Kalkulus Peubah Banyak

Bidang Singgung dan Garis Normal 1

Pertemuan 4

Bidang Singgung Dan Garis Normal

.

Persamaan bidang yang menyinggung fungsi z = f(x, y) di titik T (x0, y0, z0) adalah:

)yy(y

z)xx(

x

zzz o

To

To

Sedangkan, persamaan garis normalnya adalah:

X = Nt)z,y,x( ooo

dimana:

X = vektor garis normal

t = parameter

N = (1, 0, Tx

z

) X (0, 1,

Ty

z

X = perkalian cross (silang) vektor

Contoh:

Diketahui bidang permukaan z = x3 + x

2y + y

3 + y

2x + 1.

Tentukan :

a. Persamaan bidang singgung melalui titik T (1, 1, 5) pada permukaan tersebut. b. Persamaan Garis Normal

Jawab:

a. x

z

= 3x

2 + 2xy + y

2 maka

Tx

z

= 3 + 2 + 1 = 6

y

z

= x

2 + 3y

2 + 2xy maka

Ty

z

= 1 + 3 + 2 = 6

maka persamaan bidang singgung:

)yy(y

z)xx(

x

zzz o

To

To

z 5 = 6 (x 1) + 6 (y 1) maka z = 6x + 6y 7

b. Persamaan garis normal : X = Nt)z,y,x( ooo

N = (1, 0, Tx

z

) X (0, 1,

Ty

z

= (1, 0, 6) X (0, 1, 6)

=

610

601

jji

= 6i 6j + k = ( 6, 6, 1)

Jadi X = (1, 1, 5) + t ( 6, 6, 1) dengan t = parameter

garis normal bidang singgung

bidang permukaan z = f(x, y)

T (x0, y0, z0)

Kalkulus Peubah Banyak

Bidang Singgung dan Garis Normal 2

Tugas:

1. Diketahui persamaan z = x

yx dan titik T (1, 1, 2) terletak pada permukaan tersebut.

Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T.

2. Sama dengan soal No. 1 untuk persamaan z = x3 2xy + y2 dan titik T (1, 1, 4)

3. Sama dengan soal No. 1 untuk persamaan z = 22 yx dan titik T (4, 3, 5)

4. Sama dengan soal No. 1 untuk persamaan z = 22 x

y

y

x dan titik T (1, 1, 2)

5. Sama dengan soal No. 1 untuk persamaan z = 2y

x dan titik T (2, 1, 2)

3.1 Menentukan Jenis Titik Ekstrim Dengan Turunan Parsial Orde Dua

Jika titik T (x0, y0, z0) adalah titik stasioner dari fungsi z = f (x, y) dan berlaku

Tx

z

= 0 dan

Ty

z

= 0

serta Diskriminan fungsi f = , dimana = 2

2

x

f

2

2

y

f

22

yx

f

maka berlaku ketentuan sebagai berikut:

1. Jika di T berlaku > 0, dan 2

2

x

f

< 0 atau

2

2

y

f

< 0, maka T adalah titik maksimum

2. Jika di T berlaku > 0, dan 2

2

x

f

> 0 atau

2

2

y

f

> 0, maka T adalah titik minimum

3. Jika di T berlaku < 0, maka T bukan titik ekstrim

4. Jika di T berlaku = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T

Contoh :

Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x2 + y

2

Jawab:

Hitung turunan parsialnya, yaitu:

x

z

= 2x

xy

z2

= 0

2

2

x

z

= 2

y

z

= 2y

yx

z2

= 0

2

2

y

z

= 2

= 2

2

x

f

2

2

y

f

22

yx

f

= 2 . 2 0 = 4 > 0

Kalkulus Peubah Banyak

Bidang Singgung dan Garis Normal 3

Titik stasioner didapat dari x

z

= 0 dan

y

z

= 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau

y = 0, sedangkan z = x2 + y

2 = 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner (0, 0, 0).

Karena di titik (0, 0, 0) diperoleh = 4 > 0, 2

2

x

z

= 2 > 0 maka sesuai ketentuan di atas,

disimpulkan titik tersebut minimum.

Tugas :

1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya (jika ada) untuk fungsi-fungsi berikut:

2. Akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup atas dengan volume 108 cm3. Berapa ukuran kotak

tersebut agar luas permukaannya minimum?

X Y

Z

volume 108 cm3