PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/3640/2/103114014_full.pdf · MAKALAH...

Pemodelan Cara Kerja Retina Menggunakan Teknik Phase Plane

Analysis:

Studi kasus pada Model Fitzhugh-Nagumo

MAKALAH

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh

gelar Sarjana Sains

Program Study Matematika

Disusun Oleh :

Novia Leny Christine

NIM : 103114014

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2014

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

MODELING RETINA’S WORKING WAY USING PHASE

PLANE ANALYSIS: A CASE STUDY OF THE FITZUGH-

NAGUMO MODEL

PAPER

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

By :

Novia Leny Christine

NIM : 103114014

PROGRAM STUDY OF MATHEMATICS

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2014


LEMBAR PERSETUJUAI\I

PEMODELAhI CARA KERJA RETINA MENGGUNAKAI\I

TEKNIK AI\IALIS$ BIDANG tr'ASE: STUDT IilSUS PADA

MODEL FITZHUGH.NAGUMO

Dosen Pembimbing Tugas Akhir

ath.Sc., Ph.D. ranggar, .Z.l.J.a/; zo tit'l

ilt


LEMBAR PENGESAHAN

PEMODELAII CARA KERJA RETINA MENGGUNAKAIITEKNIKANALISIS BIDANG FASE: STUDI KASUS PADA

MODE L FIT ZHUGI{-]\TA GUM O

Dipersiapkan dan ditulis oleh:Novia Lenv Christine

NIM: 103114014

Ketua

Sekretaris

Anggota

Y ogy akarlaS0Agustus 20 I 4

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

IV


PER}IYATAAFI KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan sesungguhnya bahwa tugas akhir yang saya hrlis ini tidak

memuat karya orang lain kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar

pustaka scbagaimana layaknya karya ilniah.

Yogyakarta 9Agustus 20 I 4

Penulis,

,JW,Novia Leny Christine


vi

ABSTRAK

Salah satu faktor seseorang menyukai lawan jenisnya atau tertarik dengan

suatu objek tertentu bermula dari proses melihat menggunakan indera

penglihatannya masing-masing. Keadaan yang demikian dianggap sudah biasa

oleh manusia, tanpa mengetahui bagaimana hal tersebut dapat terjadi di dalam

tubuhnya. Oleh karena itu, agar manusia mengetahui hal tersebut, akan

digambarkan secara visual mengenai proses apa yang terjadi di dalam mata saat

melihat suatu objek. Khususnya proses saat cahaya telah sampai ke dalam lapisan

syaraf retina manusia (sel fotoreseptor) menggunakan teknik analisis bidang fase.

Sebenarnya proses tersebut telah dimodelkan secara matematis oleh Richard

Fitzhugh (1961) dan J. Nagumo yang menciptakan rangkaian ekuivalen pada

tahun berikutnya. Model tersebut kemudian diberi nama model Fitzhugh-Nagumo.

Menggunakan model yang telah tersedia dan dengan bantuan teknik

analisis bidang fase kemudian dilakukan penelitian ketika intensitas cahaya yang

masuk ke retina berubah-ubah. Hasil yang diperoleh adalah, teknik analisis bidang

fase ini berhasil menggambarkan potensial aksi yang terjadi di retina secara visual

serta menganalisis respon apa yang terjadi di dalam sel fotoreseptor. Teknik

tersebut juga berhasil digunakan untuk membuat model sederhana interaksi antara

sel kerucut dan sel batang di retina.


vii

ABSTRACT

One of the factors that causes a person loves his/her mate or is interested

in particular object is started from the process of seeing using his/her own sense of

sight. This condition is thought to be common by people without knowing how

that thing happens in his/her body. Therefore, it will be illustrated visually by the

writer so that people know the process which happens inside their eye when they

see an object, especially the process when the light comes to the retinal nerve fiber

layer of human‟s body (photoreceptor cell) by using the phase plane analysis.

Actually, that process has already been modeled mathematically by Richard

Fitzhugh (1961), and J. Nagumo created the equivalent series on the following

year. This model named is Fitzhugh-Nagumo model.

By using the available model and with the help from a phase plane

analysis technique then the writer will do the observation when the intensity of

light which enters the retina is changed. The result obtained the phase plane

analysis technique is successful in depicting the potential action which happens in

retina visually and also in analyzing what response happening in the

photoreceptor cell. This model also successful to build a simple model describing

the interactions between cone cells and horizontal cells of the retina.


LEMBAR PER}TYATAAN PERSETUJUAFIPUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAIY AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawatr ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma

dengan:

Nama : Novia Leny Christine

NIM :103114014

Demi pengembangan ilmu pengetahual saya memberikan karya ilmiah saya

kepada Perpustakaan Universitas Sanaa Dhanrra yang berjudul:

PEMODELAN CARA KERJA RETINA MENGGT]NAKAh{ TEKNIK

ANALISIS BIDANG FASE: STUDI KASUS PADA MODEL FITZHUGH-

NAGUMO

beserta perangkat yang diperlukan, bila ada. Dengan demikian, saya memberikan

hak untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya

dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas, dan

mempublikasikannya dj internet atal media lain untuk kepentingen akademis

tanpa perlu memintaizin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya

selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma.

Demikian pemtataan ini saya buat dengan sebenarnya,

Dibuat di Yogyakarta,

Pada temggal 27 Agustus 2014

Yang menyatakan,

,tdryNovia Leny Christine

vlil


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas segala berkat dan

rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul “Pemodelan

Cara Kerja Retina Menggunakan Teknik Analisis Bidang Fase: Studi Kasus Pada

Model Fitzhugh-Nagumo”.

Penulisan tugas akhir ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar sarjana Matematika Program Studi Matematika Universitas

Sanata Dharma Yogyakarta.

Dengan terselesaikannya penulisan tugas akhir ini, penulis mengucapkan

terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu memberikan dukungan

baik berupa saran, doa, maupun secara finansial. Ucapan terimakasih sebanyak-

banyaknya ditujukan kepada :

1. Bapak dan Ibu yang telah memberikan dukungan kepada penulis baik

moral, spiritual, material, dan juga ucapan semangat yang selalu diberikan

selama masa studi.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing

yang telah memberikan dukungan, bantuan dan dorongan kepada penulis

selama mengikuti proses perkuliahan sampai dengan penyelesaian

penulisan ini.

3. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku Dekan Fakultas

Sains Dan Teknologi Universitas Sanata DharmaYogyakarta.

4. Bapak Y. G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku ketua Jurusan

Matematika Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta yang telah membantu dalam pemilihan topik penulisan ini.

5. Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku dosen pembimbing

akademik.

6. Saudari Meity Adelina Kubuan, yang telah membantu dalam alih bahasa

untuk penulisan abstrak.


x

7. Adik-adik tersayang di rumah dan juga para sepupu yang ada di

Yogyakarta atas doa dan dukungannya.

8. Aunt, Anita, Kak Eliz, Bebep, dan semua penghuni kost Keasa yang ceria

dan selalu membuat penulis bersemangat.

9. Para alien Anes, Dinda, Nyai, Juna, Yoyo, dan semua teman-teman

Matematika angkatan 2010, terimakasih atas semangat dan bantuan yang

sangat berarti sehingga akhirnya penulisan tugas akhir ini dapat

terselesaikan.

Dalam penulisan tugas akhir ini, pastilah banyak kekurangan dan hal yang

perlu diperbaiki. Oleh karena itu saran dan kritik dari pembaca yang sekiranya

dapat membangun sangat penulis harapkan.

Akhir kata, semoga penulisan tugas akhir ini berguna untuk menambah

wawasan ataupun menjadi referensi bagi para pembaca sekalian khususnya pada

mahasiswa matematika.

Yogyakarta, Juli 2014

Penulis


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL (BAHASA INDONESIA)………………………………………….i

HALAMAN JUDUL (BAHASA INGGRIS)……………………………………………..ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………………………….iii

HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………………………….iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................................. v

ABSTRAK ..........................................................................................................................vi

ABSTRACT ....................................................................................................................... vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ................................................................. viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................................ ix

DAFTAR ISI ....................................................................................................................... xi

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang .................................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................... 7

1.3 Batasan Masalah ................................................................................................. 8

1.4 Tujuan Penulisan ................................................................................................. 8

1.5 Metode Penulisan ................................................................................................ 9

1.6 Manfaat Penulisan ............................................................................................... 9

1.7 Sistematika Penulisan ....................................................................................... 10

BAB II RETINA DAN ANALISIS BIDANG FASE ....................................................... 12

2.1 Mata dan Bagian-Bagiannya ............................................................................. 12

2.1.1 Lapisan luar (fibrosa) ................................................................................ 12

2.1.2 Lapisan tengah (vaskular) ......................................................................... 13

2.1.3 Lapisan dalam (jaringan syaraf) ................................................................ 13

2.2 Retina ................................................................................................................ 14

2.2.1 Sel-sel fotoreseptor ................................................................................... 14

2.2.2 Sel-sel bipolar ........................................................................................... 15

2.2.3 Sel-sel ganglion ......................................................................................... 15

2.3 Mekanisme Jalur Penglihatan ........................................................................... 15

2.4 Matriks .............................................................................................................. 17


xii

2.4.1 Definisi (Leon, Hal.260) : ......................................................................... 17

2.4.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ................................................................... 17

2.4.3 Eigendecomposision dari Matriks ............................................................. 19

2.5 Syarat Kestabilan .............................................................................................. 20

2.5.1 Nilai Eigen Real (sama) ............................................................................ 21

2.5.2 Nilai Eigen Real (beda) ............................................................................ 21

2.5.3 Nilai Eigen Kompleks ............................................................................... 22

2.6 Bidang Fase ....................................................................................................... 22

2.7 Metode Numerik ............................................................................................... 29

2.7.1 Ekspansi Taylor......................................................................................... 29

2.7.2 Metode Euler ............................................................................................. 30

BAB III MODEL FITZHUGH-NAGUMO ...................................................................... 32

3.1 Model Fitzhugh-Nagumo .................................................................................. 32

3.2 Sistem Nonlinear Model Fitzhugh-Nagumo ..................................................... 36

3.3 Linearisasi Model Fitzhugh-Nagumo ............................................................... 37

3.4 Contoh Model Fitzhugh-Nagumo Menggunakan Bidang Fase ........................ 45

3.5 Menganalisis Model Fitzhugh-Nagumo Menggunakan Bidang Fase ............... 49

BAB IV MEMODELKAN RETINA MENGGUNAKAN BIDANG FASE.................... 56

4.1 Latar Belakang Biologi ..................................................................................... 56

4.2 Model Umpan Balik Retina atau Retinal Feedback .......................................... 57

4.3 Latar Belakang Matematika .............................................................................. 59

4.4 Menyelesaikan Model Retinal Feedback .......................................................... 61

4.5 Menggambarkan Model Retinal Feedback Menggunakan Bidang Fase ......... 63

BAB V PENUTUP ........................................................................................................... 66

5.1 Kesimpulan ....................................................................................................... 66

5.2 Saran ................................................................................................................. 66

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 68

LAMPIRAN ...................................................................................................................... 69


1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dijelaskan latar belakang, perumusan dan pembatasan

masalah, serta tujuan, metode dan manfaat penulisan makalah. Sistematika

makalah juga ditulis dalam bab ini.

