Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

11
BabVII Oistribusi Binomial, PoissondanHipergeometrik KAT A KUNCI distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit dari percobaan yang dilakukan sebanyak n kali dengan masing-masing percobaan mempunyai probabilitas p dan masing- masing percobaan tidak saling mempengaruhi (independent). distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian. distribusi poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyajikan frekuensi dari kejadian acak tertentu. Ini dapat digunakan sebagai pendekatan distribusi binomial. Beberapa tipe variabel acak sering digunakan dan kesemuanya mempunyai nama-nama khusus. Satu distribusi variabel acak yang penting adalah distribusi binomial. Kita juga akan membicarakan dua distribusi yang berhubungan dalam bab ini yaitu: distribusi poisson dan distribusi hipergeometrik. DISTRIBUSI DINOMIAL Kita kembali ke situasi dimana seorang ilmuwan melakukan percobaan, percobaan itu mempunyai dua kemungkinan hasil yaitu berhasil atau gagal. Probabilitas untuk berhasil dari setiap percobaan adalah p dan probabilitas gagal adalah I-p. Jika peercobaan dilakukan sebanyak 10 kali, berapa percobaan akan menghasilkan keberhasilan? Pertama-tamakita menjawab pertanyaan: jika ilmuwan melakukan percobaan sebanyak 2 kali, berapa probabilitas kedua percobaan itu menghasilkan keberhasilan? Jika A adalah kejadian mendapatkan keberhasilan pada percobaan pertama dan B adalah kejadian untuk mendapatkan keberhasilan pada percobaan kedua, maka Pr (A) = P dan Pr (B) = p. Kejadian untuk mendapatkan keberhasilan pada kedua percobaan dapat ditulis A nB (A irisan B, lihat bab IV). Kita akan membuat asumsi penting, masing-masing percobaan adalah bebas. Hal ini berarti bahwa kemungkinan untuk mendapatkan keberhasilan pada percobaan tertentu tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan yang lain. Jika kedua percobaan tidak saling mempengaruhi, maka kita dapat mengalikan dua probabilitas: Pr (A n B) = Pr (A dan B) = Pr (A) x Pr (B) = p2 87 - -

description

 

Transcript of Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

Page 1: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

BabVIIOistribusiBinomial,PoissondanHipergeometrik

KAT A KUNCI

distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit dari percobaan yang dilakukansebanyak n kali dengan masing-masing percobaan mempunyai probabilitas p dan masing-masing percobaan tidak saling mempengaruhi (independent).distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyekyang dipilih tanpa pengembalian.distribusi poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyajikan frekuensi darikejadian acak tertentu. Ini dapat digunakan sebagai pendekatan distribusi binomial.

Beberapa tipe variabel acak sering digunakan dan kesemuanya mempunyai nama-namakhusus. Satu distribusi variabel acak yang penting adalah distribusi binomial. Kita juga akanmembicarakan dua distribusi yang berhubungan dalam bab ini yaitu: distribusi poisson dandistribusi hipergeometrik.

DISTRIBUSI DINOMIAL

Kita kembali ke situasi dimana seorang ilmuwan melakukan percobaan, percobaan itumempunyai dua kemungkinan hasil yaitu berhasil atau gagal. Probabilitas untuk berhasil darisetiap percobaan adalah p dan probabilitas gagal adalah I-p. Jika peercobaan dilakukansebanyak 10 kali, berapa percobaan akan menghasilkan keberhasilan?

Pertama-tamakita menjawab pertanyaan: jika ilmuwan melakukan percobaan sebanyak2 kali, berapa probabilitas kedua percobaan itu menghasilkan keberhasilan? Jika A adalahkejadian mendapatkan keberhasilan pada percobaan pertama dan B adalah kejadian untukmendapatkan keberhasilan pada percobaan kedua, maka Pr (A) = P dan Pr (B) = p. Kejadianuntuk mendapatkan keberhasilan pada kedua percobaan dapat ditulis A nB (A irisan B, lihatbab IV). Kita akan membuat asumsi penting, masing-masing percobaan adalah bebas. Hal iniberarti bahwa kemungkinan untuk mendapatkan keberhasilan pada percobaan tertentu tidakdipengaruhi oleh hasil percobaan yang lain. Jika kedua percobaan tidak saling mempengaruhi,maka kita dapat mengalikan dua probabilitas:

Pr (A n B) = Pr (A dan B) = Pr (A) x Pr (B) = p2

87

- -

Page 2: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

-- -- --

Dengan demikian probabilitas untuk mendapatkan keberhasilan baik dari percobaanpertamamaupunpercobaankeduaadalahp2.Denganalasanyangsamakitadapatmenunjukkanprobabilitas mendapatkan-keberhasilandari 10kali percobaan yaitu plO.Sebagai contoh,jikap = 0.8, maka probabilitas untuk mendapatkan 10 keberhasilan adalah 0.810= 0.017.Meskipun ada kemungkinan untuk mendapatkan keberhasilan pada berbagai percobaan,tetapi kemungkinan untukmendapatkan 10keberhasilan dari 10kali percobaanadalah sangattipis.

Kitajuga dapatmenunjukkan bahwa probabilitasmenghasilkankegagalan dalam 10kalipercobaanadalah(l-p) 10. Sebagaicontoh,jika p = 0.8makakemungkinanmenghasilkan10kegagalan dari 10 kali percobaan adalah 0.210=0.0000001.

Sekarang anggaplah kita ingin mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilandari 10 kali percobaan. Untuk melakukan perhitungan ini kita perlu menggunakan suatudistribusi acak: distribusi binomial. Distribusi binomial dapat diterapkan pada berbagaisituasi dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan, dan masing-masingmempunyai satu dari dua kemungkinan hasil. Kita menyebut dua kemungkinan hasil itudengankeberhasilandankegagalan.meskipununtukbeberapakasusmungkinadapenunjukkanyang berubah-ubah. Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali.AnggaplahX mewakilijumlahkeberhasilan.Jikaprobabilitasuntukmendapatkankeberhasilandari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i keberhasilan:

Pr (X=i) = (?) pi (l_p)n-i

Formula ini menunjuikkan fungsi kepekatan dari variabel acak binomial. X dikatakansebagai variabel acak yang mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p.Ingatlah:

n n!( ) berarti

i i! (n-i)!

Jika n cukup besar, akan sulit untuk melakukan perhitungan dalam formula. Pada babVIIIkita akanmelihat bahwa dimungkinkan untukmenggunakan distribusi lain yang disebutdistribusi normal untuk perhitungan mendekati nilai dari distribusi binomial.

Berikut ini adalah perhitungan dari kasus kita (p = 0.8dann = 10):

88

1 Pr(X=i) 1 Pr(X=i)

3 0.001 7 0.2014 0.006 8 0.3025 0.026 9 0.2686 0.088 10 0.107

Page 3: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

Kita dapat melihat bahwa probabilitas untuk mendapatkan 6 keberhasilan dari 10 kalipercobaan adalah 0.088.

Formula ini adalah versi formula yang lebih umum dari formula yang digunakan dalambab ill untuk menghitung probabilitas jumlah sisi H yang dihasilkan dari pelemparan matauang sebanyak n kali.

PERHITUNGAN HARAP AN DAN VARIAN DARI VARIABEL ACAK BINOMIAL

Kita ingin menghitung harapan dan varian untuk variabel acak binomial. Sebagai contohjika anda melakukan percobaan sebanyaak 100 kali dimana probabilitas keberhasilan untuksetiap percobaan adalah 0.75, anda dapat mengharapkan secara rata-rata untuk mendapatkan75 keberhasilan. Secara umumjika X adalah variabel acak binomial dengan pararneter n danp, maka bersarnya harapan untuk keberhasilan adalah np. Anggaplah Al adalah variabel acakyang hanya mempunyai dua nilai kemungkinan: Al akan bernilai 1jika percobaan pertarnaberhasil, dan Al bernilai 0 jika percobaan pertarna gagal.Demikian juga Azakan bernilai 1jikapercobaan kedua berhasil dan bila percobaan kedua gagal nilai A2akan samadengan O.Kitamendefinisikan A3, A4, ..., An dengan cara yang sarna. Maka:

X =Al + A2 + ...+ An

Jumlah keberhasilan sarna dengan penjumlahan seluruh A. Kita tahu dari bab VI bahwamasing-masing A adalah variabel acak Bernoulli. Sehingga:

Karena masing-masing A adalah bebas (independent), kita mengerti bahwa:

E(X) =E(AI) + E(A2) + ...+ E(A) =npVar(X)=Var(AI) + Var(A2)+ ...+ Var(A) =np(1-p)

Garnbar 7.1 menunjukkan grafik fungsi kepekatan untuk distribusi binomial:

Gambar 7.1

F(x)

.3

.2

.1

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

89

---- ---

Page 4: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

PENERAP AN DISTRIBUSI BINOMIAL

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu:· Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalamujian pilihan ganda.· Jumlah asuransi kecelakaan yang harns dibayar oleh perusahaan asuransi.· Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

CONTOH SOAL PENERAP AN DISTRIBUSI BINOMIAL

SOAL

Anggaplah anda dihadapkan dengan 20 pertanyaan pilihan ganda dalam suatu ujian.Masing-masing pertanyaan mempunyai 4 kemungkinan jawaban, sehingga probabilitasanda dapat menjawab dengan benar adalah 0.25. Berapa probabilitas bahwa anda dapatmenjawab paling tidak 10 pertanyaan dengan benar hanya dengan menerka.

PENYELESAIAN

Untukmenyelesaikan masalah inikitaperlu menghitungprobabilitas distribusibinomialdengan n =20 dan p =0.25.

Masing-masing probabilitas kurang dari 0.001, tetapi jika kita menjumlahkankeseluruhannya, kita akan menemukan bahwa kemungkinan untuk mendapatkan palingtidak 10pertanyaan dapat dijawab dengan benar adalah 0.01386. (anda dapat melihat bahwahanya 9 persen probabilitas bahwa anda dapat menjawab 3 pertanyaan dengan benar).

SOAL

Anggaplah anda mempunyai 3baju hangat merahdan dua baju hangat biru di dalam lad.Setiap hari anda menarik satu baju hangat secara acak (dan anda mengembalikan kembalisetelah dipakai).

Berapa probabilitas anda memilih baju hangat merah 3 hari dalam seminggu?

PENYELESAIAN

Jika X adalahjumlah baju hangat merah yang anda pilih selama satu minggu, kemudianX mempunyai distribusi binomial denganparameter n =7 dan p =0.6. Kitadapat menghitungprobabilitasnya:

90

k Pr(X=k) k Pr(X=k)

0 0.003 6 0.1681 0.021 7 0.1122 0.066 8 0.0603 0.133 9 0.0274 0.189 10 0.0095 0.202 11 0.003

Page 5: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

SOAL

Anggaplah anda membawa pesawat dimana pesawat itu menyediakan 200 tempatduduk. Rata-rata 7% orang yang memesang tempat tidak jadi terbang. Ini nampak sebagaipemborosan bila hanya menyediakan tempat pemesanan sebanyak 200 kursi untuk tiappenerbangan, karena andamengetahui bahwakemudian adatempatdudukyangkosong.Andamemutuskan untuk berspekulasi dengan menyediakan tempat pemesanan lebih dari 200kursi. Jika ada lebih dari 200 pemesan yang akan berangkat, maka anda akan menghadapimasalah besar. Anda memperkirakan bahwa risiko terjadi kelebihan pemesan adalah 5%.Berapa banyakpemesanan yangdapatanda terimadengan tetapmempertahankanprobabilitasrisiko kelebihan pemesan kurang dari 5%?

PENYELESAIAN

Kita dapat menganggap tiap pemesanan sebagai percobaan, dan kita dapat mengatakankejadian dimana orang yang memesan tempat akan terbang sebagai keberhasilan. (kitamengasumsikan bahwa tidak seorangpun terbang tanpa memesan tempat lebih dahulu.) Jikax adalah jumlah orang-orang yang terbang pada penerbangan tertentu, maka X mempunyaidistribusi binomial dimana n adalahjumlah pemesanan tempat dan p =0.93. Anggaplah andamenyediakan 210 tempat. Kemudian kita dapat menghitung probabilitasnya.

Probabilitas bahwa X akan lebih besar dari 206 dapat diabaikan. Akan ada kelebihan jika ada201 atau lebih orang yang ingin terbang; sehinggajikakita menjumlahkan seluruh probabilitas

91

-- --

k Pr(X=x) k Pr(x=k)

0 0.001 4 0.2901 0.017 5 0.2612 0.077 6 0.1303 0.193 7 0.027

Probabilitas Binomialdengan p =210

P =0.093

Pr(X =201) 0.034Pr(X =202) 0.020Pr(X =203) 0.011Pr(X =204) 0.005Pr(X =205) 0.002Pr(X =206) 0.001

Page 6: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

pada tabel kita, kita dapat menemukan bahwa probabilitas kelebihan sekitar 7%, tetapi andamenginginkan probabilitas kelebihan kurang dari 5%, maka anda harns menyediakan tempatkurang dari 210.

