Permasalahan Garis Singgung dan Kecepatan

Permasalahan Garis Singgung

Apa yang dimaksud garis singgung?

Garis Singgung?

(a) (b)

𝑡𝑡𝐶𝐶

𝑡𝑡

𝑠𝑠

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 pada titik 𝑃𝑃 1, 1 .

𝑃𝑃 1, 1

0

𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

𝑥𝑥

𝑦𝑦

Garis Potong

Gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄adalah

𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1

Misalkan, untuk 𝑥𝑥 = 1,5:

𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =1,5 2 − 11,5 − 1

= 2,5

𝑃𝑃 1, 1

0

𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

𝑥𝑥

𝑦𝑦

𝑅𝑅

𝑡𝑡

Pendekatan Gradien

𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷

2 31,5 2,51,1 2,11,01 2,011,001 2,001

𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷

0 10,5 1,50,9 1,90,99 1,990,999 1,999

Berdasarkan tabel di samping, maka gradien garis singgung parabola adalah

𝑚𝑚 = lim𝑃𝑃→𝑃𝑃

𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃

dan

𝑚𝑚 = lim𝑥𝑥→1

𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1

= 2

Persamaan Garis Singgung

Berdasarkan investigasi sebelumnya diperoleh gradien garis singgung 𝑚𝑚 = 2 dan melalui titik 𝑃𝑃 1, 1 . Maka, persamaan garis singgung tersebut adalah𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1𝑦𝑦 − 1 = 2 𝑥𝑥 − 1𝑦𝑦 − 1 = 2𝑥𝑥 − 2

𝑦𝑦= 2𝑥𝑥 − 1

𝑃𝑃 1, 1

0

𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

𝑥𝑥

𝑦𝑦

1−1−1

1

Ilustrasi Proses Limit

Permasalahan Kecepatan

Bagaimana mendefinisikan kecepatan sesaat?

Contoh 2

Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari puncak Gama Tower di Jakarta, 290 meter di atas permukaan tanah. Tentukan kecepatan bola tepat setelah 5 detik dijatuhkan.

Kecepatan

Jarak 𝑠𝑠 yang telah ditempuh bola setelah jatuh 𝑡𝑡 detik dapat dirumuskan

𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 4,9𝑡𝑡2

Rumus kecepatan rata-rata adalah

kecepatan rata−rata =perubahan posisi

waktuBerapakah kecepatan bola tepat ketika 𝑡𝑡 = 5 detik?

Pendekatan Kecepatan Sesaat

Kecepatan rata-rata ketika 𝑡𝑡 = 5 detik sampai 𝑡𝑡 = 5,1:

kecepatan rata-rata = perubahan posisiwaktu

=𝑠𝑠 5,1 − 𝑠𝑠 5

5,1 − 5

=4,9 5,1 2 − 4,9 5 2

5,1 − 5= 49,49 m/s

Kecepatan rata-rata pada selang 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 adalah 49,49 m/s.

Kecepatan Sesaat

Berdasarkan tabel di samping kecepatan rata-ratanya akan mendekati —? —.Kecepatan sesaat ketika 𝑡𝑡 = 5didefinisikan sebagai nilai limit kecepatan rata-rata tersebut selama periode waktu yang terus menerus semakin singkat, yang dimulai dari 𝑡𝑡 = 5.

Selang Waktu Kecepatan rata-rata (m/s)

5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 49,495 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,01

5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,0055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,001

Hubungan Garis Singgung & Kecepatan Sesaat

0 𝑡𝑡

𝑠𝑠

𝑃𝑃

𝑄𝑄

𝑎𝑎 𝑎𝑎 + ℎ

𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2

Gradien garis potong = kecepatan rata-rata

0 𝑡𝑡

𝑠𝑠

𝑃𝑃

𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2

Gradien garis singgung = kecepatan sesaat

Latihan SoalTitik 𝑃𝑃 3,−1 terletak pada kurva 𝑦𝑦 = ⁄1 2 − 𝑥𝑥 .(a) Jika 𝑄𝑄 adalah titik 𝑥𝑥, ⁄1 2 − 𝑥𝑥 , gunakan kalkulator untuk

menentukan gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄 (sampai 6 angka di belakang koma) untuk nilai-nilai 𝑥𝑥 berikut:(i) 2,5 (ii) 2,9 (iii) 2,99 (iv) 2,999(v) 3,5 (vi) 3,1 (vii) 3,01 (viii) 3,001

(b) Dengan menggunakan hasil di bagian (a), perkirakan gradien garis singgung kurva pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .

(c) Dengan menggunakan gradien di bagian (b), tentukan persamaan garis singgung pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .

Kuis

1. Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2, tentukan 𝑓𝑓 2+ℎ −𝑓𝑓 2ℎ

dan sederhanakan hasilnya.

2. Tentukan domain fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥−2𝑥𝑥2−1

.

3. Misalkan 𝐴𝐴 −7, 4 dan 𝐵𝐵 5,−12 adalah titik-titik pada bidang. Tentukan persamaan garis sumbu dari 𝐴𝐴𝐵𝐵.(Catatan: Garis sumbu adalah garis yang tegak lurus dan membagi ruas garis sama panjang.)

#HaveANiceDay