Persamaan Dan Fungsi Eksponen

PERSAMAAN DAN FUNGSI EKSPONEN

1

http://www.pdfonline.com/easypdf/?gad=CLjUiqcCEgjbNejkqKEugRjG27j-AyCw_-AP


2

I. PERSAMAAN EKSPONEN

A. Persamaan Eksponen.Persamaan eksponen adalah persamaan yang peubahnya berfungsi sebagai eksponen (pangkat) dari suatu bilangan berpangkat.Contoh : 1). 2x+2 = 8 2). 3x+1 = 4x+1 3). (x-3)x+2 = (x-3)4x-3

Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, yaiut sebagai berikut :1. af(x) = 12. af(x) = ap

3. af(x) = ag(x)

4. af(x) = bf(x)

5. af(x) = bg(x)

6. f(x)g(x) = f(x)h(x)

7. f(x)g(x) = h(x)g(x)

8. f(x)g(x) = 19. A.(af(x))2 + B.(af(x)) + C = 0

Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen perlu diingat sifat-sifat perpangkatan sebagai berikut :

1. nmnm aaa .

2. nmn

m

aa

a

3. nmnm aa .)(

4. nnn baba .).(

5. n

nn

b

a

b

a)(

6. n mn

m

aa

7. m

m

aa

1

8. 10 a

Sifat-sifat lain yang perlu diingat sebagai dasar penyelesaian persamaan eksponen adalah :

1. Jika am = an dan a 0 , maka m = n.2. Jika am = bm dengan a dan b bilangan positif dan a b 1 , maka m = 0

B. Macam-macam Persamaan Eksponen

1. Bentuk 1)( xfaa. Tentukan himpunan

penyelesaian dari persamaan

13 652

xx

Penyelesaian :

32

0)3)(2(

065

33

13

2

065

65

2

2

xataux

xx

xx

xx

xx

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,3}.

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

14 93 x

Penyelesaian :

3

93

093

44

14093

93

x

x

x

x

x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }.



3

2. Bentuk pxf aa )(

a. Tentukan himpunan penyelesaiann dari persamaan

273 14 x

Penyelesaian :

1

44

314

33

273314

14

x

x

x

x

x


b. Tentukan himpunan penyelesaian

dari persamaan 27

14 x

Penyelesaian :

2

12

52

382

33

3)3(

27

19

382

342

4

x

x

x

x

x

x

Jadi himpunan penyelesaiannya

adalh { 22

1}.

3. Bentuk )()( xgxf aa

a..Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 12 6416 xx

Penyelesaian :

1

1

4332

3342

44

)4()4(

6416

3342

1322

12

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }

b..Tentukan himpunan peyelesaian dari

persamaan 143 932 xxx

Penyelesaian :

32

0)3)(2(

065

02423

2243

33

)3(3

93

2

2

2

2243

1243

143

2

2

2

xataux

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{-2,-3}



4

4. Bentuk )()( xfxf ba

a. Tentukan himpunan

penyelesaian dari persamaan 33 73 xx

Penyelesaian :

3

03

73 33

x

x

xx


b. Tentukan himpunan penyelesaian

dari persamaan 4545 22

87 xxxx

Penyelesaian:

41

0)4)1(

045

872

4545 22

xataux

xx

xx

xxxx

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1,4 }

5. Bentuk )()( xgxf ba

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

1213 35 xx

Penyelesaian :

3log25log3

3log5log

3log5log)3log25log3(

3log5loglog25log3

3log3log25log5log3

3log)12(5log)13(

3log5log

351213

1213

x

x

xx

xx

xx

xx

xx


adalah

3log25log3

3log5logx

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 11 32 xx

Penyelesaian :

3log2log

3log2log

3log2log)3log2(log

3log2log3log2log

3log3log2log2log

3log)1(2log)1(

3log2log

3211

11

x

x

xx

xx

xx

xx

xx


adalah

3log2log

3log2logx



5

6. Bentuk )()( )()( xhxg xfxf

Persamaan eskponen bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x) mempunyai beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu :

a. f(x) = 1b. g(x) = h(x)c. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) sama-sama genap atau f(x) dan h(x)

sama-sama ganjil.d. f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) sama-sama positif.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3295 )1()1(2 xxx xx