1.1 Latar Belakang

Kalimat sederhana seperti “cinta dari mata turunnya ke hati” atau “cinta

pada pandangan pertama” seringkali diucapkan oleh para remaja maupun orang

dewasa bahkan anak kecil sekalipun. Dari kedua kalimat ini berarti bahwa salah

satu faktor „cinta‟ atau „suka‟ hadir di antara dua insan yaitu melalui proses

melihat lawan jenis. Melihat bisa diartikan bermacam-macam, melihat dari segi

fisik, penampilan, tingkah laku atau perbuatan lawan jenis yang mengakibatkan

suatu rangsangan alami yang biasa disebut suka, kagum atau cinta. Terciptanya

rangsangan tersebut tidak secara instan, semua butuh proses yang dalam hal ini

dimulai dari penglihatan secara visual menggunakan indera penglihatan.

Indera penglihatan atau biasa disebut mata seperti ditunjukkan dalam

Gambar (1.1) adalah struktur bulat berisi cairan yang dibungkus oleh tiga lapisan

(sklera dan kornea, vaskular, retina). Salah satu lapisan yang letaknya paling

dalam adalah retina (Sherwood, 2009). Retina terdiri dari lapisan berpigmen di


2

sebelah luar dan lapisan jaringan saraf di sebelah dalam. Lapisan jaringan saraf

dari retina terdiri dari tiga lapisan sel peka rangsang, yaitu:

1. Lapisan paling luar yang mengandung sel batang dan sel

kerucut (menjauhi sinar datang)

2. Lapisan tengah/sel bipolar

3. Lapisan dalam/sel ganglion

Gambar 1.1 Mata dan bagian-bagiannya

(Sumber :http://imsdd.meb.uni-bonn.de/cancer.gov/Media/CDR0000543553.jpg)

Lapisan paling luar sel peka rangsang mengandung sel batang dan sel

kerucut atau biasa disebut sel fotoreseptor. Sel batang (rods) merespon cahaya

redup dan paling banyak ditemukan di daerah perifer retina manusia, sel batang

tidak bermanfaat pada cahaya terang siang hari karena cahaya terang akan

merusak sel tersebut. Sel kerucut (cones) lebih bermanfaat pada cahaya terang dan

sangat dibutuhkan untuk penglihatan berwarna, sel ini kurang merespon pada

cahaya redup dan banyak ditemukan di dalam dan sekitar fovea.

Sinar harus melalui lapisan ganglion dan bipolar sebelum mencapai

fotoreseptor di semua bagian retina kecuali di fovea, seperti terlihat pada Gambar


http://imsdd.meb.uni-bonn.de/cancer.gov/Media/CDR0000543553.jpg

3

(1.2). Fovea merupakan sebuah area kecil untuk penglihatan tajam dan detail.

Pada area tersebut hampir tidak terdapat akson-akson sel ganglion serta pembuluh

darah sehingga cahaya langsung mengenai fotoreseptor. Reseptor yang tersusun

sangat rapat sehingga membantu untuk persepsi yang mendetail, oleh karena itu

persepsi setiap orang berbeda-beda dan mengakibatkan perubahan perilaku yang

berbeda pula. Persepsi adalah interpretasi sadar seseorang terhadap dunia luar

yang diciptakan oleh otak dari suatu pola impuls–impuls saraf yang diterimanya

dari reseptor sensorik. Tiap reseptor pada fovea terhubung dengan satu sel bipolar

dan tiap sel bipolar terhubung dengan satu sel ganglion. Sel ganglion pada

manusia ukurannya kecil dan hanya merespon satu sel kerucut, karenanya tiap sel

kerucut pada fovea memiliki lintasan langsung ke otak yang dapat mengetahui

dengan tepat asal input tersebut.

Gambar 1.2. Cahaya menuju area fovea langsung mengenai fotoreseptor

(Sumber :http://ocularis.es/blog/pics/990303.jpg)

Fungsi utama mata adalah memfokuskan berkas cahaya dari lingkungan ke

sel batang dan sel kerucut (sel fotoreseptor) retina. Fotoreseptor kemudian


http://ocularis.es/blog/pics/990303.jpg

4

mengubah energi cahaya menjadi sinyal listrik yang kemudian digunakan oleh

neuron untuk menerima, memproses, memulai dan mengirimkan pesan ke SSP

(sistem syaraf pusat). Sinyal listrik dihasilkan oleh perubahan pada perpindahan

ion melintasi membran plasma. Perubahan pada perpindahan ion ditimbulkan oleh

permeabilitas membran sebagai respon terhadap berbagai kejadian

pemicu/rangsangan.

Terdapat dua bentuk dasar sinyal listrik yaitu:

1. Potensial berjenjang yang berfungsi sebagai sinyal jarak pendek, terjadi di

saat potensial istirahat mendapat stimulus cahaya gelap

2. Potensial aksi yang menjadi sinyal jarak jauh, terjadi ketika mendapat

stimulus dari cahaya gelap menjadi cahaya terang

Keduanya saling berhubungan karena sebelum menuju ke potensial aksi

terlebih dahulu suatu sel harus melalui potensial berjenjang. Setelah mengalami

potensial berjenjang barulah neuron dapat mengirimkan informasi yang

diperolehnya ke SSP, demikian pula setelah mengalami potensial aksi neuron

dapat mengirimkan informasi yang diperolehnya ke SSP. Setelah sampai di SSP

informasi tersebut harus melewati serangkaian proses lagi sampai akhirnya

menghasilkan suatu persepsi yang mengakibatkan berubahnya perilaku seseorang.

Hal ini diilustrasikan pada Gambar (1.3) berikut:


5

Gambar 1.3. Ilustrasi alur munculnya persepsi

Sumber:http://realitypod.com/wp-content/uploads/2012/07/Artificial-Retina.jpg

Gambaran secara visual mengenai keterkaitan antara sel batang dan sel

kerucut, dalam mengubah energi cahaya menjadi energi listrik yang kemudian

digunakan oleh neuron untuk mentransmisikan data ke SSP dapat dimodelkan

secara matematika.

Menurut Luenberger (1979) fenomena yang terjadi di dunia yang selalu

berubah terhadap waktu dan bagian dari ilmu matematika yang digunakan untuk

merepresentasi atau menganalisis fenomena tersebut dinamakan dynamic systems

atau sistem dinamis. Dalam kasus ini digunakan pendekatan sistem dinamis untuk

menganalisis kejadian saat retina diberi suatu stimulus cahaya, yaitu berupa

perubahan cahaya dari waktu gelap ke terang atau sebaliknya.

Pendekatan sistem dinamis dalam menganalisis dapat dilihat dari segi

aljabar dan segi geometri. Menganalisis dari segi aljabar berarti melalui

perhitungan, sedangkan dari segi geometri berarti menganalisis melalui media


http://realitypod.com/wp-content/uploads/2012/07/Artificial-Retina.jpg

6

gambar. Pendekatan melalui media gambar dalam sistem dinamis dapat

menggunakan suatu teknik yang dinamakan analisis bidang fase.

Ketika cahaya masuk ke dalam mata, cahaya tersebut kemudian di

fokuskan menuju ke sel batang dan sel kerucut. Kedua sel tersebut bertugas untuk

mengubah energi cahaya menjadi sinyal listrik sehingga dapat digunakan oleh

neuron untuk menyalurkan informasi ke SSP. Proses inilah yang akan dianalisis

dari segi geometri menggunakan media gambar agar terlihat lebih rinci.

Perubahan energi cahaya menjadi sinyal listrik yang menyebabkan munculnya

potensial aksi pada neuron sebagai respon terhadap rangsangan cahaya telah

dimodelkan dalam matematika yang dinamakan model Fitzhugh-Nagumo (FN).

Model ini adalah kelanjutan dari model Hodgkin-Huxley yang memiliki empat

persamaan, sedangkan model FN lebih sederhana dengan dua persamaan dan akan

dianalisis menggunakan teknik analisis bidang fase.

Secara umum, model Fitzhugh-Nagumo (FN) dapat dituliskan sebagai

sistem persamaan diferensial biasa yang terdiri atas dua persamaan:

(

)

( )

disini adalah perubahan neuron selama potensial aksi pada saat diberi suatu

stimulus, sedangkan merupakan perubahan neuron kembali ke keadaan istirahat

setelah mengalami potensial aksi, dan t mewakili waktu, serta dan adalah

parameter dari model.


