PLANARITAS DAN DUAL GRAF

Oleh :

Sri Widaningsih, MT

PLANARITAS

• Graf planar adalah graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan), jika tidak maka disebut graf-tak planar

• Graf yang terlihat sisi-sisinya saling berpotongan, sebenarnya dapat digambar kembali dengan cara berbeda yang sisi-sisinya tidak saling berpotongan.

• Graf K4 di atas merupakan graf planar karena graf tersebut dapat digambarkan kembali tanpa ada sisi-sisi yang berpotongan.

K5 dan K3,3 bukan graf planar

• Representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph)

• Dari gambar di atas, graf (a) bukan graf bidang sedangkan graf (b) dan (c) merupakan graf bidang

• Ketiga graf tersebut isomorfik

• Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face).

• Graf bidang di bawah memiliki 6 wilayah termasuk wilayah terluar.

• Pada umumnya batas dari wilayah adalah suatu sirkuit namun tidak selamanya seperti itu, terlihat pada contoh di atas ini.

• Wilayah R3 dibatasi lintasan (C,D,F,E,F,C)

• Derajat suatu wilayah adalah perjalanan batas dari wilayah tersebut

• Pada graf di atas, derajat wilayah d(R1) = 3, d(R2) = 3, d(R3) = 5, d(R4) = d(R1) = 4, d(R5) = 3. Total derajat = 18

• Jumlah derajat semua wilayah suatu bidang adalah dua kali jumlah sisi pada graf.

• Jumlah sisi graf di atas = 9 sehingga jumlah derajat = 9 x 2 = 18

Rumus Euler untuk Graf Planar

• Jumlah wilayah (f) pada graf planar dapat dihitung dengan rumus :

n – e + f = 2

f = e – n + 2

n = jumlah simpul

e = jumlah sisi

Ketidaksamaan Euler

• Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e jumlah sisi dan n buah simpul, dimana n ≥ 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler e ≤ 3n – 6

• Dapat dilihat pada graf K4 dan K5 di bawah ini.

• Pada K4, n = 4 , e = 6 memenuhi 6 ≤ 3(4) – 6, sehingga K4 adalah graf planar

• Pada K5, n = 5, e = 10 tidak memenuhi ketidaksamaan Euler karena 10≥ 3(5) – 6 sehingga K5 tidak planar

• Tetapi ketidaksamaan Euler tidak berlaku untuk K3,3. Karena walaupun memenuhi syarat, K3,3 bukanlah graf planar.

• Oleh sebab itu jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e jumlah sisi dan n jumlah simpul, dimana n ≥ 3 dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 3, maka berlaku e ≤ 2n - 4

• Jika e = 9, n = 6

9 ≤ (3)(6) – 6 = 12 (benar, tetapi K3,3 bukan graf planar)

• Dengan rumus e ≤ 2n – 4 maka 9 ≤ (2)(6) – 4 = 8 (salah) ini berarti K3,3 bukan planar

Teorama Kuratowski

• Terdapat dua buah graf tidak planar yang khusus yaitu Kuratowski, yang ditemukan oleh matematikawan Polandia Kasimir Kuratowski, dimana memilki sifat yang unik.

1. Graf Kuratowski pertama yaitu graf lengkap yang memiliki lima simpul (K5) adalah graf tak planar

2. Graf Kuratowski kedua yaitu graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 buah sisi (K3,3) adalah graf tak planar

Sifat graf Kuratowski :

1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur

2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tak planar

3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi graf planar

4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah simpul minimum dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum. Keduanya adalah graf tidak planar paling sederhana

• Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upgraf yang isomorfik dengan K5

atau K3,3 atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya

• Graf G1 dan G2 isomorfik jika kedua graf tersebut sama,hanya penggambarannya yang berebeda

• Graf G1 dan G2 homeomorfik jika salah satu dari kedua graf dapat diperolah dari graf yang lain dengan cara menyisipkan dan/atau membuang secara berulang-ulang simpul berderajat 2.

