Persamaan diferensial biasa:Persamaan diferensial orde-kedua

Dwi Prananto

June 5, 2015

Daftar isi

1 Persamaan diferensial homogen orde-kedua 11.1 Persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan . . . . . . . . . . 2

2 Operator diferensial 62.1 Solusi persamaan diferensial non-homogen orde-kedua dengan operator D . . . . 8

1 Persamaan diferensial homogen orde-kedua

Persamaan diferensial orde-kedua dinyatakan dalam bentuk umumnya sebagai

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x). (1)

Jika sisi kanan dari persamaan tersebut sama dengan nol, persamaan diferensial tersebut dise-but sebagai persamaan diferensial homogen

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0. (2)

Solusi persamaan diferensial homogen dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari dua solusi,y1 dan y2,

y = c1y1 + c2y2. (3)

Bukti bahwa bentuk kombinasi linier dari y1 dan y2 adalah benar solusi dari persamaan diferen-sial homogen dapat dipeoleh dengan cara mensubstitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan(2)

(c1y1 + c2y2)′′ + p(x)(c1y1 + c2y2)

′ + q(x)(c1y1 + c2y2) = 0 (4)

c1y′′1 + c2y

′′2 + p(x)c1y

′1 + p(x)c2y

′2 + q(x)c1y1 + q(x)c2y2 = 0 (5)

c1(y′′1 + p(x)y′1 + q(x)y1) + c2(y

′′2 + p(x)y′2 + q(x)y2) = 0. (6)

Dengan memperhatikan kembali persamaan (2), maka diperoleh sisi kanan dan kiri persamaan(6) sama dengan nol, yang berarti persamaan (3) memenuhi persamaan (2).

Solusi persamaan diferensial orde-kedua dapat dinyatakan ke dalam dua bentuk yaitu:

1. Solusi umumJika koefisien c1 dan c2 berupa sembarang konstanta.

2. Solusi partikulerJika koefisien c1 dan c2 berupa angka spesifik.

1

1.1 Persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan

Persamaan diferensial linier homogen orde-kedua dinyatakan dalam bentuk

y′′ + ay′ + by = 0, (7)

dimana a dan b adalah konstanta. Solusi dari persamaan (7) adalah persamaan diferensialorde-pertama

y′ + ky = 0,

dengan k adalah konstan. Persamaan ini sendiri memiliki solusi berupa fungsi eksponensial

y = e−ky.

Sehingga solusi dari persamaan (7) adalah berupa fungsi eksponensial.Jika kita ambil solusi persamaan (7) sebagai

y = eλx, (8)

dan turunannya adalah:y′ = λeλx dan y′′ = λ2eλx,

substitusi ke dalam persamaan (7) menghasilkan

λ2eλx + aλeλx + beλx = 0

(λ2 + aλ+ b)eλx = 0

atauλ2 + aλ+ b = 0. (9)

Persamaan (9) disebut sebagai persamaan karakteristik, dengan λ sebagai solusinya. Karenaλ adalah solusi dari persamaan karakteristik, fungsi eksponensial y = eλx adalah solusi daripersamaan diferensial linier homogen orde-kedua dengan koefisien konstan.

Akar-akar persamaan karakteristik dapat dicari dengan

λ12 =−a±

√a2 − 4b

2. (10)

Dengan ini solusi persamaan (7) adalah

y1 = eλ1x dan y2 = eλ2x. (11)

Lebih lanjut, dalam aljabar persamaan kuadrat, ada tiga macam kemungkinan akar persamaankudrat tergantung dari nilai diskriminan a2 − 4b. Oleh karena itu, akan ada tiga kemungkinanakar-akar persamaan karakteristik yang dapat muncul, yaitu:

Kasus I : dua akar real λ1 dan λ2.Jika a2 − 4b > 0

Kasus II : akar tunggal real λ1 = λ2.Jika a2 − 4b = 0

Kasus III : akar kompleks konjugat (memiliki komponen real dan imajiner).Jika a2 − 4b < 0

Ketiga kasus di atas akan dibahas dalam subseksi berikut

2

Kasus I: Dua akar real (λ1 dan λ2)

