persamaan-diferensial

Lenovo G450 | Persamaan Diferensial Biasa STKIP BIM 1

Pertemuan Pertama

P e n u n j a n g A. DIFERENSI

1. Rumus-rumus diferensiasi dari fungsi aljabar

Jika u, v, dan w adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

a. d

dx(c) = 0, dimana c = konstanta

b. d

dx(x) = 1

c. d

dx(u + v + ) =

d

dx(u) +

d

dx(v) +

d. d

dx(c u) = c

d

dx(u), dimana c = konstanta

e. d

dx(u . v) = u

d

dx (v) + v

d

dx (u)

f. d

dx(u.v.w) = uv

d

dx(w) + uw

d

dx(v) + vw

d

dx(u)

g. d

dx(

c

u) = c.

d

dx(

1

u) =

c

u2

d

dx(u), dimana u 0, c = konstanta

h. d

dx(

u

c) =

1

c

d

dx(u)

i. d

dx(xn) = n xn-1

j. d

dx(un) = n un-1

d

dx(u)

k. d

dx(

u

v) =

v d

dx(u) u

d

dx(v)

v2

2. Atutan rantai

Jika y = f(u) adalah fungsi dari u yang dapat ddiferensialkan dan u = g(x) adalah

fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

dy

dx=

dy

du .

du

dx

3. Diferensiasi Implisit

Suatu persamaan f(x, y) = 0

Untuk menentukan dy

dx digunakan proses diferensiasi implisit, adapun langkah-

langkahnya :

a. Pandang y sebagai fungsi dari x

b. Diferensialkan persamaan yang diberikan terhadap x

c. Selesaikan hubungan hasilnya untuk dy

dx

Contoh

Diberikan : xy + x2 2 xy + y2 5 = 0

Diferensialkan persamaan ini terhadap x, dengan memandang y sebagai

fungsi dari x


Solusi d

dx(xy) +

d

dx(x2) -

d

dx(2 yx) +

d

dx(y2) -

d

dx(5) =

d

dx(0)

xdy

dx + y + 2x 2x

dy

dx - 2y + 2y

dy

dx - 0 = 0

(x 2x + 2y) dy

dx = 2y y 2x

(2y x) dy

dx = y 2x

dy

dx=

y2x

2yx

Apabila diperlukan derivative order yang lebih tinggi maka dy

dx = g (x,y)

didiferensialkan lagi terhadap x, dan selanjutnya gantilah dy

dx menurut

hubungan yang baru diperoleh.

Contoh

Dari contoh di atas : dy

dx=

y2x

2yx

Kemudian

d

dx(

dy

dx) =

d2y

dx2

= d

dx [

y2x

2yx]

= (2yx)[

dy

dx 2] (y2x)[2

dy

dx 1]

(2yx)2

= (2yx)[

y 2x

2y x 2] (y2x)[2

y 2x

2yx 1]

(2yx)2

=

4. Diferensiasi dari fungsi Trigonometri

Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

a. d

dx(sin u) = cos u

d

dx(u)

b. d

dx(cos u) = - sin u

d

dx(u)

c. d

dx(tan u) = sec2 u

d

dx(u)

d. d

dx(cot u) = - cosec2 u

d

dx(u)

e. d

dx(sec u) = sec u tan u

d

dx(u)

f. d

dx(cosec u) = cosec u cot u

d

dx(u)

5. Diferensiasi dari invers fungsi Trigonometri


a. d

dx(arc sin u) =

1

1 2

d

dx(u)

b. d

dx(arc cos u) = -

1

1 2

d

dx(u)

c. d

dx(arc tan u) =

1

1 + 2

d

dx(u)


d. d

dx(arc cot u) = -

1

1 + 2

d

dx(u)

e. d

dx(arc sec u) =

1

2 1

d

dx(u)

f. d

dx(arc cosec u) =

1

2 1

d

dx(u)

6. Diferensiasi dari fungsi logaritma dan eksponensial


a. d

dx(alog u) =

1

u alog e

d

dx(u), (a > 0, a 1)

b. d

dx(au) = au ln a

d

dx(u), (a > 0)

c. d

dx(eu) = eu

d

dx(u)

d. d

dx(ln u) =

1

u

d

dx(u)