7

Model tersebut hanya menjelaskan proses bagaimana suatu stimulus yang

sedikit atau banyak yang diterima oleh reseptor penglihatan dapat menghasilkan

suatu potensial aksi yang terjadi di dalam neuron/sel saraf. Kemudian digunakan

oleh neuron untuk mengirimkan informasi ke otak sehingga setelah mengalami

serangkaian proses lagi di otak akan mengakibatkan perubahan perilaku

seseorang. Mengenai proses yang terjadi di otak dan perilaku apa yang akan

terjadi ketika diberi suatu stimulus pada mata tidak dibahas dalam model ini,

karena kinerja otak setiap manusia yang berbeda-beda ketika merespon suatu

stimulus. Selain membahas mengenai model FN, juga akan dibahas mengenai

struktur dasar dari retina dan cara membuat model sederhana dari interaksi

neuron. Membuat model sederhana yang dimaksud adalah memodelkan interaksi

antara sel kerucut dan sel horizontal pada retina dengan mendeskripsikan

grafiknya menggunakan analisis bidang fase. Diharapkan kedua model ini dapat

membantu menerangkan secara visual, bagaimana proses masuknya cahaya

melalui mata dan proses apa yang terjadi di dalam retina.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian dalam latar belakang di atas, pokok permasalahan dari

penulisan ini adalah:

1. Apa itu teknik analisis bidang fase?

2. Bagaimana cara menganalisis model Fitzhugh-Nagumo menggunakan

teknik analisis bidang fase?


8

3. Bagaimana cara memodelkan interaksi antara sel kerucut dan sel

horizontal pada retina?

1.3 Batasan Masalah

Dalam penulisan ini hanya akan dibahas mengenai pemodelan cara kerja

retina khususnya pada saat sel peka rangsang/fotoreseptor di retina mengubah

energi cahaya menjadi sinyal listrik sehingga mengakibatkan perubahan potensial

aksi pada neuron atau disebut model Fitzhugh-Nagumo menggunakan teknik

analisis bidang fase. Penulisan ini juga akan membahas mengenai pemodelan

interaksi antara sel kerucut dan sel horizontal pada retina dengan mendeskripsikan

grafiknya menggunakan bidang fase.

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan ini adalah:

1. Mengetahui tentang teknik analisis bidang fase

2. Mengetahui bagaimana cara menganalisis model Fitzhugh-Nagumo

menggunakan teknik analisis bidang fase ketika ada perubahan pada

rangsangan atau parameter.

3. Mengetahui cara memodelkan interaksi antara sel kerucut dan sel

horizontal pada retina dengan mendeskripsikan grafiknya

menggunakan bidang fase.


9

1.5 Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode

studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku-buku

acuan yang berkaitan dengan topik.

1.6 Manfaat Penulisan

Bagi penulis makalah ini akan bermanfaat untuk mengembangkan ilmu

dan teknik yang telah dipelajari dalam matematika, sebagai alat bantu dalam

perkembangan bidang ilmu lainnya terutama untuk melihat visualisasi dari

perubahan neuron saat potensial aksi yang terjadi di retina dan saat memodelkan

interaksi antara sel kerucut dan sel horizontal pada retina menggunakan teknik

analisis bidang fase.

Bagi pembaca, makalah ini dapat memberi pemahaman yang lebih luas

lagi mengenai bagaimana matematika berperan serta membantu

memvisualisasikan keadaan neuron saat mengalami potensial aksi, dan cara

memodelkan interaksi antara sel kerucut dan sel horizontal pada retina

menggunakan teknik analisis bidang fase. Teknik ini juga sekaligus digunakan

untuk menganalisis perubahan apa yang akan terjadi pada neuron saat potensial

aksi ketika diberi stimulus yang berbeda-beda.


10

1.7 Sistematika Penulisan

BAB I : PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

1.2 Perumusan Masalah

1.3 Pembatasan Masalah

1.4 Tujuan Penulisan

1.5 Metode Penulisan

1.6 Manfaat Penulisan

1.7 Sistematika Penulisan

BAB II : Analisis Bidang Fase

2.1 Mata dan Bagian-Bagiannya

2.2 Retina

2.3 Mekanisme Jalur Penglihatan

2.4 Matriks

2.5 Syarat Kestabilan

2.6 Bidang fase

2.7 Metode Numerik

BAB III : Model Fitzhugh-Nagumo

3.1 Model Fitzhugh-Nagumo

3.2 Linearisasi Model Fitzhugh-Nagumo

3.3 Sistem Nonlinear model Fitzhugh-Nagumo

3.4 Contoh model Fitzhugh-Nagumo


11

menggunakan Bidang Fase

3.5 Menganalisis model Fitzugh-Nagumo

BAB IV : Memodelkan Retina Menggunakan Bidang Fase

4.1 Latar Belakang Biologi

4.2 Model Umpan Balik Retina atau Retinal feedback

4.3 Latar Belakang Matematika

4.4 Menyelesaikan Model Retinal feedback

4.5 Menggambarkan Model Retinal feedback

menggunakan Bidang Fase

BAB V : PENUTUP


12

BAB II

RETINA DAN ANALISIS BIDANG FASE

Dalam bab ini akan dijelaskan landasan teori yang digunakan dalam

pembahasan di bab-bab berikutnya.

2.1 Mata dan Bagian-Bagiannya

Indera penglihatan sangat penting bagi mahluk hidup, hampir seluruh

mahluk hidup yang tinggal di laut, udara, maupun darat memiliki indera

penglihatan yang disebut dengan mata. Fungsi bola mata adalah untuk

membentuk bayangan dari benda yang dilihat. Mata dilindungi oleh beberapa

lapisan, lapisan paling luar (fibrosa), lapisan tengah (vaskular atau traktus uveal),

lapisan dalam (jaringan syaraf).

2.1.1 Lapisan luar (fibrosa)

Lapisan luar (fibrosa) terdiri atas sklera dan kornea. Sklera atau

selaput putih mata terdiri atas jaringan fibrosa bermembran atau jaringan

pengikat padat yang membuat bola mata melekat pada mata dan otot-otot

mata, sklera berfungsi untuk melindungi bola mata. Kornea mata tampak

cembung dan terbentuk dari jaringan pengikat padat yang tidak memiliki

pembuluh darah, karenanya kornea mata tersebut transparan sehingga

dapat membiaskan sinar cahaya yang masuk ke mata lalu difokuskan

menuju ke retina.


13

2.1.2 Lapisan tengah (vaskular)

Lapisan tengah (vaskular) terdiri atas koroid, badan siliaris, dan iris.

Koroid kaya akan pembuluh darah dan berwarna coklat di bagian

dalamnya. Koroid bertugas mengabsorpsi cahaya yang masuk melalui

pupil. Badan siliaris merupakan lanjutan dari anterior koroid yang terdiri

atas otot siliaris dan sel epitalium sekretorik. Otot siliris (serat otot polos)

membantu mengatur lensa untuk melihat benda-benda yang dekat. Iris

terletak di belakang kornea dan di depan lensa, iris merupakan bagian

mata yang berwarna dan berfungsi untuk mengatur sejumlah cahaya yang

masuk ke mata. Iris dibentuk dari dua lapisan otot polos yaitu otot sfinkter

dan otot dilator. Kontraksi otot sfinkter menyebabkan pupil mengecil bila

seseorang melihat dalam jarak yang sangat dekat. Kontraksi otot dilator

menyebabkan pupil membesar bila seseorang melihat dalam jarak yang

jauh saat cahaya remang-remang.

2.1.3 Lapisan dalam (jaringan syaraf)

Lapisan dalam (jaringan syaraf) yaitu retina merupakan lapisan

terdalam pada dinding mata. Retina memiliki struktur yang sangat halus

dan beradaptasi sangat baik terhadap sinar cahaya. Retina terdiri dari dua

bagian, bagian luar terdiri atas beberapa lapisan badan sel saraf yang

berada pada lapisan sel epitalium berpigmen dan melekat pada lapisan

koroid, dan bagian dalam yaitu lapisan peka cahaya atau sel fotoreseptor.


14

2.2 Retina

Retina melapisi tiga perempat bola mata dan paling tebal pada bagian

belakangnya. Fungsi retina tidak hanya sebagai pendeteksi cahaya tetapi juga

memainkan peran penting dalam persepsi visual. Retina terdiri atas lapisan

berpigmen di sebelah luar dan lapisan jaringan syaraf di sebelah dalam.

Lapisan jaringan syaraf pada retina terdiri dari tiga lapisan sel peka

rangsang, yaitu :

2.2.1 Sel-sel fotoreseptor

Lapisan paling luar yang mengandung sel batang dan sel kerucut

atau biasa disebut sel fotoreseptor (menjauhi sinar datang). Sel

fotoreseptor terdiri dari tiga bagian, segmen luar, segmen dalam, dan

terminal sinaps. Segmen luar berbentuk batang pada sel batang dan

berbentuk kerucut pada sel kerucut, dan bagian ini berfungsi untuk

mendeteksi rangsangan cahaya.Segmen dalam terletak di bagian tengan

fotoreseptor dan mengandung perangka metabolik sel. Terminal sinaps

terletak dekat dengan interior mata, bagian ini berfungsi menyalurkan

sinyal yang dihasilkan fotoreseptor karena stimulasi cahaya ke sel-sel

berikutnya di jalur penglihatan.

Setiap retina mengandung sekitar 150 juta fotoreseptor dan lebih

dari satu milyar molekul fotopigmen yang berada di dalam segmen luar

setiap fotoreseptor. Fotopigmen mengalami suatu perubahan kimiawi

ketika diaktifkan oleh sinar yang masuk ke retina. Melalui serangkaian


15

proses sehingga terjadi perubahan yang disebabkan oleh cahaya hingga

mengaktifkan fotopigmen menyebabkan terbentuknya potensial reseptor

yang akhirnya menghasilkan potensial aksi. Potensial aksi yang terjadi

bertujuan untuk menyalurkan informasi yang diterima menuju ke otak

untuk pemrosesan visual.

2.2.2 Sel-sel bipolar

Lapisan tengah atau sel bipolar adalah sel saraf perantara di retina

yang mengirimkan sinyal visual dari sel-sel fotoreseptor ke sel-sel

ganglion.