Penyelesaian yang mungkin :a. f(x) = 1 (x-1) = 1 x = 2b. g(x) = h(x) x2 - 5x + 9 = 2x - 3 x2 – 5x – 2x + 9 + 3 = 0 x2 – 7x +12 = 0 (x – 4)(x – 3) = 0 x = 4 atau x = 3c. f(x) = -1 (x – 1) = -1 x = 0 syarat : untuk x = 0 g(0) = 02 – 5.0 + 9 = 9 (ganjil) h(0) = 2.0 – 3 = -3 (ganjil) g(x) dan h(x) sama-sama ganjil , Jadi x = 0 adalah penyelesaian.d..f(x) = 0 (x – 1) = 0 x = 1 syarat : untuk x = 1 g(1) = 12 – 5.1 + 9 = 1- 5 + 9 = 5 (positif) h(1) = 2.1 – 3 = 2 – 3 = -1 (negatif) g(x) positif dan h(x) negatif, jadi x = 1 bukan penyelesaian.Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 3, 4}

7. Bentuk )()( )()( xgxg xhxf

Persamaan bentuk f(x)g(x) = h(x)g(x) mempunyai beberapa kemungkinan penyelesai-an yaitu :

a. f(x) = h(x)b. g(x) = 0 dengan syarat f(x) dan h(x) 0

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

2222 )6()132( xx xxxxPenyelesaian yang mungkin adalah :a. f(x) = h(x) 2x2 – 3x + 1 = x2 + x + 6

2x2 – x2 – 3x – x + 1 – 6 = 0 x2 – 4x -5 = 0 (x + 1)(x – 5) = 0 x = -1 atau x = 5



6

b. g(x) = 0 x -2 = 0 x = 2 syarat : untuk x = 2 f(2) = 2.22 – 3.2 + 1 = 8 – 6 + 1 = 3 0

h(2) = 22 + 2 + 6 = 4 + 2 + 6 = 12 0 f(x) dan h(x) 0 , jadi x = 2 adalah penyelesaian. Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 2 , 5}

8. Bentuk 1)( )( xgxf

Persamaan eksponen bentuk f(x)g(x) = 1 mempunyai beberapa kemungkinan penye-lesaian yaitu :

a. g(x) = 0 dengan syarat f(x) 0.b. f(x) = 1c. f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 1)1( )4(2 2

xxx

Penyelesaian yang mungkin adalah :a. g(x) = 0 x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = 2

syarat : untuk x = 2 f(2) = 22 + 2 – 1 = 4 + 2 – 1 = 5 0 untuk x = -2 f(-2) = (-2)2 + (-2) – 1 = 4 – 2 – 1 = 1 0f(x) 0 , jadi 2 dan -2 adalah penyelesaian.

b. f(x) = 1 x2 + x – 1 = 1 x2 + x – 1 – 1 = 0 x2 + x – 2 = 0 (x - 1)(x + 2) = 0 x = 1 atau x = -2

c. f(x)= -1 x2 + x – 1 = -1 x2 + x – 1 + 1 = 0 x2 + x = 0 (x + 1)x = 0 x = -1 atau x =0

syarat : untuk x = -1 g(-1) = (-1)2 – 4 = 1 – 4 = -3 (ganjil), jadi x = -1 bukan penyelesaian.

Untuk x = 0 g(0) = 02 – 4 = 0- 4 = -4 (genap), jadi x = 0 adalah penyelesaian.

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 1 , 2}

9. Bentuk 0,0)().( )(2)( AdenganCaBaA xfxf

Bentuk persamaan ini dapat diselesaikan dengan mengubah ke bentuk persamaan kuadrat dalam af(x).



7

Contoh :

a..Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 42x + 4x – 2 = 0.

b. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x + 2x+1 = 8

Penyelesaian:42x + 4x – 2 = 0 (4x)2 + 4x – 2 =misal y = 4x, diperoleh persamaan :y2 + y – 2 = 0 (persamaan kuadrat dalam y) (y + 2)(y -1) = 0 y = -2 atau y = 1untuk y = -2 4x = - 2 (tidak ada penyelesaian)untuk x = 1 4x = 1 x = 0Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0 }

Penyelesaian :4x + 2x+1 = 8 (22)x + 2x.21 – 8 = 0 (2x)2 + 2.2x – 8 = 0misal y = 2x, diperoleh persamaan y2 + 2y – 8 = 0 (persamaan kuadrat dalam y) (y + 4)(y – 2) = 0 y = -4 atau y = 2untuk y = -4 2x = -4 (tidak ada penyelesaian)untuk y = 2 2x= 2 x = 1.Jadi himpunan penyelesaianya adalah { 1 }.