7. Diferensiasi dari fungsi hiperbolik


a. d

dx(sinh u) = cosh u

d

dx(u)

b. d

dx(cosh u) = - sinh u

d

dx(u)

c. d

dx(tanh u) = - sech2 u

d

dx(u)

d. d

dx(coth u) = - cosech2 u

d

dx(u)

e. d

dx(sech u) = - sech u tanh u

d

dx(u)

f. d

dx(cosech u) = -cosech u coth u

d

dx(u)

8. Diferensiasi dari invers fungsi hiperbolik


a. d

dx(sinh-1 u) =

1

1+ u2

d

dx(u)

b. d

dx(cosh-1 u) =

1

u2 1

d

dx(u), (u > 1)

c. d

dx(tanh-1 u) =

1

1 u2

d

dx(u), (u2 < 1)

d. d

dx(coth-1 u) =

1

1 u2

d

dx(u), (u2 > 1)

e. d

dx(sech-1 u) =

1

u1 u2

d

dx(u), (0 < u < 1)

f. d

dx(cosech-1 u) =

1

u1+ u2

d

dx(u), (u 0)

B. INTEGRASI

1. Rumus-rumus integrasi dasar

A d

dx[f(x)]dx = f(x) + c O cosec2 u du = cot u + c

B un du = 1

n + 1 un+1 + c, n 1 P sec u tan u du = sec u + c


C (u + v) dx = u dx + v dx Q cosec u cot u du = cosec u + c

D au dx = a u dx, a adalah konstanta R du

a2 u2= arc sin

u

a+ c

E 1

u du = ln|u| + c S

du

a2 u2= arc sin

u

a+ c

F au du = au

ln a + c, a > 0, 1 T

du

uu2 a2=

1

a arc sec

u

a+ c

G eu du = eu + c U

H sin u du = cos u + c V

I cos u du = sin u + c W

J tan u du = ln|sec u| + c X

K cot u du = ln|sin u| + c Y

L sec u du = ln|sec u + tan u| + c Z

M cosec u du = ln|cosec u cot u| + c Aa

N sec2 u du = tan u + c Ab

Ada dua aturan untuk menghitung integral u dv = uv v du, yaitu :

a. Bagian yang dipilih sebagai dv harus siap dapat diintegralkan

b. v du harus tidak lebih rumit daripada u du

2. Integral Trigonometri

Untuk menemukan integral trigonometri digunakan aturan identitas fungsi

trigonometri sebgai berikut :

a. Sin2 x + cos2 x = 1

b. 1 + tan2 x = sec2 x

c. 1 + cot2 = cosec2 x

d. Sin x cos y = [sin (x y) + sin (x + y)]

e. Sin x sin y = [cos (x y) cos (x + y)

f. Cos x cos y = [cos (x y) + cos (x + y)]

g. 1 sin x = cos ( x)

h. Cos(-x) =cos x

i. Sin(-x) = -sin x

Dengan menggunakan aturan identitas di atas dan rumus-rumus integral

didepan, integral trigonometri dapat diselesaikan.

3. Integrasi fungsi pecahan rasional

Suatu fungsi F(x) = f(x)

g(x), dimana f(x) dan g(x) merupakan polynomial, dinamakan

suatu pecahan rasional.


Jika derajat dari f(x) adalah lebih besar atau sama dengan derajat dari g(x),

maka F(x) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari suatu polinomial dan

suatu fungsi pecahan rasional dimana derajat pembilangnya adalah lebih kecil

daripada derajat penyebutnya.

Dari sini, F(x) dx baru dapat dihitung dengan menggunakan rumus-rumus

integrasi yang ada.

Contoh

x3

x2 + 1= x

x

x2 + 1

Maka : x3

x2+ 1 dx = x dx

x

x2+ 1 dx =

1

2 x2

1

2ln|x2 + 1| + c

Jika derajat dari f(x) adalah lebih kecil dari pada derajat g(x), maka ditinjau

tentang keadaan faktor-faktor dari g(x). Ada 4 kemungkinan keadaan faktor-

faktor tersebut :

a) Faktor-faktor linier berbeda

Jika ada n faktor linier dari g(x) yang berbeda, maka : f(x)

g(x)=

A1(a1x+ b1)

+ A2

(a2x+ b2)+ +

An(anx+ bn)

dimana A1, A2, , An adalah

konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan

koefisien.

b) Jika ada n faktor linier dari g(x) yang sama, maka : f(x)

g(x)=

A1(ax+b)

