Konsep Dasar Peluang

Pertemuan Ke-4

------Siti Komsiyah, M.Si

Ruang Contoh dan Kejadian

Peluang Kejadian

Sn

An

n

kAP

Contoh

Tiga bola lampu dipilih secara acak dari 12 bolalampu yang 4 diantaranya rusak. Carilah peluangkejadian munculnya:

a. Tidak ada bola lampu yang rusak

b. Tepat satu bola lampu yang rusak

Cara Menghitung Ukuran Ruang

Contoh/Sampel

Aturan Penjumlahan

Contoh Soal

1. Misalkan A dan B adalah kejadian-kejadiandengan nilai P(A) = 0.3, P(B) = 0.8, P(A∩B) =

0.2.

Hitung : P(AUB),

2. Diketahui P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(AUB) = 0.44.

Apakah A dan B independen?

3. Diketahui P(A) = P(B) = p, P(AUB) = 0.7, P(A∩B) = 0.2

a. Tentukan nilai p

b. Jika diketahui P(BUC) = 0.7, dan kejadian B dan C saling bebas, maka tentukan nilai P(C)

)BA(P),BA(P

Contoh Soal

4. Misal A dan B adalah duakejadian yang saling bebas ( independen) dalam suatu ruangcontoh S. Diketahui P(A∩B) =

0,16 dan P(AUB) = 0,64. Tentukan P(A) dan P(B).

Contoh Soal

Permutasi

1)x...x0!rr)x(n(n

2)x...x0!1)x(nnx(n

r)!(n

n!Pnr

Kombinasi

xr!1)x...x0!rr)x(n(n

2)x...x0!1)x(nnx(n

r!r)!(n

n!Cn

r

Peluang Kejadian

1)p(xn

1ii

Kejadian Saling Bebas

Peluang Bersyarat

Peluang Bersyarat

Syarat-syarat :

1. 0 1

2.

3.

4.

)BA(P

1)BS(P

)BC(P)BA(P]B)CA(P

)BA(P...)BA(P)BA(P]BA(Pn21

n

1i

i

)BA(P]BA(Pi

n

1i

n

1i

i Utk Ai ∩ Aj= jika

i≠j

Partisi dan Peluang Total

Definisi :

Jika B1, B2, …, Bn adalah subset-subset dariS dengan kondisi :

i. Bi∩Bj= , untuk i≠j

ii. B1U B2U …U Bn= S

maka B1, B2, …, Bn disebut partisi dari S

S

B1

B2

B3

… Bn

Partisi dan Peluang Total

B1

B2

B3

…Bn

S

A

A = A ∩ S

= A ∩ ( B1U B2U B3 U … U Bn)

= (A ∩ B1) U (A ∩ B2) U … U (A ∩ Bn)

P(A) = P(A ∩ B1) + P (A ∩ B2) + … + P (A ∩ Bn)

P(A) = P(A ∩ B1) + P (A ∩ B2) + … + P (A ∩ Bn)

)BA(P)B(P...)BA(P)B(P)BA(P)B(P)A(Pnn2211

)BA(P)B(P)A(Pii

n

1i

Partisi dan Peluang Total

Teorema Peluang Total

PertamaKedua

Merah Biru Total

Merah 2/20 6/20 8/20

Biru 6/20 6/20 12/20

Total 8/20 12/20 20/20

Contoh 2

Sebuah perkantoran biasanya membutuhkan tenaga listrikyang cukup agar semua aktifitas pekerjaannya terjamindari adanya pemutusan aliran listrik.Terdapat dua sumberlistrik yg digunakan PLN dan Generator. Bila listrik PLN padam maka secara otomatis generator akan menyala danmemberikan aliran listrik untuk seluruh perkantoran. Masalah yang selama ini menganggu adalah ketidakstabilanarus(voltage)listrik, baik dari PLN maupun generaor, yang akan merusak peralatan listrik.Selama beberapa tahunterakhir, diketahui bahwa probabilitas terjadinya listrikpadam adalah 0.1, dgn kata lain peluang bahwaperkantoran itu menggunakan listrik PLN adalah 0.9 danpeluang menggunakan generatoradalah 0.1.Peluang terjadiketidakstabilan pada arus listrik PLN maupun generator masing-masing 0.2 dan 0.3. Bila suatu saat diketahuiterjadi ketidakstabilan arus listrik, maka berapakahprobabilitas saat itu aliran listrik berasal dari generator?