SOAL LATIHAN:1. Tentukan himpunan penyelesaian

dari persamaan :a. 14 63 x

b. 13 652

xx

c. 18 1032

xx

d. 17 1522

xx

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan :a. 3x-4 = 5x-4

b. 352352 22

64 xxxx

c. 8686 22

65 xxxx

d. 8282 22

32 xxxx

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan :

a. 27

13 12 x

b. 8

12 42

xx

c. 125

15 552

x

3. Tentukan himpunan penyelesaian

5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan. a. 523 )12()12( xx xx

b. 623 2

)5()5( xxx xx

c. 47312 22

)52()52( xxxx xx

dari persamaan :a. 5342 33 xx

b. 2443 22

44 xxxx

c. 41

644

12

x

xx

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan :

a. 1212 22

)5()35( xx xxxx

b. 3232 )3()52( xx xxxx



8

d. 3 33 162 xx

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan . a. 1)3( 62 xx

b. 1)13( 52 xxx

8..Tentukan nilai x yang memnuhi persama-an :

a. 25x + 5x+1 – 6 = 0b. 5x + 51-x = 6c. 2x+1 + 22x+3 = 36d. 9x + 3x+1 – 4 = 0e. 22x+3 – 17.2x + 2 = 0f. 22x – 2x+1 = 8

c. 1)34( 22 xxx

d. 1)52( 672

xxx

e. 1)5515( 42 2

xxx

f. 1)2911( 22 xxx

II. FUNGSI EKSPONEN

A. Fungsi Eksponen.Bentuk umum fungsi eksponen adalah f(x) = k.af(x), a > 0 dan a 1.1. Bila fungsi f(x) = k.af(x) , dengan a > 1 , a Q, dan x R, maka fungsi f(x) disebut fungsi naik.2. Bila fungsi f(x) = k.af(x), dengan 0 < a < 1, a Q dan x R, maka fungsi f(x) dise-

but fungsi turun. Grafik fungsi eksponen berupa garis lengkung yang selalu memotong sumbu Y di titik (0,1) dan selalu berada di atas sumbu X. Perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh :2. Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2x, untuk -3 x 3 !

f(x) = k.axf(x) = k

x

a

1



9

Penyelesaian : Fungsi eksponen y = f(x) = 2x

x -3 -2 -1 0 1 2 3y = 2x

8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

3. Gambarkan grafik fungsi f(x) = x

2

1, untuk -3 x 3 !

Penyelesaian :

Fungsi eksponen y = f(x) = x

2

1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = x

2

1 8 4 2 1

2

1

4

1

8

1

y = 2x

y = x

2

1



10

B. Pertidaksamaan Eksponen Dari grafik fungsi eksponen di atas tampak bahwa : 1..Untuk a > 1. Bila af(x) ag(x), maka f(x) g(x). Bila af(x) ag(x), maka f(x) g(x). 2..Untuk 0 < a < 1. Bila af(x) ag(x), maka f(x) g(x). Bila af(x) ag(x), maka f(x) g(x).

Contoh:

1..Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 24x-7 > 8 !

Penyelesaian : 24x-7 > 8 24x-7 > 23, karena a = 2, a > 1 , maka : 4x – 7 > 3 4x > 10 x > 2 ½Jadi nilai x yang memenuhi adalahx > 2½

2..Tentukan batas-batas nilai x yang meme-

nuhi pertidaksamaan 3243

2

1

2

1

xx

Penyelesaian :3243

2

1

2

1

xx

, karena a = ½ dan 0<a< 1

maka :3x + 4 > 2x – 3 3x – 2x > -3 – 4 x > -7Jadi batas nilai x yang memenuhi adalahx > -7

3..Tentukan batas-batas nilai x yang me memnuhi pertidaksamaan

223 1622 xxx

Penyelesaian :

223 1622 xxx

2423 )2(22 xxx

8423 22

2 xxx ( a = 2 , a > 1)

maka :x2 + 3x – 2 4x – 8 x2 + 3x – 4x - 2 + 8 0 x2 – x – 6 0 (x +2)(x-3) 0

+ + + + + + - - - - - + + + + + + -2 3Jadi batas nilai x adalah -2 x 3

4..Tentukan batas-batas nilai x yang meme-

nuhi pertidaksamaanxxx 26

2

1

2

12

Penyelesaian :

xxx 26

2

1

2

12

( a = ½ , 0 < a < 1)

maka :x2 – x < 6 – 2x x2 – x + 2x – 6 < 0 x2 + x – 6 < 0 (x + 3)(x – 2) < 0

+ + + + + + - - - - - - - + + + + + +

-3 2Jadi batas nilai x yang memenuhi adalah X -3 atau x 2.