+ A2

(ax+b)2+ +

An(ax+b)n

dimana A1, A2, , An adalah konstanta

untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien.

c) Faktor kwadratik irreducible yang berbeda

Jika ada n faktor kwadratik irreducible dari g(x) yang berbeda, maka : f(x)

g(x)=

A1x+ B1

a1x2+ b1x+ c1+

A2x+ B2

a2x2+ b2x+ c2+ +

Anx+ Bn

anx2+ bnx+ cn dimana A1, A2, , An, B1,

B2, , Bn adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan

kesamaan koefisien.

d) Jika ada n faktor kwadratik irreducible dari g(x) yang sama, maka : f(x)

g(x)=

A1+ B1

(ax2+ bx+ c)=

A2x+ B2(ax2+ bx+ c)2

+ + Anx+ Bn

(ax2+ bx+ c)n dimana A1, A2, , An, B1, B2,

, Bn adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan

kesamaan koefisien.

Apabila faktor-faktor dari g(x) merupakan perpaduan diantara keempat

kemungkinan di atas, maka cara yang dipakai untuk menguraikan ()

()

kedalam jumlahan seperti di atas adalah juga sama tergantung keadaan

faktor-faktornya.

4. Integrasi fungsi irrasional

Untuk mengintegralkan fungsi irrasional dapat melalui dua cara yaitu :

Dibawa ke bentuk rumus-rumus integrasi yang ada


Menggunakan substitusi sedemikian sehingga merubah bentuk irrasional

menjadi bentuk rasional

a. Substitusi Trigonometri

Jika integran (fungsi yang akan dicari integralnya)

Berbentuk : 2 22 , a dan b adalah konstanta

Substitusi : =

sin

Didapatkan : 1 2 = a cos z, atau

Substitusi : =

cos

Didapatkan : 1 2 = a sin z

Berbentuk : 2 + 2 2

Substitusi : =

tan

Didapatkan : 1 + 2 = a sec z

Berbentuk : 2 2 2

Substitusi : =

sec

Didapatkan : 2 1 = a tan z

b. Substitusi Alajabar

Jika integran

Berbentuk : +

Substitusi : ax + b = zn

Berbentuk : + + 2

Substitusi :c + bx + x2 = (z x)2

Berbentuk : + 2 = ( + )( )

Substitusi : c + bx x2 = ( + )2z2 atau

c + bx x2 = ( + )2z2

5. Integrasi fungsi sin x dan cos x

Dengan substitusi x = 2 arc tan z, didapatkan bahwa : sin x = 2

1+ 2, cos x =

1 2

1+ 2

dan dx = 2

1+ 2, hubungan itu dapat digambarkan :

Setelah proses integrasi selesai, gunakan z = tan

2, untuk mengembalikan ke

variabel semula.

1 + z2

1 - z2

2z

x


6. Integrasi dari fungsi hiperbolik

sinh = cosh +

cos = cosh + = sinh +

= ln cosh +

coth = ln | sinh | +

2 = tanh +

2 = coth +


Pertemuan Kedua

Persamaan Diferensial Biasa

A. ORDE (TINGKAT) DAN DEGREE (DERAJAT)

Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan berbentuk :

F(x, y, y, y, , y(n)) = 0 yang menyatakan hubungan antara perubah bebas x,

perubah tak bebas y(x) dan turunannya yaitu y, y, , y(n).

Jadi suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika

turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke-n.

Dan suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajat) k jika

turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajat K

Contoh.

1. xdy

dx + 5y = 6; orde satu, derajat Satu

2. d3y

dx3+ 4 (

d2y

dx2)

2

+ dy

dx= sin x; orde 3, derajat Satu

3. (d3y

dx3)

2

(d2y

dx2)

3

+ 2xy = 6; orde tiga, derajat dua

B. MENCARI PERSAMAAN DIFERENSIAL

Langkah-langkah mencari persamaan diferensial :

1. Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang ada didalam persamaan

garis lengkung (kurva) yang akan dicari persamaan diferensialnya

2. Hilangkan semua konstanta sembarang itu dengan cara mengeliminasi semua

konstanta sembarang itu

Jika banyaknya konstanta sembarang ada n maka untuk mengeliminasi

semua konstanta sembarang yang ada dibutuhkan n + 1 persamaan.

Untuk mendapatkan n + 1 persamaan, persamaan garis lengkung (kurva)

semula dideferensialkan.

3. Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan order tertinggi dalam

persamaan diferensial yang dicari

C. CONTOH

Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung :

1. Y = C e-4x, C adalah konstanta sembarang

2. Y = A sin 3x + B cos 3x, A dan B adalah konstanta sembarang

3. Y = x3 + A x2 + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarang

Solusi

1. Karena hanya ada satu konstanta sembarang C, maka dibutuhkan 2

persamaan untuk mengeliminasi C tersebut dan order tertinggi dari

turunannya adalah satu

Persamaan 1 : y = C e-4x, turunkan terhadap x, diperoleh

Persamaan 2 : y = dy

dx= 4 Ce4x


Dari persamaan 1, C = y e4x. Maka persamaan 2 menjadi : dy

dx= 4 y e4xe4x sehingga

dy

dx= 4 y

Jadi persamaan diferensial yang dicari adalah :

dy

dx+ 4y = 0

2. Karena ada 2 konstanta sembarang (A dan B) maka dibutuhkan tiga

persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta order tertinggi dari

turunannya adalah dua.

Persamaan 1 : y = A sin 3x + B cos 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 2 : dy

dx = 3A cos 3x 3B sin 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 :

= -9A sin 3x 9B cos 3x

Dari persamaan 1 dan 3 didapatkan bahwa d2y

dx2 + 9y = 0

3. Karena ada 3 konstanta sembarang (A, B, dan C)

Maka dibutuhkan empat persamaan untuk mengeliminasi A, B dan C serta

order tertinggi dari turunannya adalah tiga

Persamaan 1 : y = x3 + Ax2 + Bx + C, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 2 : dy

dx = 3x2 + 2Ax + B, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 : d2y

dx2 = 6x + 2A, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 4 : d3y

dx3 = 6

Jadilah persamaan diferensial yang dicari adalah d3y

dx3 = 6

D. TUGAS MANDIRI

1. Carilah persamaan diferensial dari r = a(1 cos), jika a adalah konstanta

sembarang

2. Carilah persamaan diferensial dari :

a. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r tetap yang berpusat pada sumbu x

(Misal gunakan (x c)2 + y2 = r2 )

b. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r berubah (variable) yang berpusat

pada sumbu x (Misal gunakan (x c)2 + y2 = r2 )

c. Semua lingkaran di bidang (Misal gunakan x2 + y2 2Ax 2By + c =

0)

3. Dapatkan persamaan diferensial yang berhubungan dengan fungsi primitive

yang diberikan, dimana A dan B adalah konstanta sembarang :

a. Y = A ex + B

b. x = A sin (y + B)


Pertemuan Ketiga, Keempat, dan Kelima

P. D. Biasa

Orde Pertama Derajat Pertama

E. PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL-VARIABEL TERPISAH

Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0

Penyelesaian Umum PD adalah :

f(x) dx + g(y) dy = c, c adalah konstanta sembarang

Contoh.

Selesaikan PD berikut : x5 dx + (y + 2)2 dy = 0

Solusi

Karena variabel-variabelnya telah terpisah maka langsung diintegrasikan bagian

demi bagian :

x5 dx + (y + 2)2 dy = 0 1

6x6 +

1

3(y + 2)3 = k

x6 + 2(y + 2)3 = 6k atau x6 + 2(y + 2)3 = c, dimana c = 6k

Penyelesaian umum PD itu adalah x6 + 2(y + 2)3 = c

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : 9y

+ 4x = 0

F. REDUKSI KE VARIABEL-VARIABEL TERPISAH

Bentuk PD : f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0

Direduksi dengan faktor integral 1

g1(y)f2(x), menjadi :

f1(x)

f2(x) dx +

g2(y)

g1(y) dy = 0

Karena telah berubah menjadi PD variabel-variabel terpisah maka penyelesaian

umum PD adalah :

f1(x)

f2(x) dx +

g2(y)

g1(y) dy = c, c adalah konstanta sembarang

Contoh.

Selesaikan PD berikut : (1 + 2y) dx + (x 4) dy = 0

Solusi

Faktor integrasi = 1

(1+2)(4) sehingga PD tersebut tereduksi menjadi :

1

(1 + 2y)(x 4)[(1 + 2y)dx + (x 4)dy] = 0

4 +

1+2= 0

4 +

1+2= (gunakan rumus integrasi B.E)

ln |x 4| + ln |1 + 2y| = k

2 ln |x 4| + ln |1 + 2y| = 2k

ln (x 4)2 + ln (1 + 2y) = ln, dimana c = e2k


(x 4)2 (1 + 2y) = c

Penyelesaian umum PD adalah (x 4)2 (1 + 2y) = c

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :

a. xy dx + (1 + x2) dy = 0

b. (xy + x) dx + (xy y) dy = 0

c.

