Persamaan Gerak Euler untuk Benda Kaku · Web viewAda gangguan lain pada Bumi yang disebut dengan...

Suryadi Siregar Mekanika Benda Langit

_____________________________________________________________________________

Bab 5

Presesi dan Nutasi

PresesiPresesi adalah pergeseran orientasi sumbu rotasi Bumi secara bertahap setiap satu

putaran. Orientasi sumbu rotasi kembali pada keadaan semula dalam tempo sekitar 26000 tahun.

Presesi Bumi pada mulanya disebut dengan presesi equinox karena equinoxnya bergerak

ke arah barat sepanjang ekliptika relatif terhadap bintang latar belakang( bitang acuan), dengan

gerak yang berlawanan dengan gerak Matahari sepanjang ekliptika.

Gb.5.1 Gerak presesi, meyebabkan arah kutub utara

terhadap langit berubah seiring waktu

Pada pertengahan abad ke 19, diketahui bahwa ekliptika beringsut sedikit demi sedikit

fenomena ini disebut dengan presesi planet, dimana komponen dominan dinamai presesi

lunisolar. Kombinasi dari dua presesi tersebut dinamai presesi umum yang lebih dikenal dengan

presesi equinox. Presesi lunisolar disebabkan oleh gaya gravitasi Bulan dan Matahari pada

ekuator Bumi, yang menyebabkan sumbu rotasi Bumi bergerak dengan arah yang bergantung

_____________________________________________________________________________

KK-Astronomi, FMIPA – ITB 5.1


_____________________________________________________________________________

pada kerangka inersia yang dipilih. Presesi planet adalah perubahan sudut yang kecil disebabkan

oleh gaya gravitasi planet lain pada Bumi dengan bidang orbit (ekliptika). Hal ini menyebabkan

bidang ekliptika bergeser perlahan relatif terhadap kerangka inersia. Presesi lunisolar 500 kali

lebih besar dibandingkan presesi planet. Pada tahun 2006, IAU mengusulkan bahwa komponen

dominan dinamakan presesi ekuator dan komponen minor dinamai presesi ekliptik, tapi

kombinasi keduanya tetap dinamai presesi umum.

Efek PresesiPresesi Bumi memiliki beberapa efek yang dapat diamati. Pertama, posisi kutub langit

utara dan selatan tampak bergerak dalam bentuk lingkaran melawan arah gerak latar belakang

langit yang dipenuhi oleh bintang. Untuk mencapai satu putaran Bumi harus mengelilingi

Matahari sebanyak 25.771,5 kali atau setara dengan 25.771,5 tahun. Dengan demikian, bintang

Polaris yang saat ini berada di kutub langit utara akan berubah posisinya seiring dengan waktu

dan bintang yang lain akan menjadi bintang utara. Seiring dengan pergeseran kutub langit maka

secara perlahan terjadi pula pergeseran pada arah penampakan semua bintang.

Kedua, posisi Bumi dalam orbitnya ketika mengitari Matahari pada solstice, equinox

akan berubah secara perlahan. Contohnya, misalkan posisi orbit Bumi pada saat itu berada pada

summer solstice, ketika kemiringan sumbu rotasi Bumi tepat mengarah ke Matahari, satu kali

orbit penuh kemudian, Matahari terlihat kembali pada posisi relatifnya terhadap bintang-bintang

latar belakang, kemiringan sumbu rotasi bumi yang sekarang tidak akan tepat mengarah ke

Matahari. Ini dikarenakan efek presesi, dengan kata lain solstice terjadi lebih cepat. Dengan

demikian, tahun tropis yang digunakan untuk menghitung musim (solstice ke solstice atau

equinox ke equinox) menjadi lebih pendek sekitar 20 menit dibandingkan tahun sideris. Beda

waktu sebesar 20 menit per tahun berarti ekivalen dengan satu tahun setiap 25.771,5 kali putaran

Bumi mengitari Matahari (atau 25.771,5 tahun), maka setelah satu putaran selama 25.771,5

tahun posisi perubahan musim akan kembali seperti semula.

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

NutasiNutasi adalah gerak irregular dalam order beberapa detik busur pada sumbu rotasi Bumi.

Nutasi adalah pergerakan sumbu rotasi dimana presisinya konstan.

Gb.5.2 Perbedaan antara presesi (P) dan nutasi (N)

Nutasi pada planet terjadi akibat efek pasang surut(efek-tidal) yang menyebabkan presesi

equinox berbeda dari waktu ke waktu sehingga kecepatan presesi menjadi tidak konstan. Nutasi

telah ditemukan pada 1728 oleh astronom Inggris bernama James Bradley. Nilai nutasi adalah

beberapa detik busur per dekade. Ada gangguan lain pada Bumi yang disebut dengan polar

motion atau gerak kutub yang dapat diperkirakan hanya dalam beberapa bulan karena ia

terpengaruhi oleh hal-hal yang cepat berubah dan tidak dapat diprediksi seperti pasang surut,

angin dan gerakan perut Bumi.