11

SOAL-SOAL LATIHAN1..Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut dengan interval {x /-3 x 3} a. f(x) = 3x b. f(x) = 2x+1

c. f(x) = (½)x+1 d. f(x) = x

3

1

2..Tentukan batas-batas nilai x yang me memnuhi pertidaksamaan :

a. 163x+2 64x-1

b. 13 62

xx

c. 32x+1 +5.3x < 2d. 22x – 2x+1 > 8

4..Tentukan himpunan penyelesaian dari per tidaksamaan : a. 3x-3 < 93

b. 37x < 22

9 x

c. 81x < 2213 x

d. 9.3x-7 243x-1

e. x

xx

25

15 62

5..Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :

3..Tentukan batas-batas nilai x yang me menuhi pertidaksamaan :

a. 232

2

1

4

1

xx

b. 123

2

1

4

1

xx

c. 27

1

3

1942

xx

d. 514

5

1

5

12

xxx

a. 749

17 6 x

b. 53 28 xx

c. 912

55

12

x

xx

d. 93.23.3

1 2

xx

e. 14 1582

xx

f. 5x + 51-x < 6

D..Penerapan Fungsi Eksponen. Fungsi eksponen dapat diterapkan dalam beberapa permasalahan di anataranya adalah Masalah pertumbuhan dan penluruhan (penyusutan). 1..Pertumbuhan.

Pertumbuhan adalah berkembangnya suatu keadaan yang mengalami penambahan atau kenaikan secara eksponensaial. Peristiwa yang termasuk dalam pertumbuhan adalah pertambahan penduduk, perhitungan bunga majemuk di bank dan lain-lain.Bila kekadaan awal dinyatakan dengan M, laju pertumbuhan dinyatakan dengan i dan lamanya pertumbuhan dengan n, maka keadaan setlah n periode adalah :

Mn = M(1 + i)n

Contoh :1) Amir menabung uang di bank sebesar Rp 500.000,00 dengan bunga majemuk

sebesar 5% setahun. Berapa uang Amir setelah 3 tahun ?

Penyelesaian :Modal awal + M = 500.000,00, sukun bungan = i = 5% = 0,05, periode = n = 3



12

Mn = M(1 + i)n

M3 = 500.000,00(1 + 0,05)3

= 500.000,00(1,05)3

= 500.000,00(1,157625) = 578.812,50Jadi uang Amir setelah 3 tahun sebesar Rp 578.812,50.

2).Suatu modal sebesar Rp 1.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk denga

suku bunga 4% tiap empat bulan. Tentukan besarnya modal itu setelah dibungakan selama 3 tahun ?

PenyelesaianModal = M = 1.000.000,00, suku bunga i = 4% tiap 4 bulan , karena periodenya tiap 4 bulan, maka dalam 1 tahun ada 3 peride, 3 tahun ada 9 periode dengan demikian n = 9

Mn = M(1 + i)n

M9 = 1.000.000,00(1 + 0,04)9

= 1.000.000,00(1,04)9

= 1.000.000,00(1,42) = 1.420.000,00Jadi besarnya modal setelah 3 tahun adalah 1.420.000,00

3).Banyak penduduk suatu kota mula-mula 600.000 jiwa. Banyak penduduk kota itu setelah n tahun adalah Pn = P(1,2)(0,1)n. Tentukan banyak penduduk kota itu setelah 10 tahun !.

Penyelesaian :P = 600.000 n = 10Pn = P(1,2)(0,1)n

P10 = 600.000(1,2)(0,1)10

= 600.000(1,2)1

= 600.000(1,2) = 720.000Jadi seteleh 10 tahun penduduk kota itu sebanyak 720.000 jiwa.