=

G. PERSAMAAN HOMOGEN

Suatu fungsi f(x, y) dikatakan homogen berderajat n jika f(x, y) = n f(x, y)

Pandang bentuk PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Syarat PD di atas dikatakan homogen jika M(x, y) dan N(x, y) adalah homogen

dan berderajat sama.

Langkah-langkah menentukan penyelesaian umum PD :

1. Gunakan transformasi : y = ux, dy = x du + u dx atau x = uy, dx = y du + u

dy

2. PD homogen tereduksi ke PD variabel-variabel terpisah

3. Gunakan aturan dalam PD variabel-variabel terpisah untuk mendapatkan

solusi umum PD

4. Gantilah u =

, jika menggunakan transformasi y = ux dan u =

, jika

menggunakan transformasi x = uy untuk mendapatkan kembali variabel

semula.

Contoh

Selesaikan PD berikut : 2x dy 2y dx = 2 + 42

Solusi

2x dy 2y dx = 2 + 42

(2y + 2 + 42) dx 2x dy = 0

Periksalah apakah homogen ?

M(x, y) = (2y + x2 + 4y2)

M(x,y) = 2y + 2

x2 + 42

y2

= (2y + x2 + 4y2 ) = . M(x, y)

N(x, y) = -2x

N(x, y) = -2 x = (-2x) = N(x, y)

Jadi PD di atas adalah PD homogen berderajat 1

Transformasi : y = ux, dy = u dx + x du

Bentuk PD berubah menjadi :

(2ux + x2 + 4u2x2) dx 2x(udx + xdu) = 0

x2 + 4u2x2 dx -2x2 du = 0

1 + 4u2 dx -2x2 du = 0


Dengan faktor integrasi : 1

21+ 42 PD tereduksi menjadi

1

2 1+ 42 (1 + 42 22 ) = 0

1

2

1+ 42 = 0

Dengan mengintegralkan, diperoleh solusi umum PD variabel-variabel terpisah

1

2

1+ (2)2 =

(Gunakan rumus integrasi B.W)

ln |x| - ln (2u + 1 + 42) = k

ln (2u + 1 + 42) = ln c + ln |x|, dimana c = ek

2u + 1 + 42 = cx

1 + 42 = cx 2u

1 + 4u2 = (cx -2u)2

1 + 4u2 = c2x2 4cxu + 4u2

1 + 4cxu c2x2 = 0

Untuk mendapatkan solusi umum PD homogen, gantilah u dengan

1 + 4cy c2x2 = 0

Penyelesaian umum PD homogen adalah : 1 + 4cy c2x2 = 0


a. (x + 2y) dx + (2x + 3y) dy = 0 b. (y2 x2) dx + xy dy = 0 c. (x3 + y3) dx + 3xy2 dy = 0

d. (1 + 2ex/y) dx + 2ex/y (1 -

)dy = 0

H. PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN M(x,y) DAN N(x,y) ADALAH LINIER TETAPI TIDAK HOMOGEN Bentuk PD : (ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0 Ada tiga kemungkinan yaitu :

1. a

p=

b

q=

c

r=

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD

a. Karena a

p=

b

q=

c

r= , maka gunakan transformasi px + qy + r = u, yang

berarti bahwa ax + by + c = u b. Bentuk PD menjadi : u dx + u dy = 0

dx + dy = 0 c. Tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah d. Penyelesaian PD : dx + dy = c

x + y = c, dimana c adalah konstanta sembarang

2. a

p=

b

q

c

r

Langkah-langkah mendapatkan PD :

a. Gunakan transformasi : px + qy = u, dy = dup dx

q atau dx =

duq dy

p

b. Misalnya a

p=

b

q= , maka ax + by = u

c. Bentuk PD menjadi (u + c) dx + (u + r)(dup dx

q) = 0, atau


(u + c)(dup dy

q) +(u + r) dy = 0

d. Tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah e. Gantilah u = px + qy untuk mendapatkan kembali variabel semula dalam

penyelesaian umum PD.