2.2.3 Sel-sel ganglion

Lapisan dalam atau sel ganglion terdiri dari inti sel ganglion dan

merupakan asal dari serat syaraf optik.

2.3 Mekanisme Jalur Penglihatan

Cahaya masuk ke mata melalui kornea kemudian melewati pupil yang

lebarnya diatur oleh iris, lalu dibiaskan oleh lensa sehingga terbentuk bayangan di

retina yang bersifat nyata, terbalik, diperkecil. Selanjutnya sel-sel batang dan

kerucut meneruskan sinyal cahaya melalui saraf optik menuju ke otak yang

kemudian membalikkan kembali bayangan yang terlihat di retina ke bentuk

aslinya sehingga di peroleh persepsi mengenai obyek apa yang terlihat.


16

Pada saat sel fotoreseptor meneruskan sinyal cahaya terlebih dahulu

cahaya tersebut diubah menjadi sinyal listrik. Sinyal listrik disebut juga impuls

atau rangsangan yang dihasilkan oleh perubahan pada perpindahan ion saat

melintasi membran plasma. Apabila tidak terdapat rangsangan atau neuron dalam

keadaan istirahat, sitoplasma di dalam membran plasma bermuatan listrik negatif,

sedangkan cairan di luar membran bermuatan positif. Keadaan yang demikian

dinamakan polarisasi atau potensial istirahat, di sel saraf saat potensial

istirahat terjadi membran mengalami polarisasi pada -70mV. Perbedaan

muatan ini terjadi karena adanya mekanisme transpor aktif yakni pompa natrium-

kalium. Konsentrasi ion natrium (Na+) di luar membran plasma dari suatu akson

neuron lebih tinggi dibandingkan konsentrasi di dalamnya. Sebaliknya,

konsentrasi ion kalium (K+) di dalamnya lebih besar daripada di luar. Akibatnya,

mekanisme transpor aktif terjadi pada membran plasma.

Apabila neuron dirangsang dengan kuat, permeabilitas membran plasma

terhadap ion Na+ berubah meningkat. Peningkatan permeabilitas membran ini

menjadikan ion Na+ berdifusi ke dalam membran, sehingga muatan sitoplasma

berubah menjadi positif. Fase seperti ini dinamakan depolarisasi atau potensial

aksi. Sementara itu, ion K+ akan segera berdifusi keluar melewati membran. Fase

ini dinamakan repolarisasi, yaitu saat membran kembali ke keadaan istirahat

setelah mengalami depolarisasi. Peningkatan besar potensial membran negatif

atau membran menjadi lebih terpolarisasi dibandingkan saat waktu istirahat

dinamakan hiperpolarisasi. Perbedaan muatan pada bagian yang mengalami

polarisasi dan depolarisasi akan menimbulkan arus listrik. Arus listrik inilah yang


17

kemudian digunakan oleh neuron untuk menerima, memproses, memulai dan

mengirimkan pesan ke SSP (sistem syaraf pusat).

2.4 Matriks

2.4.1 Definisi (Leon, Hal.260) :

Misalkan A adalah suatu matriks . Skalar 𝜆 disebut sebagai

suatu nilai eigen atau nilai karakteristik (characteristic value) dari A

jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax= x. Vektor x disebut

vektor eigen atau vektor karakteristik dari .

2.4.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Contoh mencari nilai eigen (𝜆) menggunakan persamaan

karakteristik yang diperoleh dari definisi di atas:

( )

Jika ( ) memiliki invers maka perkalian dengan inversnya:

( ) ( ) ( )

Tentu saja ini bukan penyelesaian yang diinginkan,karena jika

vektor tidak dapat dicari nilai eigen dari matriks A. Sehingga salah

satu cara agar adalah jika ( ) tidak memiliki invers. Ingat

bahwa matriks ( ) tidak memiliki invers jika dan hanya jika:

( ) atau | |


18

disebut Persamaan Karakteristik untuk matriks .

Sebagai contoh misal diberikan suatu matriks *

+, untuk

mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks menggunakan

persamaan karakteristik caranya,

| | ,

atau |*

+ *

+| ,

atau |

| ,

atau ( )( ) ( )( ) ,

atau ,

atau (𝜆 )( ) ,

diperoleh atau

nilai eigen untuk matriks adalah * +

Mencari vektor eigen untuk

Misalkan * +

*

+ * + [

] [

] [

]

Penyelesaian dari sistem ini akan memberikan persamaan

sehingga jika dipilih maka , dan * +.

Mencari vektor eigen untuk , misalkan * + maka:


19

*

+ * + [

] [

] [ ]

Penyelesaian dari sistem ini akan memberikan persamaan

sehingga jika dipilih maka , dan * +.

2.4.3 Eigendecomposision dari Matriks

Eigendecomposision Theorem mengatakan bahwa:

Untuk suatu matriks dengan nilai eigen berbeda dan real

dapat ditulis , dimana adalah matriks persegi yang

kolom-kolomnya adalah vektor eigen dari matriks , dan adalah matriks

diagonal yang diagonal utamanya berisi nilai eigen dari matriks A.

Bukti menurut Leon (2001):

Misalkan dapat didiagonalisasi, artinya terdapat matriks diagonal

yang serupa dengan atau matriks berisi nilai-nilai eigen dari matriks

maka terdapat suatu matriks taksingular dimana . Jika

adalah vektor-vektor kolom dari ,

maka 𝜆 (𝜆 ),

untuk setiap , dimana adalah elemen diagonal dari matriks diagonal .

Jadi untuk setiap 𝜆 adalah nilai eigen dari dan adalah vektor eigen

yang dimiliki 𝜆 . Karena vektor-vektor kolom adalah bebas linear maka

memiliki vektor eigen bebas linear. Karena dapat didiagonalisasi

maka dapat difaktorkan ke dalam hasil kali . Jadi


20

Teorema di atas dapat digunakan untuk menuliskan kembali

matriks *

+, sebagai hasil kali dari .

Bentuk matriks *

+ yang mempunyai invers

*

+ [

]

dan berkaitan dengan *

+

Lalu semuanya dimasukkan ke dalam teorema seperti berikut:

atau *

+ *

+ [

]

Catatan: Eigendecomposision Theorem dapat diatur kembali

sehingga memperoleh persamaan yang seringkali

juga digunakan.

2.5 Syarat Kestabilan

Kestabilan dalam suatu model berarti bahwa perubahan awal yang kecil

pada model tidak membuat error menjadi sangat besar. Suatu penyelesaian

persamaan diferensial biasa dikatakan stabil jika perturbasi/perubahan yang kecil

pada data awal tetap bersifat kecil seiring dengan waktu. Hal yang sangat penting

dalam menentukan kestabilan suatu model adalah nilai eigen (𝜆). Seperti sudah


21

dijelaskan sebelumnya, setiap model atau persamaan harus dibentuk dalam

matriks untuk memperoleh nilai eigen.

Dalam kasus persamaan diferensial tingkat homogen yang berbentuk

seperti berikut:

Substitusi

Sehingga diperoleh (

)

, jadi

memiliki

buah akar yaitu

Nilai eigen ada tiga macam, nilai eigen real sama, nilai eigen real beda,

nilai eigen kompleks. Berikut penjelasannya:

2.5.1 Nilai Eigen Real (sama)

Jika maka penyelesaian umumnya

adalah:

( )

2.5.2 Nilai Eigen Real (beda)

Jika maka penyelesaian umumnya

adalah:

( )


22

2.5.3 Nilai Eigen Kompleks

Jika sampai adalah nilai eigen berupa bilangan kompleks,

maka vektor eigen juga berisi bilangan kompleks. Nilai eigen dan vektor

eigen yang terdiri dari bilangan kompleks tersebut pasti memiliki

pasangan konjugat yaitu 𝜆 sampai 𝜆 dan Sehingga penyelesaian

umumnya adalah:

( ) (

)

atau dapat juga ditulis sebagai,

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )).

2.6 Bidang Fase

Bidang fase secara matematika merupakan grafik hubungan antara fungsi

dan . Banyak sistem yang rumit tidak bisa langsung dicari penyelesaiannya

secara detail, sistem rumit tersebut seperti model Fitzhugh-Nagumo hanya dapat

diselesaikan secara kualitatif. Artinya hanya dapat diselesaikan menggunakan

analisis pada bidang fase. Ketika ingin menggambarkan sistem secara kualitatif,

perlu dicari terlebih dahulu nilai titik tetap dari solusi dan juga mengklasifikasikan

dinamika dari solusi yang menyebabkan nilai titik tetap ini.

Oleh karena itu misal diberikan suatu sistem, sistem ini akan dijelaskan

kembali secara detail dalam bab 4.

, (2.1)


23

. (2.2)

dengan nilai eigen -1 dan 3 sehingga solusi umumnya:

( )

, (2.3)

( )

. (2.4)

Titik tetap dari sistem ini adalah ( ) yang diperoleh dari dan

. Solusi ini dapat dinyatakan secara kualitatif, jika ditunggu cukup lama

maka sistem ini akan mendekati salah satu dari dua keadaan. Jika maka

( ) ( ) . Oleh karena itu dikatakan bahwa ( ) ( )

adalah kondisi yang menyebabkan model ini stabil. Jika maka

( ) ( ) oleh karena itu satu-satunya solusi yang stabil

dan terbatas untuk sistem ini adalah ( ) ( ). Tidak ada nilai kestabilan lain

untuk sistem ini, karena kondisi awal yang mengarah pada akan memiliki

solusi yang cenderung menuju titik tetap ( ), sementara yang lain menuju

infinity atau menjauhinya. Titik tetap dengan kondisi seperti ini, yaitu dengan

beberapa kondisi awal menuju ke titik tetap dan yang lain menjauhinya disebut

saddle point (titik pelana).

Hal seperti di atas dapat digambarkan menggunakan pplane8. Pplane8

adalah suatu program yang dibuat oleh Dr. John C. Polking dari Universitas Rice.

