PERSAMAAN NON –LINIERPERSAMAAN NON –LINIER

Pengantar dan Pengantar dan permasalahan persamaan permasalahan persamaan

Non-LinierNon-Linier

Sumarni AdiS1 Teknik Informatika STMIK Amikom

Yogyakarta 2014

PengantarPengantar1. Persamaan linier sudah kita kenal sejak SMP. Contoh kasus :

Ongkos naik taksi diberlakukan dengan sistem biaya buka pintu Rp.10.000 dan biaya jarak tempuh dgn tarif Rp. 5.000 setiap kilometernya. Bila seseorang naik taksi menghabiskan 50.000. berapa kilometer jarak yg ditempuh org tsb ?Kasus ini dpt diselesaikan dgn persamaan linier satu variabel, dgn X sbg jarak tempuh ( dlm Km), menjadi :5000x + 10000 = 50000 ; x = 40000 / 5000 = 8 Km. Jadi nilai x yg memenuhi persamaan ini disebut penyelesaian atau akar persamaan.

2. Persamaan yg bentuknya SELAIN dari persamaan pd kasus di atas disebut persamaan NON – LINIER

3. Contoh persamaan Non-linier diantaranya persamaan kuadrat, persamaan trigonometri dan persamaan logaritma atau eksponen

4. Persamaan non-linier merupakan operasi matematik yang terdiri dari angka dan variabel dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0. dengan kata lain, akar persamaan f(x) adalah titik potong antar kurfa f(x) dan sumbu X

5. Contoh persamaan non-linier :◦ 2x-3 = 0◦ x²-4x-5 = 0◦ Sin x – 2 = 0

1. Persamaan kuadrat 1. Persamaan kuadrat Jika ada persamaan kuadrat ax² + bx + c

= 0 yang agak rumit mencari akar-akarnya maka bisa menggunakan rumus ABC :X₁₂ =

Tapi bagaimana ketika ada persamaan seperti ini dan diminta mencari akar-akarnya :

Dari permasalahan ini kemudian perlu adanya metode numerik untuk menyelesaikannya

2. Metode Bisection (Metode 2. Metode Bisection (Metode Bagidua)Bagidua)Metode bisection merupakan cara yg

paling sederhana untuk mengaproksimasi akar persamaan Non-Linier. Caranya :

1.Metode ini dimulai pd suatu interval yg memuat akar, kemudian membagi menjadi 2 bagian yg sama panjang,

2.kemudian mempertahanakan subinterval yg memuat akar dan membuang subinterval yg tdk memuat akar.

3.proses ini dilakuakan terus menerus sampai subinterval menjadi sangat sempit dan diperoleh barisan interval bersarang yg kesemuanya memuat akar

2. Metode Bisection (Metode 2. Metode Bisection (Metode Bagidua)Bagidua)Bila f (p1) = 0 maka akarnya adalah p1

tapi bila f (p1) ≠ 0 maka f (p1) memunyai tanda positif atau negatif

Karena f(a1) ≠ 0 maka pasti berlaku salah satu, yaitu :

1.f (p1) f(a1) < 0 maka akrnya pasti terletak pd subinterval [a1,p1], sehingga harus diambil a2 = a1 dan b2 = p1

2.f (p1) f(a1) > 0 maka akarnya pasti terletak pd subinterval [p1,b1], sehingga harus diambil a2 = p1 dan b2 = b1

2. Metode Bisection (Metode 2. Metode Bisection (Metode Bagidua)Bagidua)Skema Metode Bagidua

a1 akar eksak p1 = 1/2(a1+b1) b1 = b

a2 p2 = 1/2(a2+b2) b2 = b

a3 p3 = 1/2(a3+b3) b3 = b

a4 p4 = 1/2(a4+b4) b4= b

a5 b5

Algoritma Metode Algoritma Metode BisectionBisection1. Mulailah dgn interval yg memuat

akar (a,b)2. Ambil a1 : = a dan b1 : = b3. Untuk n = 1, 2,…, bangunlah

barisan (pn), (an+1) dan (bn+2) sbb: pn = 1/2(an+bn) danan+1 = an, bn+1 = pn bila f(an) f (bn) < 0an+1 = pn, bn+1 = bn bila f(an) f (bn) > 0

ContohContoh3x³+ 2x + 2Caranya :1. Tentukan niali a dan b yg memuat

akar.perhatikan interval (1,-2) diperoleh :f(1) = 3.(1)³ + 2.1 +2 = 7 > 0f(-2) = 3.(-2)³ + 2.(-2) +2 = -24 < 0

(Nilai 1 dan -2 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif )

2. Aproksimasi 1 :ambil a1 = 1 dan b1 = -2 dan p1 = -1/2f(p1) = 3.(-1/2)³+2.(-1/2)+2 = 0,625 >0karena f(a1).f(p1) > 0 maka a2 = p1 = -1/2 dan b2 = b1 = -2

3. Lakukan aproksimasi berikutnya seperti langkah 2 sampai mendapatkan nilai yang mendekati 0

Contoh :Contoh :Tentukan akar dari X² - 4sinx = 0Intervalnya : [1;2]f(1) = (1)² - 4 sin 1 = -2,3659 < 0f(2) = (2)² - 4 sin 2 = 0,3628> 0(Nilai 1 dan 2 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif )

Aproksimasi 1 :Langkah 1 : ambil a1 = 1 dan b1 = 2 dan p1 = (1+2)/2 = 1,5Langkah 2 : periksa lokasi akar f(p1) = f(1,5)= (1,5)² - 4sin 1,5 = -1,7400 <0

karena f(a1)f(p1) > 0 maka yang menjadi a2 = p1 dan b2 = b1Langkah 3 : tetapkan interval a2 = 1,5 dan b2 = 2Aproksimasi 2 :Langkah 1 : ambil a2 = 1,5 dan b2 = 2 dan p2 = (1,5+2)/2 = 1,75Langkah 2 : periksa lokasi akar f(p1) = f(1,75)= (1,75)² - 4sin 1,75 = -0,8734 <0

karena f(a2)f(p2) > 0 maka yang menjadi a3 = p2 dan b3 = b2Langkah 3 : tetapkan interval a3 = 1,75 dan b3 = 2

Dilanjutkan terus sampai mendekati 0 yaitu pada kasus ini terdapat pada aproksomasi ke 6 (Hasilnya ditunjukkan pada tabel)

akar dari akar dari X² - 4sinx = 0X² - 4sinx = 0

Disini kita ambil p6 = 1,9219 sebagai aproksimasi akarnya, karena f(p6) = -0,0624 yang cukup dekat dengan Nol

n an Bn Pn f(pn) f(an) f(an)f(pn)1 1,000

02,000

01,5000 -1,7400 -2,3659 +

2 1,5000

2,000 1,7500 -0,8734 -1,7400 +

3 1,7500

2,0000

1,8750 -0,3007 -0,8734 +

4 1,8750

2,0000

1,9375 -0,0198 -0,3007 -

5 1,8750

1,9375

1,9063 -0,1433 -0,3007 +

6 1,9063

1,9375

1,9219 -0,0624 -0,1433 +

2. Metode Regulasi Falsi2. Metode Regulasi Falsi Cara kerja metode ini hampir sama dengan metode

bisection, langkahnya :

1. Mulailah dengan interval [a, b] yg memuat akar f(x) = 0

2. Ambil a1 : = a dan b1 : = b3. Untuk n = 1, 2,…, bangunlah barisan (pn), (an+1) dan

(bn+2) sbb:

dan an+1 = an, bn+1 = pn bila f(an) f (bn) < 0an+1 = pn, bn+1 = bn bila f(an) f (bn) > 0

Contoh :Contoh :Tentukan akar dari (X³-4x²+x+1)sin 3x =

0Intervalnya : [2;3]f(2) = (2³-4.2²+2+1) sin 3.2 = 1,3971 > 0f(3) = (3³-4.3²+3+1) sin 3.3 = -2,0606 < 0(Nilai 2 dan 3 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif )

Aproksimasi 1 :ambil a1 = 2, b1 = 3, f(a1) = 1,3971 , dan f(b1) = -2,0606 Diperoleh p1 = b2 – f(b2)(b2-a2) = 3 – (-2,0606.(3-2)) = 2,4041

f(b2) – f(a2) -2,0606 - 1,3971

P1 = 2,4041Aproksimasi 2 : cek posisi akarKarena f(p1) = f(2,4041) = -4,6616 maka f(a1)f(p1) = 1,3971. (-4,6616) < 0 jadi

akarnya adalah a2 = a1 = 2 dan b2 = p1 = 2,4041P2 = b2 – f(b2)(b2-a2) = 2,4041 – (-4,6616 .(2,4041 -2)) = 2,0932

f(b2) – f(a2) -4,6616 - 1,3971P2 = 2,0932

Pada aproksimasi kedua, akar sudah cukup akurat karena f(p2) = 0,0191

Mari kita bandingkan kinerja Mari kita bandingkan kinerja metode bisection dgn metode bisection dgn regulasi falsiregulasi falsiX² - 4sin x = 0( = 0