3. a

p

b

q

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD : a. Gunakan transformasi :

ax + by + c = u a dx + b dy = du px + qy + r = v p dx + q dy = dv diperoleh :

dx = |du bdv q

|

|a bp q

|=

q du b dv

aq bp

dy = |a dup dv

|

|a bp q

|=

a dv p du

aq bp

b. Bentuk PD menjadi :

u (q du b dv

aq bp) + v (

a dv p du

aq bp) = 0

Karena aq bp 0, maka : (qu pv) du + (av bu) dv = 0 Merupakan PD homogen

c. Selesaikan PD homogen tersebut dengan langkah-langkah yang tertera dalam C

d. Gantilah u dan v dengan transformasi semula untuk mendapatkan kembali variabel semula

Contoh

Selesaikan PD berikut : (2x 5y + 2) dx + (10y 4x 4) dy = 0

Solusi

Dari bentuk PD diperoleh bahwa :

a = 2, b = -5, c = 2, p = -4, q = 10, r = -2, sehingga : a

p=

b

q=

c

r=

1

2

Transformasi : 10y 4x 4 = u, maka 2x 5y + 2 = 1

2 u.

Bentuk PD berubah menjadi :

1

2 u dx + u dy = 0

1

2 dx + dy = 0

1

2 dx + dy = k

1

2 x + y = k

x - 2y = c, dimana (c = -2k)

Penyelesaian umum PD adalah : x 2y = c


a. (3x + 2y + 1) dx - (3x + 2y - 1) dy = 0

b.

=

++

c. (2x 5y + 3) dx (2x + 4y 6) dy = 0 d. (3y 7x + 7) dx + (7y 3x + 3) dy = 0


I. BENTUK PD : y.f(xy) dx + x.g(xy) dy = 0 Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD :

1. Gunakan transformasi : xy = z, y =

, dy =

2

2. Bentuk PD itu tereduksi ke bentuk PD variabel-variabel terpisah 3. Selesaikan PD baru ini dan gantilah z = xy untuk mendapatkan kembali

variabel semula Contoh Selesaikan PD berikut : (xy2 + y) dx + (x2y x) dy = a Solusi Bentuk PD di atas dapat ditulis dalam bentuk PD y(xy + 1) dx + x(xy 1) dy = 0 Transformasi z = xy

y = z

x, dy =

x dzz dx

x2

Bentuk PD tereduksi menjadi :

z

x (z + 1) dx + x (z 1) (

x dzz dx

x2) = 0

(z2 + z z2 + z) dx + x(z 1) dz = 0 2z dx + x(z 1) dz = 0

Dengan faktor integrasi 1

xz, PD tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah :

2

x dx +

z1

z dz = 0

2

x dx + (1

1

z) dz = 0

Dengan mengintegralkan bagian demi bagian akan diperoleh solusi umum PD variabel-variabel terpisah

21

dx + dz -

1

dz = k

2 ln |x| + z ln |z| = k

ln 2

= ln c1 e-z

x2 = z c1 e-z Gantilah z dengan yx untuk mendapatkan solusi umum PD semula

x2 = yxc1 e-xy

y = cx exy, dimana c = 1

1

Penyelesaian umum PD adalah y = cx exy Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :

a. Y(1 + 2xy) dx + x(1 xy) dy = 0 b. (xy2 + y) dx + (x + x2y + x3y2) dy = 0

J. PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK

Bentuk PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dikatakan PD eksak jika

=

mempunyai penyelesaian umum f(x, y) = c. Langkah-langkah menemukan suatu fungsi f(x, y)

1. Perhatikan bahwa : f

x = M(x, y) dan

f

y = N(x, y)

2. Integrasikan M(x, y) terhadap x dengan y tetap. f

xdx = M(x, y)dx

F(x, y) =M(x, y) dx + y Dimana y adalah fungsi sembarang dari y saja


3. Fungsi f(x, y) dalam langkah ke 2, didiferensialkan parsial terhadap y diperoleh ; f

y=

y [ M(x, y)dx] +

d

dy

4. Karena f

y = N(x, y) maka :

d

dy= N(x, y)

y [ M(x, y)dx] dari sini (y)

dapat diperoleh

5. (y) yang baru saja diperoleh disubstitusikan ke f(x, y) dalam langkah ke 2. Dengan deminkian f(x, y) = c diperoleh