Program pplane8 dapat di-download di website http://math.rice.edu/~dfield/.

Setelah di-download program dapat dijalankan, lalu hal pertama yang dilakukan

cukup mengganti persamaan diferensial yang ada dengan persamaan (2.1) dan

(2.2) lalu biarkan yang lain tetap, lihat Gambar (2.1) lalu klik proceed. Perlu


http://math.rice.edu/~dfield/

24

diketahui sebelumnya bahwa setiap solusi yang digambarkan pada bidang fase

disebut trajectory atau lintasan. Lalu akan muncul Gambar (2.2), untuk melihat

lebih jelas arah lintasannya, klik saja sebarang titik pada vektor field tersebut dan

juga klik solutions menu lalu plih show nullclines. Dalam gambar tersebut

nullclines ditunjukkan sebagai garis yang berwarna kuning dan ungu. Terlihat

pula kedua nullclines tersebut berpotongan tepat di titik (0,0) yang berarti titik

tersebut adalah titik tetap dari sistem seperti dugaan awal sebelumnya pada

persamaan (2.3) dan (2.4). Hal yang terjadi pada Gambar (2.2) menunjukkan

benar bahwa arah lintasan atau solusi dari sistem ini adalah saddle point, artinya

seiring bertambahnya waktu solusi sistem ini akan mendekati titik tetap (0,0)

tetapi kemudian berbalik menjauhinya atau menuju infinity. Dapat ditarik

kesimpulan bahwa setiap sistem linear pada persamaan diferensial biasa yang

dinyatakan mengunakan matriks dengan nilai eigen real berbeda tanda akan

menghasilkan saddle point pada perpotongan nullclinesnya.

Gambar (2.1). Program pplane8 untuk sistem pada persamaan (2.1) dan (2.2)


25

Gambar (2.2). Display window persamaan (2.1) dan (2.2)

Jika matriks yang menggambarkan suatu sistem linear memiliki nilai eigen

real yang sama tanda (negatif) maka titik tetapnya disebut nodal sink, Gambar

(2.3). Jika matriks yang menggambarkan suatu sistem linear memiliki nilai eigen

real yang sama tanda (positif) maka titik tetapnya disebut nodal source, Gambar

(2.4). Untuk melihat perbedaan kedua Gambar (2.3) dan Gambar (2.4) lihatlah

arah panahnya.


26

Gambar (2.3). Bidang fase untuk kestabilan nodal sink

Gambar (2.4). Bidang fase untuk kestabilan nodal source


27

Jika matriks yang menggambarkan suatu sistem linear memiliki nilai eigen

kompleks dan bagian realnya bertanda negatif maka titik tetapnya disebut spiral

sink, Gambar (2.5). Jika matriks yang menggambarkan suatu sistem linear

memiliki nilai eigen kompleks dan bagian realnya bertanda positif maka titik

tetapnya disebut spiral source, Gambar (2.6). Kelima jenis titik keseimbangan ini

dikenal sebagai kesetimbangan generic. Ada juga lima kesetimbangan non

generic, yang paling penting disebut center. Center terjadi ketika nilai eigen dari

matriksnya adalah bilangan kompleks murni, Gambar (2.7).

Gambar (2.5). Bidang fase untuk kestabilan spiral sink


28

Gambar (2.6). Phase plane untuk kestabilan spiral source

Gambar (2.7). Bidang fase untuk kestabilan center


29

2.7 Metode Numerik

Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan

persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan

biasa. Metode berarti suatu cara dan numerik artinya angka, sehingga metode

numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka dan menghasilkan

solusi yang berbentuk angka pula. Metode numerik hanya mempunyai solusi yang

hampir/dekat dengan solusi eksak. Solusi hampiran tidak sama dengan solusi

eksak tetapi dapat dihampiri dengan ketelitian yang tinggi. Selalu ada error yang

walaupun sangat kecil antara solusi hampiran dengan solusi eksak. Berikut adalah

beberapa metode numerik yang digunakan dalam penulisan ini:

2.7.1 Ekspansi Taylor

Ekspansi Taylor disebut juga deret Taylor yang merupakan dasar

untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Bentuk umum deret Taylor:

( ) ( ) ( )

( )

( )

kemudian deret Taylor dalam metode numerik adalah:

( ) ( ) ( )

( )

( )

dengan:

( ) : fungsi di titik

( ) : fungsi di titik

: turunan pertama, kedua,…,ke dari fungsi

: jarak antara dan

: kesalahan pemotongan/error (Higher Order Terms)


30

: operator faktorial

2.7.2 Metode Euler

Metode Euler disebut juga metode orde pertama karena

persamaannya hanya diambil sampai suku orde pertama saja. Misal

diberikan PDB orde satu:

( ) dengan nilai awal ( )

Misalkan ( ) adalah hampiran nilai di yang dihitung

dengan metode Euler, yaitu

Metode Euler diturunkan dengan cara menguraikan ( ) di

sekitar ke dalam deret Taylor :

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

jika persamaan (2.6) dipotong sampai suku orde ketiga, maka diperoleh:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

untuk Berdasarkan persamaan bentuk baku PDB orde satu

maka,

( ) ( ) dan

sehingga persamaan (2.7) dapat ditulis menjadi:

( ) ( ) ( )

( ) ( )


31

dua suku pertama persamaan (2.8) yaitu:

( ) ( ) ( ) (2.9)

untuk . Atau dapat ditulis yang merupakan

metode Euler.


32

BAB III

MODEL FITZHUGH-NAGUMO

Dalam bab ini akan dibahas mengenai potensial aksi yang terjadi saat sel

fotoreseptor mengubah cahaya menjadi sinyal listrik yang disebut dengan model

Fitzhugh-Nagumo atau dapat disingkat dengan model FN.

3.1 Model Fitzhugh-Nagumo

Model Fitzhugh-Nagumo (FN) yang pertama kali diperkenalkan oleh

Richard Fitzhugh (1961) dan J. Nagumo pada tahun berikutnya merupakan

perkembangan dari model Hodgkin-Huxley (HH) yang di perkenalkan oleh Alan

Hodgkin dan Andrew Huxley. Berbeda dengan model HH yang memiliki 4

persamaan, model FN menggabungkan empat persamaan tersebut menjadi lebih

sederhana yaitu 2 persamaan. Model FN mengkombinasikan dua variabel tertentu

ke dalam satu variabel yaitu v dan mengkombinasikan dua variabel tertentu

lainnya ke dalam satu variabel yaitu r.

Kedua persamaan tersebut adalah sebagai berikut:

(

)

(3.1)

( )

(3.2)

Disini adalah perubahan neuron selama potensial aksi pada saat diberi

suatu stimulus, sedangkan merupakan perubahan neuron kembali ke keadaan

istirahat setelah mengalami potensial aksi, dan t mewakili waktu, serta dan


33

adalah parameter dari model. adalah nilai besarnya suatu stimulus yang

diberikan. Sedangkan konstanta adalah nilai arus ion natrium, adalah nilai

arus ion kalium dan adalah nilai arus eksternal yang masuk ke dalam membran

untuk menentukan seberapa cepat perubahan dibandingkan . Berdasarkan

penelitian Fitzhugh (1961), batasan untuk parameternya adalah

Telah diketahui bahwa sistem persamaan diferensial linear memiliki bentuk:

, (3.3)

. (3.4)

Dengan mempertimbangkan persamaan diferensial seperti yang terdapat di

model FN, andaikan jika diperoleh persamaan diferensial yang berbentuk seperti

berikut:

( ), (3.5)

( ). (3.6)

Disini f dan g merupakan fungsi dari x dan y. Akan disketsakan titik

keseimbangan atau perpotongan nullclines antara x dan y, dengan memberikan

nilai awal ( ) dan ( ) Jika titik keseimbangan keduanya tidak

berpotongan maka sistem tersebut tidak memiliki solusi berhingga atau dengan

kata lain solusi sistem tersebut tidak ada. Jika berpotongan di satu titik maka

sistem tersebut memiliki satu solusi. Sistem linear biasanya memiliki satu solusi,


34

tetapi sistem nonlinear dapat memiliki lebih dari satu nilai solusi. Hal tersebut

sangat penting untuk diketahui dalam memahami lintasan yang terdapat di sistem

nonlinear. Suatu medan vektor dan lintasan memberikan kondisi awal yang dapat

dihitung pada sistem nonlinear sama seperti menghitung dalam sistem linear.

Sebelumnya telah dipelajari mengenai cara membedakan titik tetap,

menggunakan pengetahuan tersebut akan diasumsikan bahwa fungsi dan

memiliki Ekspansi Taylor seperti berikut :

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) , (3.7)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) . (3.8)

Saat mendekati titik tetap, bentuk akan mendekati nol karena

dan begitu juga ( ) ( ) , jadi :

( ) ( )

( )

( )

( ),

(3.9)

( ) ( )

( )

( )

( ).

(3.10)

Substitusi persamaan (3.9) dan (3.10) ke dalam persamaan (3.5) dan (3.6)

diperoleh:

( )

( )

( )

( ),

(3.11)

( )

( )

( )

( ).

(3.12)

Sistem tersebut ditunjukkan dengan persamaan matriks:


35

[( ) ( )

]

[ ( )

( )

( )

( )

]

[( )

( )] ( )

Jika dimisalkan :

[( )

( )] dan [

] ( )

maka persamaan (3.14) dapat ditulis sebagai

|( ) . (3.15)

Matriks J disebut sebagai matriks Jacobi. Matriks ini sangat penting dalam

kalkulus multivariabel yang ada di matematika. Persamaan (3.15) mengatakan

bahwa aproksimasi orde satu pada sistem nonlinear dalam persamaan (3.5) dan

(3.6) dapat diaproksimasi menggunakan sistem linear yang ada di persamaan

(3.15). Nilai eigen pada matriks Jacobi (evaluasi pada titik tetap) diperlukan untuk

mengklasifikasikan titik tetap sebagai sadle point (titik pelana), spiral sink, dan

lainnya. Persamaan (3.15) adalah suatu aproksimasi untuk sistem nonlinear.