Jika diskriminan a2 − 4b nilainya lebih besar dari nol, persamaan karakteristik akan memilikidua akar yang berbeda λ1 dan λ2, sehingga solusi persamaan diferensial adalah kombinasi liniery1 dan y2,

y = c1eλ1x + c2e

λ2x. (12)

Contoh Jika diketahui sebuah persamaan diferensial linier homogen orde-kedua

y′′ + y′ − 2y = 0, y(0) = 4, y′(0) = −5,

solusi persamaan diferensial tersebut dapat dicari dengan mengambil solusi

y = eλx,

dan turunan pertama dan keduanya adalah

y′ = λeλx dan y′′ = λ2eλx.

Substitusi ke dalam persamaan diferensial menghasilkan

λ2eλx + λeλx − 2eλx = 0

(λ2 + λ− 2)eλx = 0,

sehingga persamaan karakteristik dinyatakan sebagai

λ2 + λ− 2 = 0.

Akar-akar persamaan karakteristik dapat dicari dengan pemfaktoran secara langsung ataumenggunakan persamaan (10). Diperoleh akar-akar

λ1 = 1 dan λ2 = −2,

sehingga solusi umum persamaan diferensial dituliskan sebagai

y = c1ex + c2e

−2x.

Selanjutnya solusi partikuler dapat dicari dengan menggunakan solusi umum dan kondisiinisial y(0) = 4 dan y′(0) = −5

y(0) = c1 + c2 = 4

y′(0) = c1 − 2c2 = −5.

Dengan cara eliminasi konstanta c dan substitusi diperoleh c1 = 1 dan c2 = 3, sehinggasolusi partikuler persamaan diferensial adalah

y = ex + 3e−2x.

3

Kasus II: Akar tunggal real (λ = −a/2)

Jika diskriminan a2 − 4b = 0, hanya akan ada satu akar

λ = λ1 = λ2 = −a/2.,

sehingga solusiy1 = e−(a/2)x (13)

dan y2 dapat dicari dengan mengambil y2 = uy1 untuk kemudian menurunkannya sampaididapat turunan ke-dua

y′2 = uy′1 + y1u′,

turunan ke-dua

y′′2 = uy′′1 + y′1u′ + y1u

′′ + u′y′1y′′2 = uy′′1 + 2y′1u

′ + y1u′′.

Substitusi turunan pertama dan kedua dari y2 menghasilkan

(uy′′1 + 2y′1u′ + y1u

′′) + a(uy′1 + y1u′) + buy1 = 0,

dan mengumpukan u′′, u′, dan u menghasilkan

u′′y1 + u′(2y′1 + ay1) + u(y′′1 + ay′1 + by1) = 0.

Dikarenakan y′′1 + ay′1 + by1 = 0 dan 2y′1 = −ae−(a/2)x = −ay1, maka akan tersisa

u′′y1 = 0

atauu′′ = 0.

Integrasi akan menghasilkan

u′ = c1

u = c1x+ c2.

Jika diambil c1 = 1 dan c2 = 0,u = x.

Dengan ini didapatkan bahway2 = xy1 = xe−(a/2)x (14)

Solusi umum dari persamaan diferensial biasa linier homogen dengan akar persamaan karak-teristik tunggal adalah kombinasi linier dari y1 (persamaan (13)) dan y2 (persamaan (14))

y = (c1 + c2x)e−(a/2)x (15)

Contoh Tentukan solusi partikuler dari persamaan diferensial linier homogen orde-kedua

y′′ + y′ + 0, 25y = 0, y(0) = 3, 0, y′(0) = −3, 5.

4

Solusi Persamaan diferensial tersebut memiliki persamaan karakteristik

λ2 + λ+ 0, 25 = 0.

Dapat kita lihat dari persamaan karakteristik, diskriminan a2 − 4b = 0, sehingga akar-akarpersamaan karakteristik λ = −1

2. Dari persamaan (15), solusi umum persamaan diferensial

adalahy = (c1 + c2x)e−0,5x.