Nutasi dibedakan dalam komponen paralel dan komponen tegak lurus terhadap bidang

ekliptika. Komponen yang bekerja sepanjang ekliptika/paralel dikenal dengan nutasi dalam

longitude. Komponen yang tegak lurus ekliptika dikenal dengan nutasi dalam inklinasi. Sistem

koordinat langit berdasarkan pada “ekuator” dan “equinox”, yang berarti lingkaran besar di

langit yang menjadi proyeksi ekuator Bumi, dan garis vernal equinox yang memotong lingkaran

tesebut, yang menjadi titik awal untuk menentukan asensiorekta. Hal tersebut dipengaruhi oleh

presesi equinox dan nutasi, maka dengan demikian tergantung pada teori yang digunakan pada

presesi dan nutasi dan pada tanggal yang digunakan sebagai epoch (tanggal referensi) untuk

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

sistem koordinat. Jadi jelas, nutasi dan presesi sangat penting dalam pengamatan dari Bumi

dalam menghitung posisi semu bintang dan obyek lainnya.

Nutasi pada BumiPada kasus Bumi, sumber utama gaya pasang surut adalah Matahari dan Bulan yang

lokasinya berubah secara kontinyu satu sama lain. Keadaan ini menyebabkan nutasi pada sumbu

rotasi Bumi. Komponen terbesar nutasi Bumi memiliki perioda 18,6 tahun, sama seperti presesi

node orbit Bulan. Tetapi ada hal periodik lain yang signifikan yang harus dihitung selaras dengan

ketelitian yang ingin dicapai yaitu persamaan matematika yang merepresentasikan nutasi yang

disebut dengan teori nutasi.

Persamaan Gerak Euler untuk Benda Kaku

Tinjau benda kaku terdiri dari kumpulan titik massa yang kaku, berputar secara tiba-tiba pada

sumbu dengan pusat O, kecepatan sudut ω. Andaikan titik O tetap dalam ruang atau jika

bergerak ia menjadi pusat massa dari system.

Kecepatan linier

Momentum Sudut

Atau boleh juga ditulis sebagai

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Gb.5.3 Titik massa m dalam koordinat kartesis x,y danz

Jadi untuk sejumlah n, titik massa berlaku

(5.1)

Tetapi radius vektor terhadap pusat koordinat O(0,0,0) adalah

Kecepatan sudut

Momentum sudut

Persamaan momentum sudut (5.1) diatas dapat dinyatakan kembali

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Besaran diatas didefinisikan sebagai

1. Momen Inersia

, dan (5.2)

2. Product of Inertia

, dan (5.3)

Untuk medium yang kontinyu simbol penjumlahan ∑ dapat diganti dengan integral.

Hukum II Newton, untuk gerak rotasi

Tinjau turunan momentum sudut L

(5.4)

N adalah Torque di titik O. Misalkan ( ) menyatakan bilangan arah sebuah garis lurus

yang melalui titik O (lihat Gb.5.4)

Gb.5. 4. Bilangan arah(,,) dan titik massa mj untuk menghitung torka

terhadap pusat sumbu koordinat

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Terdefinisi Momen inersia terhadap garis, l dengan jarak d adalah;

(5.5)

Untuk distribusi massa yang kontinyu

density, dV elemen volume

Dalam komponen

(5.6)

Dengan

Kalau kita gabungkan diperoleh

(5.7)

Ini pernyataan momen inersia dari sebuah garis lurus yang melalui titik O Misal , ,

koordinat sebuah titik massa yang terletak pada garis tersebut, berjarak dari sumbu O akan

mempunyai bilangan arah

(5.8)

Sehingga, persamaan (5.7) dapat ditulis kembali sebagai;

(5.9)

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Jika dimisalkan maka kita peroleh;

(5.10)

Menyatakan persamaan ellipsoida. Permukaannya disebut momental ellipsoid untuk benda yang

pusatnya berada di titik O

Pilih sebagai koordinat sehingga pernyataan (5.9) dapat ditulis dalam bentuk;

(5.11)

Dengan menyatakan momen inersia terhadap sumbu simetri ellipsoid, persamaan ini

disebut principal moments of inertia

Sebagai sumbu inersia dipilih sumbu utama ellipsoid, sehingga arah vektor momentum sudut

akan segaris dengan vektor kecepatan sudut.

Dengan perkatan lain (5.12)

Dalam hal ini didefinisikan;

I=momen inersia utama

Tinjau momentum sudut

Jadi kalau diturunkan terhadap waktu t, diperoleh;

(5.13)

Atau dapat juga ditulis;

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

(5.14)

Jadi kita peroleh;

(5.15)

Karena tetap, maka sehingga pernyataan diatas menjadi;

(5.16)

Terdefinisi persamaan gerak Euler berlaku dengan syarat pusat massa di titik O selalu tetap.

Pusat massa system sekaligus merupakan sumbu koordinat.

Ilustrasi 1: variasi lintang

Tiga titik massa bergerak pada bidang xy. Dengan kecepatan sudut konstan Seluruh

bidang xy juga berputar dengan kecepatan sudut konstan terhadap sumbu y, sehingga sb.x

bergerak dalam bidang kertas.