Catatan Dari langkah ke 2 dapat diintegrasikan N(x, y) terhadap y dengan x tetap. Langkah selanjutnya adalah sama, hanya peranan x diganti y (atau sebaliknya) Contoh Selesaikan PD berikut : (x2 y) dx x dy = 0 Solusi

M = (x2 y),

= 1

N = -x,

= 1

Karena

= 1 =

maka PD eksak

F(x, y) = c

Karena

= M maka f(x, y) = x (x2 y) dx =

1

33 - yx + (y)

Dimana (y) adalah fungsi sembarang dari y saja. [x berarti integral terhadap x dengan y tetap] Langkah selanjutnya, mencari (y), dengan cara mendeferensialkan parsial

terhadap y dan diperoleh :

- x +

(y)

Karena

= N, maka x +

(y) = -x

(y) = 0

(y) = k (konstanta)

Sehingga f(x, y) = 1

33 - yx + k

= c

Penyelesaian umum PD eksak ini adalah 1

33 - yx = c


a. (x2 + y2) dx + 2 xy dy = 0 b. (2x + ey) dx + x ey dy = 0 c. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0 d. (x + y + 1) dx (y x + 3) dy = 0 e. (2x + 3y + 4) dx + (3x + 4y + 5) dy = 0

K. REDUKSI KE PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 adalah persamaan tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi (x, y) sedemikian sehingga PD : (x, y) [M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0 merupakan PD eksak maka fungsi (x, y) dinamakan faktor integrasi dari PD di atas.


Ada beberapa jenis factor integrasi antara lain :

1. Jika

= f(x) suatu fungsi dari x saja, maka ef(x) dx adalah suatu faktor

integrasi PD itu.

2. Jika

= - g(y) suatu fungsi dari g saja, maka eg(y) dy adalah suatu

factor integrasi dari PD itu. 3. Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 merupakan PD homogen dan xM + yN 0,

maka 1

+ adalah suatu faktor integrasi PD tersebut.

4. Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dapat ditulis didalam bentuk y f(xy) dx + x

g(xy) dy = 0 dimana f(xy) g(xy), maka 1

adalah suatu faktor integrasi

PD itu. 5. Persamaan xp yq (my dx + nx dy) + xr ys (uy dx + vxd y) = 0 dimana p, q, r,

s, m, n, u, v, adalah konstanta dan mv nu 0 mempunyai faktor integrasi berbentuk .

6. Faktor integrasi yang lain biasanya ditentukan dengan cara mencoba-coba sedemikian sehingga pada kelompok bagian tertentu dapat menjadi diferensial eksak. Misalnya

Kelompok bagian Factor integrasi Diferensial eksak

(x dy y dx) 1

2

2= (

)

(x dy y dx) 1

2

2= (

)

Dan seterusnya Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD 1. Periksa dahulu apakah PD nya merupakan PD eksak. Kalau merupakan PD

eksak pakailah langkah J. Kalau bukan merupakan PD eksak, carilah faktor integrasi yang cocok agar PD semula dapat tereduksi ke PD eksak

2. Apabila faktor integrasi yang cocok tersebut adalah salah satu dari jenis 1 jenis 4, maka pakailah langkah J untuk menentukan penyelesaian umum PD

3. Apabila menggunakan faktor integrasi jenis 5, maka ada prosedur tersendiri yaitu mencari diferensial eksak dari kelompok bagian pertama dan kedua

untuk mendapatkan harga dan Faktor integrasi yang diperoleh yaitu setelah dan disubstitusikan pada akan mereduksi PD semula (tidak eksak) menjadi PD eksak. Gunakan langkah J

4. Apabila menggunakan faktor integrasi coba-coba, maka tidak ada prosedur tertentu hanya pada dasarnya PD semula menjadi lebih sederhana dan mudah diselesaikan.

Contoh Selesaikan PD berikut : (2y x3) dx + x dy = 0 Solusi

M = 2y x3 ,

= 2

N = x,

= 1

Karena

maka merupakan PD tidak eksak

Selanjutnya mencari faktor integrasi yang dapat meredaksi PD tidak eksak menjadi PD eksak


M

y

N

x

N =

21

=

1

= f(x) maka factor integrasinya adalah e

1

dx = eln|x| = x

Selanjutnya PD semula tereduksi menjadi x[(2y x3) dx + x dy] = 0 (2xy x4) dx + x2 dy = 0 Dari persamaan ini, berarti bahwa :

M = 2xy x4,

= 2

N = x2,

= 2

Karena

=

, maka PD yang telah tereduksi ini merupakan PD eksak.