Suatu teorema mengatakan bahwa ketika dinamika titik tetap pada sistem

linear dalam persamaan (3.12) adalah titik tetap generic, maka titik tetap dalam

persamaan (3.1) dan (3.2) juga memiliki dinamika yang sama. Jika sistem linear

memiliki titik tetap nongeneric sebagai suatu pusat, maka tidak ada penyelesaian

yang dapat digambarkan dari dinamika titik tetap pada sistem nonlinear. Informasi

tentang dinamika titik tetap hanya digunakan untuk kitaran terbatas yang berpusat


36

di sekitar titik tetap. Sebagai contoh, spiral, dapat bergerak spiral menuju ke tak

hingga atau bergerak spiral mendekati orbit lingkaran.

3.2 Sistem Nonlinear Model Fitzhugh-Nagumo

Telah diketahui sebelumnya bahwa model FN berbentuk nonlinear, model

FN juga sangat rumit jika ingin dicari penyelesaian umumnya. Oleh karena itu,

dengan menggunakan metode Euler dan nilai awal tertentu akan ditunjukkan

kestabilan model ini. Berikut hasil dari penggunaan metode Euler dengan nilai

awal untuk persamaan (3.1) dan (3.2) yang ditentukan sebagai berikut yaitu,

lihat Gambar (3.1).

Matlab akan memperlihatkan kestabilan model FN ini menuju ke nilai

berapa untuk ( ), dengan melihat pada command windows seperti berikut:

Gambar (3.1). Nilai untuk v dan r saat I=0

Model FN dengan nilai awal tertentu ini stabil menuju dan

, tetapi dalam bentuk programnya model FN ini akan terlihat

kestabilannya atau gambar grafik terlihat mulus menuju titik tersebut ketika

diambil nilai batas minimal dan panjang langkah , Gambar (3.2).

Diambil nilai maksimal untuk demikian agar grafik pada program terlihat

mulus, karena ingat kembali bahwa untuk metode Euler jika langkahnya semakin


37

banyak mengakibatkan nilai program akan semakin baik, asalkan metodenya

konvergen.

Gambar (3.2). Metode Euler model FN saat

3.3 Linearisasi Model Fitzhugh-Nagumo

Model Fitzhugh-Nagumo (FN) akan dilinearisasikan lalu direpresentasikan

penyelesaiannya menggunakan bidang fase, tetapi karena model ini sangat rumit

maka linearisasinya hanya terbatas untuk pendekatan pada angka tertentu saja.

Penjelasan lebih lanjut adalah sebagai berikut:

Model FN yang telah diketahui sebelumnya :

(

) ( )


38

( ) ( )

Hal pertama yang harus dilakukan untuk melinearisasi model ini dengan

mencari dan . Misalkan

( ) dan

( ) maka:

(

) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Substitusi dan eliminasi persamaan ( ) dan ( ):

→

→

+

( ) ( )

( )

Untuk menyelesaikan persamaan (3.23) dalam bentuk umumnya sangat

rumit oleh karena itu digunakan suatu pendekatan metode numeris dengan

memisalkan maka persamaan (3.23) menjadi,

(3.24)

Dari persamaan (3.24) tersebut dapat dicari dan menggunakan

perintah roots pada Matlab diperoleh tiga akar tetapi karena kedua akar lainnya

adalah bilangan kompleks maka tidak diperhitungkan. Sehingga diperoleh

dan . Ingat bahwa linearisasi hanya dapat


39

dilakukan dalam interval yang kecil. Dalam hal ini linearisasi dilakukan di sekitar

titik equilibriumnya atau titik tetapnya yaitu di sekitar dan .

Selanjutnya akan dicari persamaan linearnya, seperti berikut:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) , (3.24)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) . (3.25)

Saat mendekati titik tetap akan karena dan

begitu juga ( ) ( ) , jadi :

( ) ( )

( )

( )

( ),

(3.26)

( ) ( )

( )

( )

( ).

(3.27)

Substitusi persamaan (3.16) dan (3.17) ke dalam persamaan (3.26) dan

(3.27) menjadi seperti berikut:

(

)

( )

( )

( )

Lalu diperoleh:

sehingga:

( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

Kemudian persamaan (3.30) dan (3.31) dapat direpresentasikan dengan

menggunakan matriks seperti berikut:


40

[( )

( ) ] [

]|

( )

[( )

( )] ( )

dengan nilai dan .

[( )

( ) ] [

( )

] [( )

( )]

[( )

( ) ] *

+ [( )

( )] ( )

Misalkan ( ) , ( ) dan *

+,

maka persamaan (3.33) akan menjadi :

*

+ *

+ * + ( )

(

)

(

)

misalkan sehingga (

) . Karena jadi dipilih

diperoleh, atau akar-

akarnya berupa akar kompleks.


41

Jadi penyelesaian umum untuk dan adalah :

( )

( )

( )

atau ( ( ))

( ( ))

Dapat dicari penyelesaian umum untuk

( ( ( ))

( ( )))

( )

atau ( ( )

( ))

Ingat permisalan sebelumnya, sehingga dari penyelesaian umum di atas

kemudian diperoleh nilai untuk ( )

( ) dan

( ) ( (

) ( ))


42

Akan dicari nilai dan saat nilai dan untuk

( )

. Kemudian untuk mencari dari

persamaan awal, (

)

(

( ) .

Lalu ( )

( )

.

Jadi ( ).

Gambar (3.3) menunjukkan kurva antara fungsi linear dan nonlinear.

Juga akan dicari nilai dan saat nilai dan untuk

( ( )

( ))

Kemudian

untuk mencari digunakan persamaan awal yaitu,

( )


43

( )

. Lalu

( ( )

( ))

( ( ) (

.

( ) ( ) ( )

( )

dan

. Jadi

( ( )

( )) Gambar (3.4) menunjukkan

kurva antara fungsi linear dan nonlinear.

Menurut Verhulst (1990), jika didekati menggunakan sistem linear dengan

nilai awal yang telah ditentukan, model Fitzhugh-Nagumo ini stabil maka sistem

nonlinearnya juga akan stabil. Dari kedua gambar dapat disimpulkan bahwa

linearisasi untuk model Fitzhugh-Nagumo masih kurang akurat. Tetapi dilihat dari

kedua gambar secara keseluruhan grafik linearisasinya masing-masing stabil

menuju ke titik yang sama dengan grafik pada model nonlinearnya.


44

Gambar (3.3). Metode Euler untuk melihat perbandingan saat nonlinear

dan linear

Gambar (3.4). Metode Euler untuk melihat perbandingan saat nonlinear

dan linear


45

3.4 Contoh Model Fitzhugh-Nagumo Menggunakan Bidang Fase

Buka pplane8, lalu masukan model FN dengan mengganti variabel

seperti dalam persamaan (3.16) dan (3.17). Nilai parameter dapat

dimisalkan lalu aturlah jendela layar sehingga

rentang berkisar antara sampai dan rentang dari sampai , lihat

gambar (3.5) lalu klik proceed maka layar akan terlihat seperti Gambar (3.6).

Buka Solution Menu dan pilih Show Nullclines, untuk menunjukkan -nullcline

berwarna kuning, lihat Gambar (3.7).

Gambar 3.5. Program pplane8 untuk model Fitzhugh-Nagumo


46

Gambar 3.6. Hasil program pplane8 untuk model Fitzhugh-Nagumo

Gambar 3.7. -nullcline berwarna ungu dan -nullcline berwarna kuning


47

Buka lagi Solution Menu dan pilih find an Equilibrium Point untuk

mengubah pointer mouse ke crosshair, lalu posisikan crosshair disekitar

perpotongan kedua nullclines dan klik, maka akan muncul titik perpotongan serta

jendela data Equilibrium akan terbuka dan mengungkapkan bahwa kesetimbangan

terletak di ( ) ( ) ditunjukkan pada Gambar (3.8). Artinya

saat berada di titik equilibrium inilah, neuron sedang dalam keadaan istirahat atau

tidak terjadi potensial aksi. Gambar (3.8) ini juga menunjukkan bahwa titik

Equilibrium berada dalam keadaan stabil, terlihat dari setiap arah lintasan yang

menuju ke titik tersebut.

Pilihlah Option Menu lalu Solution Direction dan klik Forward agar solusi

sistem ini bergerak maju searah jarum jam sehingga adalah waktu positif.

Selanjutnya pada Pplane Display klik Solutions Menu dan pilih Keyboard Input

lalu masukkan nilai awal untuk ( ) ( ) lalu klik Compute sehingga

terbentuk suatu lintasan dengan arah maju. Sekarang buka menu graph dan pilih

, lalu arahkan crossline ke lintasan yang telah terbentuk tersebut, Gambar

(3.9). Gambar ini menunjukkan ketika potensial membran pada neuron diubah ke

titik (0.5,-1), maka membran akan kembali ke nilai pada titik equilibrium yaitu

seperti sebelumnya. Artinya sama saja dengan memberikan neuron

rangsangan depolarisasi. Setelah rangsangan depolarisasi singkat, potensial

membran neuron akan kembali pada keadaan potensial istirahat yaitu titik

Equilibrium.


48

Gambar 3.8. Titik keseimbangan (equilibrium)

Gambar 3.9. Salah satu contoh grafik vs


49

3.5 Menganalisis Model Fitzhugh-Nagumo Menggunakan Bidang

Fase

Sebelumnya telah di berikan contoh model Fitzhugh-Nagumo

menggunakan bidang fase. Selanjutnya model Fitzhugh-Nagumo tersebut akan

dianalisis ketika nilai (Injected current value) berubah, dengan menguji

bagaimana reaksi dari model tiruan neuron meniru neuron yang asli menggunakan

bidang fase pada pplane8.

