Galat (Kesalahan) dan Deret Taylor Pertemuan IIMetode Numerik STTI I-Tech Semester Ganjil 2009-2010

Pokok Bahasany Gambaran Umum Galat y Galat Absolut dan Relatif y Sumber Utama Galat Numerik y Galat Bawaan (Inheren Error) y Galat Pemotongan (Truncation Error) y Deret Taylor y Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor

Gambaran Umum Galaty Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis

hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis y Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan (galat) terhadap nilai eksak y Terdapat 2 jenis galat pada suatu bilangan (data), yakni galat absolut dan galat relatif

Galat Absolut dan Relatify Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai

sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui) dengan suatu pendekatan pada nilai sebenarnya y Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai perkiraan dan kesalahan diberikan dalam bentuk : dimana : x = nilai eksak = pendekatan pd nilai sebenarnya e = kesalahan

Galat Absolut dan Relatify e : kesalahan absolut

e ! xxy Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat

kesalahan Contoh : Kesalahan 1 cm pada pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yang sama pada pengukuran panjang jembatany Kesalahan relatif : kesalahan absolut dibagi nilai pendekatan galat absolut dibagi nilai sebenarnyaIe ! e x 100 % x

Galat Absolut dan RelatifIa !y

I x 100 % x

merupakan nilai perkiraan terbaik y Dalam metode numerik formula di atas disebut pendekatan iteratif y Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan sebelumnya, sehingga :

x

Ia !

x

n 1

x

n

di mana : n = nilai perkiraan pada iterasi ke n x n 1 = nilai perkiraan pada iterasi ke n+1 x

x

n 1

x 100 %

Galat Absolut dan Relatify Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999

cm dan 9 cm. Apabila panjang yg benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm. Hitung kesalahan absolut dan relatif! Solusi : a. Kesalahan absolut Jembatan : e ! x x = 10.000 9999 = 1 cm Pensil : = 10 9 = 1 cm b. Kesalahan relatif e 1 X 100 % ! 0.01 % I e ! x 100 % ! Jembatan : x 10000e 1 Pensil : I e ! x 100 % ! X 100 % ! 10 % x 10 Kedua kesalahan sama yaitu 1 cm tetapi kesalahan relatif pensil adalah jauh lebih besar

Sumber Utama Galat Numeriky Terdapat 3 macam sumber utama kesalahan (galat) , yakni : 1. Galat bawaan 2. Galat pemotongan 3. Galat pembulatan

Galat Bawaan (Inheren Error)y Galat dalam nilai data y Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca

skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur Contoh : Pengukuran selang waktu 2,3 detik : Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik Beberapa batas yang mungkin pada galat inheren diketahui :

2,3 s 0,1 detiky Berhubungan dengan galat pada data yang dioperasikan oleh

komputer dengan beberapa prosedur numerik

Galat Pemotongan (Truncation Error)y Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik y Contoh pada deret Taylor tak berhingga :

x3 x5 x7 x9 sin x ! x ........ 3! 5! 7! 9!y Formula di atas dapat dipakai untuk menghitung sinus y y y y

sembarang sudut x dalam radian Jelas kita tidak dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga Kita berhenti pada suku tertentu misal x9 Suku yang dihilangkan menghasilkan suatu galat Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting

Galat Pembulatany Akibat pembulatan angka y Terjadi pada komputer yang disediakan beberapa angka tertentu

misalnya 5 angka y Sebagai contoh : penjumlahan 9,2654 + 7,1625 , menghasilkan 16,4279 yang terdiri dari 6 angka, sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer dan akan dibulatkan menjadi 16,428

Deret Taylory Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah

dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.y Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi y Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut y Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yg

(x (x 2 (x 3 (x n f ( x i 1 ) ! f ( x i ) f ' ( x i ) f "(x i ) f '" (x i ) ..... fn ( x i ) Rn n! 3! 2! 1!

terletak pada jarak (x dari titik xi dimana : f (x i )

= fungsi di titik x f ( x i1 ) = fungsi di titik x i + 1 f ' , f " , .....f n = turunan pertama, kedua, . ke n dari fungsi

Deret Taylor(x = jarak antara xi dan xi + 1R n = kesalahan pemotongan! = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2 y Kesalahan pemotongan, Rn :Rn ! fn 1

(x n 1 (x n 2 n 2 (x i ) f (x i ) ..... (n 1)! (n 2)!

1. Orde nol (Memperhitungkan satu suku pertama)

f ( x i 1 ) } f ( x i ) Perkiraan akan benar bila fungsi yang diperkirakan adalah konstan 2. Orde 1 (Memperhitungkan dua suku pertama), berupa garis lurus ( naik/turun )(x f ( x i 1 ) ! f ( x i ) f ' ( x i ) 1!

Deret Taylor3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama)

(x (x 2 f ( x i 1 ) ! f ( x i ) f ' ( x i ) f " (x i ) 1! 2!f(x)

Orde 2 Orde 1

y

Orde 0

i

xi+1

x

Perkiraan suatu fungsi dengan deret Taylor

Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylory Formula :

R n ! O((x n 1 )

y Indeks n : deret yg diperhitungkan sampai suku ke n y Indeks n +1 : kesalahan pemotongan mempunyai orde n+1 y Kesalahan pemotongan akan kecil bila : 1. Interval (x kecil 2. Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor y Pada perkiraan order1 besar kesalahan pemotongan :

(x 2 (x 3 O ( (x 2 ) ! f " ( x i ) f '" (x i ) ..... 3! 2!