Untuk mendapatkan solusi umum PD ini dapat digunakan langkah J F(x, y) = c

Karena

= M maka f(x, y) = x (2xy x4) dx

= x2y - 1

5x5 + (y)

Fungsi (y) dicari dengan mendeferensialkan parsil fungsi f(x, y) ini terhadap y

= 2 +

()

Karena

= maka x2 +

() = x2

() = 0

() = k (konstanta)

Sehingga f(x, y) = x2y - 1

5x5 + k

c Solusi umum PD eksak ini adalah merupakan solusi umum PD semula yang direduksi ke PD eksak

Penyelesaian umum PD semula adalah x2y - 1

5x5 = c

L. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA

Bentuk PD :

+ y P(x) = Q(x)

Persamaan ini mempunyai factor integrasi ep(x) dx Penyelesaian umum PD ini adalah : y e p(x) dx = Q(x) ep(x) dx dx + c Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD : 1. Tentukan factor integrasi 2. Dapatkan penyelesaian umum PD dengan melakukan integrasi pada ruas

kanan dari bentuk penyelesaian umum PD di atas. Contoh

Selesaikan PD berikut :

+ y = 2 + 2x

Solusi Dari sini : P(x) = 1, Q(x) = 2 + 2x Factor integrasi ep(x) dx = edx = ex Solusi umum PD linier orde satu ini adalah : Y . ex = (2 + 2x) ex dx = 2ex dx + 2 xex dx (gunakan rumus integrasi) = 2 ex + 2[xex - ex dx] = 2 ex + 2 xex 2ex + c = 2x ex + c y = (2x ex + c) e-x

Penyelesaian umum PD adalah : y = 2x + c e-x


M. PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI N. TRAYEKTORI O. TUGAS MANDIRI

Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung : 4. Y = C e-4x, C adalah konstanta sembarang 5. Y = A sin 3x + B cos 3x, A dan B adalah konstanta sembarang 6. Y = x3 + A x2 + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarang Solusi 4. Karena hanya ada satu konstanta sembarang C, maka dibutuhkan 2

persamaan untuk mengeliminasi C tersebut dan order tertinggi dari turunannya adalah satu Persamaan 1 : y = C e-4x, turunkan terhadap x, diperoleh

Persamaan 2 : y = dy

dx= 4 Ce4x

Dari persamaan 1, C = y e4x. Maka persamaan 2 menjadi : dy

dx= 4 y e4xe4x sehingga

dy

dx= 4 y

Jadi persamaan diferensial yang dicari adalah : dy

dx+ 4y = 0

5. Karena ada 2 konstanta sembarang (A dan B) maka dibutuhkan tiga persamaan

untuk mengeliminasi A dan B serta order tertinggi dari turunannya adalah dua. Persamaan 1 : y = A sin 3x + B cos 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 2 : dy

dx = 3A cos 3x 3B sin 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 :

= -9A sin 3x 9B cos 3x

Dari persamaan 1 dan 3 didapatkan bahwa d2y

dx2 + 9y = 0

6. Karena ada 3 konstanta sembarang (A, B, dan C) Maka dibutuhkan empat persamaan untuk mengeliminasi A, B dan C serta order tertinggi dari turunannya adalah tiga Persamaan 1 : y = x3 + Ax2 + Bx + C, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 2 : dy

dx = 3x2 + 2Ax + B, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 : d2y

dx2 = 6x + 2A, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 4 : d3y

dx3 = 6

Jadilah persamaan diferensial yang dicari adalah d3y

dx3 = 6

P. TUGAS MANDIRI 4. Carilah persamaan diferensial dari r = a(1 cos), jika a adalah konstanta

sembarang 5. Carilah persamaan diferensial dari :

d. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r tetap yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x c)2 + y2 = r2 )

e. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r berubah (variable) yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x c)2 + y2 = r2 )

f. Semua lingkaran di bidang (Misal gunakan x2 + y2 2Ax 2By + c = 0) 6. Dapatkan persamaan diferensial yang berhubungan dengan fungsi primitive yang

diberikan, dimana A dan B adalah konstanta sembarang : c. Y = A ex + B d. X = A sin (y + B)

persamaan-diferensial

Documents

Transcript of persamaan-diferensial