Kita dapat mengulangi perhitungan yang sarna untuk 209 pemesanan tempat, kitamenemukan bahwa probabilitas kelebihan sekitar 4%. Dengan demikian anda harns me-nyediakan 209 tempat untuk tiap penerbangan karena ini adalahjumlah terbesar pemesanantempat yang dapat anda terima dengan tetap mempertahankan risiko kelebihan kurang dari5%.

YANG HARUS DIINGAT

1. Anggaplah anda melakukan beberapa percobaan sebanyak n kali. Probabilitasmendapatkan keberhasilan dari berbagai percobaan adalah p. Misalnya X adalahvariabel acak yang mewakili jumlah keberhasilan yang terjadi. Kemudian X dikatakanmempjnyai a distribusi binomial dengan parameter n dan p.

2. Probabilitas untuk X ditunjukan oleh formula:

Pr(X =i) = (p) pi (1 _ p)n-l

3. Harapan dan varian untuk X ditunjukkan oleh formula:E(X) =np Var(X) =np (1-p)

PERHITUNGAN PROPORSI KEBERHASILAN

Sering kali kita tidak hanya tertarik pada jumlah keberhasilan dalarn n kali percobaan,tetapi juga proporsi dari keberhasilan. Jika X mewakili jumlah keberhasilan dan P mewakiliproporsi keberhasilan, maka P =X/no Kita dapat menemukan E(P) dan Var(P) sebagaiberikut:

X

E(P) =E( -) =nn

1 1

E(X) =- x np =pn

XII p(1-p)VAr(P) =Var (-) =(_)2 Var (X) x =-np (l-p) =

n n n n

Nilai harapan dari proporsi keberhasilan sarna dengan p, probabilitas keberhasilan.Sebagai contoh, jika probabilitas bahwa suatu mesin akan berjalan sebagaimana mestinyaadalah 3/4, maka anda dapat mengharapkan mesin tersebut bekerja 3/4 (75%) dari waktuyang anda opeasikan.

92

Page 7: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

DISTRIBUSIPOISSON

X adalah jumlah panggilan telepon pada kantor tertentu dalam satu jam. X adalahvariabel acak dan fungsi kepekatannya akan seperti berikut:

Akf(k) =e-A (k = 1,2,3,...)

k!

Variabel acak dengan distribusi seperti ini disebut variabel acak poisson. (Lambangadalah huruf Yunani lambda, dimana biasa digunakan sebagai parameter distribusi poisson,dan e mewakili bilangan matematika tertentu yang nilainya kira-kira 2.72828).

Sebagai contoh, anggaplah suatu penelitian telah menentukan bahwa jumlah panggilantelepon setiap jam di kantor dapat diwakilkan oleh variabel acak poisson dengan parameter=5. Kemudian kita dapat menghitung probabilitas dari X:

Gambar 7.2 menunjukkan grafik dari fungsi kepekatan poisson.Catatan, dalam teori, ada nilai yang tidak tertentu dari nilai kemungkinan X, tetapi

probabilitas X =k akan semakin kecil bila k semakin besar.Gambar 7.2

F(k)

.2 -

.1

,Ol23456789lOk

93

- --- --

Pr(X=k) (probabilitas untuk Pr(X=k) (probabilitas untukk panggilan telepon sejumlah k) k panggilan telepon sejumlah k)

0 0.006 7 0.1041 0.033 8 0.0652 0.084 9 0.0363 0.140 10 0.0184 0.175 11 0.0085 0.175 12 0.0036 0.146

Page 8: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

APLIKASI LAIN DISTRIBUSI POISSON

Penggunaan lain dari distribusi poisson adalah menyajikan pendekatan distribusibinomial. Anggaplah kita mempunyai distribusi binomial dimana n berukuran sangat besardan np moderat (tidak terlalu besar dan tidak terlalu kedl). Sebagai contoh, misalnya kitamempunyak 500 orang pelajar yang masing-masing mempunyai probabilitas 0.00002melakukan kecurangan dalarn ujian akhir. Perhitungan probabilitas keberhasilan sejumlah idengan menggunakan fungsikepekatan binomial tidak dapatdikontro. Jika =np,makafungsikepekatan binomial dapat didekati oleh distribusi poisson:

I AP(X=i) = e -A-

.,1.

