Persamaan Diferensial
description
Transcript of Persamaan Diferensial
Pengertian-Pengertian
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial
diklasifikasikan sebagai:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
xex
y
dx
yd
dx
yd
12
5
2
22
3
3
Contoh:
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian
adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan
digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
0 xx keke
xkey 0 ydt
dy adalah solusi dari persamaan
xkey xke
dt
dy karena turunan adalah
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh
Contoh:
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian
Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan
Jika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat kita tuliskan dalam bentuk
0)()( dxxgdyyf
Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
Kdxxgdyyf ))()(
yxedx
dy
0 dxedye xy
y
x
e
e
dx
dyPersamaan ini dapat kita tuliskan
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah
Kee xy Kee xy sehingga atau
Contoh-1:
Kdxedye xy Integrasi kedua ruas:
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Contoh-2:xydx
dy 1
0x
dxydy
Kx
dxydy
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
Kxy
ln2
2
Kxy 2ln
atau
x
dxydy atau
Integrasi kedua ruas
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk
x
yF
dx
dy
Jadikan sebagai peubah bebas baru
x
yv
vxy
dx
dvxv
dx
dy)(vF
dx
dvxv
0)(
vFv
dv
x
dx
pemisahan peubah:
yang akan memberikan
dan
vvFdx
dvx )(
x
dx
vvF
dv
)(
atau:
Contoh-3: 02)( 22 xydydxyx
02)1(2
22 xydydx
x
yxUsahakan menjadi homogen
dyx
ydx
x
y2)1(
2
2
)/()/(2
)/(1 2xyF
xy
xy
dx
dy
Peubah baru v = y/x
vxy
dx
dvxv
dx
dy v
v
dx
dvxv
2
1 2
v
v
v
vv
dx
dvx
2
31
2
1 22
x
dx
v
vdv
231
2 031
22
v
vdv
x
dx peubah terpisah atau
)(2
1 2vF
v
v
dx
dy
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu
Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan v sebagai fungsi x.
031
22
v
vdv
x
dx
dx
xd
x
)(ln1
)6(31
1
)31(
)31(
)31ln()31ln(2
2
2
22v
vdv
vd
vd
vd
dv
vd
Kita coba hitung
KKvx ln3
1)31ln(
3
1ln 2
0)31ln(
3
1 2
dv
dv
vd
x
dx
KKvx ln)31ln(ln3 2
Kvx )31( 23
Kxyx 23 )/(31 Kyxx 22 3
Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi
Integrasi ke-dua ruas:
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu
Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol. Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk
QPydx
dy
P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai
)(tfbydt
dya
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk utama
yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit
yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan.
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen
0 bydt
dya
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang
diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen, maka y
= (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab
0
)(
11
22
11
2121
bfdt
dfabf
dt
dfabf
dt
dfa
ffbdt
ffdaby
dt
dya
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Solusi Homogen
Persamaan homogen 0 bydt
dya
Jika ya adalah solusinya maka
0 dta
b
y
dy
a
a
integrasi kedua ruas memberikan
Kta
bya ln
sehingga
Kta
bya ln
taba
Kta
b
a eKey )/(
Inilah solusi homogen
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
)(tfbydt
dya p
p
Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
tKtKytAtftAtf
KeyAetf
KyAtf
ytf
scp
tp
t
p
p
sincos cos)(atau , sin)( Jika
aleksponensi al,eksponensi)( Jika
konstan konstan,)( Jika
00)( Jika
Jika solusi khusus adalah yp , maka
Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Jika dugaan solusi total adalahtab
aptotal eKyy )/(
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
01000 vdt
dv
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Contoh-4:
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.
01000 dtv
dv
Ktv 1000ln
ta
Kt eKev 10001000
Penerapan kondisi awal: aK12
Solusi total: V 12 1000tev
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Contoh-5: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
1210 3 vdt
dv
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
Solusi homogen: 010 3 a
a vdt
dv0103 dt
v
dv
a
a
taa eKv 1000
Solusi khusus: 12pv karena f(t) = 12
Solusi total (dugaan): tatotal eKv 100012
Penerapan kondisi awal: aK120 12aK
Solusi total: V 1212 1000ttotal ev
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Contoh-6: Pada kondisi awal v = 0 V suatu analisis transien
menghasilkan persamaan tvdt
dv10cos1005
Carilah solusi total
Solusi homogen: 05 aa v
dt
dv05 dt
v
dv
a
a
Ktva 5ln taa eKv 5
Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos
ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10
ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 100510 cs AA
010sin510sin10 tAtA sc0510 sc AA
8sA 4cA
Solusi total (dugaan): taeKttv 510sin810cos4
Penerapan kondisi awal: aK40 4aK
Solusi total : tettv 5410sin810cos4
Persamaan Diferensial Linier Orde Dua
Untuk Persamaan Diferensial Linier Orde Dua silakan
langsung melihat
Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu
Analisis Transien Sistem Orde-2
Courseware
Persamaan Diferensial
Sudaryatno Sudirham