(a) Graf G tidak planar karena mengandung upgraf G1 yang sama dengan K3,3 sedang pada (b) graf G tidak planar karena upgrafnya G1 isomorfik dengan K3,3

a bc

def

a bc

def

GG1(a)

Gambar tiga buah graf yang homeomorfik satu sama lain

Graf G tidak planar karena upgrafnya homeorfik dengan K5

v

x

y

a

b

c

d

efg

h

a

b

c

d

efg

h

ii

a

c

eg

h

GRAF DUAL• Misalkan kita memiliki sebuah graf planar G

yang direpresantasikan sebagai graf bidang. Kita dapat membuat suatu graf G* yang secara geometri merupakan dual dari graf planar tersebut dengan cara sebagai berikut :1. Pada setiap wilayah f di G buat sebuah simpul v*

yang merupakan simpul G*

2. Untuk setiap sisi e di G tariklah sisi e* yang memotong sisi e tersebut. Sisi e* menghubungkan dua buah simpul v1* dan v2* yang berada di didalam muka f1 dan f2 yang dipisahkan oleh sisi e di G.

• Graf G* yang terbentuk dengan cara tersebut disebut graf dual (dual geometri) dari graf G. Pada gambar di bawah ditunjukkan oleh garis putus-putus.

• Beberapa hal berkenaan dengan hubungan antara graf planar G dengan dual G* :1. Sisi yang merupakan loop di G menjadi

pendant edge (sisi yang bersisian dengan pendant vertex) di G*

2. Pendant edge di G menjadi loop di G*

3. Sisi seri di G menjadi sisi yang pararel di G*

4. Sisi yang pararel di G menjadi sisi seri di G*

5. Sebuah graf memiliki dual jika graf tersebut planar dan graf dual tersebut juga planar

• Jika n, e, f, r, μ merupakan notasi untuk jumlah simpul, jumlah sisi, jumlah muka(wilayah), rank dan nullity, dari sebuah graf planar G, maka hubungannya dengan n*, e*, f*, r*, dan μ* pada dual graf G* adalah :

n* = f

e* = e

f* = n

r* = μ

μ* = r

• Sebuah graf planar G memiliki dual yang unik hanya jika representasi bidangnya unik.

• Graf yang isomorfik tetapi memiliki representasi bidang yang berbeda akan memiliki dual yang berbeda pula /tidak isomorfik (unik)

• Salah satu aplikasi dual graf adalah untuk merepresentasikan peta yang terdiri dari sejumlah wilayah.

• Tetapi pada graf yang merepresentasikan peta, bidang luar tidak dinyatakan sebagai sebuah simpul

• Contoh : buatlah graf dual untuk graf di bawah ini

Pada graf G

n = 6 simpul

e = 10 sisi

f = 6 wilayah

Pada graf dual G*

n* = f = 6 simpul

e* = e = 10 sisi

f* = n = 6 wilayah

Langkah-langkah pembuatan graf dual : Buat titik pada setiap wilayah pada graf G

yang terbentuk yang akan menjadi simpul-simpul pada graf dual.

Jika dua wilayah Fi dan Fj bertetangga (memiliki sisi yang sama) , gambar garis menghubungkan titik Pi dan Pj yang berpotongan dengan sisi bersama antara Fi dan Fj tepat hanya memotong sisi sekali. Contoh pada gambar di bawah adalah buat garis menghubungkan P1

dan P2.

Jika ada lebih dari satu sisi bersama antara Fi dan Fj,

gambar satu garis antara titik Pi dan Pj untuk setiap sisi-sisi bersama tersebut. Contoh pada gambar di bawah adalah sisi 2 dan 3 merupakan dua sisi bersama antara wilayah F2 dan F6. Sehingga buat garis yang menghubungkan P2 dan P6 dimana satu garis melewati sisi 2 dan satu garis lagi melewati sisi 3.

Loop pada graf G yaitu sisi 4 akan menjadi pendant edge pada graf dual G

Pendant edge pada graf G yaitu sisi 9 akan menjadi loop ada graf dual G

Sisi seri pada graf G yaitu sisi 2 dan 3 akan menjadi sisi pararel pada graf dual G

Sisi pararel (sisi ganda) pada graf G yaitu sisi 5 dan 6 akan menjadi sisi seri pada graf dual G