Dalam contoh yang diberikan di atas, = np = 500 x (0.00002) = 0.01, jadi probabilitasdua orang melakukan kecurangan dalarn ujian adalah:

e-O.01(0.01)2 0/2) x 10-5

Contoh lain dimana distribusi poisson dapat diaplikasikan:

· Jumlah novae dalarn galaksi kita pada dekade tertentu· Jumlah film yang diputar untuk mendapatkan keuntungan kotor lebih dari 25juta dolardalam satu tahun.

· Jumlah siswa Ph.D yang tidak dapat menyelesaikan disertasinya tepat waktu.· Jumlah orang yang membeli buku ini, dan membelinya di New York City.

PERHITUNGAN HARAPAN DAN VARIAN DARI VARIABEL ACAK POISSON

Kita dapat menghitung harapan variabel acak poisson dengan fungsi kepekatan ini.

AiP(X=i)= e -A_

.,1.

sarna dengan . Hasil ini masuk akal karena =np apabila distribusi poisson digunakansebagai pendekatan pada distribusi binomial. Kita juga dapat menemukan bahwa var (X) =. Distribusi Poisson mempunyai keistimewaan yaitu harapannya sarna dengan variannya.

YANG HARUS DIINGAT

1. Variabel acak X dikatakan mempunyai distribusi poisson dengan parameter jika fungsikepekatannya ditunjukkan dengan formula:

AkP(X=k)=e-A -

k!= 2.71828

2. Harapandanvariankeduanyasarnadengana:E(X) =A Var(X)= A

94

Page 9: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

-DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Misalnya anda diberikan sebuah kotak yang berisi 10 buah kembang gula, kesemuanyanarnpak sarna bila dilihat dari luar. Anggaplah kemudian anda tabu bahwa 8 mempunyai rasamarshmallow (rasa ini yang anda suka) dan 2 buah rasa almond (rasa ini tidak anda suka). Jikaanda mengarnbil 5 buah, berapa probabilitas bahwa anda akan mendapat 3 rasa marshmal-low?

Ini adalah kasus probabilitas dimana jumlah keberhasilan dibagi dengan jumlahkemungkinan hasil. Pertama-tarna kita harns mengetabui jumlah cara pengarnbilan 5 buahkembang gula dari kotak yang berisi 10 buah kembang gula. Kita dapat menggunakanformula ini:

10 1O!(-)= - =252

5 5!5!

Sekarang kita menghitung berapa probabilitas mendapatkan 3 kembang gula dengan rasamarshmallow. Karena ada 8 buah kembang gula yang harns dipilih, maka ada (38) carapengarnbilan 3 kembang gula marshmallow. Kemudian kita mengalikannya dengan jumlahkemungkinan pengarnbilan 2 kembang gula rasa almond dari 2 kembang gula rasa almonddi dalarn kotak, yaitu (22) (sarna dengan I)

Dengan demikian, probabilitas mengarnbil 3 buah kembang gula rasa marshmallowadalah:

56 2= =

252 9

Mari kita membuat garnbara umum. 10 buah kembang gula sarnadengan N obyek. 8kembang gula rasa marshmallow adalah M obyek dan kembang gula rasa almond sarnadengan N-M. (catatanM < N). 5buah kembang gula yang anda arnbilsarnadengan percobaansebanyak n (pemilihan tanpa pengembalian dari obyek sebanyak N). 3 k3mbang gula rasamarshmallow adalah obyek sebanyak i yang ingin dipilih. (catatan i < M, total jumlah obyekyang diinginan, dan i < n, total obyek yang dipilih). Bila X adalah variabel acak yangmewakili jumlah obyek yang diinginkan untuk dipilih, maka kita mempunyai:

Pr(X = i) =(~) (N~~)

(~)

95

--

Page 10: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

- -- --

(untuk 0 ::;;1 ::;;n, dan i ::;;M; Pr (X = i) = 0). X dikatakanlah mempunyai distribusihipergeometrik dengan parameter n, N, dan M.