Selanjutnya koefisien c1 dan c2 dapat dicari dengan menurunkan solusi umum dan meng-gunakan kondisi inisial y(0) = 3, 0 dan y′(0) = −3, 5. Diperoleh c1 = 3, 0 dan c2 = −2, 0,sehingga solusi partikuler dari persamaan diferensial linier homogen orde-kedua tersebutadalah

y = (3− 2x)e−0,5x.

Kasus III: Akar kompleks konjugat (λ1 = −12 + iω dan λ2 = −1

2 − iω)

Jika diskriminan a2 − 4b < 0, akar-akar persamaan karakteristik

λ12 =1

2(−a±

√a2 − 4b)

=1

2(−a)± 1

2

√a2 − 4b

=1

2(−a)± 1

2

√−(4b− a2)

=1

2(−a)±

√−(b− a2

4)

=1

2(−a)± i

√b− a2

4

λ12 =1

2(−a)± iω,

dimana ω =√b− 1

4a2.

Akar-akar persamaan karakteristik dalam kasus ini dinyatakan sebagai

λ1 = −1

2+ iω dan λ2 = −1

2− iω. (16)

y1 dan y2 dapat dicari dengan pertama-tama mendefinisikan eλ1x dan eλ2x,

eλ1x = e−(a/2)x+iωx

= e−(a/2)xeiωx.

Dengan menggunakan identitas Euler untuk trigonometri diperoleh

eλ1x = e−(a/2)x(cosωx+ i sinωx). (17)

Sedangkaneλ2x = e−(a/2)x(cosωx− i sinωx). (18)

Menjumlahkan persamaan (17) dan persamaan (18) dan mengalikan hasil penjumlahan dengan12

menghasilkan

y1 = e−(a/2)x cosωx. (19)

5

Selanjutnya, mengurangkan persamaan (17) dan persamaan (18) dan mengalikan hasil pengu-rangan dengan 1

2imenghasilkan

y2 = e−(a/2)x sinωx. (20)

Solusi umum persamaan diferensial untuk kasus ini yang merupakan kombinasi linier dari y1dan y2 dinyatakan dalam

y = e−(a/2)x(A cosωx+B sinωx). (21)

Contoh Tentukan solusi persamaan diferensial

y′′ + 0, 4y′ + 9, 04y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3, 0.

Solusi Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial orde-kedua tersebut adalah

λ2 + 0, 4λ+ 9, 04 = 0,

dan akar-akarnya adalahλ12 = −0, 2± i3.

Dengan ini solusi umum persamaan diferensial adalah

y = e−0,2x(A cos 3x+B sin 3x).

Solusi partikuler diperoleh dengan menurunkan solusi umum dan menggunakan kondisiinisial y(0) = 0 dan y′(0) = 3, 0. Diperoleh A = 0 dan B = 1, sehingga solusi partikulerpersamaan diferensial adalah

y = e−0,2x sin 3x.

Ketiga kasus tersebut di atas dirangkumkan dalam tabel berikut

Table 1: Rangkuman kemungkinan solusi umum persamaan diferensial linier homogen orde-kedua

Kasus Diskriminan Solusi UmumI a2 − 4b > 0 y = c1e

λ1x + c2eλ2x

II a2 − 4b = 0 y = (c1 + c2x)e−(a/2)x

III a2 − 4b < 0 y = e−(a/2)x(A cosωx+B sinωx)

2 Operator diferensial

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk memperoleh solusi dari persamaan diferen-sial biasa, salah satu metode yang yang relatif cukup mudah untuk digunakan adalah denganmenggunakan operator diferensial, biasa disebut juga operator D. Teknik yang digunakandalam metode ini adalah menggantikan diferensial dengan sebuah operator yang diwakili den-gan huruf D.

d

dx= D,

d2

dx2= D2,

d3

dx3= D3, dan seterusnya. (22)

Dalam menyelesaikan persamaan operator D (F (D)) ada beberapa sifat yang dapat digu-nakan, antara lain

6

1. Sifat I

F (D){eax} = F (a)eax (23)

Contoh(2D2 + 3D + 4)(e3x) = [2(3)2 + 3(3) + 4]e3x = 31e3x

2. Sifat II

F (D2){cos ax} = F (−(a2)) cos ax (24)

F (D2){sin ax} = F (−(a2)) sin ax (25)

Contoh 1D2{cos 3x} = −9 cos 3x

Contoh 2(D2 + 2D){cos 3x} = −4 cos 2x− 4 sin 2x

3. Sifat IIIJika v adalah sebuah fungsi,

D[eaxv] = eaxDv + aveax

= eax[D + a]v.