2.. Peluruhan (Penyusutan).Peluruhan (penyusutan) adalh berubahnya suatu keadaan yang mengalami pengurangan (penyusutan) secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan (penyusutan) diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif, penyusutan harga suatu barang, dan lain-lain.Bila keadaan awal dinyatakan dengan M , laju peluruhan (penyusutan) dengan i dan lamanya peluruhan (penyusutan) dengan n, maka keadaan setelah n periode dinyatakan dengan :

Mn = (1 – i)n



13

Contoh : 1). Sebuah mobil dengan harga Rp 30.000.000,00 tiap-tiap tahun ditaksir harganya menyusut 10%. Berapa harga mobil setelah 4 tahun ?

Penyelesaian :M = Rp 30.000.000,00, i = 10 = 0,1, n = 4

Mn = M(1 –i)n

M4 = 30.000.000(1 – 0,1)4

= 30.000.000(0,9)4

= 30.000.000(0,6561) = 19.683.000

Jadi harga mobil setelah 4 tahun adalah Rp 19.683.000,00

2). Kadar radioaktif mineral mluruh secara eksponensial dengan laju perluruhan 8% setiap jam. Berapa persenkah kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam ?

Penyelesaian:Jika kadar radioaktif mula-mula M, maka kadar radioaktif mineral setelah 3 jam adalah M3 = M(1 – i)3, dengan i = 8% = 0,08 = M(1 – 0,08)3

= M(0,92)3

= M(0,778688)Jadi setelah 3 jam kadar radioaktif mineral tinggal (0,778688) x 100% = 77,8688%

SOAL-SOAL LATIHAN.

1.. Ahmad menabung di bank sebesar Rp 200.000,00. Bank memberikan bunga majemuk sebesar 2% perbulan. Tentukan besarnya uang Ahmad setelah 8 bulan !

2.. Ratna menabung sejumlah uang di bank dengan suku bunga 20% pertahun. Agar dalam waktu 3 tahun uang Ratna menjadi Rp 345.600,00. Berapa besar Ratna harus menabung pada awal tahun ?

4. Sebuah sel membelah menjadi 6 sel setiap 30 detik. Jika ada 2 sel yang membelah, tentukan banyak sel hasil pembelahan setelah 2 menit ?

4. Pertumbuhan penduduk suatu kecamatan berjalan secara eksponensial dengan laju pertumbuhan 2% pertahun. Pada awal tahun 1992 banyak penduduk kecamatan itu 200.000 jiwa. Tentukan banyak penduduk kecamatan tersebut pada :

a. awal tahun 1996 b. akhir tahun 1997

5.. Suatu koloni serangga populasinya berlipat dua dalam waktu 8 hari. Apabila sekarang terdapat serangga sebanayk 4.000 dalam koloni itu. Berapa banyak serangga : a. 16 hari yang lalu b. 24 hari yang akan datang.



14

6.. Sebuah sepeda motor dibeli dengan harga Rp 7.200.000,00. Setiap tahun harga sepeda motor tersebut menyusut 15% dari harga pada akhir tahun sebelumnya. Berapa harga sepeda motor tersebut setelah 4 tahun ?

7.. Harga suatu mesin elektronik sebesar Rp 1.000.000,00 tiap-tiap tahun menyusut 10%. Tentukan harga mesin elektronik tersebut setelah tahun ke empat !

8.. Arus Io ampere berkurang menjadi I ampere setelah t detik menurut rumus I = Io.2-t. Jika Io = 16 ampere. Setelah berapa detik arus berkurang menjadi 2 ampere ?

9.. Suatu zat radioaktif meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 25% setiap jam. Tinggal berapa persen kadar radioaktif itu setelah 6 jam ?

10.. Sepotong logam pana mendingin secara eksponensial menurut rumus T = To.2-1,2t. Dalam hal ini T adalah selisih suhu logam dengan suhu udara sekitar mula-mula. Diketahui suhu logam dan suhu udara sekitar mula-mula adalah 360o C dan 30oC. Tentukan suhu logam setelah : a. 5 menit b. 10 menit.



15

DAFTAR PUSTAKA

1. PR Matematika Kelas II SMU 2c, 1999, Basuki Hidayat, M.Mukti Aji, Intan Pariwara.

2. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri A, Fatah Ashari, dkk, Epsilon Group Bandung, 1991

3. Matematika Kels XII Program Studi Ilmu Alam, 2005, Kartini, dkk, Intan Pariwara.4. Matematika SMA Program ilmu-ilmu Fisik dan Ilmu-ilmu Biologi, 1991, Al

Krismanto, Intan Pariwara


Persamaan Dan Fungsi Eksponen

Documents

Transcript of Persamaan Dan Fungsi Eksponen