + N = 0 dan Mb =O.

Karena b *0, hamslah M =O. Karenanya

O+N=Oatau

N=O

Karena itu

f(t) = c(t)q(t)

dan zs = a - bi adalah suatu akar dari f(t).

Contoh 7.5

Pandang f(t) = r4 - 3t3 + 6t2 + 25t - 39.

Kita akan mencari semua akar dari f(t), dengan diberikan bahwa t = 2 + 3iadalah suatu akar. .

Karena 2 + 3i adalah suatu akar, maka 2 - 3i adalah juga suatu akar, dan c(t)= t2 - 4t + 13 adalah suatu faktor dari f(t). Dengan membagi f(t) oleh c(t) kitadapatkan f(t) = (t2 - 4t + 13) (t2 + t - 3).

Dengan menggunakan mmus persamaan Kuadratterhadap t2 + t -3 didapatkanlagi akar dari f(t).

Jadi keempat akar dari f(t) adalah: 2 + 3i, 2 -3i, (-1 + ..J13)I2,(-1 - ..J13)I2.

106

Contoh7.6

Pandang f(t) adalah suatuPolinomial rill berderajatganjil. Akan kita tunjukkanbahwa f(t) harns mempunyai suatu akar Riil.

Akar kompleks dari f(t)selalu berpasangan,berdasarkan Teorema 7n. Teoridasar aljabar berakibat bahwa f(t) mempunyai sejumlah ganjil akar. Karenanyapaling sedikit satu akar dari f(t) harns riil.

Contoh 7.7

Akan kita buktikansecarageometrikbahwa suatuPolinomialriil f(t) berderajatganjil mempunyai suatu akar riil.

Pandang bahwa koefisien terdepan dari f(t) adalah positif [dalam hal lainkalikan f(t) denganq -1]. karena derajat f =n di sini n ada1ah ganjil kita mempunyai

lim f(t) = +00 dan lim f(t)-oot~ t~

Karena itu grafik dari f(t) harns memotong sumbu t pada paling sedikit satutitik, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7.1.

Gambar 7.1

107

K(t) SEBAGAI SUATU DIU DAN DFT

Sub bagian ini membuktikan bahwa Ring K(t) dari Polinomial di atassuatuField K adalahsuatu Daerah Ideal Utama, dan suatu Daerah Faktorisasi Tunggal.

Teorema 7.8

Ring K[t] dari Polinomialatas suatu Field K adalah suatu Daerah Ideal Utama.Jika J adalah suatu Ideal pada K[t], maka ada suatu Polinomial Monik yang tunggald, yang membangun J, yakni, membagi setiap Polinomial f E J.

Buldi

Misalkan d adalah suatu Polinomial berderajat terendah pada J. Karena kitadpat mengalikan d dengan suatu skalar tidak nol, kita dapat mengasumsikantanpakehilanganhal yangumum,bahwad adalahsuatuPolinomialMonik.

Sekarang pandang f E 1. Berdasarkanalgoritma Division, terdapat Polinomialq dan r sedemikian sehingga

f =qd + r

di sini r =0 atau derajat r < derajat d.

Sekarang q, d E J berakibat qd E J dan karenanya r =f - qd E J. Tetapi dadalah suatu Polinomial berderajat terendah pada J. Karenanya, r = 0 dan f = qd,yang berarti bahwa d membagi f.

Yang masih harns ditunjukkan d adalah tunggal, Jika d' adalah Polinomialonik lain yang membentuk J, maka d membagi d' dan d' membagi d. Ini berakibatbahwa d = d', sebab d dan d' adalah Monik. Karena itu teorema telah terbukti.

Teorema 7.9

Misalkan f dan g PolinomialTidak 01pada K[t]. Maka ada suatu PolinomialMonik yang tunggal d sedemikian sehingga(i) d membagi f dan g dan

(ii) jika d' membagi f dan ]g, maka d' membagi d.

108

Buld;

HimpunanI = {mf + ng : m, n E K[t]}, s suatu Ideal.

Misalkan d adalah Polinomial Monik yang membentuk I. Dicatat bahwa f, gE I; karenanya d membagi f dan g.

Sekarang pandang d' membagi f dan g. Misalkan J adalah Ideal yang dibentukoleh d'. Karenanya f, g E J dan karenanya I =J. Karenanya, d E J dan juga d'membagi d sebagai yang diminta.

Ditunjukkan d adalah tunggal. Jika d I adalah [Monik] terbesar lain pembagipersekutuan dari f dan g, maka d membagi dI dan dI membagi d. dl ini berakibatbahwa d =dI, sebab d dan dI adalah Monik. Karena itu teorema telah terbukti..

Sebagai catatan, Polinomial d pada Teorema 7.9 disebut Pembagi PersekutuanTerbesar dari f dan g. Jika d = I, maka f dan g disebut Prima Relatif.

Ak;bat 7.10

Misalkan d Pembagi Persekutuan Terbesar dari Polinomial f dan g. Maka adaPolinomial m dan n sedemikian sehingga d =mf + ng.

