PERSAMAAN DEFERENSIAL

Oleh :

Kelompok I

I Gede Abdi Candra Sasmitha (1404105012)

Putu Gusandy Suryawan (1404105015)

Kadek Dwi Febri Candra Kusuma (1404105016)

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Udayana

Bukit Jimbaran

2015

PERSAMAAN DEFERENSIAL

1. Pengenalan Persamaan Deferensial

dydx

=x+2............................................................................ (1)

d2 yd x2 +5

dydx

+6=0................................................................ (2)

x y'+ y=6........................................................................... (3)

y ' ' '+2 y ' '2+ y '=cosx........................................................... (4)

y ' '=√ y '+sin x.................................................................... (5)

y y '+2 x= y

y ' ....................................................................... (6)

∂ z∂ x

=z+x∂ z∂ y

...................................................................... (7)

∂2 z∂ x2 + ∂2 z

∂ y2 =x2+ y............................................................... (8)

1.1 Pengertian

Persamaan deferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Atau yang lebih mudah dimengerti, persamaan deferensial adalah suatu persamaan yang memuat fungsi dan turunan-turunanya atau deferensialnya.

1.2 Orde (Tingkat)

Orde pada persamaan deferensial adalah tingkat derefatif tertinggi dalam persamaan deferensial tersebut. Persamaan (1,3,6,7) biasa disebut persamaan deferensial berorde satu, persamaan (2,5,8) disebut persamaan deferensial berorde dua, persamaan (4) disebut persamaan deferensial berorde tiga. Secara umum persamaan deferensial berorde n dapat dituliskan sebagai berikut

F [ t , y , y ' , …, y(n )]=0

Contoh lainnya

y ' ' '+2 e t+ y ' '+ y y '=t 4

1.3 Derajat (Pangkat)

Derajat pada persamaan deferensial adalah pangkat tertinggi yang terlibat dalam persamaannya. Persamaan (1,3,6,7) disebut persamaan deferensial berorde 1 derajat 1,

persamaan (4) disebut persamaan deferensial berorde 3 derajat 2 dan persamaan (5) disebut persamaan deferensial berorde 2 derajat 2.

2. Jenis-Jenis Persamaan Deferensial

Persamaan deferensial dibagi menjadi dua yaitu :

a. Persamaan deferensial biasa

Persamaan deferensial biasa adalah persamaan deferensial yang terdapat satu variable bebas dan satu variable tak bebas. Persamaan (1,2,3,4,5,6) merupakan persamaan deferensial biasa karena didalam persamaan tersebut terkandung satu variable bebas dan satu variable tak bebas.

b. Persamaan deferensial parsial

Persamaan deferensial parsial adalah persamaan deferensial yang terdapat lebih dari satu variable bebas dan satu variable tak bebas. Persamaan (7 dan 8) merupakan persamaan deferensial parsial karena didalam persamaan tersebut terkandung satu variable bebas dan satu variable tak bebas.

3. Solusi Persamaan Deferensial

Perhatikan persamaan berikut:

y=A cos x+B sin x

dimana A dan B merupakan konstanta sembarang. Kemudian persamaan tersebut diturunkan dua kali diperoleh :

dydx

=−A sin x+B cos x dan d2 yd x2 =−A cos x−B sin x

konstanta A dan B di eliminasi dari tiga persaman sebagai berikut :

d2 yd x2 =−Acos x−B sin x=−( A cos x+B sin x )

d2 yd x2 =− y

d2 yd x2 + y=0

y=A cos x+B sin x merupakan penyelesaian (solusi) umum dari persamaan deferensial

d2 yd x2 + y=0. Begitu sebaliknya

d2 yd x2 + y=0 merupakan persamaan deferensial yang deperoleh dari

persamaan (solusi) umum.

Jika konstanta sembarang pada penyelesaian (solusi) umum diubah dengan konstanta tertentu maka diperoleh penyelesaian (solusi) khusus.

contoh :

y=cos x+sin x adalah penyelesaian khusus dari persamaan deferensial d2 yd x2 + y=0.

Jadi Solusi umum adalah solusi yang khususnya pada persamaan deferensial biasa yang masih mengandung kostanta yang tidak bernilai. Solusi khusus adalah solusi pada persamaan deferensial biasa yang sudah mengandung konstanta yang bernilai akibat adanya syarat yang berlaku pada persamaan deferensial tersebut.

Contoh Soal :

1. Dari y=A e2 x+B ex+C cari persamaan deferensial, dimana A,B dan C konstanta sembarangPenyelesaian :

y=A e2 x+B ex+C …… .. (1 )y '=2 A e2x+B ex ………. (2 )y ' '=4 A e2 x+B ex ……… .. (3 )y ' ' '=8 A e2 x+B ex ……….. ( 4 )(4 )− (2 )→ y ' '− y '=2 A e2 x . …. (5 )(4 )− (3 )→ y ' ' '− y ' '=4 A e2 x … (6)substitusi (5) ke (6) → y ' ' '− y ' '=2( y ' '− y ')diperoleh persamaan deferensial y ' ' '−3 y ' '+ y '=0

2. Buktikan bahwa y=2 x+C e x adalah penyelesaian umum dari persamaan deferensial dydx

− y=2 (1−x )

Penyelesaian :

y=2 x+C e x →dydx

=2+C ex

Persamaan Deferensialdydx

− y=2 (1−x )

2+C ex−2 x−C ex=2−2x

4. Latihan Soal

i. Buktikan bahwa ( y−c)2=cx adalah solusi umum dari persamaan deferensial

4 x (dydx

)2

+2 xdydx

− y=0!

ii. Tentukan order dan derajat dari persamaan x2 d2 yd x2 +x ( dy

dx)

2

+4 y=sin x ;

y ' ' ' '+ y ' 3+ y4=13 x . ! (Nb: Diumpamakan persamaan tersebut dapat diselesaikan)

iii. Temukan nilai r dari persamaan y '+2 y=0 dengan diberikan y=ert!