Solusi

Permasalahan dapat dideskripsikan sebagaiberikut :E : Peristiwa listrik PLN digunakanEc : Peristiwa listrik Generator digunakanA : Peristiwa terjadinya ketidak stabilan arus

Peristiwa A dapat ditulis sebagai gabungan dua kejadianyang saling lepas

dan Jadi:

Dengan menggunakan probabilitas bersyarat maka :

Solusi…

Diketahui:P(E)=0.9 P(E’)=0.1P(A|E)=0.2 P(A|E’)=0/3

Sehingga:P(A)=P(E).P(A|E)+P(E’).P(A|E’)

=(0.9).(0.2)+(0.2).(0.3)=0.21

Bila suatu saat diketahui terjadi ketidakstabilanarus listrik, probabilitas jika saat itu aliran listrikberasal dari generator adalah

P(E’|A)=P(E’∩A)/P(A)

=P(E’).P(A|E’)/P(A)=0.03/0.21=0.143

Teorema Bayes

Diberikan B1, B2, ... ,Bn partisi ruang sampel S. Andaikanterjadi peristiwa A; berapakah peluang terjadinya peristiwaBj ?

– Dengan memakai def. peluang bersyarat dan teorema peluangtotal, diperoleh

Ini disebut sebagai Teorema Bayes

atau Aturan Bayes, dan adalah (salah

satu dari) persamaan paling bermanfaat

dalam teori peluang dan statistik

Jika B1, B2, …, Bn adalah partisi dariS, dan A adalah sembarang kejadianpada S, maka untuk sembarang nilai k = 1, 2, 3, …, n berlaku :

)A(P

)BA(P)B(P)AB(P

kk

k

n

1i

ii

kk

k

)BA(P)B(P

)BA(P)B(P)AB(P

Teorema Bayes

0.64

0.48

0.160.48

0.48

0.4x0.40.6x0.8

0.6x0.8P(H/P)

H)P(TH)P(P/TP(H)P(P/H)

P(H)P(P/H)P(H/P)

Contoh 2

Suatu generator telekomunikasi nirkabelmempunyai 3 pilihan tempat untuk membangunpemancar sinyal yaitu didaerah tengahkota, daerah kaki bukit dikota itu dan derah tepipantai, dengan masing-masing mempunyaipeluang 0.2; 0.3 dan 0.5. Bila pemancardibangun ditengah kota, peluang terjadi ganguansinyal adalah 0.05. Bila pemancar dibangundikaki bukit, peluang terjadinya ganguan sinyaladalah 0.06.Bila pemancar dibangun ditepipantai, peluang ganguan sinyal adalah 0.08.1).Berapakah peluang terjadinya ganguan sinyal?2).Bila diketahui telah terjadinya gangguan padasinyal, berapa peluang bahwa operator tsbternyata telah membangun pemancar di tepipantai?

solusi

Deskripsi : A = Terjadi ganguan sinyal

B1 = Pemancar dibangun di tengah kota

B2 = ----------------------------di kaki bukit

B3 = ----------------------------di tepi pantai

Solusi…

1.Peluang terjadinya ganguan sinyal

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

=(0,2).(0.05)+(0.3)(0.06)+(0.5)(0.08)

=0.001+0.018+0.04

=0.068

2. Diketahui telah terjadi ganguan pd sinyal, makapeluang bahwa operator ternyata telah membangunpemancar di tepi pantai >> Dapat dinyatakan dgn: “Peluang bersyarat bahwa operator membangunpemancar di tepi pantai bila diketahui telah terjadiganguan sinyal”:

588.0068.0/))08.0)(5.0((

)|()()|()()|()(

)|()(

)(

)()|(

332211

3333

BAPBPBAPBPBAPBP

BAPBP

AP

BAPABP

ASSIGNMENT 04

1.Suatu perusahaan besar menggunakan 3 hotel sebagai tempatmenginap para langganannya. Dari pengalaman yang laludiketahui bahwa 20% langganannya ditempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% kamar mandi di Hotel I

tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa,

a seorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik?

b seseorang yang mendapat kamar mandi yang tidak baikditempatkan di Hotel S?

2. Pada suatu percobaan untuk meneliti pengaruh kebiasaan merokok terhadap kanker paru-paru, dikumpulkan data yang melibatkan 180 orang yang dijelaskan dalam tabel di bawah ini :

Bukan Perokok Perokok Sedang Perokok Berat

Kanker paru-paruTidak kanker paru-

paru

2148

3626

3019

Satu orang diambil secara acak dari kelompok ini,dan ternyata orang tersebut orang yang bukanperokok. Berapa peluang orang tersebut adalahpenderita kanker paru-paru?

Soal 3

Suatu perusahaan TV mempunyai tigapabrik, yaitu A, B, dan C dengan persentaseproduksi masing-masing adalah15%, 35%, dan 50%. Tiap pabrikmenghasilkan produk (TV) cacat, yaitumasing-masing 1% (A), 5% (B), dan 2% (C).

a. Apabila sebuah TV diambil secara acak darikeseluruhan produk yang ada, berapakah besarnyapeluang bahwa TV yang terpilih tersebut dalamkeadaan cacat?

b. Sebuah TV diambil secara acak dan ditemukan dalamkeadaan cacat, brapakah peluang TV yang cacattersebut berasal dari produksi pabik B?

Selamat Belajar..^^