Secara khusus, jika f dan g adalah prima relatif, maka ada Polinomial m dann sedemikian sehingga mf + ng = 1.

Buld;

Dari bukti Teorema 7.9, d membentuk Ideal I = {mf + ng: m,n E K [t]}.Karena itu ada mtn E K[t] sedemikian sehingga d =mf .:.. ng.

Def;n;s; 7.3 {Polinom;al Tak-tereduks;}

Suatu Polinomial p E K[t] disebut Tak-tereduksi jika p mempunyai derajatpositif, yakni p adalah bukan suatu konstanta, dan jika p = fg berakibat f atau gadalah suatu skalar.

109

Lemma 7.11

Pandangp membagifg, p adalahTak-tereduksi,Polinomialf, g E K[t],makap membagif, atau p membagig.

Lebih umum, jika p membagi hasil kali dari n Polinomial flf2...fn, maka pmembagi paling sedikit satu dari mereka.

Bukti

Pandang bahwa p membagi fg, tetapi P tidak membagi f. Karena p adalah talctereduksi, maka Polinomial f dan p hams prima relatif. Karena itu ada Polinomialm, n E K[t] sedemikian sehingga

mf + np = 1

Perkalian persamaan ini dengan g, menghasilkan

mfg + npg =g

Tetapi p membagi fg dan karenanya mfg, dan p membagi npg; karenanya pmembagi jumlahnya, g =mfg + npg.

Sekarang pandang p membagi flf2...fn.

Jika p membagi fl, maka lemma benar. Jika tidak, maka berdasarkan hasil diatas p membagihasilkali f2 ... fn'

Dengan induksipada n, p membagi salah satu dari Polinomial f2, fn. Karenaitu lemma terbukti.

Teorema 7.12 (Teorema Faktorisasi Tunggal)

Misalkan f adalah suatuPolinomialTak Nol pada K[t]. Maka f dapat disajikansecara tunggal (kecuali karena urutan) sebagai suatu hasil kali

di sini k E K dan Pi adalah Polinomial Monik Tak-tereduksi anggota K[t].

110

Bukt;

Pertama kita buktikan eksistensi dari hasil kali seperti tersebut di atas. Jika fTak-tereduksi, atau jika f E K, maka hasil kali seperti itu jelas. ada.

Dalam hal lain pandang f =gh, dengan f dan g bukan skalar. Karenanya gdan h mempunyai derajat kurang dari f.

Dengan proses induksi kita dapat tnengasumsikan

g =klglg2 ... ~h =~hlh2 ... hs

di sini kl, ~ E K, serta gi dan hj adalah Polinomial Monik Tak-tereduksi. Karenaitu

adalah penyajian yang kita harapkan.

Kita kemudian membuktikan ketunggalan (kecuali dalam urutan) dari hasilkali itu.

Pandang f =kPIP2 ... Pn

=k'qlq2...qm

hasil kali jelas ada. Pada lain pihak, pandang

f = kPIP2 ... Pn

= k'Qlq2 ...Qm

di sini k, k' E K dan Pl Pn, Ql' , Qmadalah Polinomial Monik Tak-tereduksi.

Sekarang jelas bahwa PI membagi k'QIQ2...Qm'

Karena PI adalah Tak-tereduksi, ia harus membagi salah satu dari Qiberdasarkanlemma 7.11. Katakan membagi ql. karena pI dan ql keduanya Tak-tereduksi dan

Monik, Pi =ql" Berdasarkan ini diperoleh

111

Dengan induksi, kita mendapatkan n =m dan Pz = qz' ... Pn= qffi'Kita jugamendapatkan bahwa k =k'. Karena itu teorema terbukti.

Teorema 7.13 (Teorema Fundamental Aljabar)

Field Kompleks C adalah Tertutup. Yakni bahwa sembarang Polinomial TakNol f(t) di atas C mempunyai suatu akar pada C, dan karenanya f(t) dapat disajikansecara tunggal (kecuali karena urutan) sebagai suatu hasil kali

di sini k, rj E C, dan n = derajat f.

Teorema 7.14

Misalkan f(t) adalah suatu PolinomialTak Nol di atas Field Riil R. Maka f(t)dapat disajikan secara tunggal sebagai suatu hasil kali

di sini k E R dan Pj(t)adalah PolinomialMonik Tak-tereduksiberderajat satuatau dua.

Bukti

Berdasarkan Teorema Fundamental Aljabar,

di sini k, rj E C, karena k adalah koefisien terdepan dari f(t) maka k E R. Juga,

jika rj =a + bi adalah suatu akar tak riil, maka ada suatu akar ~=a - bj'

Lebih lanjut, p(t) = (t-rj)(t-9

=tz-2at+az+bz

adalah suatu Polinomial di atas R, p(t) adalah Monik, dan p(t) adalah Tak-tereduksidi atas R, karena akamya tak riil. Teorema terpenuhi.

112