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Gb.5.6 Tiga titik massa yang bergerak pada bidang xy. Bidang xy berotasi terhadap

sumbu y dengan kecepatan sudut tetap sebesar . Sedangkan ketika benda berotasi

dalam bidang xy dengan kecepatan sudut

(5.17)

(5.18)

(5.19)

(5.20)

dan (5.21)

Dari sifat-sifat momen inersia, kita ketahui ,

, dan (5.22)

Oleh sebab itu, persamaan Eulernya menjadi

(5.23)

(5.24)

(5.25)

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Jadi Torque pada masing-masing sumbu adalah

(pitching moment) (5.26)

(yawing moment) (5.27)

(rolling moment) (5.28)

Dalam kasus ini sumbu z menembus bidang kertas. Contoh lain tentang gerak pitching, yawing

dan rolling dapat ditemukan pada gerak Toutatis

Ilustrasi 2: Pitching, yawing dan rollingTinjau rotasi terhadap suatu titik, tanpa adanya torque misalnya rotasi bumi sebagai contoh

(aproximasi) torque yang disebabkan oleh matahari dan bulan relative kecil. Mempunyai sumbu

simetri

Dari persamaan gerak Euler;

(5.29)

Misalkan diambil ,maka dengan cara yang sama dapat disimpulkan kembali;

(5.30)

Karena konstant, maka dapat juga ditulis

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

(5.31)

Misalkan suatu konstanta yang tidak bergantung pada waktu jadi kalau

pernyataan diatas diturunkan satu kali terhadap t diperoleh;

(5.32)

Maka

(5.33)

Merupakan solusi real, a dan b konstanta

Jadi

(5.34)

Jadi

(5.35)

Dengan perkataan lain projeksi vektor pada bidang (1-2=x-y) bergerak dalam suatu lingkaran,

dengan jejari a;

Dalam hal ini;

(5.36)

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Gb.5.7 Kecepatan sudut diuraikan dalam komponen sumbu (1), sumbu (2) dan sumbu (3)

Diketahui sifat fungsi sinus & cosinus periodik dengan periode 2π. Jadi periode w1 dan w2 harus

memenuhi atau tulis t=P maka Vektor akan berputar pada

sumbu(3) dengan periode P, yang selalu konstan.

Untuk Bumi dan

Jadi 300 hari, menyatakan gerak periodic vector w, terhadap sumbu simetri (poros Bumi),

fenomena ini disebut sebagai “variation of latitude”. Data observasi 433 hari. Perbedaan

disebabkan asumsi benda kaku tidaklah benar. Bumi bersifat elastik.

Sudut Eulers dan pers gerak

Tinjau sistem koordinat kartesis yang tetap θx0, θy0, θz0

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Gb.5.8 Definisi sudut Euler untuk sistim 3 benda

Dapat dilihat

(5.37)

(5.38)

(5.39)

Dengan bantuan pers gerak Euler dan sumbu simetri diambil diperoleh pers

berikut

Untuk ketiga sudut tersebut

(5.40)

(5.41)

(5.42)

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Bila persamaan ini dapat kita selesaikan maka orientasi dari tiga titik massa ,ψ untuk setiap

waktu dapat ditentukan.

Gb.5.9 Nutasi dan presesi identik dengan gerak gasing

Contoh: Gerak sebuah gasing, dapat diturunkan dengan persamaan Euler. Sifat gasing ,berputar

pada porosnya dan sekaligus bergerak mengitari sumbu-zJika dimisalkan l, jarak pusat gravitasi

ke sumbu (koordinat), maka

Komponen Torque yang lain tidak ada artinya,

Jadi persamaan Geraknya

(5.43)

(5.44)

(5.45)

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Atau (5.46)

Demikian pula

konstan (5.47)

Atau (5.48)

Besaran ini disebut kecepatan presesi, hanya merupakan fungsi dari sudut saja

Analisis lebih lanjut menunjukkan bahwa juga berubah terhadap waktu. Fenomena ini disebut

Nutasi. Selanjutnya jika (kecepatan spin jauh lebih besar dari kecepatan gerak) maka

dan memenuhi hubungan .

Substitusi pers (5.48) dan (5.46) pada (5.45) diperoleh

(5.49)

Dapat diselesaikan bila bentuk diketahui

Tinjau persamaan energy kinetis

(5.50)

Atau

(5.51)

Atau

(5.52)

Jadi energy total E=T+V dengan energi potensial

_____________________________________________________________________________



_____________________________________________________________________________

Atau (5.53)

Atau

(5.54)

Misalkan

(5.55)

Bentuk ini sering dinyatakan sebagai “potensial fiktif”. Dapat dilihat nilainya akan maksimum

bila dan . Mempunyai nilai minimum bila yang dapat dicari dengan meletakkan

syarat , maka diperoleh;

(5.56)

Kalau diintegralkan diperoleh;

(5.57)

_____________________________________________________________________________


Persamaan Gerak Euler untuk Benda Kaku · Web viewAda gangguan lain pada Bumi yang disebut dengan...

Documents

Transcript of Persamaan Gerak Euler untuk Benda Kaku · Web viewAda gangguan lain pada Bumi yang disebut dengan...