APLIKASI DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Berikut ini adalah contoh yang termasuk dalam distribusi hipergeometrik:· Jumlah barang dagangan yang rusak dalarn sarnpel acak dari sejumlah besar kiriman.· Jumlah orang-orang yang anda temui dalarn hidup anda dengan nama Fred.· Jumlah penny yang terambil dari dalarn kendi. Di dalarn kendi itu ada penny sebanyakM dan nikel sebanyak N-M. Jika hanya mengarnbil 1, maka n=I dan probabilitasmendapatkan penny: MIN.Aplikasi penting lainnya adalah: dalarn penyelidikan pendapat umum seperti Survey

Gallup. Orang yang diberi pertanyaan analog dengan kembang gula yang dipilih dari kotak,dan keseluruhan populasi analog dengan jumlah ke~eluruhan kembang gula dalarn kotak.Pada waktu kita melakukan penelitian pengumpulan pendapat umum, kita ingin mengetahuiapakah proporsi orang-orang denganpendapat tertentu dalarnsampel denganproporsi orang-orang pemberi pendapat dalarn populasi adalah sarna.

PERHITUNGAN HARAPAN DAN VARIAN DARI VARIABEL ACAKHIPERGEOMETRIK

Karena probabilitas pengarnbilan obyek adalah M/N, dalam pengambilan sebanyak nkita mengharapkan untuk mendapatkan nMIN yang benar. Varian dari variabel acakhipergeometrik adalah:

Catatan bahwa (N-n)f(N-I) dapat ditulis sebagai (I-n/N) (I-IINO. Akan mendekati 1bilaN menjadi sangat besar dibandingkan dengan n. Ini berarti bahwa varian dari variabel acakhipergeometrik menjadi:

Formula ini nampak lebih dikenal. Sebagai contoh, anggaplah kita menggunakan lagi kotakkembang gula, anda mengambil n kembang gula dari kotak, kemudian dikembalikan. Kitaakan mengatakan sebagai suatu keberhasilan jika anda mendapatkan kembang gula yanganda inginkan. Dengan demikian probabilitas untuk mendapatkan keberhasilan adalah MIN.Jika X adalah jumlah keberhasilan dari n kali pengembalian, kita tahu bahwa X mempunyaidistribusi binomial dengan N dan MIN sebagai pararneternya, dan kita mengetahui bahwavariannyaadalahn (M/N)(1-MIN). lni akansarnadenganvariandaridistribusihipergeometrikapabila N berukuran sangat besar.

96

Page 11: Bab7 distribusi binomial_poisson_dan_hipergeometrik

Kenyataan ini menggambarkan perbedaan antara dua distribusi. Dengan distribusibinomial, tiap pengambilan tidak tergantung satu dengan yang lain, karena anda selalumeletakkan kembali ke dalam kotak kembang gula. Dengan distribusi hipergeometrik, andatidak mengembalikan kembang gula yang telah diambil, sehingga tiap pengembalian dapatmempengaruhi pengambilan yang lain. Probabilitas keberhasilan dalam setiap pengambilantergantung berapa banyak macam kembang gula yang ada di dalam kotak dan tergantungpada kembang gula apa yang telah diambil. Tetapi jika jumlah kembang gula di dalam gulatidak merubah probabilitas pengambilan berikutnya secara berarti. Dalam kasus ini tidakmembuat perbedaan yang terlalu besar apakah anda mengembalikan (dan menggunakandistribusi binomial) atau tidak (menggunakan distribusi hipergeometrik) kembang gula yangsudah anda ambil.

YANG HARUS DIINGAT

1. Populasi sebanyak N obyek terdiri dari M obyek dengan tipe A dan N-M obyek dengantipe B. Pemilihan n obyek secara acak dari populasi, dan X mewakili jumlah obyekbertipe A dalam suatu sampel sebesar n obyek. Kemudian X adalah variabel acak yangmempunyai distribusi hipergeometrik dengan parameter n, N dan M.

2. Fungsi kepekatan probabilitas adalah:

Pr(X =i) = (¥-) (N~~]

(~ )

3. Harapan dan varian dapat dieari dengan formula:

nME(X)=

N

ISTILAH-ISTILAH YANG HARUS DIPELAJARIdistribusi binomialdistribusi Poisson

distribusi hipergeometrik

97