SehinggaF (D){eaxv} = eax[D + a]v (26)

Contoh

(D2 + 3D + 2)exx = ex[(D + 1)2 + 3(D + 1) + 2]x

= ex[D2 + 2D + 1 + 3D + 3 + 2]x

= ex[D2 + 5D + 6]x.

Karena D tidak lain adalah diferensial/turunan, maka

(D2 + 5D + 6)x = D2x+ 5Dx+ 6x

= 0 + 5 + 6x.

Sehingga(D2 + 3D + 2)exx = ex(5 + 6x)

Selain dengan menggunakan ketiga sifat tersebut, adakalanya persamaan operator D yangberbentuk pecahan dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi deret dengan cara mem-baginya.

7

Contoh

1

5 +D{x2} =

[1

5− 1

25D +

1

125D2 + . . .

]x2

=x2

5− 2

25x3 +

2

125

2.1 Solusi persamaan diferensial non-homogen orde-kedua denganoperator D

Secara umum bentuk persamaan diferensial linier non-homogen orde-kedua adalah

ad2y

dx2+ b

dy

dx+ cy = r(t), (27)

dimana a, b, dan c adalah konstanta. Solusi persamaan diferensial non-homogen dapat dicarisalah satunya dengan menggunakan operator D. Dalam operasi pencarian solusi persamaandiferensial dengan menggunakan operator Dakan diperoleh dua macam solusi yaitu solusi kem-plementer dan solusi partikuler.

Solusi komplementer diperoleh dengan mengubah persamaan diferensial non-homogenmenjadi persaman diferensial homogen

ad2y

dx2+ b

dy

dx+ cy = 0,

dan menyelesaikannya dengan menggunakan metode yang sama dengan cara pencarian solusipersamaan diferensial homogen. Persamaan karakteristik dari persamaan (27) adalah

aD2 + bD + c = 0,

akar-akar persamaan karakteristik dapat diperoleh dengan cara yag sama dengan yang ada disub-bab 2, begitu pula solusi persamaan diferensialnya

yK = c1y1 + c2y2

Solusi partikuler diperoleh dengan menggunakan persamaan diferensial non-homogen apaadanya untuk kemudian diubah menjadi fungsi operator D

(aD2 + bD + c)y = r(t).

Solusi partikuler dapat diperoleh dengan menyelesaikan fungsi operator D

yP =1

aD2 + bD + cr(t).

Solusi umum persamaan diferensial non-homogen adalah gabungan antara solusi komple-menter dan solusi partikuler

y = yK + yP (28)

8

Contoh Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial orde-kedua

d2y

dx2+ 5

dy

dx+ 6y = 20e2x.

Solusi

• Solusi komplementerPersamaan karakteristik dari persamaan diferensial tersebut adalah

D2 + 5D + 5 = 0.

Akar-akar persamaan karakteristik diperoleh dengan pemfaktoran langsung

(D + 3)(D + 2)− 0,

sehingga akar akarnya adalah

D1 = −3 dan D2 = −2.

Solusi komplemeter dinyatakan sebagai

yK = c1e−3x + c2e

−2x

• Solusi partikulerTransformasi operator D dari persamaan adalah

(D2 + 5D + 6)y = 20e2x,

dan solusi partikuler dinyatakan sebagai

yP =1

D2 + 5D + 620e2x

=1

(2)2 + (5)(2) + 620e2x

yP = e2x

Dari kedua solusi tersebut maka solusi umum dari persamaan diferensial adalah

y = yK + yP

y = c1e−3x + c2e

−2x + e2x.

Referensi

[1] E. Kreyszig, Advanced engineering mathematics, (John Willey & Sons, Inc., USA, 2011)

9