Prinsip dan nilai parameternya sama dengan contoh sebelumnya, hanya

mengubah nilai lalu klik proceed Gambar (3.10). Selanjutnya sama

seperti dalam intruksi sebelumnya, yaitu harus menunjukkan nullclines dan titik

Equilibrium, lihat Gambar (3.11) diperoleh titik Equilibrium

( ). Dengan menghitung lintasan dalam arah maju saat kondisi

awal ( ) ( ) terlihat bahwa grafik tetap stabil menuju titik

Equilibrium, Gambar (3.12). Sekarang dengan menunjukkan grafik vs , Gambar

(3.13) maka dapat dianalisis bahwa pada saat potensial membran dari neuron

diubah ke titik ( ) maka membran akan mengalami hiperpolarisasi,

selanjutnya depolarisasi dan akhirnya repolarisasi.

Pada kasus ini dapat disimpulkan bahwa, ketika nilai atau stimulus

berubah dari menjadi tidak ada perubahan yang mencolok dari grafik.

Artinya stimulus ini hanya membuat neuron mengalami peningkatan besar

potensial membran negatif atau hiperpolarisasi lalu terjadi depolarisasi singkat

selanjutnya neuron tetap kembali menuju ke titik keseimbangannya.


50

Gambar (3.10). Model Fitzhugh-Nagumo dengan perubahan

Gambar (3.11). Nullclines dan titik Equilibrium saat


51

Gambar (3.12). Dengan kondisi awal ( ) ( ) grafik tetap

stabil menuju titik Equilibrium

Gambar (3.13). Grafik vs menunjukkan perubahan neuron dari titik awal saat

mengalami hiperpolarisasi lalu depolarisasi dan repolarisasi kembali ke titik

Equilibriumnya


52

Akan dianalisis kembali saat berubah menjadi , mengikuti

langkah sebelumnya dengan menunjukkan nullclines dan titik Equilibrium

( ) ( ) diperoleh Gambar (3.14). Selanjutnya dengan

menghitung lintasan dalam arah maju saat kondisi awal

( ) ( ), Gambar (3.15) dan dengan menunjukkan grafik

vs , Gambar (3.16), maka dapat dianalisis bahwa pada saat neuron diubah ke titik

awal ( ) ( ) maka membran akan mengalami depolarisasi

dan kemudian hiperpolarisasi secara berulang-ulang. Dari gambar tersebut terlihat

bahwa grafik tidak stabil karena nilai menuju ke titik ( ) dan menjauhi

titik equilibrium. Kasus ini menunjukkan bahwa grafik saat kondisi awal tidak

stabil.



53

Gambar (3.15). Lintasan yang diperoleh saat kondisi awal berwarna biru terlihat

tidak melewati titik Equlibrium

Gambar (3.16). Grafik vs menunjukkan saat neuron mengalami perubahan

depolarisasi dan hiperpolarisasi berulang dari titik awal menjauhi titik

Equilibriumnya


54

Jika diubah menjadi , mengikuti langkah sebelumnya dengan

menunjukkan nullclines dan titik Equilibrium ( ) )

diperoleh Gambar (3.17). Selanjutnya dengan menghitung lintasan dalam arah

maju saat kondisi awal ( ) ( ) Gambar (3.18) dan dengan

menunjukkan grafik vs , Gambar (3.19), maka dapat dianalisis bahwa pada

saat neuron diubah ke titik awal ( ) ( ) maka membran

akan mengalami hiperpolarisasi dan kemudian depolarisasi secara berulang-ulang.

Dari gambar tersebut terlihat bahwa grafik tidak stabil karena nilai menuju ke

titik dan menjauhi titik equilibrium. Artinya stimulus ini membuat neuron

mengalami penurunan dan kenaikan membran berulang-ulang. Fenomena neuron

yang seperti ini disebut sebagai excitation block, dimana neuron mengalami

peningkatan arus injeksi secara berulang.



55

Gambar (3.18). Lintasan yang diperoleh saat kondisi awal berwarna biru terlihat

tidak melewati titik Equlibrium

Gambar (3.19). Grafik vs menunjukkan saat neuron mengalami perubahan

hiperpolarisasi dan depolarisasi berulang dari titik awal menjauhi titik

Equilibriumnya


56

BAB IV

MEMODELKAN RETINA MENGGUNAKAN BIDANG FASE

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang cara menganalisis model

perubahan neuron saat potensial aksi atau disebut juga dengan model Fizhugh-

Nagumo menggunakan bidang fase. Selanjutnya bab ini akan membahas

mengenai struktur dasar dari retina dan cara membuat model sederhana dari

interaksi neuron. Membuat model sederhana yang dimaksud adalah pemodelan

interaksi antara sel kerucut dan sel horizontal pada retina dengan mendeskripsikan

grafiknya menggunakan Bidang fase.

4.1 Latar Belakang Biologi

Mengutip penjelasan pada bab sebelumnya, retina adalah bagian dari mata

yang berfungsi untuk mengubah energi cahaya menjadi sinyal lisrik yang

kemudian digunakan oleh neuron melalui serangkaian proses untuk mengirimkan

informasi ke SSP. Mekanisme ini cukup rumit bagi seseorang yang tidak

memahami secara detail mengenai cara kerja mata, sehingga akan dijelaskan

secara rinci terlebih dahulu mengenai proses tersebut.

Saat cahaya pertama kali masuk ke mata akan diteruskan oleh kornea,

aqueous humor, pupil, lensa, vitreous humor, dan terakhir retina. Cara kerja retina

menerima cahaya sangat berbeda, karena cahaya yang masuk akan mengenai

lapisan paling dalam terlebih dahulu, tetapi sebenarnya lapisan paling luarlah


57

yang pertama kali memproses cahaya tersebut. Lapisan luar yang pertama kali

memproses cahaya tersebut memiliki dua tipe sel yang berbeda, yaitu sel batang

dan sel kerucut atau biasa disebut sel fotoreseptor. Sel batang menghasilkan

penglihatan abu-abu tak jelas pada malam hari, sedangkan sel kerucut

menghasilkan penglihatan warna yang tajam pada siang hari, Sherwood (2009,

hal.224). Disini hanya akan dibahas secara lebih khusus mengenai sel kerucut.

4.2 Model Umpan Balik Retina atau Retinal Feedback

Model yang digunakan merupakan sistem persamaan diferensial linear.

Model pada persamaan pertama menjelaskan perubahan arus saat meninggalkan

sel kerucut di retina, ( ), dan model pada persamaan kedua menjelaskan

perubahan ketika arus meninggalkan sel horizontal di retina, ( ). Kedua sistem

tersebut adalah sebagai berikut (Wallisch, 2014):

( ) (4.1)

( ) (4.2)

disini adalah variabel waktu, dan , , , dan adalah parameter.

Persamaan pertama memiliki tiga bentuk, yang pertama menunjukkan

bahwa perubahan saat arus negatif sebanding dengan jumlah arus di dalam

kerucut. Bentuk kedua merupakan fakta bahwa perubahan saat ini sebanding

dengan arus di dalam sel horizontal, , yaitu negatif di belakang sel. Bentuk

ketiga menyatakan bahwa perubahan arus ke dalam kerucut tergantung pada

tingkat cahaya, . Jika tingkat cahaya tinggi maka banyak foton akan melewati


58

pupil, menuju retina dan mengaktifkan sel kerucut, sehingga akan mengasilkan

perubahan besar dalam arus. Persamaan kedua menyatakan bahwa perubahan arus

dalam sel horizontal tergantung negatif pada jumlah arus dalam sel horizontal dan

arus sel-sel kerucut yang sinapsis ke sel horizontal. Ingat bahwa sel horizontal

tidak merespon langsung terhadap rangsangan cahaya, sehingga tidak ada istilah

untuk intensitas cahaya dalam persamaan kedua. Semua simbol lain dalam

persamaan sebelumnya merupakan parameter konstan, maka dimisalkan nilai

untuk parameter ini adalah asumsikan juga tingkat

cahaya dan untuk kondisi awal ( ) ( ) artinya tidak ada arus

yang bergerak melalui sel saat . Persamaan model seperti yang tertulis di

atas dapat disederhanakan dengan memisalkan:

dan

(4.3)

lalu substitusikan persamaan (4.3) ke dalam persamaan (4.1) dan (4.2) seperti

berikut:

( (

) (

) ) (4.4)

atau

( ) (4.5)

( (

)

) (4.6)

atau

( ) (4.7)

Model pada persamaan (4.5) dan (4.7) tersebut yang akan dibahas dalam

bab ini, dengan nilai kondisi awal ( ) ( )

.


59

4.3 Latar Belakang Matematika

Sistem yang ada di persamaan (4.5) dan (4.7) sangat cocok dipelajari

menggunakan Matlab karena dapat dengan mudah diselesaikan menggunakan

operasii matriks, ilustrasinya seperti contoh sederhana berikut:

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear seperti yang ditunjukkan

dalam persamaan (4.8) dan (4.9) haruslah diubah ke dalam bentuk matriks, lihat

persamaan (4.10).

(4.8)

(4.9)

[

] *

+ * +

(4.10)

misalkan vektor * + dan *

+ maka sistem dalam persamaan (4.10)

dapat ditulis menjadi:

(4.11)

Berdasarkan Eigendecomposition Theorem jika matriks memiliki nilai

eigen yang berbeda maka dapat juga ditulis sehingga

persamaan (4.11) berubah menjadi:

(4.12)

selanjutnya kedua ruas dikalikan dengan dan diperoleh:


60

(4.13)

jika dimisalkan maka persamaan (4.13) menjadi:

(4.14)

Persamaan berikut ini mirip dengan persamaan (4.11) kecuali satu hal

yang sangat penting, adalah matriks diagonal. Pada Bab 2 telah dijelaskan

bagaimana mencari nila eigen dan vektor eigen, maka mengikuti cara tersebut

diperoleh suatu matriks yang berisi nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A,

Matriks : *

+,

Nilai eigen matriks : *

+,

Vektor eigen matriks : *

+.

