Matriks & Ruang Vektor

Pertemuan 1

Sistem Persamaan Linier dan

Matriks

Start

Matriks & Ruang Vektor

Outline Materi

• Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL)

• SPL & Matriks

2

Matriks & Ruang Vektor

Persamaan Linear

• Persamaan dimana variabel atau peubahnya tidak memuat

eksponensial, trigonometri, perkalian, pembagian dengan peubah lain

atau dirinya sendiri

• N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk :

a1x1 + a2x2 + ….+ anxn = b

dengan b, a1, a2, ...., an adalah konstanta-konstanta riil

• Sekumpulan nilai sebanyak n yang disubtitusikan ke n variabel :

x1=k1, x2=k2 … xn=kn

sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, maka himpunan

nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut Himpunan Penyelesaian (solusi

set).

3

Matriks & Ruang Vektor

Persamaan Linear

• Contoh

2x1 + x2 + 3x3=5 x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi

x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi

x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi

Suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1

4

Matriks & Ruang Vektor

Sistem Persamaan Linear

• Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier

didalam n variable: x1, x2,…..,xn disebut Sistem Persamaan Linier

(SPL)

• Jika sistem m persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui x1,

x2,…..,xn :

a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2

…………………………...........………

……………………………...........……

am1x1 + am2x2 + ….+ amnxn = bm

5

Matriks & Ruang Vektor

SPL

• SPL dengan satu variabel

• SPL dengan dua variabel

• SPL dengan banyak variabel

Matriks & Ruang Vektor

Contoh SPL dengan Satu Variabel

• 5x + 12 =34

• 4t -33 = 21

• 7y + 56 = 105

• Harga kamera canon ditambah pajak pembelian 10%

adalah Rp. 450000

x + 0,1 x = 1,1x = Rp. 450000

Matriks & Ruang Vektor

Contoh SPL dengan 2 variabel

Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y)

maka ia harus membayar $5.000, sedangkan jika

membeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar

$10.000.

Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL

x + 2y = 5000

3x + y = 10000

Matriks & Ruang Vektor

SPL & Matriks

• Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran

berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris

dan kolom-kolom. Detil disini.

9

a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2

:

am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm

x = b =

Matriks Koefisien

SPL Umum:

a11 a12 a13 a1n

a21 a22 a23 a2n

:

am1 am2 am3 amn

x1

x2

:

xm

A =

Ax = b

b1

b2

:

bm

Contoh:

1. Kelompok bilangan

merupakan matriks, sebab susunannya berbentuk persegi

dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom.

2. Kelompok bilangan

bukan matriks, sebab susunannya tidak berbentuk persegi

maupun persegi panjang, tetapi berbentuk segitiga.

BEBERAPA ISTILAH DALAM MATRIKS

1. Baris

2. Kolom

3. Elemen/unsur

4. Ordo

Baris, Kolom, dan Elemen

Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan

yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks.

Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak

atau vertikal dalam matriks.

Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan

(real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.

Contoh:

Ordo dan Banyak Elemen Matriks

Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak

baris dan banyak kolom dari matriks itu.

Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks

ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom

dari matriks itu.

Contoh:

Matriks A dikatakan berordo atau berukuran 2 × 3

Notasi :

Banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh 2 × 3 = 6

• Matriks Baris

• Matriks Kolom atau Matriks Lajur

• Matriks Persegi

• Matriks Segitiga

• Matriks Diagonal

• Matriks Identitas

• Matriks Datar

• Matriks Tegak

• Matriks Skalar

Jenis Matriks

Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks berordo 1 × n terdiri atas satu baris dan memuat n

elemen disebut matriks baris.

Matriks berordo m × 1 terdiri atas satu kolom dan memuat m

elemen disebut matriks kolom atau matriks lajur.

Contoh:

Matriks Persegi dan Matriks Segitiga

Misalkan suatu matriks berordo m × n dengan nilai m = n, sehingga diperoleh matriks berordo n × n disingkat matriks

berordo n disebut matriks persegi berordo n.

Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal

utama semuanya bernilai nol disebut matriks segitiga (triangular).

Contoh:

• Matriks Persegi

• Matriks Segitiga (triangular)

Matriks Diagonal dan Matriks Identitas

Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks

yang berada di bawah dan di atas diagonal utama semuanya

bernilai nol disebut matriks diagonal.

Matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada

diagonal utama semuanya bernilai 1 disebut matriks

identitas atau matriks satuan.

Contoh:

• Matriks Diagonal

• Matriks Identitas

Matriks Datar dan Matriks Tegak

Matriks berordo m × n dengan m < n, berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris disebut

matriks datar.

Matriks berordo m × n dengan m > n, berati banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang

tegak disebut matriks tegak.

Contoh:

Matriks Skalar

• Matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan

nol atau satu.

• Contoh :

Penyajian SPL sebagai Matriks Augmented

a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b2

:

am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm

Matriks Augmented Matriks Koefesien dengan satu

kolom tambahan, matrik B yang

unsur-unsurnya adalah konstanta-

konstanta dari ruas kanan SPL

a11 a12 a13 … a1n b1

a21 a22 a23 … a2n b2

:

.

am1 am2 am3 … amn bm

Matriks Augmented

atau AX = B dengan A=(aij) matriks koefisien,

X=(x1,x2,…..,xn)* dan B=(b1,b2,…,bn)

*.

Matriks lengkap sistem tersebut adalah :

mm2m1

22n2221

11n1211

b.........aa

.....................

ba.....aa

ba.....aa

(AB)

Contoh

2x1 – x2 + 2x3 = 7

x1 + 3x2 – 5x3 = 0

- x1 + x3 = 4

Dng notasi matriks

101

531

212

3

2

1

x

x

x

=

4

0

7

A X = B

3x1 – 7x2 + x3 = 0

-2x1 + 3x2 – 4x3 = 0

Dng notasi matriks

432

173

3

2

1

x

x

x

=

0

0

A X = B

A, matriks koefisien

X, matriks variabel /peubah

B, matriks konstanta

Pembagian SPL

1. SPL Homogen

a11x1 + a12x2 + …….. + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + …….. + a2nxn = 0

…………………………………….

…………………………………….

am1x1 + am2x2 + …….. + amnxn = 0

Contoh:

x1 – 2x2 + 3x3 = 0

x1 + x2 + 2x3 = 0

2. SPL Non Homogen

a11x1 + a12x2 + ….+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ….+ a2nxn = b2

…………………………………

…………………………………

am1x1 + am2x2 + ….+ amnxn = bm

CONTOH

x1 – 2x2 + 3x3 = 4

X1 + x2 + 2x3 = 5

SPL Konsisten dan Inkonsisten

• Apabila SPL mempunyai penyelesaian, maka

disebut sistem persamaan linear yang konsisten,

sebaliknya SPL tidak mempunyai penyelesaian

disebut sistem persamaan linear yang inkonsisten.

• Suatu SPL yang konsisten mempunyai penyelesaian

tunggal atau penyelesaian sebanyak tak berhingga.

SPL

Mempunyai penyelesaian

disebut KONSISTEN

Tidak mempunyai penyelesaian

disebut INKONSISTEN

TUNGGAL

BANYAK

P2

Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:

U2

X1

U2

X1

U2

X1

P1

P2

Inkonsisten

P1 P2

Konsisten

x + y = 7 x + y = 5

Var => sama Konst => tidak

berpotongan di 1 titik berimpit berpotongan di 1 titik

P1

P2

SUSUNAN PERSAMAAN LINIER

HOMOGEN

AX=0

NON HOMOGEN

AX=B, B≠0

SELALU ADA JAWAB

TAK PUNYA JAWAB

R(a) ≠ r(A,B)

MEMPUNYAI JAWAB

Hanya

Jawab Trivial

(x1, x2, …xn =0); r=n

Selain Jawab Trivial, Ada Juga

Jawab Nontrivial r<n

JAWAB UNIK

(TUNGGAL)

r = n

BANYAK

JAWAB

r < n

Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan” yaitu: merubah matriks augmented (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer.

Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0

Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :

Rank(A) = Rank(A|B)

Contoh ;

1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3

Jawab:

-3x+6y=-9

x-2y=3

Dalam bentuk matriks=

0:00

3:21B

9:63

3:21B

3:21

9:63-B)|(A

BxA 3

9

21

63

~

(3)

21~12

atauy

x

r(A)=r(A|B)=1 r<n Jumlah variabel=2 1<2 Jadi jawabnya tidak tunggal.