3. 3. Metode NewtonMetode NewtonMetode ini merupakan metode yg

paling populer, karena secara umum kekonvergenannya lebih cepat dari metode lainnya dan implementasinya sederhana

Pada metode ini hanya dibutuhkan satu titik awal untuk membuat garis tangen

Misalkan p0 titik awal yg dipilih maka p1

diambil sbg absis titik potong garis singgung kurva y = f(x) dititik (p0,f(p0)). Selanjutnya, melalui titik (p1,f(p1)) dibuat garis singgung untuk mendapatkan p2

Algoritma metode NewtonAlgoritma metode Newton1. Mulailah dgn aproksimasi awal

x0 sebarang2. Untuk n = 1, 2, …, hitunglah nilai f’

(pn-1). Bila f’(pn-1) ≠ 0, maka :

Hitunglah aproksimasi akar persamaanHitunglah aproksimasi akar persamaan X³ + 4X² - 10 = 0 X³ + 4X² - 10 = 0 dgn menggunakan metode newton dgn menggunakan metode newton

f(x) = X³ + 4X² - 10 = 0f’(x) = 3X² + 8XUntuk memeriksa akar, kita lihat f(1) < 0 dan f(2) > 0 sehingga f(1)f(2)

< 0.Karena fungsi ini terletak pada interval (1;2) pasti memuat minimal 1

akaranya, mari kita coba p0 = 1,5.Aproksimasi 1 : p0 = 1,5 ; f(p0) = 2,375 dan f’(p0) = 18,750, diperoleh aproksimasi

pertamanya adalah :p1 = 1,5 - 2,375 = 1,3733 18,750

Aproksimasi 2 : p1 = 1,3733 ; f(p1) = 0,1338 dan f’(p0) = 16,6443, diperoleh :

p2 = 1,3733 - 0,1338 = 1,3653 16,6443

Aproksimasi ketiga dapat dikerjakan sejalan seperti sebelumnya dan akan diperoleh p3 = 1,3652. aproksimasi ketiga inisudah cukup akurat karena nilai f(p3) = 0,0004956

4. Metode Secant4. Metode SecantMetode secant merupakan perbaikan dari

metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. f’ (X) =( f (Xn) – f (Xn-1)) / (Xn – Xn-1)  Xn+1 = Xn – ( (f(Xn) (Xn – Xn-1)) / ( f(Xn) -f(Xn-1) )Tujuan dan FungsiTujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama yaitu f‘ (x).Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope.

Algoritma Metode SecantAlgoritma Metode Secant

1. Definisikan fungsi F(x)2. Definisikan torelansi error (e) dan iterasi

maksimum (n)3. Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di

antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1,sebaiknya          gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.

4. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y15. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)|

     Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1)6. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir

Hitunglah aproksimasi akar persamaanHitunglah aproksimasi akar persamaan XX33+X+X22-3X-3 -3X-3 = 0 = 0 dimana  x1 = 1 dan x2 = 2 dimana  x1 = 1 dan x2 = 2 dgn menggunakan metode dgn menggunakan metode SecantSecant

Jawaban :X1 = 1 ; f(1) = (1)³+(1)²-3.(1)-3 = -4X2 = 2 ; f(2) = (2)³+(2)²-3.(2)-3 = 3Aproksimasi 1 :Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1)X3 = x2 –f(x2) (x2-x1/f(x2)-f(x1))

= 2- 3(2-1)/3-(-4))x3= 1,57142 f(1.57142) = -1.36449Aproksimasi 2 :X4 = x3 – f(x3) (x3-x2/f(x3)-f(x2))

= 1,57142 – (-1.36449)(1,57142-2)/ -1.36449 – 3X4 = 1,70540   F(1,70540) = -0.24774      Lanjutkan terus sampai mendapatkan f(xn) = 0 atau mendekati 0.Untuk kasus ini sampai pada aproksimasi ke -7.berikut ringkasan

tabelnya     

XX33+X+X22-3X-3 = 0 -3X-3 = 0 dimana  x1 = 1 dan x2 = 2 dgn dimana  x1 = 1 dan x2 = 2 dgn menggunakan metode menggunakan metode SecantSecant

n xn f (xn) xn – xn-1 f (xn) – f (xn-1)1 1 -4 - -2 2 3 1 73 1,57142 -1,36449 -0,42858 -4,364494 1,70540 -0,24774 0,13398 1,116755 1,73514 0,02925 0,02974 0,276996 1,73200 -0,00051 -0,00314 -0,029767 1,073205 0 - -

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7Karena nilai f(x7) = 0, sehingga ditemukan salah satu akarnya = 1,073205