PERTEMUAN 4
description
Transcript of PERTEMUAN 4
PERTEMUAN 4
KONTINUITAS DAN TEOREMA HARGA
EKSTRIM
Sasaran
Pengkajian mengenai Kontinuitas dan Teorema Harga Ekstrim. Juga dikaji cotoh-contoh dan latihan soal-soal yang berbobot dan menarik.
Pokok Bahasan
KONTINUITAS DAN TEOREMA HARGA
EKSTRIM
Definisi
Suatu fungsi f: D R dengan D R disebut kontinu pada titik x0 dalam D bila untuk setiap barisan {xn} dalam D yang konvergen ke x0, barisan {f(xn)} konvergen ke f(x0). Fungsi f: D R disebut kontinu bila f kontinu di setiap titik dalam D.
Gambar
0
f(x n )
f(x 0 )
x 0 x n
y
x
y=f(x)
Contoh
Ambil fungsi f: R R dengan f(x)= x2 - 2x + 4. Ambil sebarang titik x0 dalam R. Misalkan {xn} adalah barisan yang konvergen ke x0. Menggunakan sifat-sifat dari barisan yang konvergen,
Jadi f kontinu di x0.
) ( 4 2 ) 4 2 ( ) ( 0 0
2
0
2 x f x x x x Lim x f Lim n n n n n
Definisi
Diberikan dua fungsi f: D R dan g:D R. Yang dimaksud dengan jumlah f+g, selisih f-g, dan hasil kali f.g adalah fungsi – fungsi dari D ke R di mana (f+g)(x) = f(x) + g(x), (f-g)(x) = f(x) – g(x), (f.g)(x) = f(x).g(x) untuk setiap x dalam D. Bila g(x) 0 untuk setiap x dalam D, yang dimaksud dengan hasil bagi f/g adalah fungsi dari D ke R di mana
(f/g)(x) = f(x) / g(x)untuk setiap x dalam D.
Teorema
Diberikan fungsi – fungsi f: D R dan g: D R yang kontinu di x0 dalam D. Maka, jumlah
f+g : D R kontinu di x0,Selisih
f-g : D R kontinu di x0, Hasil kali
f.g : D R kontinu di x0. Bila g(x) 0 untuk setiap x dalam D, maka hasil bagi
f/g : D R kontinu di x0.
Definisi
Untuk setiap bilangan cacah k dan bilangan – bilangan c0, c1,… , ck, fungsi p: R R di mana untuk semua x dalam R
disebut polinomial. Bila ck 0, p: R R dikatakan punya derajat k.
k
i
iixcxp
0
)(
Akibat
Misalkan p: R R adalah polinomial. Maka p kontinu. Bila q: R R juga polinomial dan himpunan D={ x dalam R: q(x) 0}, maka hasil bagi p/q: D R juga kontinu.
Definisi
Untuk fungsi-fungsi f: D R dan g: U R sedemikian sehingga f(D) U, maka yang dimaksud dengan fungsi komposisi dari f dan g, ditulis
g o f : D R,didefinisikan dengan (gof)(x)=g(f(x)) untuk semua dalam D.
Teorema
Untuk fungsi-fungsi f: D R dan g: U R sedemikian sehingga f(D) U, misalkan f kontinu di x0 dalam D dan g kontinu di f(x0). Maka fungsi komposisi gof kontinu di x0.
Contoh
Diberikan fungsi dari [-1,1] ke R. Karena polinomial- polinomial dan fungsi akar adalah kontinu dan berdasar pada teorema di atas maka fungsi h juga kontinu.
21)( xxh
Teorema (Teorema Harga Ekstrim)
Misalkan fungsi f:[a,b] R adalah kontinu. Maka terdapat x1 dan x2 dalam [a,b] sedemikian sehingga f(x1) f(x) f(x2) untuk semua x dalam [a,b].
Gambar
y=f(x)
x
y
0 a bx1 x2
Lemma
Misalkan f:[a,b] R kontinu. Maka terdapat bilangan positif M sedemikian sehingga
f(x) M untuk semua x dalam [a,b].
Definisi
Himpunan K dari bilangan–bilangan real disebut kompak bila setiap barisan dalam K punya barisan bagian yang konvergen ke suatu titik dalam K.
Teorema
Misalkan K adalah kompak dan tidak kosong dan fungsi f: K R adalah kontinu. Maka f mencapai maksimum dan minimumnya dalam K, yaitu terdapat x1 dan x2 dalam K sedemikian sehingga f(x1)f(x)f(x2) untuk semua x dalam K.