Sistem Persamaan Linier Non Homogen

Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen

Di bawah ini :

Jawab :

4 2x 4x 2x

3 x 3x 4x

1 2x x 3x

2 x 2x x

321

321

321

321

B xA

4

3

1

2

x

x

x

242

134

213

121

3

2

1

4242

3134

1213

2121~

)3(

21B

~

)4(

31B

~

)2(

41B

0000

55110

5550

2121

~

)5/1(

2B

0000

55110

1110

2121

0000

55110

1110

2121~

)2(

12B

)11(

32B

0000

6600

1110

0101~

)6/1(

3B

0000

1100

1110

0101~

)1(

13B

)1(

23B

0000

1100

0010

1001

Rank (A) = R (A|B) = 3 = banyaknya variabel

Jadi jawabnya tunggal

Matriks lengkap di atas menyatakan:

Sehingga sebagai penyelesaiannya :

1 x 1 x 0x 0x

0 xatau 0 0x x 0x

1 x 1 0x 0x x

3321

2321

1321

1

0

1

x

x

x

x

3

2

1

Sistem Persamaan Linier Homogen

Bentuk umum: Ax = 0, yaitu:

a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0

a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0

am1 xm+am2 xm + ... amn xn = 0 Atau=

0

0

0

2

1

2

22221

11211

nmnmmn

n

n

x

x

x

aaa

aaa

aaa

Matriks A berukuran (m x n) Matriks x berukuran (n x 1) Matriks o berukuran (m x 1) Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :

Jawab :

Sehingga solusinya :

Yaitu solusi trivial atau

0 x 2x x

0 2x x x

0 x x x

321

321

321

0

0

0

x

x

x

121

211

111

atau

3

2

1

0121

0211

0111

0)|(A~

)1(

21B

)1(

31B

0010

0100

0111~23B

0100

0010

0111~

)1(

12B

)1(

13B

0100

0010

0001

0 x 0x 0x

0 0x x 0x

0 0x 0x x

321

321

321

0 x, 0 x, 0 x 321

0 x

2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :

Jawab :

0 x x2x

0 4x 2x 3x x

0 x x x x

431

4321

4321

0

0

0

x

x

x

x

1102

4231

1111

atau

4

3

2

1

01102

04231

01111

0)|A(~

)1(

21B

)2(

31B

03120

03120

01111~

)1(

32B

Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4

jadi solusinya tidak tunggal

(banyak)

00000

03120

01111~

)2/1(

2B

00000

02/32/110

01111~

)1(

12B

00000

02/32/110

02/12/101

0 x2

3 x

2

1 x 0x

0 x2

1 x

2

1 0x x

4321

4321

432

431

x2

3 x

2

1 x

x2

1 x

2

1x

Dimana : x3 dan x4 bebas.

Sehingga :

Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b

b 2

3 a

2

1- x

b 2

1 a

2

1- didapat x

b dan x a untuk x

2

1

43

1

0

3/2-

1/2

b

0

1

1/2-

1/2-

a

b0a

0ba

3/2b-1/2a-

1/2b1/2a-

x

x

x

x

x

4

3

2

1

Matriks & Ruang Vektor

Latihan

1. Yang manakah dari persamaan berikut yang merupakan persamaan

linier dalam x1, x2, dan x3?

a. x1 + 2x1x2 + x3=2

b. x1 + x2 + x3= sin k (k adalah sebuah konstanta)

c. x1 - 3x2 + 2x31/2=4

d. x1 = 2x3 - x2 + 7

e. x1 + x2-1 -3x3=5

f. x1 = x3

2. Carilah himpunan penyelesaian untuk:

a. 6x-7y=3

b. 2x1 + 4x2 - 7x3=8

3. Carilah matriks augmented untuk tiap SPL berikut:

a. x1 - 2x2 = 0 b. x1 + x3 =1

3x1 + 4x2= -1 2x2 – x3 + x5 =2

2x1 - x2 = 3 2x3 +x4 =3

41

Matriks & Ruang Vektor

Latihan

4. Carilah sebuah SPL yang bersesuaian dengan setiap matriks

augmented berikut!

a.12

01

−11

23

0 −1 2 4 b.

100

010

001

000

123

0 0 0 1 4

5. Definisikan SPL berikut sebagai ‘Konsisten’ atau ‘inkonsisten’

dengan menggambarkan garis persamaannya.

a. x + y =4 b. x + y = 4

2x – 2y = 8 2x + 2y = 6

42