Jika matriks disubstitusikan ke dalam persamaan (4.14) maka akan

diperoleh:

*

+ dengan * + (4.15)

[

] *

+ * + [

]

dan

(4.16)

Sistem tersebut juga merupakan suatu sistem dalam persamaan diferensial,

tetapi masing-masing persamaan dapat diselesaikan secara independen satu sama

lain untuk menghasilkan suatu penyelesaian:

* + [

] ( )


61

Ingat bahwa sebelumnya telah dimisalkan , sehingga

maka:

* + *

+ [

] [

] ( )

* + *

+ ( )

( )

Lihatlah bahwa nilai eigen dan muncul sebagai eksponen dan vektor

eigen muncul sebagai vektor konstan perkalian eksponen dengan nilai eigen yang

sesuai. Dalam bentuk umum penyelesaian untuk setiap sistem yang diberikan

dalam bentuk persamaan (4.11) adalah:

* +

( )

dimana 𝜆 dan 𝜆 berbeda (tidak sama) nilai eigen untuk matriks dan dan

adalah vektor eigen yang sesuai. Jika memiliki nilai eigen yang sama maka

persamaan (4.19) tidak bisa digunakan.

4.4 Menyelesaikan Model Retinal Feedback

Telah dijelaskan bahwa sistem yang ada di persamaan (4.5) dan (4.7)

dapat diselesaikan menggunakan manipulasi matriks seperti contoh sebelumnya,

maka:

( )

( )


62

dengan . Sehingga persamaan (4.20) dan (4.21)

menjadi:

( )

( )

Lalu jika ditulis menggunakan matriks :

[

]

[

] [ ]

(4.24)

dengan memisalkan,

[

] [ ]

(4.25)

maka sama seperti contoh sebelumnya menggunakan Eigendecomposition

Theorem dapat dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks , dengan

*

+

*

+ *

+

Untuk mencari nilai eigen dari matriks secara manual adalah sebagai

berikut:

( 𝜆 )

atau (*

+ 𝜆 *

+)

atau (* 𝜆 𝜆

+) ( 𝜆)( 𝜆)

atau 𝜆 𝜆


63

atau 𝜆 dan 𝜆 .

Dengan menggunakan MATLAB maka dapat dicari sekaligus nilai eigen dan

vektor eigen dari matriks , yaitu:

Karena matriks memiliki nilai eigen berupa akar-akar kompleks yang berbeda

maka persamaan (4.19) berlaku sehingga penyelesaian untuk sistem dalam

persamaan (4.24) dapat ditulis menjadi:

[ ]

( )

Kemudian untuk mencari titik keseimbangan dari model dengan cara yang

sama seperti pada bab sebelumnya yaitu misalkan

dan

akan

diperoleh titik keseimbangan ( ).

4.5 Menggambarkan Model Retinal Feedback Menggunakan Bidang

Fase

Pada bab sebelumnya telah diberikan contoh cara menggambar

menggunakan bidang fase, memakai pengetahuan tersebut maka Model Retinal


64

feedback juga akan diilustrasikan menggunakan Pplane8. Buka pplane8, lalu

masukan model Retinal feedback, cara yang sama seperti model FN sebelumnya.

Nilai parameter dapat dimisalkan lalu

aturlah jendela layar sehingga rentang berkisar antara sampai dan rentang

dari sampai , lalu klik proceed dan dengan cara yang sama seperti dalam

bab sebelumnya dicari titik keseimbangan dari model ini dan diperoleh seperti

Gambar (4.1). Terlihat dari Gambar (4.1) bahwa titik keseimbangan dari model ini

adalah ( ), kemudian dengan nilai awal ( ) diperoleh grafik vs ,

Gambar (4.2) yang artinya sel kerucut mengalami depolarisasi singkat kemudian

menuju keadaan hiperpolarisasi dan berangsur-angsur kembali menuju keadaan

repolarisasi ke titik keseimbangannya.

Gambar 4.1 -nullcline berwarna ungu dan -nullcline berwarna kuning


65

Gambar 4.2. Grafik vs stabil menuju ke titik


66

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan pada bab-bab

sebelumnya, serta saran perbaikan bagi penelitian selanjutnya.

5.1 Kesimpulan

Teknik analisis bidang fase telah berhasil digunakan untuk menganalisis

model Fitzhugh-Nagumo ketika terjadi perubahan rangsangan atau saat nilai I

berubah-ubah. Teknik bidang fase juga telah berhasil mendeskripsikan

menggunakan grafik suatu model umpan balik retina atau model interaksi antara

sel kerucut dan sel horizontal pada retina.

Teknik bidang fase mampu menyajikan gambaran visual tentang kondisi

yang terjadi saat potensial aksi di dalam retina ketika mata manusia menerima

suatu rangsangan cahaya. Selain itu teknik ini juga dapat menerangkan secara

visual kepada para pembaca suatu proses interaksi antara sel kerucut dan

horizontal di dalam retina manusia.

5.2 Saran

Hingga saat makalah ini ditulis, solusi analitik model Fitzhugh-Nagumo

belum ditemukan. Saran yang dapat penulis berikan, khususnya kepada adik

angkatan yang ingin membuat tugas akhir dengan melanjutkan mengenai topik

yang sama, dapat menambahkan keterangan asumsi dari model. Selain itu, dapat

pula mencoba mencari solusi analitik dari model Fitzhugh-Nagumo kemudian


67

membandingkan hasilnya dengan solusi numerik untuk melihat seberapa besar

kesalahan hampiran dari program numerik yang dibuat.


68

DAFTAR PUSTAKA

Davis, P. (1999). Differential Equation Modelling With Matlab. New

Jersey: Prentice-Hall

Fitzhugh, R. (1961). Impulses And Physiological States In Theoretical

Models of Nerve membrane. Biophysical Journal. Volume

1. Halaman 445-466.

Leon, S. J. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Edisi 5. Jakarta:

Erlangga

Luenberger, D. G. (1979). Introduction to Dynamic Systems. Canada:

John Wiley and Sons

Pinel, J. P. J. (1997). Biopsychology. Edisi 3. Needham Height, MA:

Allyn and Bacon

Polking, J. C. (2004). Ordinary Diffferential Equations Using Matlab.

Edisi 3. New Jersey: Pearson Pertice Hall

Sherwood, L. (2009). Fisiologi Manusia. Edisi 6. Jakarta: Buku

Kedokteran EGC

Verhulst, F. (2000). Nonlinear Differential Equations and Dynamical

Systems. Edisi 2. Verlag Berlin Heidelberg: Springer

Wallisch, P., Lusignant, M. E., Benayoun, M. D., Baker, T. I., Dickey,

A. S., dan Hatsopaulos, N. G. (2009). Matlab For

Neuroscientist. Edisi 1. Amsterdam: Elsevier

Wallisch, P., Lusignant, M. E., Benayoun, M. D., Baker, T. I., Dickey,

A. S., dan Hatsopaulos, N. G. (2014). Matlab For

Neuroscientist. Edisi 2. Amsterdam: Elsevier


69

LAMPIRAN

Pada bagian ini disajikan program dan fungsi MATLAB

A. Program Matlab untuk menghasilkan Gambar (3.3)

%Metode Euler untuk model FN

%f adalah ruas kanan dari ODE %a dan b adalah batas kiri dan kanan dari domain %ya adalah nilai awal y(a) %M adalah banyaknya langkah %Y adalah solusi dari ODE %h panjang langkah metode Euler

disp('Metode Euler untuk model FN');

a=0; b=25; ya=[0.5; -1]; %[v0; r0] h=0.01;

k=1;

M=round((b-a)/h); Y = zeros(2,M+1); T = a:h:b; Y(:,1)=ya;

while k<=M Y(:,k+1) = Y(:,k) + h.*f(Y(:,k))'; k=k+1; end v=Y(1,:); r=Y(2,:); Y(:,end)%untuk melihat model FN stabil menuju titik (v,r) plot(T,v,'-')

hold on t=0:0.01:25; v1=zeros(length(t)); v1=1.1994+(exp(-0.7912*t).*(-0.6994*cos(0.8512*t)-

2.56*sin(0.8512*t))); plot(t,v1,'r-')

title('Metode Euler untuk model FN saat I=0') xlabel 'waktu (t)' legend('grafik v','grafik v1','Location','NorthEastOutside')


70

B. Program Matlab untuk menghasilkan Gambar (3.4)

%Metode Euler untuk model FN

%f adalah ruas kanan dari ODE %a dan b adalah batas kiri dan kanan dari domain %ya adalah nilai awal y(a) %M adalah banyaknya langkah %Y adalah solusi dari ODE %h panjang langkah metode Euler

disp('Metode Euler untuk model FN');

a=0; b=25; ya=[0.5; -1]; %[v0; r0] h=0.01;

k=1;

M=round((b-a)/h); Y = zeros(2,M+1); T = a:h:b; Y(:,1)=ya;

while k<=M Y(:,k+1) = Y(:,k) + h.*f(Y(:,k))'; k=k+1; end v=Y(1,:); r=Y(2,:); Y(:,end); %untuk melihat model FN stabil menuju titik (v,r) plot(T,r,'-')

hold on t=0:0.01:25; r1=zeros(length(t)); r1=-0.62426+exp(-0.7912*t).*((-0.34*(0.175*cos(0.8512*t)-

0.2837*sin(0.8512*t))-

1.1166*(0.175*sin(0.8512*t)+0.2837*cos(0.8512*t)))); plot(t,r1,'r-')

title('Metode Euler untuk model FN saat I=0') xlabel 'waktu (t)' legend('grafik r','grafik r1','Location','NorthEastOutside')


71

C. Fungsi Matlab untuk model Fitzhugh-Nagumo

function fungsi=f(Yinput)

v=Yinput(1);

r=Yinput(2);

fungsi(1)=3*(v-1/3*v^3+r);

fungsi(2)=-1/3*(v-0.7+0.8*r);


PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/3640/2/103114014_full.pdf · MAKALAH...

Documents

Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/3640/2/103114014_full.pdf · MAKALAH...